Đề số 28 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số 4 2 5 4, y x x có đồ thị (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm m để phương trình 4 2 2 | 5 4| log x x m có 6 nghiệm. Câu II (2 điểm). 1) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot2 2sin sin 2 x x x x x 2) Tìm m để phương trình: 2 2 2 1 (2 ) 0 m x x x x có nghiệm x 0;1 3 Câu III (1 điểm). Tính tích phân: 4 0 2 1 1 2 1 x I dx x Câu IV (1 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = 2a, AA 1 2 5 a và 120 o BAC . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM). Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh: 3 2 4 3 5 x y z xy yz zx II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a. (2 điểm). 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). Câu VII.a (1 điểm). Giải phương trình: 2 2 3 3 log 1 log 2 x x x x x B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b. (2 điểm). 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số 1 2 1 2 x t y t z t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng . Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB nhỏ nhất. Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: 2 4 2 (log 8 log )log 2 0 x x x Hướng dẫn Đề số 28 Câu I: 2) 9 4 4 12 9 log 12 144 12 4 m m Câu II: 1) PT cos 2 2x cosxcos2x = 2cos2x và sin2x 0 2 cos2 0 2cos cos 1 0( ) x x x VN cos2x = 0 2 2 4 2 x k x k 2) Đặt 2 2 2 t x x t 2 2 = x 2 2x. BPT 2 2 (1 2), [0;1 3] 1 t m t dox t Khảo sát hàm số: 2 2 ( ) 1 t g t t với 1 t 2. g'(t) 2 2 2 2 0 ( 1) t t t g tăng trên [1,2] Do đó, YCBT BPT 2 2 1 t m t có nghiệm t [1,2] 1;2 2 max ( ) (2) 3 t m g t g Vậy: m 2 3 Câu III: Đặt 2 1 t x 3 3 2 1 1 1 1 1 1 t I dt t dt t t = 3 2 1 ln 1 2 ln2 2 t t t Câu IV: Chọn hệ trục Oxyz sao cho: A O, 2 ,0,0 C a , 1 (0,0,2 5) A a 3 (0;0;0), ; ;0 2 2 a a A B , ( 2 ,0, 5) M a a 1 5 3 ; ; 5 , (2;0; 5) 2 2 BM a MA a Ta có thể tích khối tứ diện AA 1 BM là : 1 1 3 2 1 1 1 15 1 . , ; , 3 3 6 3 2 AA BM BMA a V AA AB AM S MB MA a Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA 1 ) bằng 3 5 . 3 V a d S Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si, ta có: 1 3 5 ; 3 ; 5 2 2 2 x y xy y z xy z x xy đpcm Câu VI.a: 1) Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với (P) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) ; PT (AA'): 1 3 2 2 1 1 x y z AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của hệ PT: 2 1 0 (1,2, 1) 1 3 2 2 1 1 x y z H x y z Vì H là trung điểm của AA' nên ta có : ' ' ' 2 2 '(3,1,0) 2 H A A H A A H A A x x x y y y A z z z Ta có ' ( 6,6, 18) A B (cùng phương với (1;–1;3) ) PT (A'B) : 3 1 1 1 3 x y z Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 2 1 0 (2,2, 3) 3 1 1 1 3 x y z M x y z 2) 3 6 0; 2 0 x y x y Câu VII.a: PT 2 2 3 1 1 log 2 3 1 x x x x x x x x x Đặt: (2 ) ( ) 3 x x f x , 1 ( ) 1 g x x x (x 0) Từ BBT max f(x) = 3; min g(x) = 3 PT f(x)= g(x) có nghiệm maxf(x) = min g(x) = 3 tại x=1 PT có nghiệm x = 1 Câu VI.b: 1) Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Đường thẳng có PTTS: 1 2 1 2 x t y t z t . Điểm M nên 1 2 ;1 ;2 M t t t . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 2 ) ( 4 ) (2 ) (3 ) (2 5) ( 4 2 ) ( 2 ) ( 6 2 ) (3 6) (2 5) (3 ) (2 5) (3 6) (2 5) AM t t t t BM t t t t AM BM t t Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ 3 ;2 5 u t và 3 6;2 5 v t . Ta có 2 2 2 2 | | 3 2 5 | | 3 6 2 5 u t v t Suy ra | | | | AM BM u v và 6;4 5 | | 2 29 u v u v Mặt khác, với hai vectơ , u v ta luôn có | | | | | | u v u v . Như vậy 2 29 AM BM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , u v cùng hướng 3 2 5 1 3 6 2 5 t t t 1;0;2 M và min 2 29 AM BM . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11 29 2) 2 6 0 x y Câu VII.b: Điều kiện x > 0 , x 1 BPT 4 2 8 1 1 2log log 2 0 log 2 x x x 2 2 2 1 log log 1 0 1 log 3 x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 log 1 0 log 1 log 1 (log 3) 0 0 2 log 0log log 1 x x x x x xx x x . Đề số 28 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số 4 2 5 4, y x x có đồ thị (C) 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: 2 4 2 (log 8 log )log 2 0 x x x Hướng dẫn Đề số 28 Câu I: 2) 9 4 4 12 9 log 12 144 12 4 m m Câu II: 1) PT cos 2 2x cosxcos2x. trình nâng cao Câu VI.b. (2 điểm). 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số 1 2 1 2 x t y t z t .