. THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ). PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im) Cõu I (2 im) Cho hàm số 1 12 + = x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(I tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất . Cõu II (2 im) : 1. Gii h phng trỡnh: =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx 2.Gii phng trỡnh : 01cossin2sinsin2 2 =++ xxxx . Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn ( ) ( ) 3 2 2 2 0 1 1 2 1 x I dx x x = + + + + Cõu IV (1 im) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, bit khong cỏch gia AB v mt phng (SCD) bng 2. Gúc gia mt bờn v mt ỏy bng 60 0 .Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABCD Cõu V (1 im) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 1).12(48 22 ++=++ xxmx . PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2) 1. Theo chng trỡnh chun. Cõu VI.a (2 im) 1. Cho ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM: 2 1 0x y+ + = v phõn giỏc trong CD: 1 0x y+ = . Vit phng trỡnh ng thng BC. 2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh: 2 2 2 2 x t y t z t = + = = + .Gi l ng thng qua im A(4;0;-1) song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua , hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht. Cõu VII.a (1 im) Với x,y là các số thực thuộc đoạn [ ] 0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 1 1 2 9 3 2 1 1 1 xy P xy x y xy x y + = + + + + + + + + + 2. Theo chng trỡnh nõng cao. Cõu VI.b (2 im) 1) Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn 2 2 ( ): 2 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2 ( ') : 4 5 0C x y x+ + = cựng i qua M(1; 0). Vit phng trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn ( ), ( ')C C ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB. 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d : z y x = = 1 2 và d : 1 5 3 2 2 + == z y x . Viết phơng trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d một góc 0 30 Cõu VII.b (1 im) Cho 0 x y z< : Chng minh rng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + + + + + + + + + + + + + + Ht Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010 Hớng dẫn chấm môn toán Cõu Phn Ni dung I (2,0) 1(1,0) Lm ỳng, cỏc bc theo S kho sỏt hm s cho im ti a. 2(1,0) . Tập xác định : 1 x . 1 3 2 1 12 + = + = xx x y , 2 )1( 3 ' + = x y , Bảng biến thiên: Tiệm cận đứng : 1=x , tiệm cận ngang 2=y 2. Nếu )( 1 3 2; 0 0 C x xM + thì tiếp tuyến tại M có phơng trình )( )1( 3 1 3 2 0 2 00 xx xx y + = + + hay 0)1(3)2()1()(3 0 2 00 =++ xyxxx . Khoảng cách từ )2;1(I tới tiếp tuyến là ( ) 2 0 2 0 4 0 0 4 0 00 )1( )1( 9 6 )1(9 16 19 )1(3)1(3 ++ + = ++ + = ++ + = x x x x x xx d . Theo bất đẳng thức Côsi 692)1( )1( 9 2 0 2 0 =++ + x x , vây 6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi ( ) 3131)1( )1( 9 0 2 0 2 0 2 0 ==++= + xxx x . Vậy có hai điểm M : ( ) 32;31 + M hoặc ( ) 32;31 + M Cõu í 1 1) CõuII:2. Gii phng trỡnh: 01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2 22 =+=++ xxxxxxxx . 22 )3cos2()1(cos8)1cos2( == xxx . Vậy 5,0sin =x hoặc 1cossin = xx . Với 5,0sin =x ta có kx 2 6 += hoặc kx 2 6 5 += Với 1cossin = xx ta có == = 4 sin 2 2 4 sin1cossin xxx , suy ra kx 2 = hoặc kx 2 2 3 += 2 Giải hệ phơng trình: =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx * Hệ phơng trình tơng đơng với =++ =+ 022)2( 4)3()2( 22 222 xyx yx 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0 x y x y x + = + + + = Dat 2 2 3 x u y v = = * Thay vào hệ phơng trình ta có: 2 2 4 . 4( ) 8 u v u v u v + = + + = 2 0 u v = = hoặc 0 2 u v = = thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : 2 3 x y = = ; 2 3 x y = = ; 2 5 x y = = ; 2 5 x y = = ; Cõu Phn III (1,0) t 2 1 x t+ + = x =(t-2) 2 -1, dx = 2(t-2)dt ; x =0 t =3, x = 3 t = 4 a v 4 2 3 42 36 2 16I t dt t t = + ữ Tớnh ra c I = -12+ 42ln 4 3 IV + Goij I, J ln lt l trung im ca AB v CD, H l hỡnh chiu ca I trờn SJ. Chng t c IH = 2 v gúc 0 60SJI = + Gi O l tõm ỏy, chng minh c SO = 2, 4 IJ= 3 + Tớnh c V S.ABCD = 32 9 ( vtt) V Nhận xét : 10x 48 2 ++ x = 2(2x+1) 2 +2(x 2 +1) Phơng trình tơng đơng với : 2 ( 02) 1 12 () 1 12 2 2 2 =+ + + + + x x m x x . Đặt t x x = + + 1 12 2 Điều kiện : -2< t 5 . Rút m ta có: m= t t 22 2 + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ] 5,2 , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: hoặc -5 < 4<m VIa 1 im ( ) : 1 0 ;1C CD x y C t t + = . Suy ra trung im M ca AC l 1 3 ; 2 2 t t M + ữ . S A B C D I J 60 0 O H Điểm ( ) 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C + − ∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ − ÷ Từ A(1;2), kẻ : 1 0AK CD x y⊥ + − = tại I (điểm K BC ∈ ). Suy ra ( ) ( ) : 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + = . Tọa độ điểm I thỏa hệ: ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + − = ⇒ − + = . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của ( ) 1;0K − . Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y + = ⇔ + + = − + 2 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng ∆ , thì ( ) //( )P D hoặc ( ) ( )P D⊃ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH AH⊥ . Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d D P d I P IH H P = = ∈ Trong mặt phẳng ( ) P , IH IA≤ ; do đó axIH = IA H Am ⇔ ≡ . Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là ( ) 6;0; 3n IA= = − r uur , cùng phương với ( ) 2;0; 1v = − r . Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: ( ) ( ) 2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + = . VIIa + Ta cã : 1 (*) 2 1 xy x y xy x y + + ≥ + + + . ThËt vËy: ( ) ( ) ( ) ( ) (*) 1 1 2xy x y x y xy⇔ + + + ≥ + + ( ) ( ) 1 1 0x y⇔ − − ≥ §óng víi x,y thuéc [ ] 0;1 Khi ®ã 1 1 1 1(1) 2 1 1 1 xy x y xy x y x y x y + + + ≥ + = + + + + + + + + V× [ ] ; 0;1 0 1x y xy∈ ⇒ ≤ ≤ 2 1 2 1(2) 1 xy xy ⇒ + ≤ ⇒ ≥ + +Tong tù: ( ) ( ) 3 3 9 0 2 1 9 1(3) 1 x y x y x y ≤ + ≤ ⇒ + + ≤ ⇒ ≥ + + Từ (1);(2);(3) Ta có : 3P Vậy , MinP=3 khi x=y=1 VIb 1) + Gi tõm v bỏn kớnh ca (C), (C) ln lt l I(1; 1) , I(-2; 0) v 1, ' 3R R= = , ng thng ( 2 2 ( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b + = + = + . + Gi H, H ln lt l trung im ca AM, BM. Khi ú ta cú: 2 2 2 2 2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= = ( ) ( ) 2 2 1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d = , .IA IH > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35 a b d I d d I d a b a b = = + + 2 2 2 2 2 2 36 35 36 a b a b a b = = + D thy 0b nờn chn 6 1 6 = = = a b a . Kim tra iu kin IA IH> ri thay vo (*) ta cú hai ng thng tho món. 2 .Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng )1;1;1( u Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2(' M và có vectơ chỉ phơng )1;1;2(' u . Mp )( phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt = ++ + =+ 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA = += +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta có 0)2)((02 22 =+= CACACACA . Vậy CA = hoặc CA =2 . Nếu CA = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2=B , tức là )1;2;1(=n và )( mp có phơng trình 0)2(2 =++ zyx hay 042 =++ zyx Nếu CA =2 ta có thể chọn 2,1 == CA , khi đó 1=B , tức là )2;1;1( =n và )( mp có phơng trình 02)2( = zyx VIIb 1,00 Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + − − + + − + + + + + + + + ≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y z x x y z x z y x y z y z x z y z x x y x y x y ⇔ + + − + + + + − + + + + + + + ≤ + + + (1) Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y Từ (1) 3 2 2 ab a b c b a c abc c c ⇔ − + − + ≤ + ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ + (2) Ta có: 2 2 (3) 2 b c c b c b c ab a c b c − + − ≤ = ⇔ − ≤ Tương tự: ( ) 4 2 ab b c a c− ≤ ( ) 2 2 5c ab c ab≤ + Cộng (3); (4); (5) ta được: ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ + đpcm Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c a. 2z+y=2z+x=4x+2y b. x=y= 2 5 z 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + − − + + − + + + + + + + + ≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y z x x y z x z y x y z y z x z y z x x y x y x y ⇔ + + − + + + + − + + + + + + + ≤ + + + (1) Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y Từ (1) 3 2 2 ab a b c b a c abc c c ⇔ − + − + ≤ + ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ + (2) Ta có: 2 2 (3) 2 b c c b c b c ab a c b c − + − ≤ = ⇔ − ≤ Tương tự: ( ) 4 2 ab b c a c− ≤ ( ) 2 2 5c ab c ab≤ + Cộng (3); (4); (5) ta được: ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ + đpcm Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c c. 2z+y=2z+x=4x+2y d. x=y= 2 5 z 0,25 0,25 0,25 0,25 . 01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2 22 =+=++ xxxxxxxx . 22 )3cos2()1(cos8)1cos2( == xxx . Vậy 5,0sin =x hoặc 1cossin = xx . Với 5,0sin =x ta có kx 2 6 += hoặc kx 2 6 5 += Với 1cossin = xx . . THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ). PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im) Cõu I (2 im) Cho hàm số 1 12 + = x x y 1. Khảo sát sự biến thi n. )1;1;2(' u . Mp )( phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt = ++ + =+ 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA = += +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta