DE THI HOC KY II TOAN 7

( ) ( trung điểm BC) (cạnh chung) AB AC gt BM CM M ABM ACM AM =   = ⇒ =    V V ƠN TẬP HÌNH HỌC 7 HỌC KỲ II. 1. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC. BÀI TẬP THAM KH Ả O. BÀI 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM là phân giác góc A. Hướng dẫn: Xét và ABM ACMV V A Ta có: (cạnh-cạnh-cạnh) B M C Suy ra: · · ABM ACM= (góc tương ứng) Vậy AM là phân giác góc A. BÀI 43/125 SGK. Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA<OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA; OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng Minh rằng: a/ AD = BC b/ EAB ECD=V V c/ OE là phân giác của góc xOy. B x A 2 1 E O 2 1 1 2 C D y Hướng dẫn: a/ Chứng minh: AD = BC. Xét và OBC ODAV V Ta có: µ ( ) chung ( ) OB OD gt O OBC ODA OC OA gt =   ⇒ =   =  V V (c-g-c) Suy ra AD = BC (cạnh tương ứng) TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 1 b/ Chứng minh: EAB ECD = V V . Ta có: AB = OB – OA CD = OD – OC Mà OB = OD (gt), OA = OC (gt) Suy ra AB = CD (1) Mặt khác: ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ ¶ 0 2 1 0 2 1 2 2 1 1 180 (kề bù) 180 (kề bù) (2) mà A ( ) A A C C A C C OBC ODA  = −   = − ⇒ =   = =   V V µ µ ( ) (3)B D OBC ODA= =V V Từ (1), (2), (3) suy ra EAB ECD=V V (g- c- g) c/ OE là phân giác của góc xOy. Xét và OAE OCEV V Ta có: ( ) cạnh chung ( EAB= ECD) OA OC gt OE OAE OCE EA EC =   ⇒ =   =  V V V V (c-c-c) Suy ra µ ¶ 1 2 O O= (góc tương ứng) Vậy OE là phân giác của góc xOy. 2. TAM GIÁC CÂN. Bài tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ BH vuông góc với AC, (H ∈ AC). Biết Â= 60 0 . Tính góc CBH. Hướng dẫn: A Tam giác ABC cân tại A, ta có: H µ µ B C= , mà Â = 60 0 Do đó µ µ B C= = 60 0 B C Vậy tam giác ABC là tam giác đều. Xét và ABH CBHV V Ta có: · · 0 90 (BH AC) BH cạnh chung ( ABC đêù) AHB CHB OAE OCE AB CB  = = ⊥  ⇒ =   =  V V V (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra · · =ABH CBH (góc tương ứng) Đo đó: · · µ 0 0 60 30 2 2 = = = = B ABH CBH TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 2 Vậy tam giác BHC là nửa tam giác đều. Bài tập 2. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E, F sao cho AD= BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều. Hướng dẫn: A D F B E C Tam giác ABC đều. Suy ra: AB = BC = CA Mà AD = BE = CF (gt) Nên DB = EC = FA Do đó: DBE ECF FAD= =V V V (c-g-c). Suy ra: DE = EF = FD Vậy tam giác DEF đều. Bài tập 3. Cho tam giác ABC cân tại A. lấy điểm D và E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho AD = AE a/ Chứng minh rằng: BE = CD. b/ Gọi I là giao điểm của BE và CD, chứng minh IB = IC. Hướng dẫn: A a/ Xét ADCV và AEBV D E Ta có: I AD = AE (gt) B C Â chung AB = AC ( ABCV cân) Suy ra ADCV = AEBV (c-g-c) Do đó BE = CD (cạnh tương ứng). b/ Ta có ADCV = AEBV (c m t) Suy ra: · · ABE ACD= (góc tương ứng). Mà · · ABC ACB= ( ABCV cân tại A) Do đó · · IBC ICB= . Vậy IBCV cân tại I. Suy ra IB = IC (cạnh tương ứng). 3. ĐỊNH LÝ PY-TA-GO TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 3 Bài tập 56/131 SGK. Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau: a/ 9cm, 15cm, 12cm b/ 5dm, 13dm, 12dm c/ 7m, 7m, 10m Hướng dẫn: Ta có: a/ 9 2 = 81; 15 2 = 225; 12 2 = 144 Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông. b/ 5 2 = 25; 13 2 = 169; 12 2 = 144 Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông. c/ 7 2 = 49; 10 2 = 100; 12 2 = 144 Ta thấy 100 ≠ 49 + 49 nên tam giác có ba cạnh đã cho không là tam giác vuông. Bài tập 60/113 SGK. Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC ( )H BC∈ . Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính độ dài AC, BC. Hướng dẫn: A 13 12 B H 16 C Xét tam giác AHC vuông tại H. p dụng đònh lý Py-Ta-Go ta có: 2 2 2 2 2 2 2 12 16 12, 16 144 256 400 20 AC AH HC AC AH HC AC AC  = + ⇒ = +  = =  ⇒ = + = ⇒ = Tương tự áp dụng đònh lý Py-Ta-Go cho tam giác ABH. Xét tam giác ABH vuông tại H . p dụng đònh lý Py-Ta-Go ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 12 12, 13 13 12 169 144 25 5 AB BH HA BH AH AB BH BH BH BH  = + ⇒ = +  = =  ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 4 Ta có H nằm giữa B và C Do đó: BH +HC = BC Mà BH = 5cm, HC = 16 Ta tính được BC = 21cm. Bài tập 65/137 SGK. Cho tam giác ABC cân tại A ( Â < 90 0 ). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB). a/ Chứng minh rằng AH = AK. b/ Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A. Hướng dẫn: A AB = AC, Â < 90 0 BH ⊥ AC (H ∈ AC) K H GT CK ⊥ AB (K ∈ AB) I KL a) AH = AK B C b) AI là phân giác góc A a) Chứng minh =V VABH ACK Xét và ABH ACKV V Ta có: · · µ 0 =90 (BH AC, CK AB) ( cân tại A) A góc chung AHB AKC AB AC ABC ABH ACK  = ⊥ ⊥  = ⇒ =    V V V (cạnh huyền,góc nhọn) Suy ra AH = AK (cạnh tương ứng) b) Chứng minh AI là phân giác góc A. Xét và AKI AHIV V Ta có: · · 0 =90 (BH AC, CK AB) ( ) AI cạnh chung AKI AHI AK AH cmt AKI AHI  = ⊥ ⊥  = ⇒ =    V V (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra · · KAI HAI= (góc tương ứng) Vậy AI là phân giác góc A. Bài tập 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD.Chứng minh rằng: a/ BE = CD. b/ KBD KCE = V V . c/ AK là tia phân giác của góc A. d/ KBCV là tam giác cân Hướng dẫn: TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 5 · µ · · µ · µ µ · · · · ( ) ( ) DBK B EBC ECK C DCB B C ABCcan EBC DCB KBD KCE DBK ECK  = −   = −  =   = =  ⇒ = V V V A ABCV cân tại A GT AD = AE D E KL a/ BE = CD. K b/ KBD KCE = V V . B C c/ AK là . . . . d/ KBCV cân a/ Chứng minh.BE = CD. DBC ECB = V V (c.g.c) Xét tam giác DBC và tam giác ECB. Ta có: ( ) ( ) DB AB AD DB AC AE DB EC AB AC gt AD AE gt = −   = −  ⇒ =  =   =  (1) µ µ B C= ( ABCV cân tại A) (2) BC (cạnh chung) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra DBC ECB = V V (c.g.c) Suy ra BE = CD (cạnh tương ứng). b/ KBD KCE = V V . Xét tam giác KBD và tam giác KCA. Ta có: (1) DB = EC (cmt) (2) · · BDC CEB= ( DBC ECB = V V cmt) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra KBD KCE = V V (g.c.g). c/ AK là tia phân giác của góc A. ADK AEK=V V (c.c.c) Suy ra · · DAK EAK= (góc tương ứng) Vậy AK là phân giác góc A. d/ KBCV cân. Ta có KBD KCE = V V (cm câu b). Suy ra KB = KC (cạnh tương ứng). Vậy KBCV cân tại I. TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 6 Bài tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(5; 4); B(2; 3); C(6; 1). Tính các cạnh và các góc của tam giác ABC. y 4 A 3 B 2 1 C O 1 2 3 4 5 6 x AB 2 = (5-2) 2 + (4-3) 2 = 10 (1) AC 2 = (6-5) 2 + (4-1) 2 = 10 (2) BC 2 = (6-2) 2 + (3 -1) 2 = 20 (3) Từ (1) và (2) suy ra AB 2 = AC 2 Vì AB, AC >0 nên AB = AC. Vậy ABCV cân tại A. Ta lại có: AB 2 + AC 2 = 20 (4) BC 2 = 20 (5) Từ (4) và (5) suy ra: BC 2 = AB 2 + AC 2 Do đó ABCV vuông tại A. Vậy ABCV vuông cân tại A. Suy ra µ µ 0 45B C= = Bài tập 3. Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). a/ Chứng minh rằng: HB = HC và · · BAH CAH= . b/ Kẻ HD vuông góc với AB (H ∈ BC), HE vuông góc với AC (E ∈ AC) Chứng minh HDEV cân. c/ Tính độ dài AH. d/ Chứng minh AH là phân giác góc DHE. TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 7 Hướng dẫn: A ABCV cân tại A AH ⊥ BC (H ∈ BC) HD ⊥ AB (D ∈ AB) D E GT HE ⊥ AC (E ∈ AC) AB = AC = 5, BC = 6 B H C KL a/ HB = HC và · · BAH CAH= . b/ HDEV cân. c/ Tính độ dài AH d/AH là phân giác góc DHE. a/HB = HC và · · BAH CAH= Xét V V và AHB AHC Ta có: · · µ µ  = = ⊥  = ⇒   =  V V V V 0 90 ( ) ( ABC cân taiï A) ABH= ACH (cạnh huyền-góc nhọn) ( ABC cân taiï A) AHB AHC AH BC AB AC B C Suy ra HB = HC (cạnh tương ứng). Suy ra · · BAH CAH= (góc tương ứng). b/ Chứng minh HDEV cân Xét V V và HBD HCE Ta có: · · µ µ  = = ⊥ ⊥  = ⇒   =  V V V 0 90 ( ; ) (cmt) = (cạnh huyền-góc nhọn) ( ABC cân taiï A) HDB HEC HD AB HE AC HB HC HBD HCE B C Ta có BHD CHE = V V (cmt) Suy ra HD = HE (cạnh tương ứng). Vậy HDEV cân tại H. c/ Tính độ dài AH Ta có HB = HC (cmt) Suy ra HB = HC = 2 BC , mà BC = 6 Vậy HB = HC = 3 Tam giác AHC vuông tại H. p dụng đònh lý Py-ta-go Ta có: AC 2 = AH 2 + HC 2 Mà AC = 5(gt), HC = 3 (cmt). Suy ra 5 2 = AH 2 + 3 2 5 2 - 3 2 = AH 2 TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 8 25 – 9 = AH 2 16 = AH 2 4 = AH Vậy AH = 4 cm d/AH là phân giác góc DHE Xét V V và AHD AHE Ta có: · ·  = = ⊥ ⊥  ⇒    V V 0 90 ( ; ) (cạnh chung) AHD= AHE (cạnh huyền-cạnh góc vuông) HD = HE (cmt) ADH AEH HD AB HE AC AH Suy ra · · AHD AHE= (góc tương ứng) Vậy AH là phân giác của góc DHE. 4. GÓC ĐỐI DIỆN VỚI CẠNH LỚN HƠN Bài tập 3/56 SGK. Cho tam giác ABC vơí µ 0 100A = , µ 0 40B = . a/ Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC. b/ Tam giác ABC là tam giác gì? B 40 0 GT µ 0 100A = µ 0 40B = 100 0 KL a/Tìm cạnh lớn A C b/ ABCV ? a/ Trong tam giác ABC ta có: Góc A là góc tù, vậy cạnh lớn nhất là cạnh BC. b/Tam giác ABC là tam giác gì? Xét tam giác ABC ta có: µ µ µ µ µ µ 0 0 0 0 180 40 100 , 40 A B C C A B  + + =  ⇒ =  = =   Do đó µ µ 0 40B C= = Vậy tam giác ABC cân tại A. Bài tập 5/56 SGK. Ba bạn Hạnh, Nguyên, Trang đi đến trường theo ba con đường khác nhau AD, BD, CD. Biết rằng ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường thẳng và góc ACD là góc tù. Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần nhất? Hãy giải thích. D (Trường) 1 2 · 0 90ACD > A B C (Hạnh) (Nguyên) (Trang) TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 9 Hướng dẫn: Xét DBCV ta có: µ µ 0 2 0 90 90 ( ) DBC B C gt   ⇒ <  >   V Do đó µ µ 2 C B> DB DC ⇒ > (1) (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác). Ta lại có: µ µ 0 1 90B C> > (góc ngoài của DBCV ) Suy ra µ µ 1 B A> . Xét DABV ta có: µ µ 1 ( ) DAB AD DB B A cmt   ⇒ >  >   V (2) (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác). Từ (1) và (2) suy ra DA > DB > DC (tính chất bắt cầu) Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất. Bài 3. Cho tam giác ABC có AB < AC. a/Gọi M là trung điểm của BC. So sánh · BAM và · CAM . b/Gọi AI là tia phân giác của góc A (I ∈ BC). Chứng minh IB < IC. Hướng dẫn: A A 1 2 1 1 2 1 2 E B M 2 C 1 B 2 I C D ABCV , AB<AC, BM=CM GT · · BAI CAI= , I ∈ BC KL a/So sánh · BAM và · CAM b/ IB < IC a/Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = AM. Ta có AMB DMC = V V (c-g-c) Suy ra µ µ 1 A D= (góc tương ứng). AB = DC (cạnh tương ứng). Tam giác ABC có AB <AC (gt) TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương 10 [...]... ,x > 0 p dụng bất đẳng thức tam giác ta có: 7, 9 – 3,9 < x < 7, 9 – 3,9 4 < x < 11,8 Vậy x = 7, 9 cm Chu vi của tam giác cân là 19 ,7 cm 7 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC Bài tập 24/66 SGK M S G N R P 2 1 MR, GR = MR, 3 3 a) 1 GR = MG 2 MG = TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE GV:Nguyễn Văn Tương 13 2 3 b) NS = NG, NS = 3GS , NG = 2GS B Bài tập 25/ 67 SGK M 3 G A 4 C Theo đònh lý Py-ta-go ta có:... = AB2 + AC2 Mà AB = 3 cm, AC = 4 cm Suy ra BC2 = 52 ⇒ BC = 5 Bài tập 28 SGK D E I F a/ VDEI =VDFI )(c.c.c) · · b/ Từ a/ ta có: DIE = DIF · · Ta lại có: DIE + DIF = 1800 · · Nên DIE = DIF = 900 Vậy các góc đó là góc vuông 1 2 c/ IE = FE = 10 = 5cm 2 Tam giác DIE vuông tại I, áp dụng đònh lý Py-ta-go ta có: DI2 = DE2 – IE2 = 132 – 52 = 122 Vậy DI = 12 8 TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM THUỘC TIA PHÂN GIÁC Bài tập... suy ra tam giác BEC vuông cân tại E · · b/ BEH = CEK vì cùng phụ với góc BEK c/ VBEH =VCEK (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra EH = EK ⇒ AE là tia phân giác của góc A 9 ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Bài tập 40 /73 SGK A •G B M C a / ∆ ABD = ∆ ACD (c - g - c ) · · b / Từ a) suy ra BD = CD , Do đó ∆ BCD cân tạiD , Suy ra DBC = DCB Tam giác ABC cân tại A Suy ra Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc AM Điểm I nằm trong . > 0. p dụng bất đẳng thức tam giác ta có: 7, 9 – 3,9 < x < 7, 9 – 3,9 4 < x < 11,8 Vậy x = 7, 9 cm. Chu vi của tam giác cân là 19 ,7 cm. 7. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC. Bài tập. rằng tam giác DEF là tam giác đều. Hướng dẫn: A D F B E C Tam giác ABC đều. Suy ra: AB = BC = CA Mà AD = BE = CF (gt) Nên DB = EC = FA Do đó: DBE ECF FAD= =V V V (c-g-c). Suy ra: DE = EF = FD Vậy. vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau: a/ 9cm, 15cm, 12cm b/ 5dm, 13dm, 12dm c/ 7m, 7m, 10m Hướng dẫn: Ta có: a/ 9 2 = 81; 15 2 = 225; 12 2 = 144 Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam