Giáo trình hướng dẫn tìm hiểu sơ bộ về hệ thống hàng đợi và các quy tắc phục vụ của nó phần 2 pps

Pr{B}= 1- µΔt Giả thiết Pr{C}= 0, với 1/µ thời gian phục vụ trung bình (thực tế phân bố theo hàm mũ D kiện nhiều đến AND với kiện nhiều khoảng Δt Giả sử Pr{D}=0, (2-1) Thực ra, Δt nhỏ, kiện nhân (vừa vừa đến) không xảy Ngồi giả thiết đặc tính tiến trình đến tiến trình phục vụ, cịn có thêm giả thiết sau:  Tiến trình đến tiến trình Poisson với tham số λ  Khoảng thời gian đến phân bố theo hàm mũ với tham số 1/λ  Thời gian phục vụ phân bố theo hàm mũ với tham số 1/µ  Tiến trình đến độc lập với tiến trình phục vụ ngược lại Để phân tích hệ thống hàng đợi cần hiểu khái niệm “Trạng thái hệ thống” Có thể định nghĩa thơng qua biến thích hợp mơ tả “ Sự phát triển theo thời gian” hệ thống hàng đợi Để thuận tiện cho hệ thống hàng đợi biến chọn số khách hàng hệ thống thời điểm t Trạng thái hệ thống t = N(t)= Số lượng khách hàng thời điểm t (2-2) Tức : pN(t)=Pr{N(t)=N} (2-3) với pN(t) ký hiệu trạng thái thứ N hệ thống thời điểm t Pr{N(t)=N} xác suất có N khách hàng hệ thống thời điểm t Có nghĩa có N khách hàng hệ thống thời điểm t Sử dụng trạng thái t=0, ta tìm pN(t) mơ tả hệ thống có quan hệ mặt thời gian nào? Tiếp theo, cho thời gian Δt →0 Xét trạng thái hệ thống {0,1,…}(bằng số lượng khách hàng hệ thống) thời điểm t ta tìm trạng thái hệ thống thời điểm t+Δt sau: p0(t+Δt )= p0(t)(1-λΔt)+p1(t)µΔt, N=0 pN(t+Δt )= pN(t)(1-λ Δt-µΔt)+pN-1(t)λΔt+ pN+1(t)µΔt, (2-4) N>0 ta ln có điều kiện phân bố chuẩn:  p (t )  1, t  (2-5) i i Tức chuẩn hóa pi(t), t≥0, thành tính chất phân bố rời rạc theo thời gian Ta tính giới hạn Δt →0 có hệ phương trình vi phân: dp0 (t )  p0 (t )  p1 (t ), N  dt dpN (t )  (   ) pN (t )  p N 1 (t )  p N 1 (t ), N  dt (2-6) Để giải ta phảo cho điều kiện ban đầu Giả sử hệ thống hàng đợi bắt đầu thời điểm t=0 với N khách hàng hệ thống, điều kiện ban đầu viết sau: pi(0)=0, với i≠N pN(0)=1, với i=N (2-7) Sử dụng điều kiện ban đầu phù hợp hệ thống giải để giải pháp thời gian ngắn (transient solution), giải pháp phức tạp chí cho hệ đơn giản Bây ta xét giải pháp trạng thái ổn định (equilibrium solution), t→∞ Khi ta có: dp (t )  0, N  dt dp N (t )  0, N  dt (2-8) Vì vậy, p0(t)=p0, với N=0 pN(t)=pN, với N>0 (2-9) Định nghĩa ρ=λ /µ với ngụ ý hệ thống hàng đợi ổn định với ρ 0 (2-10) Gỉa sử tuân theo điều kiện phân bố chuẩn, ta có: pi = ρi (1-ρ ), i=0,1,… (2-11) với giải pháp trạng thái ổn định cho phân bố trạng thái với ρ với k  Xác suất mà k gọi đến khoảng thời gian [t1, t1+t2] độc lập với t1, nghĩa với t, k ta có: p( N t1 t  N t1 )  k   p( Nt1 t  t  N t1 t )  k  (2-22) Đây nhiều định nghĩa tính dừng tiến trình điểm gọi đến Tính độc lập (Independence) Tính chất thể là: tương lai tiến trình phụ thuộc vào trạng thái Định nghĩa: xác suất có k kiện (với k nguyên lớn 0) khoảng [t1, t1+t2] độc lập với kiện trước thời điểm t1 : p( N t  N t1 )  k | N t1  N t  n  p( N t  N t1 )  k  (2-23) Nếu điều với t tiến trình tiến trình Markov: trạng thái phụ thuộc vào trạng thái tại, độc lập với việc có Đây tính chất khơng nhớ Nếu tính chất xảy thời điểm (ví dụ thời điểm đến), điểm gọi điểm cân hay điểm tái tạo Khi tiến trình có nhớ giới hạn, ta cần lưu lại điểm tái tạo gần Tính đặn (Regularity) Như nói ta loại trừ tiến trình nhiều gọi vào thời điểm, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: tiến trình điểm gọi đặn xác suất xảy với nhiều kiện thời điểm không: p( N t  t  N t )  2  o ( t ), : t  0, o ( t )  (2-24) 2.2.2 Tiến trình Poisson Tiến trình Poisson tiến trình điểm quan trọng vai trị quan trọng vai trò phân bố chuẩn phân bố thống kê Tất tiến trình điểm ứng dụng khác dạng tổng quát hoá hay dạng sửa đổi tiến trình Poisson Tiến trình Poisson mơ tả nhiều tiến trình đời sống thực tế, có tính ngẫu nhiên 12 Đặc tính tiến trình Poisson : Những đặc tính tiến trình Poisson là:  Tính dừng  Tính độc lập thời điểm  Tính đặn Hai tính chất sau tính chất bản, từ tiến trình Poisson có cường độ phụ thuộc thời gian.Từ tính chất người ta đưa tính chất khác đủ để biểu diễn tiến trình Poisson, là:  Biểu diễn số: số kiện đến khoảng thời gian với độ dài cố định phân bố theo tiến trình Poisson  Biểu diễn khoảng thời gian: khoảng thời gian Xi kiện liên tiếp phân bố theo hàm mũ Tiến trình đến Poisson sử dụng lưu lượng viễn thông mạng chuyển mạch gói mạng máy tính Thêm vào tiến trình Poisson sử dụng để mô tả tiến trình nhiễu để nghiên cứu tượng hố điện tử xuất chất bán dẫn, ứng dụng khác … Ba vấn đề sử dụng để định nghĩa tiến trình đến Poisson Xét khoảng thời gian nhỏ t (với t  ), Hình 2-7 t t t  t t Hình 2-7 Khoảng thời gian sử dụng để định nghĩa tiến trình Đó là:  Xác suất tiến trình đến khoảng thời gian t định nghĩa t  o(t ) , với  t   số tỷ lệ lý thuyết  Xác suất khơng có tiến trình đến khoảng thời gian t  t  o ( t )  Tiến trình đến khơng có nhớ: tiến trình đến khoảng thời gian t độc lập với tiến trình trước tiến trình tương lai Nếu lấy chu kỳ T, tìm xác suất p(k) k tiến trình đến thời gian T cho bởi:  T k e   T với k = 0, 1, 2, 3…… (2-25) p (k )  k! Nó gọi phân bố Poisson Đây phân bố chuẩn   p(k )  giá trị kỳ vọng : k 0 13  E (k )   kp ( k )   T (2-26) k 0 Phương sai :  k  E ( k )  E ( k ) hay:  k  E (k )   T Tham số  (2-27) số tỷ lệ, xem tham số tốc độ:   E (k ) T Phương trình (2-25) mơ tả tốc độ đến trung bình tiến trình Poisson Bình thường giá trị trung bình E(k) tiến tới khơng tương đương với  T lớn:  k / E (k )  / .T với nghĩa  T lớn, phân bố có quan hệ chặt chẽ với giá trị trung bình  T Do thơng số (ngẫu nhiên) số tiến trình đến n khoảng thời gian T lớn (‘lớn’ theo nghĩa  T >>1, T >> 1/  ), n/T đánh giá  Cũng ý p( 0)  e T Khi  T tăng với phân bố đỉnh E (k) =  T, xác suất khơng có tiến trình đến khoảng thời gian T tiến đến không với e mũ T 2.3 Định luật Little Xem xét hệ thống hàng đợi, khách hàng đến tiến trình ngẫu nhiên Các khách hàng đến hệ thống thời điểm ngẫu nhiên chờ phục vụ khách hàng rời khỏi hệ thống 2.3.1 Cơng thức Little Chúng ta có ký hiệu sau: N (t ) = Số gọi đến hệ thống thời điểm t  t = Số gọi đến hệ thống khoảng thời gian từ (0,t)  t = Số gọi rời khỏi hệ thống khoảng thời gian từ (0,t) Ti = Thời gian gọi thứ i hệ thống (thời gian phục vụ) Như vậy: N t - Số lượng gọi trung bình đến hệ thống (0,t) : 1t N t   N t dt t0 t Tt Mật độ gọi khoảng (0,t) : - t t Thời gian trung bình cuội gọi hệ thống : - Tt  t  t t  i 1 Ti Giả sử giới hạn sau tồn : 14 N  lim N t ;   lim t ; t  t  T  lim Tt t  Có cơng thức sau: N  T (2-28) Cơng thức có tên gọi Định lý Little Số gọi trung bình hệ thống tích mật độ gọi với thời gian chiếm kênh trung bình 2.3.2 Chứng minh công thức Little Chứng minh công thức Little phương pháp hình học theo minh họa Hình 2-8 Xét khoảng (0,t) : t Diện tích phần gạch chéo: S t   N t dt    (t )   (t ) t Mặt khác diện tích : S=  Ti i 1 t t Như t  N (t )dt = tức :  Ti  i 1 N t  t Tt (*) Nếu giới hạn sau tồn : 15 t  t o T   N dt  i t t i 1 t t N  lim N t ;   lim t ; t  t  Từ (*) (**)  N  T T  lim Tt (**) t  Công thức chứng minh 2.4 Các mơ hình hàng đợi 2.4.1 Ký hiệu Kendall Bất kỳ hệ thống xếp hàng mơ tả : Tiến trình đến Nếu khách hàng đến vào thời điểm t1, t2 … tj biến số ngẫu nhiên Pj=tj-tj-1 gọi thời điểm lần đến Các thời điểm thường giả thiết biến số ngẫu nhiên độc lập phân bố đồng IID (Independent and Identycally distributed) Các tiến trình đến thơng dụng : M: Tiến trình mũ (là tiến trình Markov hay tiến trình khơng nhớ) Er: Tiến trình Erlang bậc r Hr: Tiến trình siêu số mũ bậc r D: Tiến trình tất định (deterministic) G: Tiến trình chung Tiến trình phục vụ Thời gian mà công việc tiêu tốn cần thiết server gọi thời gian phục vụ Các thời gian phục vụ thường giả thiết biến số ngẫu nhiên IID Các tiến trình phục vụ thơng dụng giống thời gian đến Số lượng server: Số lượng server phục vụ cho hàng đợi Dung lượng hệ thống Kích thước nhớ đệm cực đại Qui mô mật độ Số lượng công việc đến hàng đợi Qui mô mật độ hữu hạn hệ thống thực Tuy nhiên phân tích hệ thống với qui mô mật độ lớn dễ dàng giả thiết qui mô mật độ vô hạn Qui tắc phục vụ Thứ tự mà theo cơng việc hàng xếp phục vụ Các qui tắc phổ biến đến trước phục vụ trước FCFS (First Come First Served), đến sau phục vụ trước LCFS (Last Come First Served), theo vòng tròn RR (Round Robin), thời gian xử lý ngắn phục vụ trước SPT (Shortest Procesing Time First) thời gian xử lý ngắn đề cử SRPT (Shortest Remaining Processing Time First) Ký hiệu Kendall A/S/m/B/K/SD sử dụng rộng rãi để mô tả hệ thống xếp hàng 16 A: Phân bố thời gian lần đến S: Phân bố thời gian phục vụ m: Số lượng server B:Kích thước đệm K: Quy mơ mật độ SD: Quy tắc phục vụ Ví dụ hàng đợi M/D/1: M có nghĩa tiến trình đến tiến trình Markov khơng nhớ (với thời gian lần đến theo hàm mũ); D thời gian phục vụ (tất định); có server phục vụ Phần B/K/SD ký hiệu bị loại trừ thấy dung lượng hệ thống qui mô mật độ vô hạn qui tắc phục vụ FCFS 2.4.2 Quá trình Sinh-Tử (Birth-Death) Trạng thái hệ thống biểu diễn số khách hàng n hệ thống Khi có khách hàng đến trạng thái hệ thống thay đổi sang n+1, có khách hàng trạng thái hệ thống thay đổi sang n-1, ta có lược đồ chuyển tiếp trạng thái q trình sinh tử Hình 2-9 Chuỗi Markov trình sinh-tử n : Tốc độ lần đến n  n : Tốc độ lần Pn: Xác suất ổn định trạng thái n trình sinh – tử trạng thái n    Pn = n 1 P0 (2-29) 1   n P0 - xác suất trạng thái 0, Pn - xác suất trạng thái n 2.4.3 Hàng đợi M/M/1 Lược đồ trạng thái 17 Hình 2-10 Chuỗi Markov hàng đợi M/M/1 Tất tốc độ đến  ,   : Tốc độ lần đến  : Tốc độ lần Pn=(  n ) P0 =  n P0  (2-30) Pn: Xác suất ổn định trạng thái n P0: Xác suất ổn định trạng thái   Trong trường hợp số kênh phục vụ 1, có server  : Mật độ lưu lượng  = Các cơng thức tính tốn:  Xác suất có n khách hàng hệ thống Pn= (1-  )  n ; n=1,2, P0= (1-  )  (2-31) (2-32) Số lượng trung bình khách hàng hệ thống L=E(n)= Phương sai:  n2 =  1  (2-33)  (1   ) (2-34) Tham số thời gian  Thời gian trung bình khách hàng hệ thống: W W=  (2-35) Thời gian phục vụ trung bình cho khách hàng : W S WS =  L  = =     (1   )  =   (2-36) Thời gian trung bình khách hàng hàng đợi 18 W q = W- W S =   2 =  (1   )   (1   ) (2-37) Chiều dài hàng đợi  Số lượng trung bình khách hàng hệ thống L=   1  (2-38) Số lượng trung bình job server: L S L S = 1P(n>=1) =1- P(n=0) =1-(1-  ) =   (2-39) Số lượng trung bình cơng việc hàng đợi L q  2 L q = L- L S = = 1  1  (2-40) Ví dụ: Cho Switch nhận tin đến tốc độ 240bản tin/phút Độ dài tin có phân bố hàm mũ với chiều dài trung bình 100 ký tự Tốc độ truyền tin khỏi hệ thống 500 ký tự/giây Tính tham số sau :  Thời gian trung bình tin hệ thống  Số tin trung bình hệ thống  Tính chiều dài hàng đợi thời gian đợi trung bình Bài giải: Xét hệ thống M/M/1: Tốc độ đến   240  tin/giây 60 Tốc độ phục vụ   500 5 100 Mật độ lưu lượng        Số tin hệ thống L=E(n)=    tin     Thờigian trung bình tin hệ thống W= L   (s)   Chiều dài hàng đợi L q 19 Lq = 2 0,8.0,8   3,2 tin    0,8  Thời gian đợi trung bình W q Wq = L 2 3,2  q   0,8 (s)  (1   )  2.4.4 Hàng đợi M/M/1/K Hình 2-11 Với số khách hàng k Pn = (  n ) P0 ; 0