http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 4 x x EI M y −='' (8.1) trong đó: Tích số EJ x là độ cứng khi uốn của dầm . 8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) là phương trình vi phân thường. Tích phân lần thứ nhất (8.1) ⇒ phương trình góc xoay: ∫ +−== Cdz EJ M y x x ' ϕ (8.2) Tích phân lần thứ hai ⇒ phương trình đường đàn hồi: ∫∫ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−= DdzCdz EJ M y x x (8.3) Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác đònh các điều kiện biên. Các điều kiện này phụ thuộc vào liên kết của dầm và phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm. Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau: + Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không (H.8.4a): y A = ϕ A = 0 + Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b): y A = y B = 0 + Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay bên phải ( điểm C trên H.8.4b): y C tr = y C ph ; ϕ C tr = ϕ C ph H. 8.4 y A = ϕ A = 0 A a) y A = 0 y B = 0 b) AB C http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 5 Thí dụ 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm công son (console) như H.8.5. Từ đó suy ra độ võng và góc xoay lớn nhất. Cho EJ x = hằng số. Giải. Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: M x =–Pz (a) thế vào (8.1) ⇒ phương trình vi phân của đường đàn hồi : xx x EJ Pz EJ M y =−='' (b) tích phân hai lần, ⇒ C EJ Pz y x +== 2 ' 2 ϕ (c) DCz EJ Pz y x ++= 6 3 (d) C và D được xác đònh từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại ngàm: z = L; ϕ = 0 và y = 0 thay các điều kiện này vào (c) và (d) ⇒ xx EJ PL D EJ PL C 3 ; 2 32 =−= Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là: ; 326 323 xxx EJ PL z EJ PL EJ Pz y +−= xx EJ PL EJ Pz 22 22 −= ϕ Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có: xx EJ PL EJ PL y 2 ; 3 23 max −== ϕ y max > 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống ϕ < 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ. A B y B = ϕ B = 0 P y z z L H .7.5 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 6 Thí dụ 8.2 Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6). Cho EJ x = hằng Giải. Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: 2 2 qz M x −= (a) thế vào (8.1), ⇒ x EJ qz y 2 '' 2 −= (b) tích phân hai lần, ⇒ C EJ qz y x +== 6 ' 3 ϕ (c) DzC EJ qz y x ++= 24 4 (d) hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L; ϕ = 0 và y = 0 cho : xx EJ qL D EJ qL C 8 ; 6 43 =−= Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là: ; 8624 434 xxx EJ qL z EJ qL EJ qL y +−= xx EJ qL EJ qL 66 33 −= ϕ Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có: 8 4 max x EJ qL y = và x A EJ qL 6 3 −= ϕ Thí dụ 8.3 Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản chòu tải phân bố đều (H.8.7). Độ cứng EJ x của dầm không đổi. Giải. Phương trình mômen uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là: () 2 2 222 zLz qqz z qL M x −=−= (a) thay vào (8.1), ⇒ phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau: z y A z L B L/2 H .8.7 q z A B y B = ϕ B = 0 q y z L H .8.6 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 7 () 2 2 '' zLz EJ q y x −−= (b) tích phân hai lần, ⇒ C zLz EJ q y x + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−== 322 ' 32 ϕ (c) DzC zLz EJ q y x ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= 1262 43 (d) điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm: ⎩ ⎨ ⎧ == == 0y;Lz:khi 0y;0z:khi ⇒ x EJ qL D 24 C ;0 3 == Như vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−= 3 3 2 23 21 24 L z L z z EJ qL y x (e) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−== 3 3 2 23 461 24 ' L z L z EJ qL y x ϕ (g) Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhòp ứng với: z = 2 L (tại đây y’ = 0) thay z = 2 L vào (e), x L z EJ qL yy 384 5 4 2 max == ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’ max , y’ min ) tại mặt cắt ngang có y” = 0 (hay M x = 0), tức ở các gối tựa trái và phải của dầm. Thay z = 0 và z = L lần lượt vào (g) ⇒ x EJ qL y 3 maxmax 24 1 ' == ϕ x EJ qL y 3 minmin 24 1 ' −== ϕ Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay của mặt cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ. http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 8 Thí dụ 8.4 Lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm trên hai gối tựa chòu lực tập trung P như H.8.8 cho biết EJ x = hằng số. Giải. Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB khác nhau nên biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác nhau. Viết cho từng đoạn các biểu thức M x , y’’, y’, y như sau: Mômen uốn M x trong các đoạn sau: Đoạn AC (0 ≤ z 1 ≤ a): 1)1( z L P b M x = (a) Đoạn CB (a ≤ z 2 ≤ L): () azPz L P b M x −−= 22)2( (b) Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn: Đoạn AC: 11 '' z LEJ Pb y x −= (c) Đoạn CB: () az EJ P z LEJ Pb y xx −+−= 222 '' (d) Tích phân liên tiếp các phương trình trên, ta được: Đoạn AC (0 ≤ z 1 ≤ a): 1 2 11 2 ' Cz LEJ Pb y x +−= (e) 111 3 11 6 DzCz LEJ Pb y x ++−= (g) Đoạn CB (a ≤ z 2 ≤ L): A z B P a H.8.8 b z 1 Z 2 L Pab/L Y http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 9 () 2 2 2 2 22 22 ' Caz EJ P z LEJ Pb y xx +−+−= (h) () 222 3 2 3 22 66 DzCaz EJ P z LEJ Pb y xx ++−+−= (i) Xác đònh các hằng số tích phân C 1 , D 1 , C 2 , D 2 từ các điều kiện biên - Ở gối tựa A, B độ võng bằng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai đoạn phải bằng nhau. ⇔ khi: z 1 = 0; y 1 = 0 z 2 = 0; y 2 = 0 z 1 = z 2 = a; y 1 = y 2 ; y 1 ’ = y 2 ’ Từ bốn điều kiện này ⇒: () ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−=+− ++−=++− =++−+− = 2 2 1 2 22 3 11 3 22 3 3 1 22 66 0 66 0 ca LEJ Pb ca LEJ Pb Daca LEJ Pb Daca LEJ Pb DLCaL EJ P L LEJ Pb D xx xx xx Giải hệ phương trình trên, ⇒ D 1 = D 2 = 0; ( ) 22 21 6 bL LEJ Pb CC x −== Vậy phương trình góc xoay và độ võng trong từng đoạn là: Đoạn AC (0 ≤ z 1 ≤ a): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − == 66 26 3 1 1 22 1 2 1 22 ' 11 z z bL LEJ Pb y zbL LEJ Pb y x x ϕ Đoạn BC (a ≤ z 2 ≤ L): () () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −== 666 622 3 2 2 22 3 2 2 22 2 2 2 2 ' 22 z z bL L b az LEJ Pb y bL b azLz LEJ Pb y x x ϕ Tính độ võng lớn nhất trong dầm bằng cách dựa vào điều kiện y’ = 0, http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 10 Giả sử a > b. Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào Ở gối tựa A (z 1 = 0) góc xoay bằng: 01 6 2 2 1 > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= L b EJ PbL x A ϕ và ở C (z 1 = a): () 0 3 1 <−−= ba EJ PbL x C ϕ Như vậy, giữa hai điểm A và C góc xoay ϕ 1 đổi dấu, nghóa là sẽ bò triệt tiêu một lần. Điều đó cho thấy độ võng có giá trò lớn nhất trong đoạn AC. Để tìm hoành độ z 1 (0) của mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình ϕ 1 = 0: [] ()() 0 2 0 6 )0( 2 1 2 11 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = zbL LEJ Pb z x ϕ ⇒ 3 )0( 22 1 bL z − = (o) Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng, ⇒ giá trò lớn nhất của độ võng () ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − == 2 222 1max 1 27 3 )0(1 L b EJ bLPb yy x z (p) Các hệ quả: - Nếu P đặt ở giữa nhòp dầm ( ) 2 / Lb = , thì từ (o) và (p) , ta được: x EJ PL yL L z 48 ; 500,0 2 )0( 3 max1 === - Khi P ở gần gối B, tức b → 0 ta có: z 1 (0) = 3 L = 0577L Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhòp dầm đến gối tựa B (H.8.9) thì hoành độ z 1 (0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là từ điểm D đến điểm E. Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải trọng P tác dụng ở một vò trí nào đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở giữa nhòp dầm. Thí dụ, nếu tải trọng P tác dụng ở vò trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa nhòp dầm sẽ bằng: () ( ) 22 2 43 48 bL EJ Pb y x l −= So sánh hai giá trò y max và () 2l y thấy hai giá trò này khác nhau và rất ít . 0,500L A z B E D 0,577L H.8.9 . Xác đònh các hằng số tích phân C 1 , D 1 , C 2 , D 2 từ các điều kiện biên - Ở gối tựa A, B độ võng bằng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai đoạn phải. () ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − == 2 222 1max 1 27 3 )0(1 L b EJ bLPb yy x z (p) Các hệ quả: - Nếu P đặt ở giữa nhòp dầm ( ) 2 / Lb = , thì từ (o) và (p) , ta được: x EJ PL yL L z 48 ; 500,0 2 )0( 3 max1 === - Khi P ở gần gối B, tức b → 0 ta