Bổ đề Neyman Pearson và ứng dụng

Mục lục Mở đầu 4 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Bài toán kiểm định giả thiết và các khái niệm mở đầu . . 7 1.2 Các loại sai lầm trong bài toán kiểm định giả thiết và cách khắc phục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Một số kiến thức bổ sung về lý thuyết xác suất . . . . . . 9 1.3.1 Tiêu chuẩn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Hàm lực lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Tiêu chuẩn mạnh nhất mức α . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.5 Một số mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2: Bổ đề Neyman - Pearson 13 2.1 Bổ đề Neyman - Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Hệ quả 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Hệ quả 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Bài toán kiểm định giả thiết hợp với đối thiết đơn . . . . 19 2.3.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Định nghĩa phân bố ít thuận lợi nhất mức α . . . 19 2.3.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Bổ đề Neyman - Pearson mở rộng . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3: Ứng dụng của bổ đề Neyman - Pearson 31 3.1 Kiểm định giả thiết về số trung bình . . . . . . . . . . . . 31 1 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long 3.1.1 Bài toán 1: Kiểm định giả thiết về số trung bình khi phương sai đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Bài toán 2: Kiểm định giả thiết về số trung bình khi phương sai chưa biết . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 Bài toán 3: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau giữa hai giá trị trung bình khi phương sai đã biết . 36 3.1.4 Bài toán 4: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau giữa hai giá trị trung bình khi phương sai chưa biết 38 3.2 Kiểm định giả thiết về tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Bài toán 1: Kiểm định về giá trị một tỉ lệ . . . . . 40 3.2.2 Bài toán 2: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Kiểm định giả thiết về phương sai . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Bài toán 1: Kiểm định về giá trị một phương sai . 45 3.3.2 Bài toán 2: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 2 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp ngoài sự cố gắng, nỗ lực của bản thân tôi còn nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Công nghệ - Trường Đại học Hùng Vương đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện đề tài này. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới cô giáo Bùi Thị Thu Dung - giảng viên Bộ môn Toán Khoa Toán - Công nghệ - Trường Đại học Hùng Vương, cô đã giành nhiều thời gian quý báu để tận tình hướng dẫn chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm đề tài, đồng thời cô đã giúp tôi lĩnh hội những tri thức mới và rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán – Công Nghệ, tới gia đình, bạn bè là những người luôn ủng hộ, quan tâm, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành đề tài. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 5 năm 2012 Sinh viên Dương Văn Long 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài khóa luận Kiểm định giả thiết thống kê là một lĩnh vực quan trọng và hấp dẫn trong chuyên ngành lý thuyết xác suất và thống kê. Lời giải cho các lớp bài toán kiểm định giả thiết thống kê về tham số được trình bày bằng ngôn ngữ hàm tiêu chuẩn đối với từng lớp có một tiêu chuẩn kiểm định riêng.Ví như, với lớp bài toán kiểm định giả thiết hợp một phía, ta sử dụng tiêu chuẩn của tỷ số hợp lý đơn điệu; với lớp bài toán kiểm định giả thiết hợp trong đoạn ta dùng tiêu chuẩn không chệch mạnh đều nhất; hay với lớp bài toán kiểm định giả thiết hợp 2 phía ta dùng tiêu chuẩn của họ mũ, Bổ đề Neyman - Pearson đã chỉ ra cho chúng ta tiêu chuẩn để kiểm định các bài toán thuộc lớp bài toán kiểm định giả thiết đơn đối với đối thiết đơn, dạng H 1 : θ = θ 0 /K 1 : θ = θ 1 . Trong học phần Lý thuyết xác suất và thống kê, sinh viên ngành Toán và các ngành khác đã được tìm hiểu một số dạng bài toán thuộc lớp bài toán kiểm định giả thiết đơn đối với đối thiết đơn như: Bài toán kiểm định về số trung bình, bài toán kiểm định về tỷ lệ, bài toán kiểm định về phương sai. Tuy nhiên trong tất cả các giáo trình mới chỉ dừng lại ở việc đưa ra các bước để giải quyết bài toán nêu trên mà chưa chỉ ra nguồn gốc tường tận của lời giải đó. Do vậy đã gây ra không ít những khó khăn đối với sinh viên chuyên ngành Toán nói riêng và một số sinh viên muốn đi sâu nghiên cứu bài toán kiểm định giả thiết thống kê nói chung. Từ những lí do trên, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài: "Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình với mong muốn tìm hiểu thêm phương pháp giải cho lớp bài toán kiểm định giả thiết nêu trên. Đồng thời, khóa luận giúp các bạn sinh viên có mong muốn cầu thị tìm hiểu sâu về bài toán kiểm định giả thiết có thêm tài liệu tham khảo trong trường Đại học. 2. Mục tiêu khóa luận - Trình bày nội dung và chứng minh chi tiết Bổ đề Neyman - Pearson và Bổ đề Neyman - Pearson mở rộng. 4 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long - Hệ thống hóa một số ứng dụng của Bổ đề Neyman - Pearson trong việc giải quyết một số dạng bài toán kiểm định giả thiết thống kê. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu Bổ đề Neyman - Pearson và Bổ đề Neyman - Pearson mở rộng. - Nghiên cứu ứng dụng của Bổ đề Neyman - Pearson trong việc giải quyết một số dạng bài toán kiểm định giả thiết thống kê. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có liên quan tới Bổ đề Neyman - Pearson và những ứng dụng của Bổ đề. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ, khoa học và chính xác. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng của Bổ đề. - Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của Bổ đề Neyman - Pearson vào giải quyết một số dạng bài toán kiểm định giả thiết thống kê. 6. Bố cục của khóa luận - Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận gồm 3 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Bài toán kiểm định giả thiết và các khái niệm mở đầu 1.2. Các loại sai lầm trong bài toán kiểm định giả thiết và cách khắc phục 1.3. Một số kiến thức bổ sung về lý thuyết xác suất Chương 2. Bổ đề Neyman - Pearson 2.1. Bổ đề Neyman - Pearson 2.2. Hệ quả 2.3. Bài toán kiểm định giả thiết hợp với đối thiết đơn 2.4. Một số ví dụ minh họa 2.5. Bổ đề Neyman - Pearson mở rộng Chương 3. Ứng dụng của Bổ đề Neyman - Pearson 3.1. Kiểm định giả thiết về số trung bình 3.2. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ 5 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long 3.3. Kiểm định giả thiết về phương sai 7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 7.1 Ý nghĩa khoa học - Đề tài khóa luận đã hệ thống hóa một số ứng dụng của Bổ đề Neyman - Pearson vào giải quyết một số dạng bài toán kiểm định giả thiết thống kê. 7.2 Ý nghĩa thực tiễn - Đề tài là tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên muốn đi sâu nghiên cứu về Bổ đề Neyman - Pearson nói riêng và chuyên ngành lý thuyết xác suất thống kê nói chung. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán kiểm định giả thiết và các khái niệm mở đầu Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) - các quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên ξ còn F là lớp các hàm phân bố nào đó. Ta chia lớp F thành hai lớp con F H và F K = F\F H . Biết rằng hàm phân bố F của biến ngẫu nhiên ξ đang xét thuộc vào lớp F nhưng chưa biết F ∈ F H hay F ∈ F K . Ta gọi mệnh đề: “hàm phân bố F thuộc lớp F H ” là giả thiết H, còn mệnh đề “hàm phân bố F thuộc lớp F K ” là đối thiết K. Bài toán đặt ra là: hãy kiểm tra xem giả thiết H đúng hay đối thiết K đúng? Nếu lớp F được tham số hóa, tức là F = {F (x, θ), θ ∈ Θ}, trong đó dạng toán học của hàm F đã biết, θ là tham ẩn chưa biết. Khi đó, ta sẽ đồng nhất lớp F với không gian tham Θ và giả thiết H : F ∈ F H sẽ là θ ∈ Θ H , đối thiết K : F ∈ F K sẽ là θ ∈ Θ K , trong đó Θ H ∩Θ K = ∅, Θ H ∪Θ K = Θ. - Nếu Θ H gồm chỉ một điểm thì giả thiết H được gọi là giả thiết đơn. Nếu Θ H có nhiều hơn một điểm thì H được gọi là giả thiết hợp. - Nếu Θ K gồm chỉ một điểm thì đối thiết K được gọi là đối thiết đơn. Nếu Θ K có nhiều hơn một điểm thì K được gọi là đối thiết hợp. Phương pháp chung để giải bài toán kiểm định giả thiết H với đối thiết K (nói tắt là bài toán kiểm định giả thiết H/K) là: Xét biến ngẫu nhiên X giả sử X = {(X 1 , X 2 , . . . , X n )} là không gian giá trị của biến ngẫu nhiên X. Ta tìm cách chia X ra làm hai phần: S và S = X\S. Sau đó ta chọn quyết định theo quy tắc sau: - Nếu mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) ∈ S thì ta bác bỏ giả thiết H và chấp nhận đối thiết K. - Nếu mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) ∈ S ta chấp nhận H hay nói 7 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long chính xác hơn là ta chưa có cơ sở để bác bỏ H và do đó ta có khuynh hướng chấp nhận H cho đến khi có thông tin mới, như vậy việc bác bỏ H đáng tin cậy hơn việc chấp nhận H. Miền S tìm được ở trên được gọi là miền tiêu chuẩn (hoặc miền giới hạn). 1.2 Các loại sai lầm trong bài toán kiểm định giả thiết và cách khắc phục Nội dung của bài toán kiểm định giả thiết là dựa vào mẫu quan sát để lựa chọn một trong hai quyết định: chấp nhận giả thiết H hay phải bác bỏ nó. Khi đưa ra quyết định chấp nhận hay bác bỏ giả thiết H có thể sẽ mắc hai loại sai lầm: Sai lầm loại I: Bác bỏ giả thiết H khi thực chất H đúng. Sai lầm loại II: Chấp nhận giả thiết H khi thực chất H sai. Ký hiệu P (S|H) và P(S|K) là xác suất phạm sai lầm loại I và loại II tương ứng. Người làm thống kê muốn hạn chế cả hai loại sai lầm này, nghĩa là mong muốn chọn được miền tiêu chuẩn S sao cho cực tiểu hóa cả hai xác suất phạm sai lầm, tức là chọn S sao cho có thể loại trừ khả năng phạm cả hai loại sai lầm càng nhiều càng tốt. Song không thể cực tiểu đồng thời cả hai loại sai lầm khi cỡ mẫu cố định, bởi vì hai xác suất trên liên hệ với nhau bởi hệ thức: P (S|K) + P(S|K) = 1; P (S|H) + P (S|H) = 1 Do đó miền tiêu chuẩn S cực tiểu P (S|H) chưa chắc đã cực tiểu P (S|K) và ngược lại. Hơn nữa miền tiêu chuẩn S = ∅ sẽ có xác suất phạm sai lầm loại I bằng 0, tức là bé nhất nhưng miền tiêu chuẩn như vậy ta không xét. Do vậy, có hai phương pháp chọn miền tiêu chuẩn S cũng là hai cách khắc phục sai lầm trong bài toán kiểm định giả thiết thống kê. Phương pháp I: Cố định hai mức xác suất phạm sai lầm, chọn miền S sao cho cỡ mẫu n là cực tiểu. Phương pháp II: Ta cố định một loại xác suất phạm sai lầm và tìm miền S sao cho xác suất phạm sai lầm kia đạt giá trị nhỏ nhất. Thông thường ta cố định xác suất phạm sai lầm loại I: P (S|H) ≤ α tức là cho giới hạn trên của xác suất phạm sai lầm loại I, ta sẽ chọn miền tiêu chuẩn S sao cho xác suất phạm sai lầm loại II P (S|K) đạt cực tiểu hay P(S|K) đạt cực đại. Phương pháp II được sử dụng rộng rãi hơn. 8 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long Cho trước 0 ≤ α ≤ 1, ta chọn miền tiêu chuẩn S sao cho:  P (S|H) ≤ α P (S|K) đạt cực đại (1.2.1) Nếu H = {θ ∈ Θ H }, K = {θ ∈ Θ K } thì (1.2.1) được viết lại là:    sup θ∈Θ H P θ (S) ≤ α P θ (S) với θ ∈ Θ K đạt cực đại (1.2.2) Khi đó α được gọi là mức ý nghĩa của tiêu chuẩn, α thường được chọn bằng 0,1;0,05;0,01;0,001; Chọn α bằng bao nhiêu tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. 1.3 Một số kiến thức bổ sung về lý thuyết xác suất 1.3.1 Tiêu chuẩn ngẫu nhiên Tiêu chuẩn được đặc trưng bởi hàm ϕ(X) gọi là tiêu chuẩn ngẫu nhiên. Hàm ϕ(X) gọi là hàm tiêu chuẩn, 0 ≤ ϕ(X) ≤ 1. Nếu ϕ(X) = ϕ(X 1 , X 2 , , X n ) chỉ nhận hai giá trị 0 và 1, ϕ(X) =  1 nếu (X 1 , X 2 , , X n ) ∈ S 0 nếu (X 1 , X 2 , , X n ) ∈ S (1.3.1) khi đó ϕ(X) được gọi là tiêu chuẩn không ngẫu nhiên hay là hàm chỉ tiêu của S trên không gian mẫu X với miền tiêu chuẩn S = {X : ϕ(X) = 1}. Theo phương pháp II, để cực tiểu hóa tổng xác suất phạm sai lầm. Trước hết ta cố định xác suất phạm sai lầm loại 1, tức là cố định P θ (S|H) = P θ (S) = E θ ϕ(X) với θ ∈ Θ H . Sau đó tìm θ ∈ Θ K sao cho: P θ (S|K) đạt cực tiểu. Vì P θ (S|K) + P θ (S|K) = 1 ⇒ P θ (S|K) = 1 − P θ (S|K). Do đó để P θ (S|K) đạt cực tiểu thì P θ (S|K) đạt cực đại hay E θ ϕ(X), θ ∈ Θ K đạt cực đại vì P θ (S|K) = P θ (S) = E θ ϕ(X) với θ ∈ Θ K . Do vậy bài toán kiểm định giả thiết H/K được phát biểu bằng ngôn ngữ hàm tiêu chuẩn như sau: Cần chọn tiêu chuẩn ϕ sao cho:  E θ ϕ(X) ≤ α, θ ∈ Θ H E θ ϕ(X) với θ ∈ Θ K đạt cực đại (1.3.2) 9 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long 1.3.2 Hàm lực lượng Đại lượng β ϕ (θ) = E θ ϕ(X) = P θ (S), θ ∈ Θ được gọi là hàm lực lượng (hay hàm mạnh) của tiêu chuẩn S. 1.3.3 Tiêu chuẩn mạnh nhất mức α Tiêu chuẩn ϕ mức α để kiểm định giả thiết H đối với đối thiết đơn K 1 : {θ = θ 1 } cực đại hàm lực lượng β ϕ (θ 1 ) (cực đại theo hàm ϕ(X)) được gọi là tiêu chuẩn mạnh nhất mức α. Nghĩa là, miền tiêu chuẩn S được gọi là mạnh nhất mức α nếu thỏa mãn các điều kiện sau:    sup θ∈Θ H P θ (S) ≤ α P θ 1 (S) ≥ P θ 1 (S  ), ∀S  là tiêu chuẩn mức α (1.3.3) trong đó miền tiêu chuẩn S là đặc trưng của tiêu chuẩn ϕ. 1.3.4 Định lý Fubini Nếu µ 1 , µ 2 là các độ đo δ - hữu hạn thì với mỗi A ∈ χ 1 ⊗ χ 2 các hàm số x → µ 2 (A x ), y → µ 1 (A y ) đo được. Hơn nữa tập µ xác định bởi: µ 1 ⊗µ 2 (A) =  Ω 1 µ 2 (A x )dµ 1 ⊗  Ω 2 µ 1 (A y )dµ 2 là một độ đo δ - hữu hạn thì với mỗi A ∈ χ 1 ⊗ χ 2 thỏa mãn điều kiện µ 1 ⊗ µ 2 (A 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ), ∀A 1 ∈ χ 1 , A 2 ∈ χ 2 . - Định lý Fubini về đổi thứ tự tích phân: Nếu µ 1 , µ 2 là các độ đo δ - hữu hạn và f là hàm đo được không âm hoặc µ 1 ⊗ µ 2 khả tích thì các hàm số x →  f(x, y)dµ 2 (y), y →  f(x, y)dµ 1 (x). Hơn nữa:  Ω 1 ×Ω 2 f(x, y)dµ 1 ⊗ µ 2 (x, y) =  Ω 1 dµ 1 (x)  Ω 2 f(x, y)dµ 2 (y) =  Ω 2 dµ 2 (y)  Ω 1 f(x, y)dµ 1 (x) 10 [...]... chương trước tôi đã trình bày nội dung và cách chứng minh chi tiết Bổ đề Neyman - Pearson và Bổ đề Neyman - Pearson mở rộng để tìm tiêu chuẩn kiểm định bài toán giả thiết đơn với đối thiết đơn Đồng thời tôi cũng sử dụng bổ đề Neyman - Pearson để giải quyết bài toán kiểm định giả thiết hợp đối với đối thiết đơn Trong chương này tôi sẽ trình bày một số ứng dụng của Bổ đề trong một số bài toán kiểm định giả... dµ, ∀ϕ Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long Đẳng thức trên chỉ có thể sảy ra khi fm+1 = m ki fi µ - hầu khắp i=1 nơi Như vậy tồn tại tiêu chuẩn ϕ thỏa mãn (2.5.1) và (2.5.2) Bởi vì ứng với (C1 , , Cm ) ∈ M chỉ có một điểm (C1 , , Cm , C ) cho nên cực đại ϕfm+1 dµ với điều kiện (2.5.1) chính là C ∗ Do đó ϕ thỏa mãn (2.5.2) µ - hầu khắp nơi 30 Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ NEYMAN - PEARSON. .. 2 có phân phối F (n − 1, m − 1) Sm 12 Chương 2 BỔ ĐỀ NEYMAN - PEARSON 2.1 Bổ đề Neyman - Pearson Giả sử P0 và P1 là các phân bố xác suất có mật độ tương ứng là p0 và p1 đối với độ đo µ nào đó 1 Để kiểm định giả thiết đơn H1 : θ = θ0 với đối thiết đơn K1 : θ = θ1 (θ0 = θ1 ), ta tìm được tiêu chuẩn ϕ và hằng số k sao cho: E0 ϕ(X) = α, α ∈ [0; 1] (2.1.1) và 1 khi p1 (x) > kp0 (x) ϕ(x) = 0 khi p1 (x) cα } và P (Wα ) = α ⇒ P (W α ) = 1 − α ⇒ P {(X1 , X2 , , Xn ) :| Z |≤ cα } = 1 − α Vì Z ∼ N (0, 1) nên ta có: cα −cα cα Dễ thấy: (3.1.1) ⇔ 2 0 t2 1 − √ e 2 dt = 1 − α 2π t2 1 √ e 2 dt = 1 − α 2π − 32 (3.1.1) Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long... chuẩn ϕλ là mạnh nhất để kiểm định H : p ≥ p0 với đối thiết p = p0 2.5 Bổ đề Neyman - Pearson mở rộng Giả sử f1 , , fm+1 là các hàm số thực xác định trên không gian Euclide R và khả tích đối với độ đo µ nào đó Giả sử với các hằng số C1 , C2 , , Cm đã cho, tồn tại các hàm tiêu chuẩn ϕ sao cho: 26 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long ϕ(x)fi (x)dµ(x) = Ci , i = 1, , m (2.5.1) Ký hiệu C là... phương sai đã biết 31 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long a Đặt bài toán: Giả sử X ∼ N (a, σ0 2 ) với σ0 2 đã biết, a chưa biết (X1 , X2 , , Xn ) là mẫu độc lập của X Ta cần đi kiểm định liệu số trung bình a có bằng một giá trị a0 nào đó hay không Khi đó ta xét bài toán kiểm định: H : a = a0 K : a = a0 Do a = a0 suy ra a < a0 hoặc a > a0 - Áp dụng Bổ đề Neyman - Pearson ta có: Miền tiêu... Chứng minh khẳng định 2: Theo khẳng định 1 để chứng minh khẳng định 2 ta chỉ cần chứng minh tiêu chuẩn mạnh nhất đối với H2 /K2 cũng là mạnh nhất đối với Hλ /K2 Điều này rõ ràng bởi vì giả sử ϕ là tiêu chuẩn mạnh nhất đối với H2 /K2 , tức là Eθ ϕ(X) ≤ α, ∀θ ∈ Θ và ϕ(x)g(x)dµ(x) đạt cực đại, thì X theo chứng minh khẳng định 1 ta thấy ϕ cũng có mức α đối với Hλ /K2 và 20 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng. .. i=1 n (xi − θ1 )2 i=1 Theo bổ đề Neyman - Pearson, miền tiêu chuẩn sẽ là: S = {x : ϕ(x) = 1} = {(x1 , , xn ) : p1 (x) > kp0 (x)} = 1 (x1 , , xn ) : exp − 2 n (xi − θ0 )2 i=1 n 2 2 = (x1 , , xn ) : enx(θ1 −θ0 ) > ke− 2 (θ1 −θ0 ) 2 2 − n (θ1 − θ0 ) + lnk 2 = (x1 , , xn ) : x > n(θ1 − θ0 ) = {(x1 , , xn ) : x > c} 21 1 > kexp − 2 n (xi − θ1 )2 i=1 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Trong đó: Dương Văn Long... và khách quan ta sẽ chọn phân bố λ mà βλ tương ứng là nhỏ nhất Chọn λ như vậy tiêu chuẩn ϕλ được xây dựng sử dụng được thì các tiêu chuẩn ϕλ (λ = λ) khác lại càng sử dụng tốt hơn Để thấy rõ hiệu quả của phương pháp nêu trên, định lý sau chỉ rõ mối quan hệ giữa tiêu chuẩn mạnh nhất đối với bài toán rút gọn Hλ /K2 và tiêu chuẩn mạnh nhất đối với bài toán ban đầu H2 /K2 19 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng. . .Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng 1.3.5 Dương Văn Long Một số mệnh đề a Mệnh đề 1: Nếu X là đặc tính chuẩn N (a, σ 2 ), (X1 , X2 , , Xn ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập thì: 1 n (i) X = Xk và S 2 độc lập với nhau n k=1 σ2 (ii) X ∼ N (a, ) n 2 (n − 1)S (iii) ∼ χ2 (n − 1) 2 σ Trong đó: 1 n X là trung bình mẫu: X = Xi n i=1 n 1 S 2 là phương sai mẫu hiệu chỉnh: S 2 = (Xi − X)2 n − 1 i=1 Chứng minh . giả thiết về số trung bình . . . . . . . . . . . . 31 1 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long 3.1.1 Bài toán 1: Kiểm định giả thiết về số trung bình khi phương sai đã biết . . . luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 5 năm 2012 Sinh viên Dương Văn Long 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài khóa luận Kiểm định giả thiết thống kê là một lĩnh vực quan. đề Neyman - Pearson và Bổ đề Neyman - Pearson mở rộng. 4 Bổ đề Neyman - Pearson và ứng dụng Dương Văn Long - Hệ thống hóa một số ứng dụng của Bổ đề Neyman - Pearson trong việc giải quyết một số