Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Ôn thi Đại học www.MATHVN.com - Trang 35 Đề số 35 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 2 2x 3 + + (1). 1) Khả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố (1). 2) Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố (1), bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó c ắ t tr ụ c hoành, tr ụ c tung l ầ n l ượ t t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B sao cho ∆ OAB cân t ạ i g ố c t ọ a độ O. Câu II (2 đ i ể m) 1) Gi ả i ph ươ ng trình: cot 3 tan 2cot2 3 + + + = x x x . 2) Gi ả i ph ươ ng trình: 2 2 2( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5 − + + = + + − − x x x x x x . Câu III (1 đ i ể m) Tính tích phân : 4 0 cos sin 3 sin 2 π − = − ∫ x x I dx x . Câu IV (1 đ i ể m) Cho hình l ậ p ph ươ ng ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ c ạ nh a. G ọ i M, N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m các c ạ nh CD, A ′ D ′ . Đ i ể m P thu ộ c c ạ nh DD’ sao cho PD ′ = 2PD. Ch ứ ng t ỏ (MNP) vuông góc v ớ i (A ′ AM) và tính th ể tích c ủ a kh ố i t ứ di ệ n A ′ AMP. Câu V (1 đ i ể m) Cho a, b, c là 3 c ạ nh c ủ a tam giác có chu vi b ằ ng 3. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 + − + − + − = + + a b c b c a c a b P c a b . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a. (2 đ i ể m) 1) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy, cho đườ ng tròn (C): (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 25 và đ i ể m M(7; 3). L ậ p ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (d) đ i qua M c ắ t (C) t ạ i A, B phân bi ệ t sao cho MA = 3MB. 2) Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho m ặ t ph ẳ ng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đườ ng th ẳ ng ∆ 1 : x 1 y z 9 1 1 6 + + = = ; ∆ 2 : x 1 y 3 z 1 2 1 2 − − + = = − . Xác đị nh t ọ a độ đ i ể m M thu ộ c đườ ng th ẳ ng ∆ 1 sao cho kho ả ng cách t ừ M đế n đườ ng th ẳ ng ∆ 2 và kho ả ng cách t ừ M đế n m ặ t ph ẳ ng (P) b ằ ng nhau. Câu VII.a (1 đ i ể m) G ọ i z 1 và z 2 là 2 nghi ệ m ph ứ c c ủ a ph ươ ng trình: 2 2 10 0 z z + + = . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 1 2 = + A z z . B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ∆ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng 1 2 : 1 2 1 − − = = x y z d và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng d′ đi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: ( ) 3 2 7 log 1 log + = x x . www.MATHVN.com Hướng dẫn Đề số 35 Câu I: 2) OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = –x. Nghĩa là: f (x 0 ) = 1 2 0 1 1 (2x 3) 0 0 0 0 x 1 y 1 x 2 y 0 1 : y – 1 = –1(x + 1) y = –x (loại); 2 : y – 0 = –1(x + 2) y = –x – 2 (nhận) Câu II: 1) Điều kiện: sin cos 0 2 x x x k . Ta có: 2 2 cos2 cos sin 2cot2 2 2 cot tan sin2 2sin cos x x x x x x x x x . PT 2 cot 3 3 cot 3 cot cot 1 , 4 cot 7cot 6 0 ¢ x x x x x k k x x 2) Điều kiện: 1 3 x . PT 2 2 2 2 2 ( 1) 2( 1) 3 1 3 1 2 2 2 5 2 2 1 0 x x x x x x x x 2 2 3 1 1 ( 1) 3 1 2 2 1 0 1 2 1 2 x x x x x x x x x . Câu III: Đặt sin cos u x x 2 2 1 4 du I u . Đặt 2sin u t 4 4 2 6 6 2cos 12 4 4sin tdt I dt t . Câu IV: Gọi Q là giao điểm của NP và AD. Do PD = 2PD nên DN = 2DQ 2 2 . 4 a AD DQ MD QM AM (đpcm). Ta có: ' 1 . 3 A AP V MD S (1). 2 ' ' ' ' ' 2 A AP ADD A APD A D P a S S S S Thay vào (1), ta được: 3 12 a V . Câu V: Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương 3 ( ) , 3 3 a b c c c và 1 3 ta được: 3 3 ( ) 1 ( ) 4 1 3 3 3 3 3 3 a b c c a b c c a b c a b c c (1). Tương tự: 3 ( ) 4 1 3 3 3 b c a a b c a (2), 3 ( ) 4 1 3 3 3 c a b b c a b (3). Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra 1 min 1 P P khi 1 a b c . Câu VI.a: 1) /( ) 27 0 M C P M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. Mặt khác: 2 /( ) . 3 3 3 uuur uuur M C P MAMB MB MB BH 2 2 4 [ ,( )] IH R BH d M d Ta có: phương trình đường thẳng (d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a 2 + b 2 > 0). 2 2 0 6 4 [ ,( )] 4 4 12 5 a a b d M d a b a b . Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. 2) M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1 ; 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a r = (2; 1; –2) AM uuuur = (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM;a uuuur r = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t) Ta có : d (M, 2 ) = d (M, (P)) 2 261t 792t 612 11t 20 35t 2 – 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 53 35 Vậy M (0; 1; –3) hay M 18 53 3 ; ; 35 35 35 Câu VII.a: ’ = –9 = 9i 2 do đó phương trình có 2 nghiệm z 1 = –1 – 3i, z 2 = –1 + 3i 2 2 1 2 A z z = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 Câu VI.b: 1) 3x + 2y – 15 = 0; 2x + 5y – 12 = 0. 2) Chọn ( ;1 2 ;2 ) ( 2;2 1; 2) uuuur N d N t t t MN t t t . 1 3 3 ( ) . 0 ( ) 1 (1;3;3) ': 1 1 1 uuuur r P P x y z MN P MN n do M P t N d . Câu VII.b: Điều kiện: x > 0. Đặt 7 log 7 t t x x . PT 3 3 3 3 3 3 2 1 7 log 1 7 1 7 2 1 7 8 1 0 8 8 t t t t t t t t (*). Hàm số 3 3 1 7 ( ) 1 8 8 t t f t nghịch biến và (3) 0 f nên (*) có nghiệm t = 3. Vậy phương trình có nghiệm x = 343. . Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com Ôn thi Đại học www.MATHVN.com - Trang 35 Đề số 35 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 2 2x 3 + + (1 ). . 4 – t) Ta có : d (M, 2 ) = d (M, (P)) 2 261t 792t 612 11t 20 35t 2 – 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 53 35 Vậy M (0 ; 1; –3) hay M 18 53 3 ; ; 35 35 35 Câu. 1) /( ) 27 0 M C P M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. Mặt khác: 2 /( ) . 3 3 3 uuur uuur M C P MAMB MB MB BH 2 2 4 [ ,( )] IH R BH d M d Ta có: phương