Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 5 Chơng 1 Số phức Đ1. Trờng số phức Kí hiệu = 3 ì 3 = { (x, y) : x, y 3 }. Trên tập định nghĩa phép toán cộng và phép toán nhân nh sau (x, y), (x, y) (x, y) + (x, y) = (x + x, y + y) (x, y) ì (x, y) = (xx - yy, xy + xy) (1.1.1) Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) và (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1) Định lý (, +, ì ) là một trờng số. Chứng minh Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1) Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không là (0, 0) (x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y) Mọi phần tử có phần tử đối là -(x, y) = (-x, -y) (x, y) , (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị là (1, 0) (x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y) Mọi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo là (x, y) -1 = ( 22 yx x + , 22 yx y + ) (x, y) - {(0, 0)}, (x, y) ì ( 22 yx x + , 22 yx y + ) = (1, 0) Ngoài ra phép nhân là phân phối với phép cộng Trờng (, +, ì ) gọi là trờng số phức, mỗi phần tử của gọi là một số phức. Theo định nghĩa trên mỗi số phức là một cặp hai số thực với các phép toán thực hiện theo công thức (1.1.1). Trên trờng số phức phép trừ, phép chia và phép luỹ thừa định nghĩa nh sau. (n, z, z) ì ì * với * = - { (0, 0) } z - z = z + (- z), ' z z = z ì (z) -1 và z 0 = 1, z 1 = z và z n = z n-1 ì z (1.1.2) Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Giỏo trỡnh phõn tớch quy trỡnh ng dng cỏc nh lý ca hỡnh hc phng trong dng a phõn giỏc . Chơng 1. Số Phức Trang 6 Giáo Trình Toán Chuyên Đề x (x, 0), 1 (1, 0) và 0 (0, 0) tập số thực trở thành tập con của tập số phức. Phép cộng và phép nhân các số phức hạn chế lên tập số thực trở thành phép cộng và phép nhân các số thực quen thuộc. x + x (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) x + x, Ngoài ra trong tập số phức còn có các số không phải là số thực. Kí hiệu i = (0, 1) gọi là đơn vị ảo. Ta có i 2 = (0, 1) ì (0, 1) = (-1, 0) -1 Suy ra phơng trình x 2 + 1 = 0 có nghiệm phức là x = 1 3. Nh vậy trờng số thực (3, +, ì) là một trờng con thực sự của trờng số phức (, +, ì). Đ2. Dạng đại số của số phức Với mọi số phức z = (x, y) phân tích (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) Đồng nhất đơn vị thực (1, 0) 1 và đơn vị ảo (0, 1) i, ta có z = x + iy (1.2.1) Dạng viết (1.2.1) gọi là dạng đại số của số phức. Số thực x = Rez gọi là phần thực, số thực y = Imz gọi là phần ảo và số phức z = x - iy gọi là liên hợp phức của số phức z. Kết hợp các công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy ra dạng đại số của các phép toán số phức. (x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y) (x + iy) ì (x + iy) = (xx - yy) + i(xy + xy) yix iyx + + = 22 yx yyxx + + + i 22 yx yxyx + , (1.2.2) Ví dụ Cho z = 1 + 2i và z = 2 - i z ì z = (2 + 2) + i(-1 + 4) = 4 + 3i, ' z z = i 2 i21 + = i z 2 = (1 + 2i) ì (1 + 2i) = -3 + 5i, z 3 = z 2 ì z = (-3 + 5i) ì (1 + 2i) = -13 - i Từ định nghĩa suy ra z = z z 3 z = - z z i3 z = z z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re 2 z + Im 2 z (1.2.3) Ngoài ra liên hợp phức còn có các tính chất sau đây. Định lý (n, z, z) ì ì Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 7 1. ' z z + = z + ' z 2. ' zz = z ' z n z = n )z( 3. 1 z = 1 )z( z z = z z Chứng minh 1. Suy ra từ định nghĩa 2. Ta có ' zz = )yix(iy) (x + ì+ = (xx - yy) - i(xy + xy) z ' z = (x - iy) ì (x - iy) = (xx - yy) + i(-xy -xy) Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai. 3. Ta có 1 zz = z 1 z = 1 1 z = ( z ) -1 Suy ra z/z = 1 )z(z = z 1 z Với mọi số phức z = x + iy, số thực | z | = 22 yx + gọi là module của số phức z. Nếu z = x 3 thì | z | = | x |. Nh vậy module của số phức là mở rộng tự nhiên của khái niệm trị tuyệt đối của số thực. Từ định nghĩa suy ra | Rez |, | Imz | | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z | 2 z -1 = z | z | 1 2 ' z z = z(z) -1 = 2 | ' z | 1 z ' z (1.2.4) Ngoài ra module của số phức còn có các tính chất sau đây. Định lý (n, z, z) ì ì 1. | z | 0 | z | = 0 z = 0 2. | z z | = | z || z | | z n | = | z | n 3. | z -1 | = | z | -1 z z = | z | |z| 4. | z + z | | z | + | z | || z | - | z|| | z - z | Chứng minh 1. Suy ra từ định nghĩa 2. Ta có | zz | 2 = zz ' zz = (z z )(z z ) = (| z || z| ) 2 Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai. 3. Ta có | z z -1 | = | z || z -1 | = 1 | z -1 | = 1 / | z | Suy ra | z / z | = | z (z) -1 | = | z | | (z) -1 | 4. Ta có z z + z z = 2Re(z z ) | z z = | z || z| Suy ra | z + z 2 = (z + z)( ' z z + ) = z 2 + 2Re(z z ) + | z| 2 (| z | + | z|) 2 Đ3. Dạng lợng giác của số phức Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 1. Số Phức Trang 8 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Với mọi số phức z = x + iy * tồn tại duy nhất số thực (-, ] sao cho cos = | z | x và sin = | z | y (1.3.1) Tập số thực Argz = + k2, k 9 gọi là argument, số thực argz = gọi là argument chính của số phức z. Chúng ta qui ớc Arg(0) = 0. Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy ra x = rcos và y = rsin Thay vào công thức (1.2.1) nhận đợc z = r(cos + isin) (1.3.2) Dạng viết (1.3.2) gọi là dạng lợng giác của số phức. Từ định nghĩa suy ra argz = arg(-z) = - , arg z = - và arg(- z ) = - x > 0, argx = 0 x < 0, argx = y > 0, arg(iy) = /2 y < 0, arg(iy) = -/2 (1.3.3) Ngoài ra argument của số phức còn có các tính chất sau đây. Định lý (n, z, z) ì ì 1. arg(zz) = argz + argz [2] arg(z n ) = n argz [2] 2. arg(z -1 ) = - argz [2] arg(z / z) = argz - argz [2] Chứng minh 1. Giả sử z = r(cos + isin) và z = r(cos + isin) Suy ra zz = rr[(coscos - sinsin) + i(sincos + cossin)] = rr[cos( + ) + isin( + )] Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai. 2. Ta có arg(zz -1 ) = arg(z) + arg(z -1 ) = 0 [2] arg(z -1 ) = - arg(z) [2] Suy ra arg(z / z) = arg(zz -1 ) = argz + arg(z -1 ) Ví dụ Cho z = 1 + i và z = 1 + 3 i Ta có zz = [ 2 (cos 4 + isin 4 )][2(cos 6 + isin 6 )] = 2 2 (cos 12 5 + isin 12 5 ) z 100 = ( 2 ) 100 [cos(100 4 ) + isin(100 4 )] = -2 50 Với mọi số thực 3, kí hiệu e i = cos + i sin (1.3.4) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 9 Theo các kết quả ở trên chúng ta có định lý sau đây. Định lý (n, , ) ì 3 ì 3 1. e i 0 e i = 1 = k2 i e = e -i 2. e i( + ) = e i e i (e i ) -1 = e -i (e i ) n = e in Chứng minh Suy ra từ công thức (1.3.4) và các kết quả ở trên Hệ quả (n, ) ì 3 1. (cos + isin) n = cosn + isinn (1.3.5) 2. cos = 2 1 (e i + e -i ) sin = i 2 1 (e i - e -i ) (1.3.6) Công thức (1.3.5) gọi là công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi là công thức Euler. Ví dụ Tính tổng C = = n 0k kcos và S = = n 0k ksin Ta có C + iS = = n 0k ik e = 1 e 1e i )1n(i + Suy ra C = 1cos 1cosncos)1ncos( 2 1 + + và S = 1cos sinnsin)1nsin( 2 1 + Số phức w gọi là căn bậc n của số phức z và kí hiệu là w = n z nếu z = w n Nếu z = 0 thì w = 0 Xét trờng hợp z = re i 0 và w = e i Theo định nghĩa w n = n e in = re i Suy ra n = r và n = + m2 Hay = n r và = n + m n 2 với m 9 Phân tích m = nq + k với 0 k < n và q 9. Ta có n + m n 2 n + k n 2 [2] Từ đó suy ra định lý sau đây. Định lý Căn bậc n của số phức khác không có đúng n giá trị khác nhau w k = n r [cos ( n + k n 2 ) + isin( n + k n 2 )] với k = 0 (n - 1) (1.3.7) Ví dụ Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . . V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 9 Theo các kết quả ở trên chúng ta có định lý sau đây. Định lý (n, , ) ì 3 ì 3 1. e i 0 e i = 1 =. = n + m n 2 với m 9 Phân tích m = nq + k với 0 k < n và q 9. Ta có n + m n 2 n + k n 2 [2] Từ đó suy ra định lý sau đây. Định lý Căn bậc n của số phức khác không có. tớch quy trỡnh ng dng cỏc nh lý ca hỡnh hc phng trong dng a phõn giỏc . Chơng 1. Số Phức Trang 6 Giáo Trình Toán Chuyên Đề x (x, 0), 1 (1, 0) và 0 (0, 0) tập số thực trở thành tập con của