®Ò thi thö ®¹i häc M«n to¸n - n¨m häc 2009-2010 Thêi gian lµm bµi : 180’ ****************** Câu I(2 điểm): Cho hàm số ( ) ( ) 5522 224 +−+−+= mmxmxxf ( C ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 2/ Tìm các giá trị thực của m để (C) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. Câu II(2điểm): 1/ Giải bất phương trình : xxx 25 1 32 1 − ≤ −−+ 2/ Giải phương trình: 2 2 tan tan 2 cos tan 1 2 4 x x x x π + = − ÷ + Câu III (1 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= 2a . Đáy là tam giác cân, góc 0 120BAC∠ = , cạnh BC=2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). Câu IV(2 điểm) 1/ Tính tích phân: ln3 2 ln2 1 2 x x x e dx I e e = − + − ∫ 2/ Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: 2 3z i z i− = − − . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. Câu V(2điểm): 1/ Cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình 01=++ yx . Phương trình đường cao vẽ từ B là: 022 =−− yx . Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC. 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng ( ) 2 1 13 2 : 1 − − == + z y x d và vuông góc với đường thẳng ( ) 2 2 2 : 5 2 x t d y t z t = − + = − = + ( Rt ∈ ). Câu VI ( 1 điểm) Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 1 P= x y y x + + ÷ ÷ . ……………………. Hết …………………… Cõu I Kho sỏt hm s ( 2 im ) 1 Vi m =1. Khảo sát hàm số ( ) 12 24 +== xxyxf (C) (1.00 điểm ) 1* TXĐ: D = R 2* Sự biến thiên ca h m s : 0.25 * Bảng biến thiên: ( ) ( ) 1444'' 23 === xxxxyxf 1;1;00' ==== xxxy x - -1 0 1 + y - 0 + 0 - 0 + y + 1 + 0 0 0.5 3* Đồ thị: * Giao im vi cỏc trc to : A(0; 1), B(-1;0) v C(1; 0) 0.25 2 Tỡm tham s m (1.0 im) * Ta cú ( ) ( ) mxxxmxxf ===+= 2;00244' 23 0.25 * Hm s cú C, CT khi f(x)=0 cú 3 nghim phõn bit v i du : m < 2 (1) . To cỏc im cc tr l: ( ) ( ) ( ) mmCmmBmmA + 1;2,1;2,55;0 2 0.25 * Do tam giỏc ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi vuụng ti A: ( ) 1120. 3 === mmACAB vỡ k (1) Trong ú ( ) ( ) 44;2,44;2 22 +=+= mmmACmmmAB Vy giỏ tr cn tỡm ca m l m = 1. 0.5 Cõu II Gii phng trỡnh v bt phung trỡnh ( 2.00 im ) 1 Gii bpt xxx 25 1 32 1 + ( 1.00 im ) * K: < 2 1 2 5 2 x x 0.25 * Vi 2 1 2 < x : 025,032 ><+ xxx , nờn bpt luụn ỳng 0.25 * Vi 2 5 2 1 << x : 32151122532 2 ++ xxxxxxBpt Ta cú: < < 2 5 2 062 2 5 2 3 2 x xx x 0.25 Vy tp nghim ca bpt l: = 2 5 ;2 2 1 ;2S 0.25 Cõu V Phng phỏp to trong mp v trong khụng gian ( 2.00 im) 1 To trong mt phng ( 1.00 im ) * Gi D, E ln lt l chõn ng cao k t B, C. Ta cú to im B(0 ; -1) v ( ) 2;2=BM , suy ra BCMB K MN // BC ct BD ti N thỡ BCNM l hỡnh ch nht. 0.25 * Phương trình đường thẳng MN là: 03 =−+ yx BDMNN ∩= nên 3 1 ; 3 8 N . Do BCNC ⊥ nên pt là 0 3 7 =−− yx 0.25 * Toạ độ C là nghiệm của hpt: −⇒ =−− =++ 3 5 ; 3 2 0 3 7 01 C yx yx Toạ độ vectơ = 3 8 ; 3 4 CM , nên phương trình AB là: 022 =++ yx 0.25 * Một vectơ chỉ phương của BN là vectơ pháp tuyến của AC, nên phương trình cạnh AC là: 0136 =++ yx E D B C A M N 0.25 2 Toạ độ trong không gian (1.00 điểm) * VTCP của d 2 là ( ) 1;5;2 −=v và cũng là VTPT của mp(P) đi qua M và vuông góc với d 2 . Pt mp(P) là: 0252 =++− zyx 0.25 * Gọi A là giao điểm của d 1 và mp(P) nên ( ) tttA 21;;32 −+− Thay vào phương trình mp(P) thì ( ) 3;1;51 −−⇒−= At 0.25 * Đường thẳng d cần lập pt có VTCP ( ) ( ) 2;2;61;1;3 −−=−= MAdou Vậy phường trình đường thẳng d là: 1 1 1 1 3 1 − − = − = − zyx (vì d ≠ d 2 ) 0.5 III. (1 điểm) * Đặt t = 2 x e − , Khi x = ln2 ⇒ t = 0 x = ln3 ⇒ t = 1 e x = t 2 + 2 ⇒ e 2x dx = 2tdt * I = 2 1 2 2 0 ( 2) 1 t tdt t t + + + ∫ = 2 1 2 0 2 1 ( 1 ) 1 t t dt t t + − + + + ∫ * = 2 1 0 ( 1)t dt− ∫ + 2 1 2 2 0 ( 1) 1 d t t t t + + + + ∫ * = 2 1 ( 2 ) 0 t t− + 2ln(t 2 + t + 1) 1 0 = 2ln3 - 1 0,25 0,25 0,25 0,25 IV. (1 điểm) * Áp dụng định lí cosin trong ∆ ABC có AB = AC = 2 3 a ⇒ S ABC∆ = 1 2 AB.AC.sin120 0 = 2 3 3 a . Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. * Theo định lí sin trong ∆ ABC ta có: sin BC A = 2R ⇒ R = 2 3 a = HA 0,25 0,25 ∆ SHA vuông tại H ⇒ SH = 2 2 SA HA− = 6 3 a ⇒ .S ABC V = 1 3 S ABC∆ .SH = 2 2 9 a * Gọi h A , h M lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) ⇒ 1 2 M A h SM h SA = = ⇒ h M = 1 2 h A . ∆ SBC vuông tại S ⇒ S SBC∆ = a 2 * Lại có: .S ABC V = 1 3 S SBC∆ .h A ⇒ h A = . 3 S ABC SBC V V ∆ = 2 3 a Vậy h M = d(M;(SBC)) = 2 6 a 0,25 0,25 VII.a (1 điểm) * Đặt z = x + yi (x; y ∈ R) |z - i| = | Z - 2 - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| * ⇔ x - 2y - 3 = 0 ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x - 2y - 3 = 0 * |z| nhỏ nhất ⇔ | OM uuuur | nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên ∆ * ⇔ M( 3 5 ;- 6 5 ) ⇒ z = 3 5 - 6 5 i 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VI (1d) 1 điểm +) Theo BĐT Côsi ta có ≤ ⇒ = ∈ 2 1 1 0<xy t (xy) 0; 4 16 0,25 +) Ta có = + + = + + 2 2 1 1 P 2 (xy) t 2 (xy) t − ⇒ = − = < ∀ ∈ 2 / 2 2 1 t 1 1 P 1 0, t 0; t t 16 0,25 +) B¶ng biÕn thiªn : t 0 1 16 P’ - P 289 16 0,25 +) Từ bbt ta có 289 min P 16 = tại 1 1 16 2 t x y= ⇔ = = 0,25 . II(2điểm): 1/ Giải bất phương trình : xxx 25 1 32 1 − ≤ −−+ 2/ Giải phương trình: 2 2 tan tan 2 cos tan 1 2 4 x x x x π + = − ÷ + Câu III (1 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= 2a ®Ò thi thö ®¹i häc M«n to¸n - n¨m häc 2009-2010 Thêi gian lµm bµi : 180’ ****************** Câu I(2 điểm): Cho hàm số ( ) ( ) 5522 224 +−+−+= mmxmxxf ( C ) 1/ Khảo sát sự biến thi n và. sát hàm số ( ) 12 24 +== xxyxf (C) (1.00 điểm ) 1* TXĐ: D = R 2* Sự biến thi n ca h m s : 0.25 * Bảng biến thi n: ( ) ( ) 1444'' 23 === xxxxyxf 1;1;00' ==== xxxy x -