THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Đề thi số 2

Thi thử Đại học Môn Toán THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Đề thi số 2 Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 23 23 +−= xxy a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = + b) Giải phương trình 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .− + = Câu III ( 2 điểm) a) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ b) Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( =xf có đúng hai nghiệm. Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3 2 12 1 − + == − zyx và mặt phẳng 012:)( =−++ zyxP a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . b) Viết phương trình mặt phẳng )(Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm )0,0,1(I tới )(Q bằng 3 2 . B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển ( ) 60 3 2 3 .+ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1 Thi thử Đại học Môn Toán Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao a) Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx . b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp. ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2y x x .= − + • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R. = • Sự biến thiên: 2 3 6y' x x.= − Ta có 0 0 2 x y' x =  = ⇔  =  0,25 • ( ) ( ) 0 2 2 2 CD CT y y ; y y .= = = = − 0,25 • Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + y 2 +∞ −∞ 2− 0,25 • Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25 b) Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. • Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x − − = ⇔ − − − = ≠ − Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của ( ) ( ) 2 2 2 1y x x x , C'= − − − và đường thẳng 1y m,x .= ≠ 0,25 • Vì ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 f x khi x y x x x f x khi x >  = − − − =  − <   nên ( ) C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x .= + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x = qua Ox. 0,25 • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Dựa vào đồ thị ta có: + 2m : < − Phương trình vô nghiệm; + 2m : = − Phương trình có 2 nghiệm kép; 0,25 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2 Thi thử Đại học Môn Toán + 2 0m :− < < Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + 0m :≥ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0,25 Câu II 2 điểm a) Giải phương trình ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = + • Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x+ − + = 0,75 • Do đó nghiệm của phương trình là 7 2 5 2 2 2 6 6 18 3 18 3 k k x k ; x k ; x ; x π π π π π π π π = − + = + = + = + 0,25 b) Giải phương trình 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .− + = • Điều kiện: 1 1 0 2 4 16 x ;x ;x ;x .> ≠ ≠ ≠ • Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho 0,25 • Với 1x ≠ . Đặt 2 x t log= và biến đổi phương trình về dạng 2 42 20 0 1 4 1 2 1t t t − + = − + + 0,5 • Giải ra ta được 1 1 2 4 2 2 t ;t x ;x .= = − ⇒ = = Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 1 4 2 x ; x .= = 0,25 Câu III a) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 3 3 3 3 3 3 1 4 3 x dx I xd J , cosx cosx cosx π π π π π π π − − −   = = − = −  ÷   ∫ ∫ với 3 3 dx J cosx π π − = ∫ 0,25 • Để tính J ta đặt t sin x.= Khi đó 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 dx dt t J ln ln . cosx t t π π − − − − − = = = − = − − + + ∫ ∫ 0,5 • Vậy 4 2 3 3 2 3 I ln . π − = − + 0,25 b) Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( =xf có đúng hai nghiệm. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3 Thi thử Đại học Môn Toán • Ta có x f ( x ) e x cos x. ′ = + − Do đó ( ) 0 x f ' x e x cos x.= ⇔ = − + 0,25 • Hàm số x y e= là hàm đồng biến; hàm số y x cosx = − + là hàm nghịch biến vì 1 0y' sin x , x= − + ≤ ∀ . Mặt khác 0 = x là nghiệm của phương trình x e x cos x= − + nên nó là nghiệm duy nhất. 0,25 • Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x= (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình 0)( =xf có đúng hai nghiệm. • Từ bảng biến thiên ta có ( ) 2 0min f x x .= − ⇔ = 0,5 Câu IV a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . • Tìm giao điểm của d và (P) ta được 1 7 2 2 2 A ; ;   −  ÷   0,25 • Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 1 1 2 0 d P d p u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ; ∆   = − = ⇒ = = −   uur uur uur uur uur 0,5 • Vậy phương trình đường thẳng ∆ là 1 7 2 2 2 2 : x t; y t; z .∆ = + = − = − 0,25 b) Viết )(Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm )0,0,1(I tới )(Q bằng 3 2 . • Chuyển d về dạng tổng quát 2 1 0 3 2 0 x y d : y z − − =   + + =  0,25 • Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 0 0m x y n y z ,m n− − + + + = + ≠ ( ) 2 3 2 0mx m n y nz m n⇔ − − + − + = 0,25 • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 0 7 5 3 0 3 d I; Q Q : x y z , Q : x y z .= ⇒ + + + = + + + = 0,5 Câu VIa a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. • Ta có ( ) 1 2 2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .= ∩ ⇒ − − ⇒ − + = 0,25 • Gọi A' đối xứng với A qua ( ) ( ) 1 2 3 4 1d H ; , A' ; .⇒ 0,25 • Ta có 3 1 0A' BC BC : x y .∈ ⇒ − − = 0,25 • Tìm được ( ) 28 9 7 35 0C ; AC : x y .⇒ − + = 0,25 b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển ( ) 60 3 2 3 .+ • Ta có ( ) 60 60 60 3 3 2 60 0 2 3 2 3 kk k k C . − = + = ∑ 0,5 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4 Thi thử Đại học Môn Toán • Để là số hữu tỷ thì ( ) 60 2 2 6 3 k k k . k − ⇒  ⇒    M M M M Mặt khác 0 60k ≤ ≤ nên có 11 số như vậy. 0,5 Câu Vb a) Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx • Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 2 9 3 2 27 3 6 2 3 4 x x x x . . . .+ = − 0,5 • Từ đó ta thu được 3 2 3 2 2 2 39 39 x x log   = ⇔ =  ÷   0,5 b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp. • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC.⊥ Gọi I AC' SO.= ∩ 0,25 • Kẻ B' D' // BD. Ta có 2 1 1 2 3 3 2 2 3 2 6 AD' C' B' a a S B' D' .AC' . BD. .= = = 0,5 Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5 . Thi thử Đại học Môn Toán THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Đề thi số 2 Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 23 23 +−= xxy a) Khảo. 2 Thi thử Đại học Môn Toán + 2 0m :− < < Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + 0m :≥ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0 ,25 Câu II 2 điểm a) Giải phương trình ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin. ) 60 3 2 3 .+ • Ta có ( ) 60 60 60 3 3 2 60 0 2 3 2 3 kk k k C . − = + = ∑ 0,5 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4 Thi thử Đại học Môn Toán • Để là số hữu tỷ thì ( ) 60 2 2 6 3 k