90 Phần thứ hai Truyền nhiệt Truyền nhiệt là mộn khoa học nghiên cứu các quy luật phân bố nhiệt độ và trao đổi nhiệt trong không gian và theo thời gian giữa các vật có nhiệt độ khác nhau. Nó là phần lí thuyết cơ sở để tính toán các quá trình và các thiết bị trao đổi nhiệt trong tự nhiên và kĩ thuật. Truyền nhiệt nghiên cứu các khái niệm, định luật cơ bản của các phơng thức trao đổi nhiệt và ứng dụng nó để khảo sát các quá trình trao đổi nhiệt phức hợp trong các nhiệt bị năng lợng nhiệt. . Chơng 8. các khái niệm cơ bản 8.1 mô tả quá trình trao đổi nhiệt 8.1.1 Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu truyền nhiệt Để nghiên cứu truyền nhiệt, ngời ta thờng dùng hai phơng pháp chủ yếu: phơng pháp giai tích và phơng pháp thực nghiệm. Phơng pháp giải tích dựa vào các định luật cơ bản của vật lí học, sử dụng các phép tính giải tích để dẫn ra luật phân bố nhiệt độ và công thức tính nhiệt. Phơng pháp thực nghiệm dựa trên lí thuyết đồng dạng hoặc phân tích thứ nguyên, lập mô hình thí nghiệm đo giá trị các thông số, xử lí số liệu để đa ra công thức thực nghiệm. 8.1.2 Tính chất chung của hiện tợng trao đổi nhiệt Nhiệt lợng là lợng năng lợng trao đổi giữa các phần tử thuộc hai vật có nhiệt độ khác nhau, tức có động năng trung bình phân tử khác nhau. Hiện tợng trao đổi nhiệt chỉ xẩy ra giữa hai điểm có nhiệt độ khác nhau, tức có độ chênh nhiệt độ t khác không> Giữa hai vật cân bằng nhiệt, có t = 0, nhiệt lợng trao đổi luôn bằng không. Trong t nhiên, nhiệt lợng chỉ truyền theo hớng từ điểm có nhiệt độ cao đến điểm có nhiệt độ thấp. Do đó, trao đổi nhiệt là một quá trình không thuận nghịch. 8.1.3. Các phơng thức trao đổi nhiệt Quá trình trao đổi nhiệt có thể đợc thực hiện bằng ba phơng thức cơ bản sau đây, đợc phân biệt theo phơng thức truyền động năng giữa các phân tử thuộc hai vật . 8.1.3.1. Dẫn nhiệt 91 Dẫn nhiệt là hiện tợng các phân tử vật 1 va chạm (trực tiếp hoặc thông qua các điện tử do trong vật) vào các phân tử vật 2 để truyền một phần động năng. Dẫn nhiệt xẩy ra khi có sự chênh lệch nhiệt độ giữa các phần của một vật hoặc giữa hai vật tiếp xúc nhau. Dẫn nhiệt thuần túy xẩy ra trong hệ gồm các vật rắn có sự tiếp xúc trực tiếp. 8.1.3.2. Tỏa nhiệt (hay trao đổi nhiệt đối lu) Tỏa nhiệt là hiện tợng các phân tử trên bề mặt vật rắn và chạm vào các phần tử chuyển động có hớng của một chất lỏng tiếp xúc với nó để trao đổi động năng. Tỏa nhiệt xẩy ra tại vùng chất lỏng hoặc khí tiếp xúc với mặt vật rắn, là sự kết hợp giữa dẫn nhiệt và đối lu trong lớp chất lỏng gần bề mặt tiếp xúc. Chuyển động có hớng (đối lu) của chất lỏng có thể đợc sinh ra một cách tự nhiên, khi nó chịu tác động của trọng lực và độ chênh nhiệt độ, hoặc do các lực cỡng bức khác, khi ta dùng bơm, quạt Cờng độ tỏa nhiệt, nh sẽ đợc khảo sát trong chơng 10, tỷ lệ thuận với hệ số tỏa nhiệt [w/m 2 K], và đợc tính theo công thức Newton: q= (t w - t f )= t Trong đó t là hiệu số nhiệt độ bề mặt và chất lỏng. 8.1.3.3. Trao đổi nhiệt bức xạ Trao đổi nhiệt bức xạ là hiện tợng các phân tử vật 1 bức xạ ra các hạt, truyền đi trong không gian dới dạng sóng điện từ, mang năng lợng đến truyền cho các phân tử vật 2. Khác với hai phơng thức trên, trao đổi nhiệt bức xạ có thể xẩy ra giữa hai vật ở cách nhau rất xa, không cần sự tiếp xúc trực tiếp hoặc thông qua môi trờng chất lỏng và khí, và luôn xây ra với sự chuyển hóa giữa năng lợng nhiệt và năng 92 lợng điện từ. Đây là phơng thức trao đổi nhiệt giữa các thiên thể trong vũ trụ, chẳng hạn giữa mặt trời và các hành tinh. Trên hình (8.1.3) minh hoạ các phơng thức trao đổi nhiệt. Quá trình trao đổi nhiệt thực tế có thể bao gồm 2 hoặc cả 3 phơng thức nói trên, đợc gọi là quá trình trao đổi nhiệt phức hợp. Ví dụ, bề mặt vật rắn có thể trao đổi nhiệt với chất khí tiếp xúc nó theo phơng thức toả nhiệt và trao đổi nhiệt bức xạ. 8.2. các khái niệm cơ bản của truyền nhiệt 8.2.1. Trờng nhiệt độ Để mô ta phân bố nhiệt độ trong không gian theo thời gian, ta dùng khái niệm trờng nhiệt độ. Trờng nhiệt độ là tập hợp tất cả các giá trị nhiệt độ tức thời trong khoảng thời gian đang xét của mọi điểm trong hệ vật khảo sát. Giá trị nhiệt độ tức thời tại mỗi điểm trong không gian đợc xác định duy nhất nh một đại lợng vô hớng, do đó, trờng nhiệt độ là một trờng vô hớng. Biểu thức của trờng nhiệt độ mô ta luật phân bổ nhiệt độ, cho phép xác định giá trị nhiệt độ tức thời tại thời điểm theo tọa độ (x,y,z) của một điểm bất kỳ trong hệ: t = t(x,y,z,). Theo thời gian, trờng nhiệt độ đợc phân ra hai loại: Không ổn định và ổn định. Nếu giá trị nhiệt độ tức thời tại mọi điểm trong hệ không thay đổi theo thời gian, tức 0 t = với mọi (x,y,z) và mọi , thì trờng nhiệt độ đợc gọi là ổn định: t = t(x,y,z) Nếu có một điểm (x,y,z) tại thời điểm khiến cho 0 t , thì trờng nhiệt độ đợc gọi là không ổn định. Tùy theo tính đối xứng của trờng số tọa độ không gian mà trờng phụ thuộc (thờng đợc gọi là số chiều của trờng) có thể là 0,1,2,3. Ví dụ, biểu thức của trờng nhiệt độ 0, 1, 2, 3 chiều có thể là: t = t (); t = t (x,); t = t(y, z, ); t = t (x, y, z, ). 8.2.2. Mặt đẳng nhiệt Tại một thời điểm cho trớc tập hợp các điểm có cùng một giá trị nhiệt độ tảo ra trong không gian của trờng một mặt, đợc gọi là mặt đẳng nhiệt. Phơng trình của mặt đẳng nhiệt là: t = f(x,y,z) = const hay: f(x, y, z) = const Vì nhiệt độ tức thời tại một điểm là duy nhất, nên các mặt đẳng nhiệt không giao nhau. Trên mỗi mặt đẳng nhiệt thì t = const, do đó nhiệt độ chỉ thay đổi theo hớng cắt mặt đẳng nhiệt. 93 Mặt đẳng nhiệt có thể là mặt cong kín hoặc hở. 8.2.3. Gradient nhiệt độ: Xét hai mặt đẳng nhiệt t = const và t + dt = const với dt > 0 nh hình (8.2.3) Gọi vận tốc thay đổi nhiệt độ của điểm M theo hớng 1 cho trớc là vectơ d dt l 0 , trong đó 0 1 là vectơ đơn vị theo hớng 1 , t là đạo hàm trờng t theo hớng .1 Gọi gradient nhiệt độ của điểm M là vận tốc thay đổi nhiệt độ của m theo hớng pháp tuyến n của mặt đẳng nhiệt t = const, chiều từ nhiệt độ thấp đến nhiệt độ cao. Biểu thức của vectơ gradient nhiệt độ tại điểm M (x,y,z) là: gr a dt = .t z t k y t j x t i n t n 0 = + + = Độ lớn của vectơ gradient là gradt = ]/[, mK n t . Vectơ gr dta mô ta vận tốc thay đổi nhiệt độ cực đại điểm M, trên phơng vuông góc mặt đẳng nhiệt theo chiều tăng nhiệt độ, giá trịn bằng n t . 8.2.4. Vectơ dòng nhiệt Để đặt trng cho độ lớn và phơng chiếu dòng nhiệt truyền qua mặt đẳng nhiệt ta định nghĩa dòng nhiệt q là vectơ có độ lớn bằng lợng nhiệt q [w/m 2 ] truyền qua 1m 2 mặt đẳng nhiệt trong một giây, trên lớng pháp tuyến mặt đẳng nhiệt theo chiều giảm nhiệt độ: zyx 0 qkqjqiqnq ++== Dấu (-) do vectơ q ngợc chiều vectơ gr .dta Theo lý thuyết trờng vectơ, lợng nhiệt sinh ra trong 1 đơn vị thể tích của hệ, tức hiệu số các lợng nhiệt ra vào 1m 2 của hệ, là: ]./[, 3 zzx mW z q y q x q qdiv + + = Do đó nếu div 0q > thì vật sinh nhiệt, khi div 0q < thì vật thu nhiệt, lúc div 0q = vật đợc gọi là ổn định nhiệt. 8.2.5. Công suất nguồn nhiệt 94 Để đặt trng cờng độ phát nhiệt tại điểm M của vật V, ta định nghĩa năng suất phát nhiệt của điểm M (x,y,z) là tỷ số ]/[, 3 v mW dV Q q = trong đó ][WQ là công suất nhiệt phát ra từ phân tố thể tích dV[m 3 ] bao quanh điểm. Nếu biết q v = q v (xy,z) thì tính đợc công suất phát nhiệt của nguồn V theo: ,VdqQ v v = Khi nguồn nhiệt phân bố đều, q v = const, thì Q = q v V. 95 .Chơng 9. dẫn nhiệt ổn định 9.1. định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt 9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt nh sau: Vec tơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vectơ gradient nhiệt độ. Biểu thức của định luật có dạng vectơ là: ,dtagrq = dạng vô hớng là: . tn dt gradtq == Theo định luật này, nhiệt lơng Q đợc dẫn qua diện tích F của mặt đẳng nhiệt trong 1 giây đợc tính theo công thức: = F dF. n t Q Khi gradt không đổi trên bề mặt F, công thức có dạng: dF. n t Q = Định luật Fourier là định luậtcơ bản để tính lợng nhiệt trao đổi bằng phơng thức dẫn nhiệt. 9.1.2 Hệ số dẫn nhiệt Hệ số của định luật Fourier gradt q = , W/mK đợc gọi là hệ số dẫn nhiệt. Hệ số dẫn nhiệt đặc trng cho khả năng dẫn nhiệt của vật. Giá trị của phụ thuộc vào bản chất và kết cấu của vật liệu, vào độ ẩm và nhiệt độ, đợc xác định bằng thực nghiệm với từng vật liệu và cho sẵn theo quan hệ với nhiệt độ tại bảng các thông số vật lý của vật liệu. 9.2. Phơng trình vi phân dẫn nhiệt 9.2.1. Nội dung của phơng trình vi phân dẫn nhiệt Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình cân bằng nhiệt cho một phân tố bất kỳ nằm hoàn toàn bên trong vật dẫn nhiệt. 9.2.2. Thiết lập phơng trình Xét cân bằng nhiệt cho phân tố dV bên trong vật dẫn, có khối lợng riêng , nhiệt dung riêng C v , hệ số dẫn nhiệt , dòng nhiệt phân tố là q , công suất phát nhiệt q v . 96 Theo định luật bảo toàn năng lợng, ta có: [Độ biến thiên nội năng của dV] = [Hiệu số nhiệt lợng (vào-ra) dV] + [lợng nhiệt sinh ra trong dV], tức là: += d.dV.qd.dV.divq t C.dV. vv , hay: v v v C. q qdiv C. 1t + = Theo định luật fourier ,dtagrq = khi = const ta có: )dtagr(div)dtagr(divqdiv == Trong đó: Div(gra dt) = t z t zy t yx t x 2 = + + , Với: + + + + + = z) , r, trụ dộ toạ (trong , z) y, x,với góc vuông dộ toạ (trong , 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 z tt r 1 r t . r 1 r t z t y t x t t Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình kết hợp hai định luật nói trên, có dạng: += + = v 2 v v 2 v q ta C. q t C. t với a = v C. , m 2 /s., đợc gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, đặc trng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật. 9.2.3. Các dạng đặc biệt của phơng trình vi phân dẫn nhiệt với q v = 0 Khi vật ổn định nhiệt, 0 t = , phơng trình có dạng 0t 2 = . Trong vách phẳng rộng vô hạn và ổn định nhiệt có = const, trờng nhiệt độ t(x) đợc xác định theo phơng trình 0 dx td 2 2 = . Trong điều kiện = const và ổn định nhiệt, trờng nhiệt độ t(r) trong vách trụ tròn dàI vô hạn đợc xác định theo phơng trình vi phân dẫn nhiệt trong toạ độ trụ: 0 d r dt r 1 dx td 2 2 =+ . 9.3. Các điều kiện đơn trị 97 Phơng trình vi phân dẫn nhiệt nói chung là phơng trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn là hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ). Nghiệm tổng quat của nó chứa nhiều hằng số tuỳ ý chọn. để xác định duy nhất nghiệm riêng của phơng trình vi phân dẫn nhiệt, cần phải cho trớc một số điều kiện, gọi là các điều kiện đơn trị. 9.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị Tuỳ theo nội dung, các điều kiện đơn trị bao gồm 4 loại sau: - Điều kiện hình học cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định kích thớc, hình dạng, vị trí của hệ vật V. - Điều kiện vật lý cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ tại mọi điểm M V, tức cho biết (, C v , , a . . . ) = f(t, M V). - Điều kiện ban đầu cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm = 0 tại mọi điểm M V, tức cho biết t(M V, = 0) = t(x, y, z). - Điều kiện biên cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc cân bằng nhiệt tại mọi điểm M trên biên W của hệ V tại mọi thời điểm . Nếu ký hiệu dòng nhiệt q dẫn trong vật V đến M W là n t. n t q = = , thì điều kiện biên có thể cho ở dạng: ),0(,WƯM ),M(q),M(tq ),M(tt n w == = hoặc . Điều kiện hình học, vật lý và điều kiện biên cần phải cho trớc trong mọi bài toán. Riêng điều kiện ban đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định. 9.3.2. Các loại điều kiện biên Tại mỗi mặt biên W i W = W i của vật V, tuỳ theo cách phân bố nhiệt độ hoặc cách trao đổi nhiệt với môi trờng khác nhau, điều kiện biên có thể đợc cho theo các loại sau đây: - ĐKB loại 1: cho biết luật phân bố nhiệt độ tại mọi điểm M 1 W 1 ở dạng: t w1 = t(M 1 , ). - ĐKB loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M 2 W 2 là: q(M 2 , ) = -.t n .(M 2 , ). Đặc biệt khi W 2 đợc cách nhiệt tuyệt đối hoặc là mặt đối xứng của bài toán, thì t n (M 2 , ) = 0 và hàm t sẽ đạt cực trị tại M 2 W 2 . - ĐKB loại 3: cho biết biên W 3 tiếp xúc chất lỏng có nhiệt độ t f với hệ số toả nhiệt và luật cân bằng nhiệt tại W 3 W 3 có dạng: q = q hay -.t n .(M 3 , ) = [t(M 3 , ) t f ]. - ĐKB loại 4: cho biết biên W 4 tiếp xúc với môi trờng rắn có phân bố nhiệt độ t 4 và luật cân bằng nhiệt tại W 4 W 4 là q = q 4 hay -.t n .(M 4 , ) = - 4 .t n .(M 4 , ). 98 - ĐKB loại 5: cho biết trên biên W 5 có sự trao đổi chất do sự khuyếch tán hay chuyển pha (chẳng hạn do hoá lỏng, hoá rắn hoặc thăng hoa, kết tinh). Khi đó chính biên W 5 sẽ di chuyển và khối lợng vật V sẽ thay đổi và phơng trình cân bằng nhiệt tại điểm M 5 trên biên W 5 di động sẽ có dạng: q = q + q r hay -t n (M 5 , ) = -t n (M 5 , ) + r d dx . 5 . trong đó: d dx 5 là tốc độ di chuyển của điểm M 5 W 5 , r là nhiệt chuyển pha j/kg. - ĐKB loại 6: cho biết biên W 6 tiếp giáp với môi trờng chân không, ở đó chỉ xẩy ra sự trao đổi nhiệt bằng bức xạ và phơng trình cân bằng nhiệt tại W 6 W 6 có dạng: q = q hay -t n (M 6 , ) = 0 T 4 (M 6 , ). - ĐKB loại 7: cho biết biên W 7 tiếp xúc với chất khí có nhiệt độ T k , ở đó có sự trao đổi nhiệt bằng cả đối lu và bức xạ. Phơng trình cân bằng nhiệt tại W 7 W 7 có dạng: q = q + q r hay -t n (M 7 , ) = [T(M 7 , ) - T k ] + 0 [T 4 (M 7 , ) T 4 k ]. ĐKB loại 7 có thể qui về loại 3 nếu viêt phơng trình trên ở dạng: q = )TT( kw với )TT/()TT( kw 4 k 4 w0 += , đợc gọi là hệ số toả nhiệ phức hợp. ĐKB loại 6 và loại 7 là những ĐKB không tuyến tính. 9.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt Bài toán dẫn nhiệt có thể đợc mô tả bằng một hệ phơng trình vi phân (t) gồm phơng trình vi phân dẫn nhiệt và các phơng trình mô tả các đIều kiện đơn trị nh đã nêu ở mục (9.3): = dkdt các tả mô trinh phong Các ta t )t( 2 Giải bài toán dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) thoả mãn mọi phơng trình của hệ (t) nói trên. 9.4. Dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng 9.4.1. Vách 1 lớp, biên loại 1 9.4.1.1. Bài toán Cho 1 vách phẳng rộng vô hạn, dày , (0 x ), làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt = const, nhiệt độ tại hai mặt vách phân bố đều bằng t 1 , t 2 và không đổi. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) bên trong vách. Bài toán dẫn nhiệt ổn định này đợc mô tả bởi hệ phơng trình (t) có dạng: 99 = = = (3) (2) (1) 2 1 2 2 t)(t t)0(t 0 dx td )t( 9.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng t(x) = C 1 x + C 2 . Các hằng số C 1 , C 2 đợc xác định theo các ĐKB (2) và (3): ==+= == )tt( 1 CtCC)(t tC)0(t )t( 121221 12 Vậy phân bố nhiệt độ trong vách là t(x) = x)tt( 1 t 211 , có dạng đờng thẳng qua 2 điểm (0. t 1 ) và (, t 2 ). 9.4.1.3. Tính dòng nhiệt dẫn qua vách Theo định luật Fourier ta có: R t tt dx dt q 21 = == , (W/m 2 ), với R = , (m 2 K/W) gọi là nhiệt trở của vách phẳng. 9.4.2. Vách n lớp, biên loại 1 9.4.2.1. Bài toán . vật liệu. 9.2. Phơng trình vi phân dẫn nhiệt 9.2.1. Nội dung của phơng trình vi phân dẫn nhiệt Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình cân bằng nhiệt cho một phân tố bất kỳ nằm hoàn. đẳng nhiệt ta định nghĩa dòng nhiệt q là vectơ có độ lớn bằng lợng nhiệt q [w/m 2 ] truyền qua 1m 2 mặt đẳng nhiệt trong một giây, trên lớng pháp tuyến mặt đẳng nhiệt theo chiều giảm nhiệt. đổi nhiệt độ cực đại điểm M, trên phơng vuông góc mặt đẳng nhiệt theo chiều tăng nhiệt độ, giá trịn bằng n t . 8.2.4. Vectơ dòng nhiệt Để đặt trng cho độ lớn và phơng chiếu dòng nhiệt