Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tiếp tuyến cố định của họ đồ thị." pot

PHạM QUốC PHONG TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị, Tr. 34-38 34 TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị PHạM QUốC PHONG (a) Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi trình bày phơng pháp tìm tất cả tiếp tuyến cố định của họ đồ thị phụ thuộc tham số. I. Mở ĐầU Tiếp tuyến là một trong những vấn đề cơ bản và là một tâm điểm trong các kì thi tốt nghiệp cũng nh tuyển sinh vào Đại học. Ngày nay ba bài toán sau đã quá đỗi quen thuộc với học sinh THPT (xem [1], [2], [3]): - Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại tiếp điểm; - Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua một điểm; - Tìm tập hợp điểm xuất phát của tiếp tuyến thoả mãn một tính chất hình học, đại số nào đó. Nói nh vậy không có nghĩa là mọi vấn đề về tiếp tuyến đã đợc giải quyết. Lâu nay ta chỉ thờng viết tiếp tuyến tại tiếp điểm tĩnh, nghĩa là tiếp điểm có toạ độ cố định. Vấn đề phơng trình tiếp tuyến tại tiếp tuyến động nghĩa là tọa độ tiếp điểm thay đổi phụ thuộc tham số hầu nh cha đợc chú trọng. Chẳng hạn bài toán sau: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số có phơng trình 2 ( 1) 4 m x m m y x m + = tại điểm x = m 2. Dễ dàng thu đợc kết quả: phơng trình tiếp tuyến là y = x + 3. Chứng minh họ đồ thị có một tiếp tuyến cố định là bài toán đã quen thuộc với nhiều ngời. Phơng pháp giải bài toán này thờng là dự đoán tiếp tuyến cố định rồi chứng minh tính đúng đắn của dự đoán trên. Tuy nhiên bài toán này không đòi hỏi phải tìm tất cả các tiếp tuyến cố định chứng minh theo cách này ta thờng chỉ ra đợc một số tiếp tuyến cố định của họ đồ thị phụ thuộc tham số (hay họ đờng cong đã cho). Trong bài báo này chúng tôi đề cập đến vấn đề: Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đờng cong (C m ) cho trớc. II. TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị 2.1. Bài toán. Gọi C m là đồ thị của hàm số y = f(x,m), trong đó m là tham số. Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ (C m ). Nhận bài ngày 5/6/2009. Sửa chữa xong 5/9/2009. y = f ( m, x ) (x 0 ,y 0 ) y = ax + b trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009 35 2.2. Cách giải. Giả sử đờng thẳng d có phơng trình y = ax+b là một tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ). Với mỗi m, trên C m chứa ít nhất một điểm có toạ độ (x 0 (m); y 0 (m)) sao cho tiếp tuyến của C m tại (x 0 (m); y 0 (m)) trùng với d. Vì vậy đạo hàm ))(( 0 ' mxf x của hàm số y = f(x,m) tại x 0 (m) thoả mãn ))(( 0 ' mxf x = a. Chú ý rằng x 0 (m) nói chung phụ thuộc vào m. Để cho gọn ta gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cố định của họ đờng cong (C m ) là mắt tuyến của họ đờng cong (C m ). Ta chuyển bài toán tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị về việc tìm một mắt tuyến trên tiếp tuyến đó. Thuật toán tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ) nh sau. Bớc 1. Tìm các giá trị thuộc tập xác định của hàm số y = f(x,m) mà ))(( 0 ' mxf x là hằng số, giả sử ))(( 0 ' mxf x = a. Ký hiệu y 0 (m) = f(x 0 (m),m). Bớc 2. Tính y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x . Nếu giá trị này là hằng số, chẳng hạn b. Khi đó (x 0 (m), y 0 (m)) là một mắt tuyến của họ đờng cong (C m ). Khi đó có một tiếp tuyến cố định của (C m ) đi qua mắt tuyến này, phơng trình của tiếp tuyến cố định là y = ax+b. Nếu y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x phụ vào m, ta bỏ qua điểm (x 0 (m); y 0 (m)). Thực hiện thuật toán trên với tất cả điểm thuộc miền xác định của hàm số mà tại đó đạo hàm của hàm số không phụ thuộc vào m. 2.3. Thí dụ. Tìm tất cả các tiếp tuyến của họ đồ thị (C m ) của hàm số y = mx 3 + 2(3m + 1)x 2 + (12m 1)x + 8m + 5 . Lời giải. Ta có y = 3mx 2 + 4(3m + 1)x + 12m 1; y' là hằng số a không phụ thuộc vào m khi và chỉ phơng trình phơng trình (ẩn x) 3mx 2 + 4(3m + 1)x + 12m 1 = a có nghiệm với mọi m. Tức là phơng trình 3mx 2 + 4(3m + 1)x + 12m 1 a = 0 có nghiệm với mọi m. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi ' x = 4 + 3m(a + 9 0, m ằ. Suy ra a = 9. Khi đó y' = 9 x = 2 hoặc m m x 3 46 + = . Tại x 0 = 2 ta có y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x = 3, vậy có tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ), phơng trình của nó là y = 9x 3. Tại m m x 3 46 0 + = ta có y(x 0 ) = 9 , y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x = = 3 2 6 4 6 4 6 4 2(3 1) (12 8) 8 5 3 3 3 m m m m m m m m m m + + + + + + + + + = 3 2 2 2 1 [ (6 4) 3(3 1)(6 4) 9 (12 8)(6 4) 27 (8 5)] 27 m m m m m m m m m + + + + + + + + Dễ thấy y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x phụ thuộc vào. Kết luận y = 0 là tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (C m ). PHạM QUốC PHONG TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị, Tr. 34-38 36 2.4. Thí dụ. Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ) của hàm số m x mmxm y + = 93)3( 2 . Lời giải. Tập xác định ằ\{m}. Ta có 2 )( 9 ' mx y = . Nếu có ))(( 0 ' mxf x không phụ thuộc m thì x 0 m = a, hay x 0 = a + m (với a là hằng số khác 0). Với x 0 = a + m ta có: a ama y a mxf x 93 , 9 ))(( 0 2 0 ' + == ; y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x = ]318)9([ 1)(993 22 2 aaam a a am a ama += + + y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x không phụ thuộc m a 2 9 = 0 a = 3. Với a = 3 có x 0 = m + 3, y'(x 0 ) = 1, y 0 = m, y 0 x 0 .y'(x 0 ) = m (m + 3).1 = 3. Vậy với mỗi m ta có (m + 3; m) là một mắt tuyến của họ đồ thị (C m ). Phơng trình tiếp tuyến cố định của (C m ) đi qua điểm (m + 3; m) là y = x 3. Với a = 3 có x 0 = m 3, y'(x 0 ) = 1, y 0 = m + 6, y 0 x 0 .y(x 0 ) = m + 6 (m 3).1 = 3. Vậy với mỗi m ta có (m 3; m + 6) là một mắt tuyến của họ đồ thị (C m ). Phơng trình tiếp tuyến cố định của (C m ) đi qua điểm (m 3; m + 6 ) là y = x + 9. Tóm lại, họ đồ thị của hàm số đã cho có hai tiếp tuyến cố định là y = x 3 và y = x + 9 2.5. Chú ý. Khi nói tới tiếp tuyến cố định ngời ta hay liên hệ tới điểm cố định của họ đờng cong và cho rằng tiếp tuyến cố định phải đi qua điểm cố định. Vì vậy rất nhiều học sinh đã giải bài toán trong Thí dụ 3 nh sau. Ta tìm điểm cố định của (C m ). Dễ thấy có duy nhất một điểm cố định là M(2; 15). Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm M, đó là đờng thẳng có phơng trình y = 9x 3. Vậy họ (C m ) chỉ có một tiếp tuyến cố định, có phơng trình y = 9x 3. Lời giải trên cha chính xác vì chỉ có thể kết luận họ (C m ) có một tiếp tuyến cố định chứ cha kết luận đợc họ (C m ) chỉ có một tiếp tuyến cố định. Mặt khác lập luận cho rằng tiếp tuyến cố định phải đi qua điểm cố định là một sai lầm. Ngoài cách giải trên, học sinh cũng thờng mắc sai lầm khi giải bài toán trên bằng lập luận rằng toạ độ của tiếp điểm là các giá trị làm cho đạo hàm ))(( 0 ' mxf m theo tham số m của hàm số y = f(x,m) triệt tiêu. Qua các thí dụ trên ta thấy việc tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị không khó khăn nếu tìm đợc tất cả các mắt tuyến của nó. Tuy nhiên trong một số trờng hợp, việc tìm các mắt tuyến của họ đồ thị phải nhờ vào các nhận xét tinh tế. Xét các thí dụ sau 2.6. Thí dụ. Cho họ đồ thị (C m ) của hàm số 2 2 2 1 x mx m y x m + + = . 1) Tìm tất cả các mắt tuyến của họ đồ thị (C m ). 2) Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ). trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009 37 Lời giải. Viết lại 2 ( 1) 2 m y x m x m + = + + . Tập xác định ằ \{m}. Trớc hết để (C m ) có tiếp tuyến thì m 1. 1) Ta có 2 2 2 2 4 2 1 ' ( ) x mx m m y x m + = Do m -1 và m x nên nếu tồn tại tiếp cố định của họ đồ thị và (x 0 ,y 0 ) là mắt tuyến của họ đồ thị thì x 0 = 1. Thật vậy, giả sử x 0 = a, với a 1. Do m x 0 suy ra m a. Thế thì đồ thị (C a ) không tiếp xúc với tiếp tuyến nói trên, điều đó đồng nghĩa với tiếp tuyến trên không tiếp xúc với mọi (C m ), m -1. Tại x 0 = 1 ta có y(x 0 ) = 1, y 0 = 3; y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x = - 2. Suy ra (-1; -3) là mắt tuyến của họ đồ thị (C m ), qua điểm này có tiếp tuyến cố định của (C m ), phơng trình của tiếp tuyến cố định là y = x 2. Đó là tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (C m ) đã cho. 2.7. Thí dụ. Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ) của hàm số 2 2 2 ( 2) 2 x m x m y x x m + + = + . Lời giải. Viết lại 2 1 2 mx y x x m = + + . Tập xác định {x ằ | x 2 2x + m 0} Trớc hết để C m có tiếp tuyến thì m 0. Ta có 2 2 2 2 ' ( 2 ) mx m y x x m + = + . Lập luận hoàn toàn tơng tự nh trong thí dụ 3, từ điều kiện 2 2 0 0 2 0 2 m m x x m x x m + ta suy ra rằng hoành độ của mắt tuyến chỉ có thể là 0 hoặc 2. Tại x = 0 ta có y'(0) = 1, y(0) = 1; y 0 (m) x 0 (m). ))(( 0 ' mxf x = 1. Vậy (0; 1) là mắt tuyến của họ đồ thị (C m ), qua điểm này có tiếp tuyến cố định của họ (C m ), phơng trình của tiếp tuyến này là y = x + 1. Tính toán tơng tự ta thấy với x = 2 không có tiếp tuyến cố định của họ (C m ). Vậy y = x + 1 là tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (C m ) đã cho. 2.8. Nhận xét. Qua các thí dụ trên ta thấy mắt tuyến có thể là điểm cố định, có thể là điểm không cố định của họ đờng cong (C m ). Số lợng các mắt tuyến cũng có thể hữu hạn (trong các Thí dụ 2.3, 2.6, 2.7) cũng có thể vô hạn (trong Thí dụ 2.4). Trong trờng hợp họ đờng cong có vô số mắt tuyến thì mỗi "họ" mắt tuyến xác định một tiếp tuyến cố định, chẳng hạn trong Thí dụ 2.4 có hai họ mắt tuyến (m + 3; m) và (m - 3; m + 6). III. Bài tập đề nghị Tìm tập hợp các mắt tuyến và tiếp tuyến cố định của mỗi họ đồ thị của hàm số sau đây : PHạM QUốC PHONG TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị, Tr. 34-38 38 1) y = mx 3 + 2(3m + 1)x 2 + (12m 1)x + 8m + 5; 2) ( 1) m x m y x m + = ; 3) 2 ( 1) 4 m x m m y x m + + + = + ; 4) 2 ( 2) 2 4 m x m m y x m + = ; 5) 2 2 ( 2) 2 x m x m y x x m + + = + ; 6) 3 2 2 2 ( 1) 2 3 1 mx mx m x m y x + + + = + ; 7) (C m ) : 2 2 2 5 1 1 4 x y mx m x x x + = + + + + + . IV. Kết luận Việc gây hứng thú cho học sinh học tập luôn là một vấn đề đòi hỏi sự đầu t công sức bằng tất cả lòng say mê và tâm huyết với nghề của mỗi thầy giáo, cô giáo. Trong phong trào mỗi Mỗi thầy cô giáo là một tấm gơng đạo đức, tự học và sáng tạo do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát động, việc làm trên càng có ý nghĩa. Tác giả bài viết này mong muốn cung cấp một t liệu tham khảo cho các giáo viên dạy toán THPT khai nguồn hứng thú cho học sinh. Tài liệu tham khảo [1] Phạm Quốc Phong, Các chuyên đề nâng cao Toán Trung học Phổ thông Đại số và Giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004. [2] Phạm Quốc Phong, Một số chuyên đề tuyển chọn lọc toán THPT, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008. [3] Phạm Quốc Phong, Bồi dỡng Giải tích 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008. summary The fixed tangents of a collection of graphs In this paper, we present a method to find all fixed tangents of a collection of graphs depending on a parameter. (a) TRƯờNG THPT HồNG LĩNH, Hà TĩNH. . tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (C m ). PHạM QUốC PHONG TIếP TUYếN Cố ĐịNH CủA Họ Đồ THị, Tr. 34-38 36 2.4. Thí dụ. Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C m ) của. tiếp tuyến cố định của (C m ), phơng trình của tiếp tuyến cố định là y = x 2. Đó là tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (C m ) đã cho. 2.7. Thí dụ. Tìm tất cả các tiếp tuyến cố định của. tiếp điểm của tiếp tuyến cố định của họ đờng cong (C m ) là mắt tuyến của họ đờng cong (C m ). Ta chuyển bài toán tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị về việc tìm một mắt tuyến trên tiếp tuyến