TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Lần II http://ductam_tp.violet.vn/ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn thi: TOÁN, khối A, B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số 2 4 ( ) 1 x y C x − = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M. Câu II: (3,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y + + = + + = − 2. Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tanx 4 x x π − = − ÷ . 3. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 5 3 1 3 5 log log 1 log log 1x x x x+ + > + − Câu III: (2,0 điểm) 1. Tính tích phân: 2 3 1 ln 2 ln e x x I dx x + = ∫ . 2. Cho tập { } 0;1;2;3;4;5A = , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. Câu IV: (2,0 điểm) 1. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0. 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tan α và thể tích chóp A’.BCC’B’. Câu V: (1,0 điểm) Cho 0, 0, 1x y x y > > + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 x y T x y = + − − ……………………………………………….Hết…………………………………………………. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 A, B NĂM 2011 Câu Ý Nội dung Điểm I 2 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm) -Tập xác định: R\{-1} -Sự biến thiên: ( ) 2 6 ' 0 1 1 y x x = > ∀ ≠ − + . Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của hàm số. 0.25 - ( ) 1 lim 1 x y x ± → − = ∞ → = − m là tiệm cận đứng - lim 2 2 x y y →±∞ = → = là tiệm cận ngang 0.25 -Bảng biến thiên 0.25 -Đồ thị 0.25 2 Tìm cặp điểm đối xứng….(1,00 điểm) Gọi ( ) 2 4 ; 1 1 a M a C a a − ∈ ≠ − ÷ + Tiếp tuyến tại M có phương trình: ( ) ( ) 2 6 2 4 1 1 a y x a a a − = − + + + Giao điểm với tiệm cận đứng 1x = − là 2 10 1; 1 a A a − − ÷ + Giao điểm với tiệm cận ngang 2y = là ( ) 2 1;2B a + Giao hai tiệm cận I(-1; 2) ( ) ( ) 12 1 1 ; 2 1 . .24 12 1 2 2 IAB IA IB a S IA AB dvdt a = = + ⇒ = = = + 0.25 0.25 0.25 0.25 Suy ra đpcm II 3 1 Giải hệ …(1,00 điểm) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 2 xy x y x y dk x y x y x y + + = + + > + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0 2 2 0 xy x y xy x y xy x y xy x y x y ⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 1 1 2 0 1 3 0 4 x y x y xy x y x y x y x y xy x y x y x y ⇔ + + − − + − = ⇔ + − + + + − = + = ⇔ + + + = 0.5 Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta được 2 1x y − = Giải hệ 2 1 1; 0 2; 3 1 x y x y x y x y + = = = ⇒ = − = − = …… 0.5 2 Giải phương trình….(1,00 điểm) Đk: cos 0x ≠ (*) 2 2 2 sinx 2sin 2sin tanx 1 cos 2 2sin 4 2 cos x x x x x π π − = − ⇔ − − = − ÷ ÷ 0.25 ( ) 2 cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0x x x x x x x x ⇔ − − + ⇔ + − + = 0.25 cos 0 sinx cos tanx 1 4 4 2 sin 2 1 2 2 2 4 x x x k x k x x l x l π π π π π π π π ≠ = − → = − ⇔ = − + ⇔ → = + = ⇔ = + ⇔ = + (tm(*))… 0.5 3 Giải bất phương trình (1,00 điểm) ( ) ( ) 2 2 1 5 3 1 3 5 log log 1 log log 1 (1)x x x x+ + > + − Đk: 0x > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 5 5 2 2 3 1 5 5 2 2 5 1 log log 1 log log 1 0 log log 1 .log 1 0 log 1 1 x x x x x x x x x x ⇔ + − + + + < ⇔ + − + + < ÷ ⇔ + + < 0.25 ( ) 2 5 0 log 1 1x x ⇔ < + + < *) ( ) 2 5 0 log 1 0x x x < + + ⇔ > *) ( ) 2 2 2 5 12 log 1 1 1 5 1 5 5 x x x x x x x + + < ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔ ⇔ < Vậy BPT có nghiệm 12 0; 5 x ∈ ÷ 0.25 0.25 0.2 III 2 1 Tính tích phân (1,00 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 4 2 3 4 4 3 3 1 ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 3 2 ln 1 3 . 3 2 2 4 8 e e e e x x I dx x xd x x d x x x + = = + = + + + = = − ∫ ∫ ∫ 0.5 0.5 2 Lập số … (1,00 điểm) -Gọi số cần tìm là ( ) 0abcde a ≠ -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a. Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: 2 5 A cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 2 3 5 4 A A số -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0. Xếp 3 có 4 cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 3 4 4.A số Vậy số các số cần tìm tmycbt là: 2 3 5 4 A A - 3 4 4.A = 384 0.25 0.25 0.25 0.25 IV 2 1 Viết phương trình đường tròn….(1,00 điểm) Gọi ( ) ;I a b là tâm đường tròn ta có hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 1 (1) 3 9 ; 2 5 2 10 a b a b IA IB a b IA d I a b − + − = − + − = ⇔ − + = ∆ − + − = ( ) 1 2 3a b ⇔ = − thế vào (2) ta có 2 12 20 0 2 10b b b b − + = ⇔ = ∨ = *) với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1; 10 : 1 2 10b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − = *)với ( ) ( ) ( ) 2 2 10 17; 250 : 17 10 250b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − = 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Hình lăng trụ ….(1,00 điểm) Gọi O là tâm đáy suy ra ( ) 'A O ABC ⊥ và góc · 'AIA α = *)Tính tan α ' tan A O OI α = với 1 1 3 3 3 3 2 6 a a OI AI = = = 2 2 2 2 2 2 2 3 ' ' 3 3 a b a A O A A AO b − = − = − = 2 2 2 3 tan b a a α − ⇒ = *)Tính '. ' 'A BCC B V ( ) '. ' ' . ' ' ' '. 2 2 2 2 2 1 ' . ' . 3 2 3 1 3 3 . . . 3 2 2 6 3 A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC V V V A O S A O S b a a a b a a dvtt = − = − − − = = 0.25 0.25 0.5 V 1 Đặt 2 2 cos ; sin 0; 2 x a y a a π = = ⇒ ∈ ÷ khi đó ( ) ( ) 2 2 3 3 sin cos 1 sin .cos cos sin cos sin sin cos sina.cos sin .cos a a a a a a a a T a a a a a + − + = + = = Đặt 2 1 sin cos 2sin sin .cos 4 2 t t a a a a a π − = + = + ⇒ = ÷ Với 0 1 2 2 a t π < < ⇒ < ≤ Khi đó ( ) 3 2 3 1 t t T f t t − − = = − ; ( ) ( ) ( ( ) ( ) 4 2 2 3 ' 0 1; 2 2 2 1 t f t t f t f t − − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ = − Vậy ( ( ) ( ) 1; 2 min 2 2 t f t f ∈ = = khi 1 2 x y = = . Hay min 2T = khi 1 2 x y = = . . ) &apos ;A O ABC ⊥ và góc · 'AIA α = *)Tính tan α ' tan A O OI α = với 1 1 3 3 3 3 2 6 a a OI AI = = = 2 2 2 2 2 2 2 3 ' ' 3 3 a b a A O A A AO b − = − = − = 2 2 2 3 tan b a a α − ⇒. '. ' &apos ;A BCC B V ( ) '. ' ' . ' ' ' '. 2 2 2 2 2 1 ' . ' . 3 2 3 1 3 3 . . . 3 2 2 6 3 A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC V V V A O S A. sina.cos sin .cos a a a a a a a a T a a a a a + − + = + = = Đặt 2 1 sin cos 2sin sin .cos 4 2 t t a a a a a π − = + = + ⇒ = ÷ Với 0 1 2 2 a t π < < ⇒ < ≤ Khi đó ( ) 3 2 3 1 t t T