Mũ - Logarit mới tổng hợp - LTĐH

Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 1 1 A. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 1. Cho PT 2 2 3 3 log x log x 1 2m 1 0. + + − − = a) Gi ả i PT khi m = 2. b) Tìm m ñể PT ñ ã cho có nghi ệ m trên 3 1;3 .       2. Tìm m ñể PT sau có nghi ệ m 2 2 1 1 x 1 1 x 9 (m 2).3 2m 1 0. + − + − − + + + = 3. Tìm m ñể PT sau có nghi ệ m trên (0; 1) 2 2 1 2 4log x log x m 0. − + = 4. Ch ứ ng minh ph ươ ng trình x 1 x x (x 1) + = + có nghiệm dương duy nhất. 5. Giải các phương trình sau 3 2 2 2 8 4 2 2 2 (3x) (27x ) x x 2 x x x 5 2 x 2x 1 x x x x x x x 1 1 1) log (x 3) log (x 1) log 4x. 2 4 2) 16log x 3log x 0. 3) 2 2 3. 4) log (5 4) 1 x. ln x 5) f '(x) 0 khi f (x) . 6) 2 .3 1. x 12 15 20 7) 3 4 5 . 5 4 3 8) − + − − − + + − = − = − = − = − = = =       + + = + +             2 2 2 2 x x x x 2x x x x x 2x 2x x x 1 x x 2 4 2 3 1 8 2 2 x x 1 x x 2 2 4.2 2 4 0. 9) 3 4 5 . 10) log 2 2log 4 log 8. 11) 4 2 2(2 1)sin(2 y 1) 2 0. 1 12) 2(log x 1)log x log 0. 4 13) log x 1 log (3 x) log (x 1) 0. 14) 9 10.3 1 0. 15) + − + + − + − − − + = + = + = − + − + − + = + + = + − − − − = − + = 2 2 2 x x 2x x x 2x 4x 2x x x 2 2 9 3 x x 3x 1 x x x 1 1 1 2 2 2 2co 3 .2 1. 16) 4 2.4 4 0. 17) 3 4.3 3. 18) 1 log (9 6) log (4.3 6). 19) log (x 8) log (x 26) 2 0. 20) 125 50 2 . 21) 8 18 2.27 . 22) log (x 1) log (x 1) log (7 x) 1. 23) 6.9 + + = − + = − = − + − = − + − + + = + = + = − + + − − = 2 2 2 s x cosx 1 2cos x cos x 1 2cos x cosx 1 13.6 6.4 0. − + − + − + − + + = x x x x 2 2 2 3 x 16x 4x 2 2 3 2 27 9 3 x x 1 2 1 2 x x 2x 1 24) 3 2 3x 2. 25) 3 5 6x 2. 26) ln(2x 3) ln(4 x ) ln(2x 3) ln(4 x ) . 27) log x 14.log x 40.log x 0. 1 x 1 28) log (x 5x 6) log log (x 3) . 2 2 29) log (4 4) x log (2 3). 30) 9 6 2 . + + + = + + = + − + − = − + − − + = − − + = + − + = − − + = 2 2 3 27 9 81 2 x 25 x x x x 2 2 1 4 2 2 x x 2 1 2 2 2 2 x 1 log x 1 log x 31) . 1 log x 1 log x 32) log (125x).log x 1. 33) 8 3.2 16 0. 1 34) log (x 1) log (x 5) log (3x 1) . 2 35) log (e 2) log (e 3) 3. 36) log (x 1) 6log x 1 2 0. 3 37) log 3 4 − − + + + = + + = − − = − − + = + − + − = + − + + = − ( ) ( ) 2 2 27 3 x x 2 2 x x x x x 2x x x 2 2 2x 1 x 1 x x x x 4 2 2x 1 3.log x 2log x. 1 38) log (4 15.2 27) 2log 0. 4.2 3 39) 2 4.2 2 4 0. 40) 2 1 2 1 2 2 0. 41) log (2x x 1) log (2x 1) 4. 42) 3.8 4.12 18 2.27 0. 1 1 43) log (x 1) log x 2. log 4 2 44) + − − + + = + + + = − − − + = − + + − = + − + − = + − − = − + = + + 2 3 3 3 9x 3 x x 2 x sin(x ) x 4 2 3x 1 2x x x 3 2 1 2 log (x 1) log (2x 1) 2. 4 45) (2 log x)log 3 1. 1 log x 46) e e 2ln(x 1 x ). 2 1 47) log 1 x 2 . 48) e tan x. | x | 49) 2 7.2 7.2 2 0. 1 6 50) 3 log (9x ). log x x 51) 2log 2x 2 log (9x 1 − π − + − + − = − − = − − = + + − = + − = − + − = + = − + + − 3x 1 ) log (3x 1). − = − Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 2 2 6 2 2 2 2 2x 1 x 1 x x 1 5 log (3x) x x x 1 7 2 2 3x 7 2x 3 log (2x) log 6 log (4x ) 2 7 2 7 3 52) 5.3 7.3 1 6.3 9 0. 53) 12.3 3.15 5 20. 54) x 36. x 0. 55) log (4x 12x 9) log (6x 23x 21) 4. 56) 4 x 2.3 . 57) log x 2log x 2 log x.log x. 58) log − − + + + + − + − + = + − = − = + + + + + = − = + = + 2 2 2 a 2 a 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 4 5 x x 3 ( ) x 3x 2. 2x 4x 5 59) log x log x log xlog x. 60) (log 2x log 2x)log x x 2 (log log )log x 2. 2 x 61) log (x x 1).log (x x 1) + + = + + + + + = + + + + = − − + − = 2 2 2 2 2 20 x x 1 x 2 x 3 log 2x log x 2x 1 x 2 x 1 x 3 log x log 3 x x x log (x x 1). 62) log (9 5.3 ) 4. 63) log (log (9 6)) 1. 64) 3 2 9 2 0. 65) 3 2 3 . 66) log (9 4.3 2) 3x 1. 67) 6.4 13.6 6.9 0. 68) 27 x 30. 68 + − − + = − − + = − = − − + = = + − − = + − + = + = x x 2 2 x x x x x x x x x ( 6 35) ( 6 35) ) log (2 4) x log (2 12) 3. 69) ( 3 8) ( 3 8) 6. 70) 3.4 2.9 5.6 . 71) 12. 72)4 6.2 32 0. + − + − = + − + + − = + = + = − + = 6. Cho phương trình 2 2 2 (x 1).log (x 3) 2m. 2x 2.log (x 3) m 1 0. + + − + + + + = a) Giải phương trình khi m = -1. b) Tìm m ñể PT có nghiệm trên [ ] 1;1 . − 7. Tìm ñể ñể phương trình sau có nghiệm dương duy nhất: x x x m( 5 1) (m 2)( 5 1) (2m 1).2 . + + + − = + 8. Cho phương trình x x 4 4m.(2 1) 0. − − = a) Gi ả i PT khi m = 1. b) Tìm m ñể PT có 2 nghi ệ m trái d ấ u. 9. Ch ứ ng minh PT x 2 4 (4x 1) 1 + = có ñ úng 3 nghi ệ m th ự c phân bi ệ t. 10. Tìm m ñể PT sau có nghi ệ m trên [ ) 32; : +∞ 2 2 2 2 1 4 2 log x log x 3 m(log x 3). + − = − 11. G ả i bi ệ n lu ậ n theo m ph ươ ng trình 2 2 x 2mx 2 2x 4mx m 2 2 a) 5 5 x 2mx m. + + + + + − = + + 2 x mx m x x x b) log m log m log m 0. c) m 2 m 2 m. + + = + + − = 12. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 2 x x 4: < ≤ < 2 1 1 2 2 (m 1)log (x 2) (m 5)log (x 2) m 1 0. − − − − − + − = 13. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 2 2 1 2 x x 1: + > 2 2 2 2 4 1 2 2log (2x x 2m 4m ) log (x mx 2m ) 0. − + − + + − = 14. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 5 2 5 2 log (x mx m 1) log x 0. + − + + + + = 15. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: x x 1 (m 1).4 (3m 2).2 3m 1 0. + + + − − + = B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 16. Giải các bất phương trình 2 2 x 2x 1 x 1 1 3 x 2 2 x 1 x x 1 2 3 1 1 2 x 1 2 4 1 3 log x log x 2 2 x 1) log (4 4) log (2 3.2 ). 2) log x log 3. 3) 15.2 1 2 1 2 . 4) log x log (x 1). 5) log x 2.log (x 1) log 6 0. 6)log ( 2x) 2. 7) f '(x) 0 khi f(x) x log 2. 8) 2x 2 . 9 + + + + + ≥ − > + ≥ − + ≤ + + − + ≤ − > ≤ = ≥ 2 2 x x 2 5 5 5 1 x x x 1 1 x 1 x 2 4 0,5 2 16 2 x x x 1 4 3 2 x x 1 2 2 4 ) log (4 144) 4log 2 1 log (2 1). 10) 8 2 4 2 5. 11) 5 5 24. 12) log x 4log x 2(4 log x ). 13) log x log x 0. 14) 25 15 2.9 . 15) log (2 1)log (2 2) 2. 16) log log − + + + − + π + − < + + + − + > − > + ≤ − + > + ≥ − − > 2 2 2 2 2 x 1 x 2x x x x x x 2x 1 x x x 2 2 2 2 x x x x 2 (x 2x x) 0. 2 4x 16 17) 4. 18) 9 2. x 2 1 1 4 2 2 19) (x 2x 1).( ) 0. 20) 0. 3 4 2 2 3 log x log (2x 1) 21) . 22) 5.4 +2.25 7.10 . log (2x 1) log x 23) 8 3.2 16 0. 24) − − − − − +   + − <     + − > − − + − − − − ≥ > − − + ≤ ≤ + − − ≤ 2x 1 2 log (2 1) x 1. − − ≤ − Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 3 3 2 1 5 5 x 1 2 x 1 x 1 1 2 x x 3 1 2 3 3 1 3 2 x 25) log (x 6x 8) 2log (x 4) 0. x 3x 2 26) log 0. 27) ( 5 2) ( 5 2) . x 2x 3 28) log (log (9 72)) 1. 29) log (log ) 0. x 1 30) 2.log (4x 3) log (2x 3) 2. x 1 3 31) ln ln(x x 1) 0. 32) log ( 2 − − + − + + − < − + ≥ + ≥ − + − ≤ ≥ + − + + ≤ + − − + > 2 2 2 5 5 2 2 1 2 2 2x 1 2x 1 x 2 x 3 3 2x 4x 2 2x x 1 2 x 4 2 x x 2 log x log x x x x 2 ) 1. x 2 1 1 33) log 2x 3x 1 log (x 1) . 2 2 34) 3 2 5.6 0. 35) log (3x) log x 11. 36) 2 16.2 2 0. 37) (log 8 log x ).log 2x 0. 2.3 2 38) 5 x 10. 39) 1. 3 2 40) + + − − − − + + > + − + + − ≥ − − ≤ + < − − ≤ + ≥ − + ≤ ≤ − 2 2 3 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 2 x 1 x x x 2 3 x log (log ( 2log x 1) 3) 2 2 x x 9 0,7 4 4 x 1 2 logx.(log x logx 3) 0. 41) (x 1)log x (2x 5)log x 6 0. 1 42) 3 6.3 ( ) . 3 1 43) ( ) 1. 3 x x 44) log (log (3 9)) 1. 45) log log 0. x 4 46) x 8.e x(x − − + − − + − + − + − ≥ + + + + ≥ + > ≥   + − ≤ <     +   − > 2 2 2 x 1 3 2 2 2 2 x 2 2 x 2 1 1 log x 4 x x x 2x x x 2x x 1 x 2 0,5 .e 8). 47) log ( x 3 x 1) 2log x 0. 48) 3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 (2x) .3 . 1 1 49) ( ) 3.( ) 12. 50) x 32. 3 3 51) 9 7.3 2. 31 52) log log (2 16 − + + − − − − − − + − − + ≤ − − + + > > − − + + + > ≤ − ≤ − 2 x 2 1 1 5 5 5 25 ) 2. 53)log (2x) 1. 54)log (x 5) 3.log (x 5) 6log (x 5) 2 0.   ≤ ≥     − + − + − + ≤ 17. Tìm m ñể BPT sau nghiệm ñúng với mọi x: x x 1 2 2 m a) 4 2(m 2).2 m 2m 2 0. b) log (x 2x m 1) 0. + − + + + + > − + + > 18. Cho bất PT x x 2 m.4 (m 1).2 m 1 0. + + − + − > a) Giải bất phương trình khi 5 m . 6 = b) Tìm m ñể bất PT nghiệm ñúng với mọi x. 19. Giải biện luận theo m bất phương trình 2 2 m m m m m 2 1 2 1 a) log (log x) log (log x) log 2. 2 b) log (x mx 1) 1. + ≥ + + < 20. Tìm m ñể b ấ t ph ươ ng trình sau nghi ệ m ñ úng v ớ i ( ] [ ) x ;0 1; : ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ 2 2 2 x x x x 1 x x m.4 (m 1).10 25 0. − − + − + + − > 21. Cho bất PT x x m.9 4(m 1).3 m 1. + − + > a) Giải BPT khi m = 2. b) Tìm m ñể BPT nghiệm ñúng với mọi x. 22. Tìm tập xác ñịnh của hàm số 2 5 2 2 (2 x) a) y 1 log (x 5.x 2). b) y log (x 2).log 2 2. : − = − + = + − 23. Tìm m ñể hệ 3 2 3 2 2 x 1 3x m 0 1 1 log x log (x 1) 1 2 3  − − − <   + − ≤   có nghi ệ m. 24. Tìm m ñể b ấ t PT sau nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i x 0: ≤ x 1 x x m.2 (2m 1).(3 5) (3 5) 0 + + + − + + < 25. Tìm m ñể b ấ t ph ươ ng trình sau có nghi ệ m 2 2 x m x m log (x 1) log (x x 2). − − − > + − 26. Tìm x > 1 ñể BPT 2 2(x x) m log (x m 1) 1 + + − < nghi ệ m ñ úng v ớ i m ọ i 0 m 4. < ≤ C. BÀI T Ậ P H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ - LOGARIT 27. Ch ứ ng minh v ớ i m ọ i a > 0 h ệ PT sau có nghi ệ m duy nh ấ t x y e e ln(1 x) ln(1 y) . y x a   − = + − +  − =   28. Ch ứ ng minh HPT sau có nghi ệ m d ươ ng duy nh ấ t x 2 y 2 y e 2007 y 1 . x e 2007 x 1  = −  −    = −  −  Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 4 4 29. Giải các hệ phương trình 3x 2 2 y 1 x x 1 2 x 1 x 2 5y 4y x x 2x 2 3 1 1) . 2) . 4 2 y y y 2y 2 3 1 2 2 − + −  = −  + − + = +     + =   + − + = +   + y x x y 4 2 x 4 y 3 0 log xy log y 3) . 4) . log x log y 0 2 2 3   − + = =     − = + =     3 2 x y x 3 2 x y y log (x 2x 3x 5y) 3 6 2.3 2 5) . 6) . log (y 2y 3y 5x) 3 6 .3 12   + − − = − =     + − − = =     x y 1 4 4 2 2 1 log (y x) log 1 2 3.2 2 0 y 7) . 8) . y 1 x y 1 x y 25  − − =   − + =    − = − −    + =  x x x y 2 2 x 2 5 2 2 log y 2 .log y 5 3 .2 1152 9) . 10) . log (x y) 2 4 log y 5 −   + + = =     + = + =     x 2 3 y 9 3 log (6x 4y) 2 x 1 2 y 1 11) . 12) . log (6y 4x) 2 3log (9x ) log y 3  + = − + − =      + =  − =    2 2 2 2 2 4 2 ln(1 x) ln(1 y) y x log (x y ) 5 13) . 14) . x 12xy 2y 0 2log x log y 4 + − + = −   + =     − + = + =     2 2 2 2 x y x 1 ln(1 x) ln(1 y) x y 15) . x 12xy 2y 0 x y y x 16) . 2 2 x y + − + − + = −    − + =    + = +   − = −   17) 2 2 5 5 9x y 5 . log (3x y) log (3x y) 1  − =   + − − =   18) 2 3 2 3 log x 3 5 log y 5 . 3 log x 1 log y 1  + − =   − − = −   19) 2x y 2x y 2 2 2 3.( ) 7.( ) 6 . 3 3 log(3x y) log(y x) 4log2 0 − −   + −   − + + − =  20) x y 2 2 2 2 (y x)(xy 2) . x y 2  − = − +   + =   21) 2 x 1 y y 2 ln x ln y (y x)(xy 2011) . 2 2 (2x y 1) − − − = − +    − = − −   22) x y 2 2 2 2 e e (log y log x)(xy 1) . x y 1  − = − +   + =   23) 2 2 3 3 2log (x 16) log (x 16) 2 2 24 . 3x 1 cos 0 x 4 − −  + =   + <   − D. BẤT ðẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ MŨ – LOGARIT 30. Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng a b c a b c 1 1 1 a b c 3( ). 3 3 3 3 3 3 + + ≥ + + 31. Cho a, b, c d ươ ng và tho ả mãn a + b = c. CMR: a) N ế u x > 1 thì x x x a b c . + < b) N ế u x < 1 thì x x x a b c . + > 32. So sánh hai s ố e π và e . π 33. Cho a > 0, b > 0, x > y > 0, ch ứ ng minh r ằ ng x x y y y x (a b ) (a b ) . + < + 34. Ch ứ ng minh r ằ ng 1 1 sin x cosx 2 3x 1 2sinx tan x 2 2 x 2 x a) 2 2 2 , x . b) 2 2 2 , x (0; ). 2 x c) e 1 x , x 0. 2 x d) e cosx 2 x , x . 2 − + + ≥ ∀ ∈ π + ≥ ∀ ∈ > + + ∀ > + ≥ + − ∀ ∈ ℝ ℝ 35. Tìm GTLN, NN c ủ a hàm s ố x a) y 2 = trên ñ o ạ n [ ] 1;1 . − b) y xln x = trên ñoạn 1 ;1 . e       2 c) f(x) x ln(1 2x) = − − trên ñ o ạ n [ ] 2;0 . − d) f (x) x lnx 3 = − + trên kho ả ng ( ) 0; . +∞ 2 ln x e) g(x) x = trên ñoạn 3 1;e .     36. Cho hàm số 2x 1 2x 1 a f(x) 1 a − − = + v ớ i a là h ằ ng s ố d ươ ng. V ớ i m ỗ i s ố nguyên d ươ ng n ta ñặ t n 1 2 2n A f( ) f( ) f( ). 2n 1 2n 1 2n 1 = + + + + + + Chứng minh rằng 2 n n 2n 2 A ln( ), n *. 2 + + > ∀ ∈ ℕ 37. Chứng minh rằng 2 2 a) a lnb b lna lna ln b, − > − với 0 < a < b < 1. a a b b b a b) (2 2 ) (2 2 ) , − − + ≤ + với a b 0. ≥ > a b c a b c c) 27 27 27 3 3 3 , + + ≥ + + với a + b + c = 0. . Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 1 1 A. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 1. Cho PT 2 2 3 3 log x log x 1 2m 1 0. + + − −. nghiệm trái dấu: x x 1 (m 1).4 (3m 2).2 3m 1 0. + + + − − + = B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 16. Giải các bất phương trình 2 2 x 2x 1 x 1 1 3 x 2 2 x 1 x x 1 2 3 1 1 2 x 1 2 4 1. = − − = + + − = + − = − + − = + = − + + − 3x 1 ) log (3x 1). − = − Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 2 2 6 2 2 2 2 2x 1 x 1 x x 1 5 log (3x) x x x 1 7 2 2 3x