QUAN HỆ VUÔNG GÓC Bài 1: Tứ diện SABC có SA vuông góc với mp ABC .Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.CMR: a AH,SK và BC đồng quy b SC vuông góc với BHK c HK vu
Trang 1QUAN HỆ VUÔNG GÓC Bài 1: Tứ diện SABC có SA vuông góc với mp (ABC) Gọi H và K lần lượt là trực tâm
của các tam giác ABC và SBC.CMR:
a) AH,SK và BC đồng quy
b) SC vuông góc với (BHK)
c) HK vuông góc với (SBC)
Bài 2: Cho hình vuông ABCD ,H là trung điểm của AB ,K là trung điểm của AD.Trên
đường thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại H lấy một điểm S khác với H CMR:
a) AC vuông góc với (SHK)
b) CK vuông góc với DH và CK vuông góc với SD
Bài 3: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau.Gọi H
là điểm thuộc mp (ABC) sao cho OH vuông góc với mp (ABC) CMR :
a) BC vuông góc với (OAH)
b) H là trực tâm của tam giác ABC
OC
1 OB
1 OA
1 OH
1
+ +
=
Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SB = SD
a) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn BD
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD.Chứng minh
SH= SK, OH=OK, và HK song song với BD
c) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn HK
Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SA vuông góc với (ABCD) và
SA = a 2 Gọi AH là đường cao của tam giác SAB
a) Tính tỉ số
SB
SH
và độ dài đoạn AH b) Gọi M là trung điểm của AB ,α là mp qua M và vuông góc với SB,Mp α cắt
hình chóp theo thiết diện là hình gì ?
c) Tính diện tích của thiết diện
Đs : a) 1/3 b) thang vuông c) 5a2 3 / 9
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a,tâm O Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABCD) tại O ,lấy điểm S sao cho SO =
2
6
a .Mp α qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB , SC , SD tại B’ , C’ , D’
a) Tính AC’ Chứng minh C’ là trung điểm của SC
b) Chứng minh B’D’ song song với BD Từ đó suy ra cách dựng B’ và D’
c) Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có 2 đường chéo vuông góc Tính diện tích của tứ
giác này
Đs : c) a2 3/3
Bài 7: Tam giác ABC có BC =2a và đường cao AD = a Trên đường thẳng vuông góc với
(ABC) tại A , lấy điểm S sao cho SA =a 2.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của
SB và SC
a) Chứng minh BC vuông góc với (SAD)
b) Gọi H là hình chiếu của A trên EF Chứng minh AH nằm trong (SAD) Hãy cho biết vị trí của điểm H đối với hai điểm S và D
c) Tính diện tích của tam giác AEF Đs : c) a2 3/4
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại C Trên nửa đường thẳng At vuông góc với mp(ABC)
ta lấy một điểm S.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC a) Tìm tập hợp các điểm H và K khi S di động trên At
b) Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc với SB c) Khi S di động trên At , CMR đường thẳng HK đi qua một điểm cố định
Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,cạnh bên CC’
vuông góc với đáy và CC’ = a a) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI vuông góc với BC’
b) Gọi M là trung điểm của BB’ Chứng minh BC’ vuông góc với AM
c) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho B’K =
4
a
và J là trung điểm của B’C’ Chứng minh AM vuông gócvới MK và AM vuông góc với KJ
Bài 10: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB = a , SA ⊥ (ABC) ,SA= a ,Gọi α là mp đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB
a) Xác định mp α
b) Mp α cắt tứ diện SABC theo thiết diện là hình gì ? c) Tính diện tích của thiết diện Đs :b) Thang vuông c) 5a2 2/32
Bài 11: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD)
và SA = a 2 Gọi α là mp qua A và vuông góc với SC , α cắt SB , SC ,SD lần lượt tại H ,M , K
a) Chứng minh AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD
b) Chứng minh BD song song với α Từ đó CMR BD song song với HK c) Chứng minh HK đi qua trọng tâm của tam giác SAC
Bài 12: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a Gọi O là trung điểm của AH.Trên
đường thẳng vuông góc với mp (ABC) tại O , lấy điểm S sao cho OS = 2a Gọi I là một điểm trên OH , đặt AI = x , (a< x < 2a) ; α là mp qua I và vuông góc với OH a) Xác định mp α
b) Dựng thiết diện của α với tứ diện SABC.Thiết diện là hình gì ? c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện
Đs : b) Thang cân c)
Bài 13: Tứ diện SABC có 2 mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a và SA = 3
2
a
.M là điểm trên đoạn AB ,đặt AM = x (0 < x < a) Gọi α là mp qua M và vuông góc với BC
a) D là trung điểm của BC , Chứng minh α song song với (SAD) b) Xác định thiết diện của α với tứ diện SABC
c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện
Đs : b) Tam giác cân c) (a−x)2.3 3/16
Trang 2Bài 14: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB= a ,SA vuông góc với
(ABC) và SA=a 2.Gọi α là mặt trung trực của SB , O là trung điểm của BC , ∆ là
đường thẳng qua O và vuông góc với mp (ABC) Dựng giao điểm K của ∆ và mp
α Tính OK Đs : 3a 2/4
Bài 15: Cho tam giác đều ABC cạnh a và một điểm S ngoài mp (ABC) sao cho SA = SB
= SC=
3
3 a
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC)
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC)
Đs : a) a b) 600
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = a và một điểm S ngoài mp (ABC) sao cho
2
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC)
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC)
Đs : a) a 2 / 2 b) 54045’
Bài 17: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA v uäng góc
với mp (ABCD) và SA = a Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB
a) Chứng minh đường thẳng IO vuông góc với mp (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM Đs: a 30 /10
Bài 18: Cho mp α và một điểm O ngoài α A là một điểm cố định thuộc α sao cho OA
không vuông góc với α , d là một đường thẳng di động trong α nhæng luôn luôn qua
A Gọi M là hình chiếu của O trên d
a) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn tính chất nêu trên
b) Tìm vị trí của d để độ dài OM là lớn nhất
Bài 19: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABCD) và SA = a Gọi M là điểm di động trên đoạn CD , ta đặt CM = x Gọi K là
hình chiếu của S trên BM
a) Tính độ dài đoạn SK theo a và x
b) Tìm tập hợp các điểm K thỏa mãn tính chất nêu trên
Đs: a (2a2+x2) / (a2+x2)
Bài 20: Cho tam giác ABC với AB = 7cm,BC =5cm ,CA =8cm Trên đường thẳng
vuông góc với mp (ABC) tại A , lấy điểm O sao cho AO = 4cm Tính khoảng cách từ
điểm O đến đường thẳng BC Đs : 8
Bài 21: Cho tam giác vuông ABC vuông góc tại A, cạnh AB= a và nằm trong mpα ,cạnh
AC =a 2 và tạo với α một góc 600.CMR cạnh BC tạo với α một góc 450
Bài 22: Cho góc vuông xOy và một điểm M nằm ngoài mp của góc vuông.Khoảng cách
từ M đến đỉnh O của góc vuông bằng 23cm và khoảng cách từ M đến 2 cạnh Ox, Oy
đều bằng 17cm Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông Đs : 7cm
Bài 23:
Cho tam giác đều ABC Trên tia Ax vuông góc với mp (ABC) , lấy một điểm S di động
.Gọi K là trung điểm của SC
a) CMR khi S di động ,đường thẳng BK luôn luôn nằm trong mp cố định
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của A trên BK khi S di động trên tia Ax
Bài 24: Cho góc vuông xOy Trên các tia Ox và Oy , lần lượt lấy hai điểm M và N sao
cho MN = a, với a là một độ dài cho trước
a) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN
b) Trên đường thẳng vuông góc với mp (Oxy) tại O, lấy một điểm A cố định Hãy xác định vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất
Bài 25: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABCD) và SA= a a) Gọi I là trung điểm của SD Chứng minh AI vuông góc với (SCD)
b) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , M là điểm di động trên đoạn SD Tìm tập hợp các hình chiếu của O trên CM
Bài 26: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC =2a , cạnh SA
vuông góc với mp (ABC) và SA = a
a) Chứng minh mp (SAB) vuông góc với mp (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c) Gọi O là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Đs : a) a 6/3 b) a 6/6
Bài 27: Tứ diện SABC có hai tam giác SBC và ABC nằm trong hai mp vuông góc với
nhau SBC là tam giác đều cạnh a, ABC là tam giác vuông tại A và ABC∧ =ϕ.
a) Hãy xác định hình chiếu H của S trên (ABC)
b) Tính SA
c) Gọi I là trung điểm của AB C/m (SHI) vuông góc với (SAB).Tính khoảng cách
từ H đến (SAB) Đs : b) a c) a 3sinϕ/2 3+sin2ϕ
Bài 28: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và µA = 600, các cạnh SA,SB và SD cùng bằng
2
3
a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và độ dài cạnh SC
b) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) và SB vuông góc với BC
c) Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SBD) và (ABCD) Tính tgϕ
Đs : a) a 15/6 ; a 7/2 c) tgϕ= 5
Bài 29: Tứ diện SABC có ·ABC =1v, AB =2a ,BC = a 3,SA vuông góc với mp (ABC) ,
SA =2a Gọi M là trung điểm của AB
a) Tính góc giữa hai mp (SBC) và (ABC)
b) Tính đường cao AK của tam giác AMC
c) Tính góc ϕ giữa hai mp (SMC) và (ABC)
d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC)
Đs: a) 450 ; b) a 3/2 c) 66036’ d) 2a 57/19
Bài 30: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a,AD
= DC = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a
a) Chứng minh (SAD) vuông góc với (SDC) và (SAC) vuông góc với (SCB) b) Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD) Tính tgϕ
Trang 3c) Gọi α là mp qua SD và vuông góc với (SAC).
Hãy xác định α và thiết diện của hình chóp S.ABCD với α Tính diện tích
của thiết diện Đs: tgφ = 2 / 2 ; S = a2 3 / 2
Bài 31: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh B và AB = a ,đoạn SA vuông góc với (ABC)
và SA=a 3 Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SC và SB, M là một điểm trên
đoạn AB Đặt AM=x (0<x<a).Gọi α là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với
(SAB)
a) Hãy xác định mp α và thiết diện của tứ diện SABC với α
b) Chứng minh FM = x2− +ax a2 Tính diện tích của thiết diện theo a và x
c) Gọi K là hình chiếu của S trên α Tìm tập hợp các điểm K khi M di động từ A
đến B Đs: 1( 2 ) 2 2
4
Bài 32: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mp vuông
góc với nhau.Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh (SAD) vuông góc với (SAB)
b) Tính góc giữa SD và (ABCD)
c) Gọi F là trung điểm của AD.Chứng minh (SCF) vuông góc với (SID) Tính
khoảng cách từ điểm I đến (SCF) Đs: b) 37045’ c) 3a 2 / 8
Bài 33: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mp vuông góc với nhau, AC=AD
= BC= BD = a và CD = 2x Gọi I và J là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh IJ vuông góc với AB và IJ vuông góc với CD
b) Tính AB và IJ theo a và x
c) Xác định x sao cho (ABC) vuông góc với (ABD)
Đs : b) AB= 2(a2−x2) ; IJ=AB/2 c)x a= 3 / 3
Bài 34: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D Cho AB =2a ,
AD =DC = a Giả sử hai mp (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mp (ABCD) và
SA= a Gọi E là trung điểm của SA , M là điểm trên đoạn AD Đặt AM=x (0≤ x≤ a)
Gọi α là mp chứa EM và vuông góc với (SAD)
a) Hãy xác định α và thiết diện của hình chóp S.ABCD với α
b) Tính diện tích của thiết diện
c) Tìm tập hợp các hình chiếu của D trên α khi M di động từ A đến D
Đs: S = (3a x a− ) 2+4x2 / 4
Bài 35: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, các cạnh bên đều
bằng a
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt đáy
b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD)
c) Gọi α là mp qua AB và vuông góc với (SDC) ,α cắt SC và SD tại M và N Hãy
xác định các điểm M và N Tính diện tích của tứ giác ABMN
Đs: a) a 2/2 b) a 6/6 c) 2 6.a2/9
Bài 36: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,các cạnh bên đều bằng
3 2
a .Gọi α là mp qua A , song song với BC và vuông góc với (SBC).Gọi I là trung điểm của BC
a) Hãy xác định mpα ,α cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? b) Tính khoảng cách từ điểm I đến mpα
c) Tính góc giữa đường thẳng AB và α
Đs : b) a 2/4 c) 20042’
Bài 37: Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a.Trên hai tia Bx và Dy vuông góc với mp
(ABCD) và cùng chiều , lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM DN = 2
2
a Đặt
a) Chứng minh tgα tg β = 1.Kết luận gì về hai góc α và β
b) Chứng minh (ACM) vuông góc với (ACN)
c) Gọi H là hình chiếu của O trên MN Tính OH Từ đó CMR AH vuông góc với
HC và (AMN) vuông góc với (CMN)
Bài 38: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB =SC =SD =
2
a Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC a) Chứng minh mp (SIJ) vuông góc với mp (SBC) b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB Đs: b) a 42/7
Bài 39: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc
với mp (ABC) và AA’ = a 2 / 2.Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
a) Chứng minh AB vuông góc với mp (COO’) b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ Đs: b) a 3/10
Bài 40: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
với nhau ,tam giác ABC vuông tại A ,tam giác ADC vuông tại D a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC đều vuông
b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC Tìm điều kiện để IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC
Bài 41: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD = a
và khoảng cách từ D đến BC là a Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của
AH a) Chứng minh BC vuông góc với mp (ADH) và DH = a b) Chứng minh DI vuông góc với (ABC)
c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC Đs: c) a 39/8
Bài 42: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc A∧ = 600 và
có đường cao SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)
Trang 4b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB
Đs : a) a 3/19 b) 2a 3/19
Bài 43: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp vuông góc
với nhau Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng : a) AD và SB b) SA và
BD
Đs : a)b) a 3/7
Bài 44: Cho tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , BC = a Giả sử Bt và Cx là hai nửa
đường thẳng vuông góc với mp (ABC) và ở cùng phía đối với (ABC) Trên Bt , lấy
điểm B’ sao cho BB’ = a Trên Cx lấy điểm C’ sao cho CC’ = x
a) Tính theo a và x độ dài các đoạn AB’ , B’C’ và AC’ Tìm giá trị x sao cho
0
90 '
C
'
b) Tìm lại kết quả câu a) bằng cách áp dụng định lý về hình chiếu của góc vuông
Đs : AB'=a 5;AC'= 5a2+x B C2; ' '= x2−2ax+2a x a2; =
Bài 45: Tứ diện SABC có SA vuông góc với mp (ABC) , SA = a , BSC∧ =900, SB = 2a ,
SC = a 2
a) Tính góc ϕ giữa hai mp (SBC) và (ABC)
b) Tính diện tích của tam giác ABC
Đs: a) 600 b) á2 2/2
Bài 46: Tam giác ABC có đỉnh A nằm trong mp α , hai đỉnh B và C có hình chiếu trên α
lần lượt là B’ và C’ , sao cho AB’C’ là tam giác đều cạnh a Giả sử CC’ = a , BB’ =
a/2
a) Gọi I là giao điểm của BC và B’C’ Chứng minh IA vuông góc với AC
b) Tính diện tích của tam giác ABC rồi suy ra giá trị của góc ϕ giữa α và (ABC)
Đs : b) S = a2 6/4 ; 450
Bài 47: Cho hình vuông ABCD , các tia Ax , By , Cz ,Dt vuông góc với (ABCD) và ở
cùng phía đối với mp (ABCD) Một mp α lần lượt cắt Ax , By , Cz , Dt tại A’ , B’ ,
C’ , D’
a) A’B’C’D’ là hình gì ? Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
b) CMR điều kiện để A’B’C’D’ là hình thoi là A’B’C’D’ có hai đỉnh đối cách đều
(ABCD)
c) CMR điều kiện để A’B’C’D’ là hình chữ nhật là A’B’C’D’ có hai đỉnh kề cách
đều (ABCD)
Bài 48: Tam giác đều ABC cạnh a có hai đỉnh B và C nằm trong mp α , đỉnh A cách mp
α một đoạn bằng a/2
a) Tính góc ϕ giữa α và (ABC)
b) Gọi E và F là các điểm xác định bởi −→ = −→ −→= AC−→
3
2 AF
; AB 3
2
hình chiếu của tam giác AEF trên α
Đs: a) 35015’ b) a2 2/18
Bài 49: Cho tam giác ABC vuông tai B , AB = 2a , BC = a Trên hai tia Ax và Cy vuông
góc ở cùng phía với (ABC) , lần lượt lấy hai điểm A’ và C’ sao cho AA’ = 2a , CC’ = x
a) Xác định x sao cho ·A BC' ' 90= 0
b) Xác định x sao cho ·BA C' ' 90= 0
c) Cho x = 4a Tính góc ϕ giữa hai mp (ABC) và (A’BC ’)
Bài 50: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a Gọi E , F và M lần lượt là
trung điểm của AD , AB và CC’
a) Dựng thiết diện của hình lập phương với mp (EFM) b) Tính góc ϕ giữa hai mp (ABCD) và (EFM)
c) Tính diện tích của thiết diện dựng được ở cáu a)
Bài 51: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA = a vuông góc
với mp (ABCD) a) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông b) Mp α qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB ,SC,SD tại B’ , C’ ,D’ Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB
c) M là một điểm di động trên đoạn BC , gọi K là hình chiếu của S trên DM Tìm tập hợp các điểm K khi M di động
d) Đặt BM = x Tính độ dài đoạn SK theo a và x Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK
Bài 52: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc BAD∧ =600
.Đường thẳng SO vuông góc với mp (ABCD) và đoạn SO = 3a/4 Gọi E là trung điểm của BC và F là trung điểm của BE
a) Chứng minh mp (SOF) vuông góc với mp (SBC)
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mp (SBC)
c) Gọi α là mp qua AD và vuông góc với mp (SBC) Xác định thiết diện của hình chóp với α.Tính diện tích thiết diện này
d) Tính góc giữa α và ABCD
Bài 53: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mp vuông
góc với nhau Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB ,CD và E , F lần lượt là trung điểm của SA,SB
a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SCD) và góc giữa hai mp (SAB) và (SCD) b) Gọi G là giao điểm của CE và DF Chứng minh GE vuông góc với SA và GF vuông góc với SB Tính góc giữa hai mp (GEF) và (SAB) Hai mp này có vuông góc với nhau không ?
c) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK Tính khoảng cách từ G đến mp (SCD)
d) Gọi M là điểm di động trên đoạn SA Tìm tập hợp hình chiếu của S trên mp (CDM)
Bài 54: Trong mp α cho đường tròn (O) tâm O bán kính R , CD là một đường kính cố định của (O) , EF là một dây song song hoặc trùng với CD Trên đường thẳng vuông góc với α tại O , ta lấy một điểm S sao cho SO=R 3 Gọi H là trung điểm của EF a) Giả sử EF song với CD Chứng minh hai mp (SEF) và (SOH) vuông góc với nhau
Trang 5b) Tính SE vă SF Chứng minh ESF∧ ≤600
c) Gọi I vă M lần lượt lă tđm đường tròn ngoại tiếp câc tam giâc SCD vă SEF Giả
sử 0< OH < R Chứng minh IM vuông góc với mp SEF
d) Giả sử 0 ≤ OH ≤ R Tìm tập hợp câc điểm M
Băi 55: Hình chóp S.ABCD có đây ABCD lă hình vuông cạnh a , câc cạnh bín đều bằng
3
a
a) Tính khoảng câch từ S đến mp (ABCD)
b) Gọi α lă mp qua A vă vuông góc với SC Hêy xâc định thiết diện của hình chóp
với α
c) Tính diện tích của thiết diện nói trín
d) Gọi ϕ lă góc giữa AB vă α Tính sinϕ
Băi 56: Cho hình thang ABCD có µA vă µB lă góc vuông AD = 2a , AB = BC = a S lă
điểm nằm trín tia Ax vuông góc với mp (ABCD) Gọi C’ vă D’ lần lượt lă hình
chiếu của A trín SC vă SD
a) Chứng minh ·SBC=SCD· =900
b) Chứng minh AD’ , AC’ vă AB cùng nằm trong một mp Từ đó CMR C’D’ đi qua
một điểm cố định khi S di động trín Ax
c) Cho AS = a 2 Tính diện tích của tứ giâc ABC’D’
d) Dựng vă tính độ dăi đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB vă SC khi
AS = a 2
Băi 57: Tứ diện SABC có SA = SB =SC = a , ·BSC=60 ,0 CSA· =90 ,0 ·ASB=1200 Gọi K
lă trung điểm của đoạn AC
a) Tính AB , BC , vă CA Từ đó chứng minh rằng ·ACB=900
b) Xâc định hình chiếu của S trín mp (ABC)
c) Tính góc giữa câc cặp mp(SAB) vă (ABC) , (SAC) vă (ABC)
d) Chứng minh KS lă đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC vă SB
Băi 58: Trong mặt phẳng α , cho một đường tròn (O) , AB lă một đường kính cố định của
(O) , M lă một điểm di động trín (O) Gọi S lă một điểm cố định sao cho SA vuông
góc với α Gọi H vă K lần lượt lă hình chiếu của A trín SB vă SM
a) Giả sử M khâc A vă B Chứng minh AK vuông góc với mp(SMB) , SB vuông
góc với mp(AKH)
b) Gọi β lă mp qua A vă vuông góc với SB Xâc định giao tuyến d của α vă β
c) Tìm tập hợp điểm K khi M chạy khắp đường tròn (O)
d) Giả sử M chạy trín (O) vă không trùng B Gọi I lă giao điểm của BM vă HK
Tìm tập hợp câc điểm I
Băi 59: Cho tứ diện đều SABC cạnh a Gọi I lă trung điểm của BC , M lă một điểm trín
đoạn IS sao cho IM : IS == 3 : 5
a) Tính cos AIS vă độ dăi đoạn AM ·
b) Gọi α lă mp qua AM vă song song với BC Tính diện tích thiết diện của tứ diện
SABC với α
c) Tính khoảng câch từ I đến α
d) Tính góc giữa đường thẳng AB vă mặt phẳng α
Băi 60: Cho tam giâc đều SAD vă hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc Gọi I lă trung điểm của của AD , M lă trung điểm của AB , F lă trung điểm của SB vă K lă giao điểm của CM vă BI
a) Chứng minh mp (CMF) vuông góc với mp(SIB) b) Tính BK vă KF vă suy ra rằng tam giâc BKF cđn c) Dựng vă tính độ dăi đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB vă SD d) Tính khoảng câch giữa hai đường thẳng CM vă SA
Băi 61: Cho hai tia Ax vă By nhận AB lăm đoạn vuông góc chung vă góc (Ax,By) = ϕ , (00 < ϕ < 900 Đặt AB = 2a Gọi M vă N lă hai điểm di động lần lượt trín Ax vă By sao cho AM = BN , vă gọi α lă mặt phẳng chứa By vă song song với Ax
a) Gọi M’ lă hình chiếu của điểm M trín α Chứng minh rằng NM’ song song với một đường thẳng cố định vă MN song song với một mặt phẳng cố định b) Gọi O vă I lần lượt lă trung điểm của AB vă MN Chứng minh rằng OI lă đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB vă MN
c) Tìm tập hợp câc điểm I d) Xâc định vị trí của M sao cho góc giữa (OMN) vă α bằng 450
Băi 62: Cho hai tia Ax vă By vuông góc với nhau vă nhận AB lăm đoạn vuông góc chung
Gọi M vă N lă hai điểm di động lần lượt trín Ax vă By sao cho AM + BN = MN Đặt AB = 2a , gọi O lă trung điểm của AB , H lă hình chiếu của O trín MN a) Chứng minh rằng OH = a , HM = AM , HN = BN
b) Gọi Bx’ lă tia song song vă cùng chiều với Ax vă K lă hình chiếu của H trín (Bx’ ,By) Chứng minh BK lă phđn giâc của góc x’By
c) Chứng minh H ở trín một đường tròn cố định