tổ hợp sát suất

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phần 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. Hai quy tắc sơ bản 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n + m cách. Tổng quát: Giả sử công việc có thể được thực hiện theo 1 trong k phương án A 1 , A 2 ,, …, A k . Có n 1 cách thực hiện phương án A 1 , n 2 cách thực hiện phương án A 2 , … và nk cách thực hiện phương án A k . Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n 1 + n 2 + … + n k cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc cố thể thực hiện theo n.m cách. Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A 1 , A 2 , …, A k . Công đoạn A 1 có thể thực hiện theo n 1 cách, công đoạn A 2 có thể thực hiện theo n 2 cách, …, công đoạn A k có thể thực hiện theo n k cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n 1 .n 2 …n k cách. II. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1. Hoán vị: Cho tập hợp A có n (n ∈ N * ) phần tử. Khi đó sắp xếp n phần tử này theo 1 thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là 1 hoán vị của A). Định lí: Số các hoán vị của 1 tập n phấn tử là: P n = n! = n(n + 1)(n + 2)…1. 2. Chỉnh hợp: Cho 1 tập hợp A gồm n phấn tử và số nguyên k với 0 < k < n + 1. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp sếp chúng theo 1 thứ tự, ta được 1 chỉnh hợp k của n phần tử của A (gọi tắt là 1 chỉnh hợp chập k của A). 1 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A Định lí: Số chỉnh hợp chập k của 1 tập hợp có n phần tử (0 < n + 1) là: A k n = n(n + 1)(n + 2 )…(n – k + 1). (1) Chú ý: - Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng ( ) !kn !n A k n − = . (2) - Ta quy ước: 0! = 1 và 1 0 = A n . 3. Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 0 < k < n + 1. Một tập con con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A). Định lí: Số các tổ hợp chập k của 1 tập hợp có n phần tử (0 < k , n + 1) là ( )( ) ( ) !k 1kn 2n1nn !k A C k n k n +−−− == (3) Chú ý: - Với 0 < k < n + 1 ta có thể viết công thức (3) dưới dạng ( ) !kn!k !n C k n − = 4. Tính chất: a) Tính chất 1: Cho các số nguyên n và k với 0 ≤ k ≤ n. Khi đó CC kn n k n − = . b) Tính chất 2: Cho các số nguyên n và k với 1 ≤ k ≤ n. Khi đó CCC 1k n k n k 1n − + += . III. Nhị thức Niutơn Công thức nhị thức Niu-tơn ( ) ba n + = bCbaCbaCaC nn n kknk n n n n n ++++ −− 1110 = ∑ = − n k kknk n baC 0 (quy ước a 0 = b 0 = 1). 2 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A Phần 2: XÁC SUẤT – THỐNG KÊ I. Biến cố và xác suất của biến cố 1. Biến cố: a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu: Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành đọng mà: - Kết quả của nó không đoán trước được - Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Kí hiệu: T Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là Ω . b) Bến cố: Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là Ω A . 2. Biến cố của xác suất: a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quẩ của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và Ω A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số kí hiệu P(A) và được xác định bởi công thức: P(A) = Ω Ω A . Chú ý: Từ định nghĩa ta suy ra: - 0 ≤ P(A) ≤ 1 - P( Ω ) = 1 , P( φ ) = 0. b) Định nghĩa thống kê của xác suất: 3 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A Số lần xuất hiện của biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử Tỉ số tần số của A với N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T. II. Các quy tắc tính xác suất 1. Quy tắc cộng xác suất: a) Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra” kí hiệu A ∪ B được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Tổng quát: Cho k biến cố A 1 , A 2 , …, A k . Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố A 1 , A 2 , …, A k xảy ra”, kí hiệu là A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A k , được gọi là hợp của k biến cố đó. b) Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra và ngược lại. c) Quy tắc cộng xác suất: Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xãc suất để A hoặc B xảy ra là P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Tổng quát: Cho k biến cố A 1 , A 2 , …, A k đôi một xung khắc. Khi đó: P(là A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A k ) = P(A) + P(B) + …+ P(A k ). d) Biến cố đối: Cho A là một biến cố. khi đó biến cố “không xảy ra A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của A. Chú ý: Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc nhưng hai biến cố xung khắc thì chưa chắc là hai biến cố đối nhau. Định lí: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối A là P( A ) = 1 – P(A). 2. Quy tắc nhân xác suất: a) Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB được gọi là giao của hai biến cốA và B. Tổng quát: Cho k biến cố A 1 , A 2 , …, A k . Biến cố”Tất cả k biến cố A 1 , A 2 , …, A k đều xảy ra” kí hiệu Cho k biến cố A 1 A 2 …A k được gọi là giao của k biến cố. 4 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A b) Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Tổng quát: Cho k biến cố A 1 , A 2 , …, A k , k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. c) Quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A)P(B). Tổng quát: Nếu k biến cố A 1 , A 2 , …, A k độc lập với nhau thì P( A 1 A 2 …,A k ) =P(A 1 )P( A 2 )…P( A k ). III. Biến cố ngẫu nhiên rời rạc 1. Khái niệm biến cố ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng X được gọi là một biến cố ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được. 2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị {x 1 , x 2 ,…, x n }. Để hiểu rõ hơn về X ta thường quan tâm đến xác xuất để X nhận giá trị x k tức là các số P(x = x k ) =p k với k = 1, 2,…, n. Ta được bảng sau: X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n Được gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X. 3. Kì vọng: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x 1 , x 2 ,…, x n }. Kì vọng của X kí hiệu là E(X) là một số được tính theo công thức E(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +…+ x n p n = ∑ = n i i i p x 1 , ở đó p i = P(X = x i ), i = 1, 2, …, n. Có thể hiểu kì vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X. 4. Phương sai và độ lệch chuẩn: a) Phương sai: 5 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x 1 , x 2 ,…, x n }. Phương sai của X kí hiệu là V(X) là một số được tính theo công thức V(X) = ( ) ( ) ( ) p x p x p x n n 2 2 2 2 1 2 1 µµµ −++−+− = ( ) ∑ − = n i i i p x 1 2 µ ở đó pi = P(X = xi) , i = 1, 2,…, n và µ = E(X). b) Độ lệch chuẩn: Căn bậc hai của phương sai kí hiệu ( ) x σ được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là ( ) ( ) XVx = σ  B. BÀI TẬP 1. Dạng 1: Bài toán lập số. Thông thường để lập được số n = m321 a aaa từ các chữ số cho trước (với a 1 ≠ 0)  Ta dùng các phép chỉnh hợp – hoán vị và cả tổ hợp (nếu các chữ số có lập lại).  Nếu trong quá trình sắp xếp; nếu có các chữ số hoặc các số có điều kiện thì ta chọn trước và các chữ số có tính chất bình đẳng thì ta chọn sau.  Sau đó vận dụng các quy tắc nhân – quy tắc cộng trong phép đếm để có kết quả. BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Cho tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 và 7. Từ tám chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Giải : Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và số có bốn chữ số là n = 4321 aaaa .  Chọn a 4 từ A \ {0} : có 7 cách chọn.  Chọn a 1 từ A \ {0, a 4 } : có 6 cách chọn. 6 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A  Chọn hai vị trí còn lại a 2 , a 3 từ A \ { a 1 , a 4 } : có 2 6 A cách chọn. Vậy số các số nhận được thỏa điều kiện đề bài là : 7.6. 2 6 A = 1260 số. Bài 2 : Cho tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hòi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau. Giải : Gọi số có ba chữ số là n = 321 aaa .  Trước tiên ta số các số n = 321 aaa được lập từ A - Chọn a 1 từ A \ {0} : có 5 cách chọn. - Chọn hai vị trí còn lại a 2 , a 3 từ A \ {a 1 } : có 2 5 A cách chọn. Số các số nhận được là : 5. 2 5 A = 100 số.  Trong 100 số vừa tìm được, có các số chia hết cho 3 và các số không chia hết cho 3. - Các số gồm ba chữ số chia hết cho 3 được lập bởi các : Nhóm 1 : {0, 1, 2} ; {0, 1, 5}; {0, 2, 4} ; {0, 4, 5} Nhóm 2 : {1, 2, 3} ; {2, 3, 4}; {1, 3, 5} ; {3, 4, 5} + Xét : {0, 1, 2}  Chọn a 1 ≠ 0 : có 5 cách chọn.  Chọn hai vị trí còn lại a 2 , a 3 : có 2! cách chọn. Vậy có 2.2! = 4 số nhận dược từ {0, 1, 2}. Vậy từ nhóm 1 có 4.4 = 16 số. + Xét : {1, 2, 3} có 3! số nhận được. Vậy từ nhóm 2 có 4.3!= 24 số. Vậy số các số chia hết cho 3 là : 16 + 24 = 40 số. Kết luận : số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 100 – 40 = 60 số. Bài 3 : 1) Có bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên phải là số lẻ. 2) Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn. Giải : Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và số có sáu chữ số là n = 654321 aaaaaa . 1)  Chọn a 1 là số lẻ : có 5 cách chọn.  Chọn a 6 là số chẵn : có 5 cách chọn.  Chọn bốn vị trí còn lại từ A \ { a 1 , a 6 } : có 4 8 A cách chọn. Vậy các số nhận được thỏa yêu cầu đề bài là : 5.5. 4 8 A = 42000 số. 7 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A 2) Trước tiên ta tìm số các dãy số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn ( tức là kể cả a 1 = 0).  Chọn ra ba số chẵn : có 3 5 C cách chọn.  Chọn ra ba số lẻ : có 3 5 C cách chọn.  Sắp xếp thứ tự sáu số vừa được chọn, có 6! cách. Vậy số các dãy số nhận được: 3 5 C . 3 5 C .6! = 72000 dãy. Trong 72000 dãy số vừa tìm được ta tìm số các dãy số dạng : 65432 aaaaa0  Chọn ra hai số chẵn còn lại : có 2 4 C cách chọn.  Chọn ra ba số lẻ : có 3 5 C cách chọn.  Sắp xếp thứ tự năm số vừa được chọn, có 5! cách. Vậy số các dãy số nhận được: 2 4 C . 3 5 C .5! = 7200 dãy. Kết luận: số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 72000 – 7200 = 64800 số. Bài 4 : Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong mỗi số đó có hai chữ số đứng cạnh nhau không giống nhau. Giải : Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và số có sáu chữ số là n = 654321 aaaaaa .  Chọn a 1 từ A \ {0} : có 9 cách chọn.  Chọn a 2 từ A \ {a 1 } : có 9 cách chọn.  Chọn a 3 từ A \ {a 2 } : có 9 cách chọn.  Chọn a 4 từ A \ {a 3 } : có 9 cách chọn.  Chọn a 5 từ A \ {a 4 } : có 9 cách chọn.  Chọn a 6 từ A \ {a 5 } : có 9 cách chọn. Kết luận: số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 9 6 số. Bài 5 : Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó. Giải: Theo đề bài, ta có tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} là tập lập số và mỗi cách chọn ra năm phần tử từ A thì ta chỉ nhận được một số duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ví dụ {3, 5, 2, 1, 9} thì chỉ nhận được số: 12359. Vậy số các số nhận được thỏa đề bài chính là số tổ hợp chập năm của chín phần tử. Vậy có 5 9 C = 126 số thỏa yêu cầu đề bài. 8 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A Bài 6 : Có bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau đôi một luôn có hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. Giải : Gọi số có sáu chữ số là n = 654321 aaaaaa Trước tiên ta tìm số các số có sáu chữ số mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6:  Nếu a 1 = 1  Sắp chữ số 6 vào năm vị trí còn lại : có 5 cách sắp.  Chọn bốn vị trí còn lại từ A \ { 1, 6} : có 4 8 A cách chọn. Vậy có 5. 4 8 A = 8400 số.  Nếu a 1 = 6 Tương tự như trên ta có 8400 số.  Nếu a 1 ≠ 1 và a 1 ≠ 6  Chọn a 1 từ A \ {0, 1, 6} : có 7 cách chọn.  Sắp xếp hai chữ số 1 và 6 : có 2 5 A cách.  Chọn ba vị trí còn lại từ A \ { a 1 , 1, 6} : có 3 7 A cách chọn. Vậy có 7. 2 5 A . 3 7 A = 29400 số. Vậy có 8400 + 8400 + 29400 = 46200 số có sáu chữ số mà mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6. Ta tìm số các số có sáu chữ số mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6 đứng liền nhau ( tức là có chứa 16 hoặc 61). Số được tạo thành trong trường hợp này tương ứng như là số có năm chữ số đôi một khác nhau với tập lập số là {16, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}  Trường hợp số có sáu chữ số có chứa 16. Số được tạo thành trong trường hợp này tương ứng như là số có năm chữ số đôi một khác nhau 54321 aaaaa với tập lập số là {16, 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}. Vậy có 8. 4 8 A = 13440 số.  Trường hợp số có sáu chữ số có chứa 61. Tuông tự như trên, ta cũng có 13440 số. Vậy có 26880 số mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6 đứng liền nhau. Kết luận : Có 46200 – 26880 = 19320 số thỏa đề bài. Bài 7 : Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các chữ số đó nhỏ hơn 345 ? Giải : Gọi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và số có ba chữ số là n = 321 aaa < 345.  Trường hợp 1 : Chọn a 1 < 3.  Chọn a 1 = 1 hoặc a 1 = 2 : có 2 cách chọn. 9 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A  Chọn hai chữ số còn lại từ A \ { a 1 } : có 2 5 A cách chọn. Vậy số các số nhận được là: 2. 2 5 A = 40 số.  Trường hợp 2 : Chọn a 1 = 3.  Chọn a 1 = 1 : có 1 cách chọn.  Chọn a 2 = 1 hoặc a 1 = 2 : có 2 cách chọn.  Chọn chữ số còn lại từ A \ { 3, a 2 } : có 4 cách chọn. Vậy số các số nhận được là: 1.2.4 = 8 số.  Trường hợp 3 : Chọn a 1 = 3.  Chọn a 1 = 1 : có 1 cách chọn.  Chọn a 2 = 4 : có 1 cách chọn.  Chọn chữ số còn lại từ các số 1, 2 : có 2 cách chọn. Vậy số các số nhận được là: 1.1.2 = 2 số. Kết luận : Có tất cả : 40 + 8 + 2 = 50 số thỏa yêu cầy đề bài. Bài 8 : Với các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789 ? Giải : Gọi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } và số có ba chữ số là n = 321 aaa > 789.  Trường hợp 1: Chữ số a 3 = 8  Chọn a 3 = 8 : có 1 cách chọn.  Chọn a 1 từ A \ {7, 8, 9} : có 6 cách chọn (a 1 < 7).  Chọn a 2 từ A \ {8, a 1 } : có 7 cách chọn Vậy số các số nhận được là : 1.6.7 = 42 số.  Trường hợp 1: Chữ số a 3 = 8  Chọn a 3 = 8 : có 1 cách chọn.  Chọn a 1 = 7 : có 1 cách chọn  Chọn a 2 từ A \ {7, 8, 9} : có 6 cách chọn (a 1 < 7). Vậy số các số nhận được là : 1.1.6 = 6 số.  Trường hợp 3: Chữ số a 3 = 6 ( tương tự cho a 3 = 4, a 3 = 2)  Chọn a 3 = 6 : có 1 cách chọn.  Chọn a 1 từ tập {1, 2, 3, 4, 5} : có 5 cách chọn (a 1 < 7).  Chọn a 2 từ A \ {6 , a 1 } : có 7 cách chọn Vậy số các số nhận được là : 1.5.7 = 35 số. Vậy các số nhận được tương ứng a 3 = 6 hoặc a 3 = 4 hoặc a 3 = 2 là 3.35 = 105 số.  Trường hợp 4: Chữ số a 3 = 6 ( tương tự cho a 3 = 4, a 3 = 2)  Chọn a 3 = 6 : có 1 cách chọn.  Chọn a 1 = 7 : có 1 cách chọn .  Chọn a 2 từ {1, 2, 3, 4, 5, 8} : có 6 cách chọn. Vậy số các số nhận được là : 1.1.6 = 6 số. 10 [...]... a C 5 − C10 b C10 + C10 C1 20 10 3 Dạng 3: Bài toán sắp xếp chỗ ngồi - Bài toán có thể là phép chỉnh hợp – hoán vị: đặc điểm của loại toán này là sắp theo thứ tự Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này là không kể thứ tự - Bài toán có thể là phép toán chỉnh hợp – hoán vị và tổ hợp: khi giải quyết bài toán này cần phải phân biệt các công đoạn thực hiện, trong từng công đoạn phải... p) Nối p điểm đó lại với nhau, hỏi: a Có bao nhiêu đường thẳng b Có bao nhiêu tam giác Giải: 2 a Số tổ hợp p chập 2 là: C p 2 Số tổ hợp không tạo thành đường thẳng mới là: C q − 1 2 2 Vậy số đường thẳng tạo ra được là: S = C p − C q + 1 3 b Số tổ hợp p chập 3 là: C p 3 Số tổ hợp không tạo thành tam giác mới là: C q 3 3 Vậy số tam giác tạo ra được là: S = C p − C q Bài 9: Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng... nên thực sự có: n kẽ 4 Dạng 4: Bài toán đại số tổ hợp trong hình học Bài 1: 21 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN NHÓM 7 _ LỚP TOÁN 2006A Giả sử X là một tập hợp gồm 6 điểm của mặt phẳng Trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng a Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm thuộc X b Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc X Giải : a Mỗi đường thẳng tương ứng với một tổ hợp 6 chập 2 của X nên số đường thẳng kẻ được... là: 6! 6*5 2 C6 = = = 15 ( 6 − 2)!2! 2 b Mỗi tam giác tương ứng với một tổ hợp 6 chập 3 của X nên số tam giác đó là: 6! 6*5*4 C3 = = = 20 6 ( 6 − 3)!3! 3 * 2 Bài 2: Đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo: a Ngũ giác lồi b n giác lồi Giải: a Do mỗi đường chéo hoặc mỗi cạnh tương ứng với một tổ hợp 5 chập 2 của tập các đỉnh nên ta có tổng số cạnh và số đường chéo là: S1 = C 52 = 5! = 10 3!2! Số cạnh của... hàng chục và hàng trăm đều là 2520 Suy ra tổng của các số dạng q đã xét là : 0.103 + 2520.102 + 2520.10 + 2520 = 279720 Kết luận : Tổng của 4536 số tìm được ở phần trên là : 25197480 – 279720 = 24917760 2 Dạng 2: Bài toán sắp xếp công việc - Bài toán có thể là phép chỉnh hợp – hoán vị: đặc điểm của loại toán này là sắp theo thứ tự Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này là không... a 1a 2 a 3 8 - Sáu số có dạng: a 1a 2 a 3 9  Vậy tổng các chữ số của hàng đơn vị của 24 số ở câu 1) là: 6( 6 + 7 + 8 + 9) = 180  Tương tự ta có tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm và hàng ngàn đều là 180 Vậy tổng tất cả 24 chữ số ở câu 1) là : 180.103 + 180.102 + 180.10 + 180 = 199980 Bài 10 : Có bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau và tính tổng của chúng Giải:  Gọi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... cuối nhận một quà Do đó có: 3 C 3 C 3 1 = 60 cách 5 5 Vậy tổng cộng có 90+60 = 150 cách Bài 6 : Một đội công nhân có 15 người, gồm 9 nam và 6 nữ 1 Có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ từ đội công nhân trên 2 Trong đó có vợ chồng anh Thu và chị Chi vì có con nhỏ nên không thể tham dự một tổ được Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác như trên để chiếu cố đến tình hình này? 4 2... phép chỉnh hợp – hoán vị: đặc điểm của loại toán này là sắp theo thứ tự Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này là không kể thứ tự - Bài toán có thể là phép toán chỉnh hợp – hoán vị và tổ hợp: khi giải quyết bài toán này cần phải phân biệt các công đoạn thực hiện, trong từng công đoạn phải phân biệt được tính chất có thứ tự hoặc không cần phân biệt có thứ tự Bài 1: Có bao nhiêu... ngàn đều là 22680 Suy ra tổng của các số dạng p đã xét là : 22680.103 + 22680.102 + 22680.10 + 22680 = 25197480 - Xét các số dạng q = 0a 2 a 3 a 4 2  Số có dạng : 0a 2 a 31 có A 8 = 56 số  Tương tự như trên ta có 56 số có hàng đơn vị lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Vậy tổng các chữ số của hàng đơn vị của số p là: 56(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 2520 Tương tự ta có tổng của các chữ số hàng... chỉnh hợp n chập p khác nhau A 1 A 2 A p −1 A p A p A p −1 A 2 A 1   A 1 A 3 A p A 1 p A p −1 A p − 2 A 1 A p p   A A .A A 3 2  p 1 A 1 A p .A 3 A 2  Ap Vậy số p giác khác nhau tạo được là: S = n 2p Bài 8: Cho p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng (2 < q < p) Nối p điểm đó lại với nhau, hỏi: a Có bao nhiêu đường thẳng b Có bao nhiêu tam giác Giải: 2 a Số tổ hợp p . 1 0 = A n . 3. Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 0 < k < n + 1. Một tập con con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k. Các quy tắc tính xác suất 1. Quy tắc cộng xác suất: a) Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra” kí hiệu A ∪ B được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Tổng quát: Cho k biến. thứ tự. - Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này là không kể thứ tự. - Bài toán có thể là phép toán chỉnh hợp – hoán vị và tổ hợp: khi giải quyết bài toán này cần phải