Giáo trình kinh tế chất lượng - ôn lại thống kê - 5 pptx

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 49 Thục Đoan/Hào Thi Sample standard deviation Second central moment Size of a test Standard deviation (s.d.) Standard error Standardized normal Standard normal distribution Statistically independent Statistical test Student’s t-distribution Test statistic Two-sized test Two-tailed test Type I error Type II error Unbiased Uncorrelated Variance of the distribution Z-score Mômen mẫu Độ lệch chuẩn mẫu Mômen trung tâm bậc 2 Kích thước của một kiểm đònh Độ lệch chuẩn Sai số chuẩn Chuẩn chuẩn hóa Phân phối chuẩn chuẩn hóa Độc lập thống kê Kiểm đònh thống kê Phân phối Student t Trò thống kê kiểm đònh Kiểm đònh hai phía Kiểm đònh hai đầu Sai lầm loại I Sai lầm loại II Không thiên lệch Không tương quan Phương sai của một phân phối Giá trò Z 2.A PHỤ LỤC Các Kết Quả Tính Toán Khác 2.A.1 Một Số Kết Quả Hữu Ích Của Phép Tính Tổng Phép tính tổng được sử dụng nhiều trong xác suất, thống kê và kinh tế lượng, vì vậy, việc tóm tắt một số tính chất của phép tính tổng là rất cần thiết. Tổng X 1 + X 2 + … + X n được thể hiện bằng ký hiệu Σ t = n t = 1 X t , với n là tổng số các số hạng trong tổng và X t là một số hạng đặc trưng trong tổng. Giá trò trung bình số học của các X thường được ký hiệu là X _ = ( ∑X t /n). Một vài tính chất đơn giản nhưng rất hữu ích của phép tính tổng được trình bày trong phần này. Tính chất 2.A.1 Nếu k là một hằng số thì Σ t = n t = 1 k = nk Vì có n số hạng, mỗi số hạng là một hằng số k, kết quả rõ ràng như trên. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 50 Thục Đoan/Hào Thi Tính chất 2.A.2 Nếu k là một hằng số, thì Σ t = n t = 1 kX t = kΣ t = n t = 1 X t . Vì mỗi số hạng có một hằng số k, nên có thể đặt k làm nhân tử chung. Tính chất 2.A.3 (X t + Y t ) =       ∑ t = n t = 1 X t +       ∑ t = n t = 1 Y t Tính chất 2.A.4 Nếu X _ = (∑X t ) / n là giá trò trung bình, thì ∑ t = n t = 1 (X t –X _ ) = 0. Vì vậy, tổng các sai lệch so với giá trò trung bình là bằng không. CHỨNG MINH ∑ (X t – X _ ) = ( ∑X t ) – (∑ X _ ) = (∑X t ) – nX _ vì X _ đều như nhau đối với mỗi giá trò t. Nhưng từ đònh nghóa của X _ , nX _ = ∑X t . Do đó, hai số hạng cuối cùng triệt tiêu lẫn nhau và vì vậy ∑(X t – X _ ) = 0. 2.A.2. Cực Đại và Cực Tiểu Việc ước lượng các thông số chưa biết của một phân phối thường liên quan đến cực đại hoặc cực tiểu một số hàm mục tiêu. Ví dụ, khi ước lượng các mối quan hệ, một mục tiêu quan trọng là tìm được “mối quan hệ phù hợp nhất”, đó là mối quan hệ có sai số nhỏ nhất. Trong phần này chúng ta trình bày các phương pháp cực đại hoặc cực tiểu các hàm mục tiêu; việc này đặc biệt hữu ích khi nhà nghiên cứu có những ràng buộc về các vấn đề nghiên cứu. Các nguyên lý căn bản trước tiên được nghiên cứu đối với trường hợp đơn giản, chỉ liên quan đến một biến và không có ràng buộc nào. Sau đó, các nguyên lý này được mở rộng cho nhiều biến và cho trường hợp có ràng buộc. Các Hàm Số, Đạo Hàm, Cực Đại Và Cực Tiểu Tương quan tổng quát của một biến phụ thuộc (Y) và một biến độc lập (X) được trình bày dưới dạng một hàm số ký hiệu bằng biểu thức Y = F(X). Lúc này, chúng ta chỉ tập trung chú ý các hàm số liên quan đến một biến đơn. Chúng ta sẽ giả sử là F(X) là hàm liên tục; nghóa là, F(X) không “nhảy” khi X chỉ thay đổi trong một khoảng xác đònh. Một hàm được gọi là tăng đơn điệu nếu Y tăng khi và chỉ khi X tăng (xem Hình 2.A.1). Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 51 Thục Đoan/Hào Thi Một ví dụ về hàm tăng đơn điệu là một đường cung. Nếu Y giảm khi X tăng, như trong Hình 2.A.2, hàm số được gọi là giảm đơn điệu (đường cầu là một ví dụ). Trong Hình 2.A.1, xét hai điểm A và B có tọa độ là (X 1 , Y 1 ) và (X 2 , Y 2 ). Tỷ số (Y 2 – Y 1 ) / (X 2 – X 1 ) là độ dốc của đường thẳng nối hai điểm A và B, đường này cắt đồ thò hàm số tại A và B. Tỷ số này đo lường sự thay đổi của Y theo một đơn vò thay đổi của X. Tỷ số này còn được ký hiệu là ∆Y/∆X, với ∆Y = Y 2 – Y 1 là thay đổi của Y và ∆X = X 2 – X 1 là thay đổi của X. Giả sử chúng ta làm cho ∆X ngày càng nhỏ hơn đến cuối cùng thì A và B gặp nhau tại X. Cuối cùng, đường thẳng AB chỉ tiếp xúc với đồ thò của F(X). Đây chính là tiếp tuyến của đường cong tại điểm X; hệ số góc của tiếp tuyến được gọi là đạo hàm của Y theo X. Hệ số này được viết dưới dạng đại số như là giới hạn của ∆Y/∆X khi ∆X tiến tới 0, và được ký hiệu là dY/dX hoặc là F ’(x). Vì vậy chúng ta có đònh nghóa sau. ĐỊNH NGHĨA 2.A.1 Đạo hàm của Y theo X được đònh nghóa là dY dX = F’(X) = lim ∆X→ 0 ∆Y ∆X với điều kiện tồn tại giới hạn Nếu tồn tại giới hạn, F(X) được gọi là có đạo hàm tại X. Ví dụ, giả sử X là tổng lượng hàng hoá sản xuất của một công ty và Y là tổng chi phí sản xuất lượng hàng hóa này.Vậy, F(X) là hàm tổng chi phí và đạo hàm, dY/dX, là chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vò hàng hóa, trong kinh tế lượng đại lượng này được gọi là chi phí cận biên. Từ Hình 2.A.1 và 2.A.2 cần lưu ý là đạo hàm F’(X) không nhất thiết phải là hằng số nhưng phải phụ thuộc vào giá trò X mà tại giá trò đó đạo hàm được tính. Do đó chúng ta có thể lấy đạo hàm F’(X) một lần nữa và được F”(X) = d 2 Y/dX 2 , miễn là đạo hàm bậc hai này tồn tại. } Hình 2.A.1 Hàm Số Tăng Đơn Điệu F(X) B (X 1 , Y 1 ) A Y 2 Y 1 X 1 X X 2 (X 2 , Y 2 ) F(X) X Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 52 Thục Đoan/Hào Thi } Hình 2.A.2 Hàm Số Giảm Đơn Điệu Trong Hình 2.A.1 đạo hàm dương đối với mọi X trong miền xác đònh của F(X). Tương tự, đạo hàm này luôn âm trong Hình 2.A.2. Chúng ta đã thấy đối với một hàm đơn điệu đạo hàm luôn luôn có cùng một dấu. Trong Hình 2.A.3a chúng ta lưu ý là F(X) không phải là hàm đơn điệu mà lần lượt tăng rồi giảm (ví dụ như tỷ lệ thất nghiệp). Đầu tiên, hệ số góc là dương, sau đó chuyển sang âm và sau đó lại trở lại dương. Các điểm A và B có tính chất là hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0. Vì vậy, F’(X) = 0 tại những điểm này. Chúng ta lưu ý là tại A, F(X) đạt cực đại cục bộ và tại B hàm số đạt cực tiểu cục bộ. Một điều kiện cần để có cực trò cục bộ (nghóa là cực đại hoặc cực tiểu) là đạo hàm bậc nhất F’(X) phải bằng 0. Điều kiện này, được gọi là điều kiện bậc nhất, không phải là điều kiện đủ để xác đònh xem F(X) đạt cực đại hay cực tiểu. Hình 2.A.3b biểu diễn F’(X), và chúng ta lưu ý là đạo hàm này đầu tiên thi giảm nhưng sau đó lại tăng. Độ dốc của F’(X) là đạo hàm bậc hai F”(X) có giá trò âm tại A và dương tại B. Để phân biệt giữa một cực đại và một cực tiểu, chúng ta cần điều kiện bậc hai là đạo hàm bậc hai F”(X) phải âm tại điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất F’(X) = 0 thì hàm F(X) mới đạt cực đại. Để hàm số đạt cực tiểu thì điều kiện bậc hai là F”(X) dương tại điểm mà F’(X) = 0. Chúng ta phát biểu mà không cần chứng minh một số kết quả hữu ích từ các đạo hàm. Tính chất 2.A.5 F(X) F(X) X Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 53 Thục Đoan/Hào Thi a. Đạo hàm của một hằng số bằng không b. Đạo hàm của tổng F(X) + G(X) bằng tổng của các đạo hàm F’(X) + G’(X). c. Nếu a là một hằng số, đạo hàm của aF(X) bằng aF’(X). d. Đạo hàm của hàm số mũ X m bằng mX m –1 . Một trường hợp đặc biệt của tính chất này là đạo hàm của X (nghóa là X 1/2 ) bằng 1 / (2 X ), hoặc 1 2 X -1/2 . Tương tự, đạo hàm của 1 / X (nghóa là X -1 ) bằng −1 / X 2 (nghóa là −X − 2 ). e. Nếu Y = F(Z) và Z = G(X) thì dY dX = dY dZ dZ dX = F’G’ = F’(Z) G’(X) = F’[G(X)]G’(X). [Kết quả này được gọi là qui luật dây chuyền của vi phân.] f. Theo nguyên tắc nhân sai phân, đạo hàm của F(X)G(X) bằng F(X)G’(X) + G(X)F’(X). g. Theo nguyên tắc chia sai phân, đạo hàm của tỷ số F(X) / G(X) bằng [G(X)F’(X) − F(X)G’(X)] / [G(X)] 2 . } Hình 2.A.3 a. Đồ thò hàm số không đơn điệu b. Đồ thò F’(X) B A F(X) F(X) X A B F(X) X F(X) Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 54 Thục Đoan/Hào Thi Ứng Dụng Giả sử một công ty có một hàm chi phí C(q) (mối quan hệ giữa tổng chi phí và sản lượng), với q là số lượng sản phẩm sản xuất được. Hơn nữa, giả sử là công ty này hoạt động trong một ngành mạnh và có thể bán sản phẩm ở mức giá thò trường cố đònh p cho một đơn vò sản phẩm. Công ty cần quyết đònh chọn số lượng hàng hóa nên sản xuất. Mục tiêu của công ty là tối đa lợi nhuận. Tổng doanh thu là pq và lợi nhuận bằng tổng doanh thu trừ tổng chi phí. Do đó, hàm lợi nhuận là π (q) = pq − C(q) Như chúng ta đã lưu ý trước, điều kiện để cực đại lợi nhuận là π’(q) = 0 = p − C’(q). C’ là đạo hàm của C theo q. Đó chính là chi phí phát sinh thêm khi sản xuất thêm một đơn vò sản phẩm nữa, chúng ta gọi chi phí này là chi phí cận biên. Do đó, điều kiện này phát biểu là để cực đại lợi nhuận, một công ty cạnh tranh cần phải chọn mức sản lượng tại đó giá bằng chi phí cận biên. Ví dụ cụ thể, lấy C (q) = 10 − 5q + 2q 2 và giá đơn vò là 35. Lấy đạo hàm của C(q) theo q, hàm chi phí cận biên là C’(q) = −5 + 4q. Đặt hàm này bằng 35 và giải tìm q, chúng ta có q = 10. Vì vậy, sản lượng để có được lợi nhuận cực đại là q = 10. Trong trường hợp tổng quát khi hàm chi phí là bậc hai (ngghóa là phụ thuộc vào bình phương của q), C(Q) = a + bq + cq 2 và hàm chi phí cận biên là C’(q) = b + 2cq. Điều kiện cực đại lợi nhuận là p = b + 2cq. Khi giải để tìm q, phương trình này cho ta sản lượng tối ưu cần sản xuất là q = (p − b)/2c. Điều kiện bậc hai để cực đại là π”(q) < 0. Đạo hàm cấp hai của π là −C”(q) = −2c. Để đạo hàm này âm, chúng ta cần có điều kiện là c phải dương. Tương tự, để có sản lượng dương, p phải lớn hơn b. Nếu b âm, như trong ví dụ trên, điều kiện này luôn luôn thỏa vì giá luôn luôn là số dương. Các Hàm Của Nhiều Biến Ở đây, chúng ta tổng kết một số kết quả của một hàm số phụ thuộc vào nhiều biến. Các ứng dụng của tính toán đa biến được trình bày trong phần sau. Hàm đa biến có dạng tổng quát là Y = F(X 1 , X 2 , …, X n ). Lấy một ví dụ đơn giản là hàm số của một đường thẳng Y = X 1 + 2X 2 + 3X 3 + … + 8X 8 . Như đã biết, Y là biến phụ thuộc còn các biến X là biến độc lập. Thay đổi của Y khi chỉ có một trong các biến X thay đổi một cách rất đáng quan tâm. Lúc này, chúng ta xem X 2 , X 3 , …, X n là cố đònh. Xem như Y là một hàm có duy nhất một biến X 1 , chúng ta có thể đánh giá thay đổi của Y theo một thay đổi đơn vò của X 1 . Phép tính đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng phần của Y theo X 1 và được viết theo nhiều cách. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 55 Thục Đoan/Hào Thi ĐỊNH NGHĨA 2.A.2 Đạo hàm riêng phần của Y theo X được đònh nghóa là ∂ Y ∂ X i = ∂ F ∂ X i = F i = lim ∆X i →0 ∆ Y ∆ X i Vì vậy, đạo hàm riêng phần là thay đổi tương ứng với thay đổi đơn vò của một trong các biến độc lập, các biến độc lập khác được giữ giá trò không đổi. Trong ví dụ chúng ta đã đưa ra, ∂ Y /∂ X 8 = 8. } VÍ DỤ 2.A.1 Đặt Y = β 1 X 1 + β 2 X 2 + … + β n X n , với mỗi β là một hằng số. Đạo hàm riêng phần là ∂Y/∂X i = β i . Một ví dụ khác, giả sử Y = aK 2 + bKL + cL 2 (a, b, và c là hằng số). Đạo hàm riêng phần của Y theo K là ∂Y/∂K = 2aK + bL. Bởi vì đạo hàm của aK 2 là 2aK, cho ra số hạng đầu tiên. Đạo hàm riêng phần của bKL theo K là bL vì L được xem như không đổi. Đạo hàm riêng phần của cL 2 theo K bằng không vì số hạng này độc lập với K. Nguyên tắc dây chuyền của vi phân cũng áp dụng được ở đây. Giả sử Y = F(Z) và Z = G(X 1 , X 2 , …, X n ). Đạo hàm riêng phần của Y theo X i được tính như sau ∂ Y ∂ X i = ∂ Y ∂ Z ∂ Z ∂ X i = F’(Z) ∂ G ∂ X i Lưu ý rằng đạo hàm riêng phần này một cách tổng quát sẽ phụ thuộc vào tất cả các biến X. Các khái niệm về cực đại và cực tiểu dễ dàng được mở rộng cho hàm nhiều biến. Để hàm F(X 1 , X 2 , …, X n ) đạt cực đại hoặc cực tiểu, phải thỏa các điều kiện sau đây: ∂ F ∂ X i = 0 với i = 1, 2, …, n Bằng cách cho đạo hàm riêng phần của F theo mỗi X bằng không, chúng ta có được n phương trình trong đó n biến chưa biết X 1 , X 2 , …, X n . Giải các biến X i , chúng ta tìm được lời giải. Khi các giá trò này được thay vào hàm F, chúng ta có giá trò cực đại hoặc cực tiểu của Y. Phân tích điều kiện bậc hai trong trường hợp đơn biến, có một điều kiện tương tự có thể giúp chúng ta phân biệt giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu. Điều kiện này rất phức tạp và không được trình bày ở đây. Độc giả có thể tham khảo các cuốn sách về toán học được liệt kê trong phần cuối của chương này để biết thêm chi tiết. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 56 Thục Đoan/Hào Thi Ứng Dụng Minh họa các khái niệm trên bằng một ứng dụng là rất cần thiết. Xét một công ty trong một ngành cạnh tranh, công ty có giá bán mặt hàng gia dụng cố đònh là p, một mức lương cho trước w, và một tỷ suất vốn vay r. Đặt hàm F(K, L) là hàm sản xuất, hàm này liên hệ với sản lượng đầu ra của công ty theo lượng đầu vào, vốn (K) và lao động (L). Mục tiêu của công ty là chọn một mức lao động và vốn sao cho tối đa hóa lợi nhuận. Hàm lợi nhuận π (K, L) được tính bằng giá trò của đầu ra [pF(K, L)] trừ chi phí vốn (Kr) và chi phí lao động (wL). π(K, L) = pF(K, L) − rK − wL Hai điều kiện để cực đại là ∂π / ∂K = 0 và ∂π /∂L = 0. Lấy các đạo hàm riêng phần của π theo K và L và đặt chúng bằng không, chúng ta có (lưu ý là p, w và r là không đổi) r = p ∂ F ∂ K và w = p ∂ F ∂ L ∂F / ∂K là phần sản lượng đầu ra tăng thêm trên một đơn vò vốn tăng thêm và được gọi là sản phẩm cận biên của vốn. Tương tự, ∂F / ∂L là sản phẩm cận biên của lao động. Cũng như vậy, p ∂F / ∂L và p∂F / ∂K là các giá trò của sản phẩm cận biên tương ứng. Điều kiện bậc nhất ngụ ý là các công ty sẽ cực đại lợi nhuận khi chọn K và L sao cho giá trò của sản phẩm cận biên của lao động bằng mức lương và giá trò của sản phẩm cận biên của vốn bằng tỷ suất vay. Chúng ta hãy áp dụng cho một hàm sản xuất cụ thể. Đặt Y = F(K, L) = K α L β , với Y là sản lượng đầu ra. Hàm này được gọi là hàm sản xuất Cobb − Douglas. Sản phẩm cận biên của vốn là ∂ Y ∂ K = αK α - 1 L β = αK α L β K = αY K Tương tự, sản phẩm cận biên của lao động là ∂F / ∂L = βY / L. Để lợi nhuận cực đại, các điều kiện bậc nhất là αY / K = r/ p và βY / L = w/ p. Từ đây có thể giải được lượng lao động và vốn là L = βYp/ w và K = αYp/ r. Lấy một ví dụ bằng số, đặt α = 0.2, β = 0.6, p = 10, w = 4 và r = 0.1. Từ các giá trò này, chúng ta có L = βYp/ w = 1.5Y và K = αYp/ r = 20Y. Thay những giá trò này vào hàm sản xuất, ta có Y = (20Y) 0,2 (1,5Y) 0,6 = 20 0,2 1,5 0,6 Y 0,8 = 2,321992 Y 0,8 Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 57 Thục Đoan/Hào Thi Chia hai vế cho Y 0,8 , ta có Y 0,2 = 2.321992. Giải phương trình này, ta có được tổng sản lượng đầu ra Y bằng 67,5. Nhu cầu kéo theo về lao động và vốn là L = βYp/ w = 101,25 và K = αYp/ r = 1.350. Tối Ưu Hóa Trong Điều Kiện Ràng Buộc Trong kinh tế học, chúng ta thường cần phải cực đại hoặc cực tiểu một hàm nhiều biến với một hoặc nhiều ràng buộc. Ví dụ, đặt U(X 1 , X 2 ) là độ thỏa dụng một người tiêu dùng có được từ việc tiêu thụ hai loại sản phẩm gia dụng. X 1 là việc tiêu thụ sản phẩm thứ nhất và X 2 là việc tiêu thụ sản phẩm thứ hai. Đặt p 1 là giá của hàng hóa thứ nhất, p 2 là giá của hàng hóa thứ 2 và Y là thu nhập của người tiêu dùng, tất cả được giả đònh là không đổi. Mục tiêu của người tiêu dùng là cực đại hàm thỏa dụng với ràng buộc là tổng chi tiêu cho hai loại hàng hóa là (p 1 X 1 + p 2 X 2 ) bằng chính thu nhập của người tiêu dùng (Y). Vì vậy, vấn đề được giới hạn là chọn giá trò của X 1 và X 2 sao cho U(X 1 , X 2 ) lớn nhất trong điều kiện về ngân sách là Y = p 1 X 1 + p 2 X 2 . Ví dụ thứ hai, xét một công ty công ích sản xuất điện và bán cho khách hàng trong vùng phục vụ của mình. Trong một thò trường độc quyền có điều khiển, công ty không được phép tối đa hóa lợi nhuận. Thay vào đó, hội đồng thỏa dụng công ích và công ty sẽ dự báo về nhu cầu điện trong một hoặc hai thập kỷ tới và sau đó sẽ chọn công nghệ sản xuất điện ( hoặc là kết hợp các công nghệ) có chi phí sản xuất nhỏ nhất với ràng buộc là sản lượng đầu ra phải là một số cố đònh. Cả hai vấn đề trên đều là ví dụ về tối ưu có ràng buộc. Đề tài này thường được xem xét chỉ trong học kỳ thứ ba về tính toán. Kiến thức về đề tài này không phải là điều tất yếu đối với việc học môn kinh tế lượng căn bản. Chúng ta thảo luận đề tài này ở đây vì một số chứng minh lý thuyết được trình bày ở phụ lục của chương này và của các chương sau phụ thuộc vào đề tài này. Các độc giả không thích thú với các chứng minh này có thể bỏ qua phần này mà không mất đi tính liên tục. Tuy nhiên, phần thảo luận ở đây tương đối đơn giản để ngay cả những người chưa học các khóa toán cao cấp cũng có thể hiểu được. Ngoài ra, sinh viên cũng sẽ thấy các ứng dụng trình bày trong phần này rất có ích cho các môn học khác. Phương Pháp Tối Ưu Có Ràng Buộc của Lagrange Vấn đề tổng quát là cực đại hàm F(X 1 , X 2 , …, X n ) theo các ràng buộc G(X 1 , X 2 , …, X n ) = 0. Trước hết viết hàm Lagrange H(X 1 , X 2 , …, X n , λ) = F(X 1 , X 2 , …, X n ) + λG(X 1 , X 2 , …, X n ) với λ gọi là nhân tử Lagrange và là một ẩn số mới. Có thể chứng minh được là cực đại hàm F theo ràng buộc G = 0 tương đương với cực đại hàm H với mỗi một trong các biến Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 58 Thục Đoan/Hào Thi X mà không có ràng buộc nào. Vì vậy, vấn đề có thể giản lược thành dạng trước đây, với một hàm được hiệu chỉnh và một ẩn số mới ( λ). Cho tất cả các đạo hàm riêng phần của H theo mỗi ẩn số bằng không, chúng ta có n + 1 điều kiện bậc nhất, G(X 1 , X 2 , …, X n ) = 0 và ∂H / ∂X i = 0, với i = 1, 2, …, n. Nhìn chung, có thể giải được các điều kiện này để có n + 1 biến X 1 , X 2 , …, X n và nhân tử Lagrange λ. ng Dụng Đối Với Vấn Đề Cực Tiểu Chi Phí Trong ví dụ về sản xuất điện nêu trên, công ty cực tiểu hàm chi phí sản xuất với ràng buộc là công ty phải sản xuất một sản lượng đầu ra mục tiêu nhất đònh. Đặt Y 0 là sản lượng đầu ra mục tiêu. Ràng buộc là Y 0 = F(K, L), với F() là hàm sản xuất chúng ta đã gặp trước đây. K và L là lượng vốn và lao động công ty sử dụng để sản xuất được sản lượng Y 0 . Chi phí tương ứng là Kr + Lw, với w là mức lương và r là tỷ suất vay vốn, cả hai được giả sử là không đổi. Vấn đề tối ưu của công ty là chọn K và L sao cho Kr + Lw là bé nhất với ràng buộc Y 0 = F(K, L). Hàm Lagrange ở đây là H(K, L, λ) = Kr + Lw + λ[Y 0 − f(K, L)] Các điều kiện bậc nhất là ∂ H/ ∂ K = ∂ H/ ∂ L = ∂ H/ ∂ λ = 0. Các điều kiện này được chuyển thành ba điều kiện với các ẩn số K, L và λ, một cách tổng quát có thể giải được để có lượng lao động và vốn sử dụng tối ưu r = λ ∂ F ∂ K' w = λ ∂ F ∂ L' , Y 0 = F(K, L) Mở Rộng Đối Với Nhiều Ràng Buộc Nhân tử Lagrange cũng có thể áp dụng trong trường hợp có nhiều hơn một ràng buộc. Chỉ cần hiệu chỉnh bằng cách thêm số hạng nhân tử Lagrange vào hàm Lagrange, một nhân tử cho mỗi ràng buộc thêm vào. Vì vậy, vấn đề cực đại F(X 1 , X 2 , …, X n ) với hai ràng buộc G(X 1 , X 2 , …, X n ) = 0 và Q(X 1 , X 2 , …, X n ) = 0 có thể giải bằng hàm Lagrange có hiệu chỉnh H(X 1 , X 2 , …, X n ) = F(X 1 , X 2 , …, X n ) + λ G(X 1 , X 2 , …, X n ) + µ Q(X 1 , X 2 , …, X n ) với λ và µ là các nhân tử Lagrange tương ứng với hai ràng buộc. Các điều kiện bậc nhất để cực đại là n +2 điều kiện sau: G(X 1 , X 2 , …, X n ) = 0 Q(X 1 , X 2 , …, X n ) = 0 [...]...Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 200 3-2 004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê ∂F ∂G ∂Q +λ +µ = 0, với i = 1, 2, …, n ∂ Xi ∂ Xi ∂ Xi 2.A.3 Thảo Luận Thêm về Ước Lượng Trong phần 2 .5 chúng ta đã thảo luận hai phương pháp để ước lượng các thông số chưa biết của một phân phối Trong phần này, chúng ta trình bày... lựa chọn giữa một trong hai giá trò 0,9 và 0,7 Ramu Ramanathan 59 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 200 3-2 004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Vì xác suất đối với p = 0,7 lớn hơn, ước lượng thích hợp cực đại của xác suất chữa khỏi bònh là 0,7 (khi lựa chọn giữa hai giá trò 0,7 và 0,9) Nguyên... ∂ L/ ∂θI = 0 với i từ 1 đến k k phương trình kết quả được giải để tìm các giá trò θ Trong thực tế, thực hiện cực đại hàm ln L và sử dụng các điều kiện ln L/ ∂ θI = 0 để giải tìm các giá trò θ sẽ dễ dàng hơn Tính Chất Của Các Ước Lượng Thích hợp cực đại Các ước lượng thích hợp cực đại có một số tính chất được liệt kê trong Tính chất 2.A,6 Tính chất 2.A.6 Các ước lượng thích hợp cực đại là Ramu Ramanathan... hiện các kiểm tra sơ bộ và phản đối tuyên bố của công ty, ông ta cho là tỷ lệ chữa khỏi bònh là 70%.2 Vì thí nghiệm chỉ có hai kết quả (chữa khỏi bònh hay không), mô hình phân phối xác suất là phân phối nhò thức được trình bày trong Phần 2.1 Đặt p là xác suất thành công; nghóa là bệnh nhân được chữa khỏi Nhiệm vụ của nhà thống kê là chọn giữa hai ước lượng của p: 0,9 và 0,7 Để giải quyết vấn đề tranh... thành công trong 10 trường hợp được tính như sau: 10! 0,98 0,12 = 0,1937 nếu p = 0,9 8! 2! 10! 0,78 0,32 = 0,23 35 nếu p = 0,7 8! 2! 2 Trong thực tế, một câu hỏi được đặt ra là ước lượng tỷ lệ khỏi bònh mà không chỉ giới hạn trong hai giá trò Để phần thảo luận này được đơn giản, chúng ta giả sử là chỉ phải lựa chọn giữa một trong hai giá trò 0,9 và 0,7 Ramu Ramanathan 59 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình. .. pháp khác cao cấp hơn Nguyên Tắc Thích hợp cực đại Phương pháp này được đề suất bởi một nhà thống kê người Anh, R.A Fisher dùng để tính ước lượng của các thông số chưa biết từ một mẫu quan sát Để dễ giải thích hơn, chúng ta sử dụng một ví dụ minh họa Giả sử một công ty dược phát minh một loại thốc trò bònh mới Công ty tuyên bố tỷ lệ chữa khỏi bònh là 90% Một nhà hóa học ở Hiệp hội Thực Phẩm và Dược Phẩm... (trong thực tế, hàng ngàn quan sát được thực hiện) và thấy là tám trong số họ được chữa hết bònh Câu hỏi đặt ra là “Với 8 trong số 10 trường hợp thành công xảy ra, xác suất thực sẽ là 0,7 hay 0,9?” Nguyên tắc thích hợp cực đại dựa trên cơ sở trực giác là “một sự kiện xảy ra vì nó gần như có khả năng xảy ra” Theo nguyên tắc này, chúng ta tính xác suất (được gọi là có khả năng trong nội dung về ước lượng) ... thuốc trong ví dụ trước đây, ước lượng thích hợp cực đại của xác suất là 0,8 Lấy logarit cả hai vế của hàm gần đúng, chúng ta có ln L(θ|x) = Σ ln [ f(x|θ)] Vì logarit là một hàm biến đổi đơn điệu (nghóa là nếu x1 > x2 thì ln x1 > ln x2), cực đại L(θ|x) tương đương với cực đại ln L(θ|x) Thực hiện cực đại hàm thích hợp log này thường dễ hơn Giả sử hàm gần đúng có một số thông số θi chưa biết, (i = 1, 2,... chữa khỏi bònh là 0,7 (khi lựa chọn giữa hai giá trò 0,7 và 0,9) Nguyên tắc thích hợp cực đại một cách tổng quát sử dụng các thủ tục sau Đặt X là một biến ngẫu nhiên với phân bố xác suất phụ thuộc và thông số θ chưa biết Mật độ xác suất là f(x|θ) Lấy một mẫu ngẫu nhiên x1, x2, …, xn các quan sát độc lập Vì các x là độc lập, mật độ liên kết của mẫu là tích số f (x1, θ).f (x2, θ) … f (xn, θ) Đây gọi là . Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 200 3-2 004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 55 . Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 200 3-2 004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 52 . Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 200 3-2 004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 50