BÀI GIẢNG HÌNH HỌA - BÀI 11 pot

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt Bi 11 GIAO IM CA NG THNG VI MT MT I. KHI NIM Giao im ca ng thng vi mt mt l tp hp cỏc im chung ca ng thng vi mt ú _ S giao im ti a ca mt ng thng vi mt a din li l hai im _ S giao im (thc v o) ti a ca mt ng thng vi mt mt bc n l n im II. TRNG HP BIT MT HèNH CHIU CA GIAO IM 1) Nu mt ó cho l lng tr chiu hoc tr chiu, cũn ng thng bt k, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca cỏc giao im l giao ca hỡnh chiu suy bin ca lng tr chiu hoc tr chiu ú vi hỡnh chiu cựng tờn ca ng thng _ v hỡnh chiu cũn li ca cỏc giao im ta ỏp dng bi toỏn im thuc ng thng Vớ d 1 Hóy v giao im ca ng thng d vi lng tr (abc) chiu bng (Hỡnh 11.1) Gii Gi M, N = d (abc). Vỡ lng tr (abc) P 1 M 1 , N 1 = d 1 a 1 b 1 c 1 M 2 , N 2 d 2 ; (Hỡnh 11.1) on chui MN khut. Ta cú: M mp(a,b) v N mp(b, c) l hai mt phng thy hỡnh chiu ng nờn M 2 , N 2 thy hỡnh chiu ng . x d 2 N 1 d 1 M 2 c 2 b 2 M 1 N 2 b 1 a 1 c 1 Hỡnh 11.1 Hỡnh 11.2 (C 1 ) t 2 t 1 M 1 N 1 N 2 M 2 d 2 d 1 x Vớ d 2 Hóy v giao im ca ng thng d vi mt tr chiu bng cú trc t P 1 (Hỡnh 11.2) Gii Gi M, N = d mt tr Vỡ tr P 1 M 1 , N 1 = d 1 ng trũn (C 1 ) M 2 , N 2 d 2 ; (Hỡnh 11.2) on chui MN khut; ta cú M thuc na trc ca tr nờn M 2 thy; N thuc na sau ca tr nờn N 2 khut 2) Nu ng thng ó cho l ng thng chiu, cũn mt bt k, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca cỏc giao im trựng vi hỡnh chiu suy bin ca ng thng chiu ú _ v hỡnh chiu cũn li ca cỏc giao im ta ỏp dng bi toỏn im thuc mt GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 65 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt Vớ d Hóy v giao im ca ng thng d chiu ng vi mt nún nh S, ng chun (C) l elip cú hỡnh chiu bng (C 1 ) l ng trũn (Hỡnh 11.3) Gii - Gi M, N = d mt nún S Vỡ d P 2 M 2 N 2 d 2 . Gn M, N vo cỏc ng sinh SI, SJ ca nún M 1 , N 1 ; (Hỡnh 11.3) - on chui MN khut; ta cú M, N thuc cỏc ng sinh ca nún m cỏc chõn ca cỏc ng sinh ny hỡnh chiu bng nm trờn cung thy ca ng chun (C 1 ) nờn M 1 , N 1 thy m 1 n 1 d 1 C 1 B 1 A 1 E 2 G 2 ( 2 ) d 2 G 1 F 1 F 2 E 1 M 1 N 1 S 1 S 2 (C 1 ) A 2 N 2 M 2 x I 1 J 1 S 1 B 2 M 1 (C 2 ) C 2 M 2 N 2 d 2 d 1 N 1 S 2 I 2 J 2 x Hỡnh 11.3 Hỡnh 11.4 III. TRNG HP TNG QUT Gi s cn tỡm giao im ca ng thng d vi mt (), ta tin hnh nh sau: d) Dựng mt phng ph tr cha ng thng d ct mt () sao cho giao tuyn ph l ng d v trờn hỡnh chiu e) V giao tuyn ph: g = mp () f) V cỏc giao im : M, N = g d Cỏc im M, N thuc giao tuyn ca ng thng d v mt () cn tỡm ắ Chỳ ý Ngoi ra ngi ta cũn dựng cỏc phng phỏp bin i hỡnh chiu hoc phi hp vi cỏc phng phỏp ó bit v giao im ca ng thng vi mt mt . Vớ d 1 Hóy v giao im ca ng thng d vi mt chúp S.ABC (Hỡnh 11.4) Gii _ Dng mp ph tr chiu ng cha ng thng d ( 2 ) d 2 _ V giao tuyn ph : EFG = mp S.ABC _ V cỏc giao im : M, N = EFG d T M 1 , N 1 = E 1 F 1 G 1 d 1 M 2 , N 2 d 2 ; (Hỡnh 11.4) _ Vy M, N = d S.ABC _ on chui MN khut + M mp(SAB) v N mp(SBC) l hai mt phng thy trờn hỡnh chiu ng nờn M 2 , N 2 thy GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 66 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt + M mp (SAB) thy hỡnh chiu bng nờn M 1 thy; N mp(SBC) khut hỡnh chiu bng nờn N 1 khut; (Hỡnh 11.4) Vớ d 2 Hóy v giao im ca ng thng d vi mt nún S, ng chun (C) l elip cú hỡnh chiu bng (C 1 ) l ng trũn (Hỡnh 11.5) Gii _ Dng mt phng ph tr cha ng thng d v nh nún S [ mp (S,d) ct nún theo cỏc ng sinh] _ V cỏc giao tuyn ph : + I J = mp(S,d) mp(C); trong ú : I = d mp(C); J = SK mp(C) - vi K l im ly tu ý trờn ng thng d + V cỏc giao im : A, B = I J (C) mp(S,d) nún S = ng sinh SA, SB mp (C) Hỡnh 11.5a Hỡnh 11.5b B 1 A 1 (C 1 ) A J I 2 I 1 S 1 S 2 S J 2 J 1 I d K B M N (C) K 2 K 1 M 1 M 2 N 1 (C 2 ) N 2 d 2 d 1 _ V cỏc giao im: M = SA d; N = SB d; (Hỡnh 11.5a) T M 1 = S 1 A 1 d 1 M 2 d 2 ; v N 1 = S 1 B 1 d 1 N 2 d 2 (Hỡnh 11.5b) _ Vy M, N = d nún S _ on chui MN khut + M SA v N SB ; Vỡ A 1 , B 1 thuc na sau ca (C 1 ) nờn hỡnh chiu ng M 2 , N 2 khut. + Vỡ A 1 thuc cung thy ca (C 1 ) nờn hỡnh chiu bng M 1 thy; B 1 thuc cung khut ca (C 1 ) nờn hỡnh chiu bng N 1 khut . ắ Chỳ ý v giao im ca ng thng vi mt hỡnh chúp ta cú th dựng mt phng ph tr cha ng thng v nh chúp, tng t nh giao im ca ng thng vi nún Vớ d 3 Hóy v giao im ca ng thng d vi mt tr, ng chun (C) l elip cú hỡnh chiu bng (C 1 ) l ng trũn (Hỡnh 11.6) Gii _ Dng mt phng ph tr cha ng thng d v cha ng thng k song song vi phng ng sinh ca tr [ mp (k,d) ct tr theo giao tuyn ph l cỏc ng sinh] _ V cỏc giao tuyn ph : + I J = mp(k,d) mp(C); trong ú : + I = d mp(C); J = k mp(C) - vi k qua K l im ly tu ý trờn ng thng d GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 67 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt + V cỏc giao im : A, B = I J (C) mp(k,d) tr = ng sinh a, b ln lt qua A, B mp (C) Hỡnh 11.6a Hỡnh 11.6b b 1 a 1 d 1 d 2 A 1 N 2 (C 2 ) (C 1 ) N 1 K 1 M 1 M 2 B 1 K 2 J 1 J 2 I 2 I 1 b a (C) N M B A K d J I _ V cỏc giao im: M = a d; N = b d; (Hỡnh 11.6a) T M 1 = a 1 d 1 M 2 d 2 ; v N 1 = b 1 d 1 N 2 d 2 (Hỡnh 11.6b) _ Vy M, N = d tr _ on chui MN khut + M a v N b ; Vỡ B 1 thuc na sau ca (C 1 ) nờn hỡnh chiu ng N 2 khut; A 1 thuc na trc ca (C 1 ) nờn hỡnh chiu ng M 2 thy + Vỡ A 1 thuc cung thy ca (C 1 ) nờn hỡnh chiu bng M 1 thy; B 1 thuc cung khut ca (C 1 ) nờn hỡnh chiu bng N 1 khut . ắ Chỳ ý v giao im ca ng thng vi mt hỡnh lng tr ta cú th dựng mt phng ph tr cha ng thng v song song vi cnh ca lng tr, tng t nh giao im ca ng thng vi nún Vớ d 4 Hóy v giao im ca ng thng d vi mt cu tõm O bỏn kớnh R (Hỡnh 11.7) Gii Dng mt phng ph tr cha ng thng d [() thng l mt phng chiu], s ct cu theo ng trũn. Núi chung ng trũn ny chiu lờn cỏc mt phng hỡnh chiu l Elip Vy ta cú cỏch gii nh sau: _ Dng mp() chiu bng cha d ( 1 ) d 1 _ V cỏc giao tuyn ph : () = mp() cu ( 1 ) ( 1 ) d 1 _ v cỏc giao im ca ng thng d vi ng trũn (), ta thay i mp hỡnh chiu ng sao cho mp () // P 2 . hỡnh chiu ng mi ( 2 ) l ng trũn tht Hỡnh 11.7 ( 1 ) d 1 I 2 d 2 I 2 N 2 O 2 ( 2 ) N 1 M 2 M 1 x M 2 O 1 d 2 N 2 I 1 P 2 P 1 _ V M 2 , N 2 = d 2 ( 2 ) M 1 , N 1 d 1 v M 2 , N 2 d 2 GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 68 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt _ Vy M, N = d cu Xột thy, khut nh (Hỡnh 11.7) IV. MT VI V D GII SN Vớ d 1 Cho mt cu tõm O v ng thng d; (Hỡnh 11.8). Hóy tỡm cỏc im trờn mt cu gn v xa ng thng d nht Gii _ Qua tõm O, v mp(h,f) d _ V giao im H = d mp(h,f) bng cỏch dựng mt phng ph tr chiu ng cha d _ V giao im M,N = OH cu O, bng cỏch dựng mt phng ph tr chiu bng cha OH : + V giao tuyn ph: () = mp cu; cú ( 1 ) O 1 H 1 + V giao im M,N = OH () bng cỏch thay i mt phng hỡnh chiu ng ta xỏc nh c hỡnh chiu ng mi ca giao im l : M 2 , N 2 = O 2 H' 2 ( 2 ). Tr v hỡnh chiu bng v hỡnh chiu ng ta nhn c M 1 , N 1 O 1 H 1 v M 2 , N 2 O 2 H 2 Vy M,N l cỏc im thuc mt cu gn v xa ng thng d nht cn tỡm; (Hỡnh 11.8) Hỡnh 11.8 Hỡnh 11.9 h 2 f 2 h 1 f 1 d 2 J 1 d 1 ( 2 ) N 2 O 1 ( 1 ) S 1 M 2 x K 1 M 1 N 1 M 2 H 2 N 2 P 1 P 2 O 2 O 2 H 2 d 2 ( 2 ) g 2 N 1 J 2 K 2 M 2 M 1 S 2 I 2 d 1 ( 1 ) ( 1 ) H 1 B 1 A 1 I 1 N 2 B 2 A 2 x s Vớ d 2 Cho im S v ng thng d; (Hỡnh 11.9). Hóy dng ng thng i qua S, ct ng thng d ng thi to vi mp P 1 gúc Gii _ ng thng cn dng i qua im S to vi mt phng hỡnh chiu bng gúc nờn nú l ng sinh ca mt nún trũn xoay cú : + nh S + Trc vuụng gúc mp P 1 GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 69 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Giao õióứm cuớa õổồỡng thúng vồùi mọỹt mỷt + Cỏc ng sinh to vi mp P 1 gúc nờn hai ng sinh biờn hỡnh chiu ng ca nún trc x gúc . _ V li ng thng cn dng ct ng thng d. Vy chỳng l cỏc ng sinh ca mt nún S i qua giao im M,N ca ca d vi nún - ú l: SM, SN ; (Hỡnh 11.9) Vớ d 3 Cho mt chúp S.CDK v ng cnh AB; (Hỡnh 11.10). Hóy v giao im ca ng thng AB vi mt chúp S.CDK Gii _ Dựng mp(AB,S) lm mt phng ph tr (mt phng ph tr cha ng thng v nh chúp). _ V cỏc giao tuyn v giao im : + V IJ = mp(AB,S) mp(CDK) + V E, F = IJ CDK + V M = AB SE + V N = AB SF + Vy M, N = AB S.CDK _ Xột thy khut nh (hỡnh 11.10), trong ú on chuụi MN l khut x F 2 E 2 E 1 F 1 I 1 J 2 J 1 I 2 M 2 M 1 S 1 B 2 N 2 B 1 N 1 D 1 K 1 C 1 A 1 A 2 C 2 K 2 D 2 S 2 P 2 P 1 s x N 2 M 2 M 1 N 1 M 2 N 2 b 2 a 2 a 2 a 1 d 1 d 1 d 2 d 2 b 2 b 1 Hỡnh 11.10 Hỡnh 11.11 Vớ d 4 Cho hai ng thng a, b chộo nhau; (Hỡnh 11.11). Hóy dng ng thng ct a song song b v v cỏch b mt khong r cho trc Gii _ ng thng d cn dng song song vi b v cỏch b mt khong r nờn d chớnh l ng sinh ca mt tr trũn xoay trc b bỏn kớnh r _ Vỡ d ct a nờn cỏc ng sinh d cn dng i qua cỏc giao im M, N ca a vi mt tr va v. GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 70 . b 2 a 2 a 2 a 1 d 1 d 1 d 2 d 2 b 2 b 1 Hỡnh 11. 10 Hỡnh 11. 11 Vớ d 4 Cho hai ng thng a, b chộo nhau; (Hỡnh 11. 11). Hóy dng ng thng ct a song song b v v cỏch b mt khong r. chiu bng (C 1 ) l ng trũn (Hỡnh 11. 3) Gii - Gi M, N = d mt nún S Vỡ d P 2 M 2 N 2 d 2 . Gn M, N vo cỏc ng sinh SI, SJ ca nún M 1 , N 1 ; (Hỡnh 11. 3) - on chui MN khut; ta cú M, N. mp(C); J = SK mp(C) - vi K l im ly tu ý trờn ng thng d + V cỏc giao im : A, B = I J (C) mp(S,d) nún S = ng sinh SA, SB mp (C) Hỡnh 11. 5a Hỡnh 11. 5b B 1 A 1 (C 1 ) A J I 2