HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN *** . BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG : a) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , )a a a a b b b b= = r r . Ta c ó : 1 1 2 2 3 3 .a b a b a b a b= + + r r . b) Độ dài của một vectơ : Cho vectơ 1 2 3 ( ; ; )a a a a= r , ta c ó 2 2 2 1 2 3 .a a a a a a= = + + r r r . c) Khoảng cách giữa hai điểm ( , , ), ( , , ) A A A B B B A x y z B x y z= = là 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z= − + − + − uuur d) Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , )a a a a b b b b= = r r . Ta có : 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos cos( , ) . a b a b a b a b a b a b a a a b b b ϕ + + = = = + + + + r r r r r r Và 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + = r r II/. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU : Trong không gian Oxyz mặt cầu tâm I = ( a ; b ; c ) bán kính r có phương trình : 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − = . Phương trình : 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = với 2 2 2 0A B C D+ + − > là phương trình của mặt cầu tâm I ( -A ; -B ; -C ) có bán kính 2 2 2 r A B C D= + + − . • Tích có hướng của hai vectơ : Tích có hướng (hay tích vecto) của hai vec tơ ( ) , ,u a b c r và ( ) ', ', 'v a b c r là một vecto,kí hiệu là ,u v r r (hoặc u v∧ r r ),được xác định bằng tọa độ như sau: ( ) , ; ; ' ' ; ' ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' b c c a a b u v bc b c ca c a ab a b b c c a a b = = − − − ÷ r r B/. CÁC BÀI TẬP MẪU: Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz . 1) Cho ba điểm A ( 1 ; 0 ;-2 ) , B ( 2 ; 1 ;- 1 ) , C ( 1 ; -2 ; 2 ) . a) Chứng minh rằng A , B , C là ba đỉnh của tam giác . b) Tính chu vi của tam giác ABC. c) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC. d) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. e) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. f) Tính góc BAC. 2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ,biết A (1; 0 ; 1 ) , B ( 2 ; 1 ; 2 ) , D ( 1; -1 ; 1 ) và C’(4 ;5 ; -5 ) . Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại ? 3) a) Tìm điểm M thuộc y’Oy sao cho M cách đều A ( 3 ; 1 ;0 ) và B ( -2 ; 4;1 ). b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho N cách đều A ( 1; 1 ;1 ) , B ( -1 ;1 ; 0 ) và C ( 3 ; 1 ; -1 ) . 4) Viết phương trình mặt cầu (S) biết rằng : a) (S) có tâm I ( -1 ; 2 ;3 ) và qua điểm A ( -2 ; 1 ; 1 ) . b) (S) có đường kính AB với A ( 6 ; 2 ;-5 ) và B ( -4 ; 0 ; 7 ) . c) (S) có tâm I ( 1 ; 4 ; -7 ) và tiếp xúc với mặt phẳng : 1 ( ) :6 6 7 42 0x y z α + − + = . 5) Lập phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A ( 1 ; 1 ;0 ) , B ( 3 ; 1 ;2 ) , C ( -1 ; 1 ;2) D ( 1 ; -1 ; 2 ) .Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó . 6 ) Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba đi ểm A ( -2 ; 4 ;1 ) , B ( 3 ; 1 ;-3 ) , C ( -5 ;0 ;0 ) và có t âm nằm trên mặt phẳng : (P) : 2x + y – z + 3 = 0 . 7) Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : 2 2 2 9 0x y z+ + − = và song song với mặt phẳng (Q) : x + 2y -2z +15 = 0 . 8) Cho mặt cầu (S) : 2 2 2 4 2 6 5 0x y z x y z+ + − + − + = và hai đường thẳng 1 2 5 1 3 ( ) : 2 3 2 7 ( ) : 1 8 x y z d x t d y t z + − + = = − = − + = − − = a) Lập phương trình mặt phẳng ( ) α song song 1 2 ,d d và tiếp xúc với (S) . b) Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) với ( ) α ? 9) Cho điểm A ( 1 ; 2 ;3 ) và mặt cầu (S) : 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) 16x y z− + + + − = a) Tìm các giao điểm M , N của đường thẳng OA với (S) ? b) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M và N . 10) Cho mặt cầu (S) : 2 2 2 ( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + + + − = và mặt phẳng ( ) :2 2 9 0x y z α − − + = a) Chứng minh rằng (S) và ( ) α cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T) . b) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (T) ? ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Trong kgOxyz, cho A(1;-1;2) , B(3;0;1),C(-2;1;0). a) Lập phương trình mp(ABC) b) Tính chiều cao tứ diện OABC hạ từ đỉnh O. 2. Trong kgOxyz, cho A(1;-1;2),B(3;1;4). a) Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mpOxy. 3. Trong kgOxyz, cho M(1;2;-3). a) Gọi P,Q,R lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mp(PQR) b) Tính thể tích tứ diện OPQR. c) Tính diện tích tam giác PQR 4. Trong kgOxyz, cho ( ) : 7 0x y z α + − − = ( ) :2 3 7 0x y z β − − + = ( ): 2 5 0x y z γ + + − = và ( ) : 2 1 x t d y t z t = = + = − a) Tìm điểm chung của ba mặt phẳng ( ),( ),( ) α β γ b) CMR: ( ) , ( ) , //( )d d d α β γ ⊥ ⊂ 5. Trong kgOxyz, cho A(2;-1;3) a) Lập phương trình mặt phẳng ( ) α biết rằng hình chiếu của O lên mp ( ) α là điểm A b) Lập phương trình mặt phẳng qua A và: i) chứa trục Ox ii) chứa trục Oy iii) chứa trục Oz 6. Trong kgOxyz, cho mp ( ) : 2 3 13 0x y z α − + − = 2 a) Tìm hình chiếu H của điểm M(-1;0;1) lên mp ( ) α . Suy ra điểm M’ đối xứng của M qua mp ( ) α b) Mp( ) α cắt các trục toạ độ tại A,B,C.Tính thể tích tứ diện OABC. 7. Trong kgOxyz, cho ( ) : 1 2 x t y t z t = ∆ = − = + a) Tìm hình chiếu H của điểm A(1;-1;0) lên ( ).∆ Suy ra điểm A’ đối xứng của A qua đường thẳng ( ).∆ b) CMR : ( )∆ và (d): 1 1 1 2 1 x y z+ − = = − − là hai đường thẳng chéo nhau. 8. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 1 0x y z α − + + = và ( ) : 1 2 x t d y t z t = = + = − + a) CMR: (d) song song với mp ( ) α b) Tính khoảng cách giửa (d) và mp ( ) α 9. Trong kgOxyz, cho 3 ( ) : 2 3 1 x t y t z t = − ∆ = + = + và 1 3 ' ( ') : 2 ' 2 2 ' x t y t z t = + ∆ = − + = − a) CMR: ( ),( ')∆ ∆ cắt nhau.Tìm giao điểm I của chúng. b) Lập phương trình mp chứa ( )∆ và ( ')∆ 10. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 2 1 0,( ) :2 2 3 5 0x y z x y z α β + − + = + + − = a) CMR: α β ⊥ b) Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) là giao tuyến của hai mặt phẳng trên. 11. Trong kgOxyz, cho A(2;0;-2),B(1;-2;3) và ( ) : 2 3 5 0.x y z α − + − = a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB. b) Tìm giao điểm của đường thằng AB và mp ( ) α c) Lập phương trình mp ( ) β qua AB và vuông góc với mp ( ) α 12. Trong kgOxyz, cho A(4;0;1),B(2;-1;0),C(0;6;1),D(6;3;-2). a) Viết phương trình mp(BCD), suy ra ABCD là một tứ diện. b) Lập phương trình đường thẳng (D) qua trọng tâm G của tam giác BCD và vuông góc với mp(BCD) 13. Trong kgOxyz, cho 4 ( ) : 3 2 5 x t y t z t = ∆ = − + = − và 1 ' ( ') : 13 3 ' 9 2 ' x t y t z t = − ∆ = + = + a) CMR: ( )∆ và ( ')∆ vuông góc nhau và không có điểm chung. b) Lập phương trình mp chứa ( )∆ và vuông góc với ( ')∆ 14. Trong kgOxyz, cho 2 ( ) : 1 2 4 x t y t z t = ∆ = − − = và (D): 1 2 1 1 2 x y z− − = = − a) CMR : Hai đường thẳng trên song song nhau. b) Lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng trên. 3 15. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 1 0x y mz α − − + = và ( ) :d 1 2 3 1 1 1 x y z− + − = = − a) Tìm m để (d) song song với ( ) α . Tính khoảng cách giửa chúng khi đó. b) Tìm m để khoảng cách từ A(1;1;1) đến ( ) α bằng 1. 16. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 1 0x y α + + = và ( ) : 1 0x y z β − + − = a) CMR ( ) α và ( ) β cắt nhau. Viết phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến của chúng b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;2) và song song với hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β 17. Trong kgOxyz, cho A(1;-1;2) , B(3;0;1),C(-2;1;0). a) Lập phương trình mp ( ) α qua A,B và song song với OC b) Lập phương trình mp ( ) β qua A,B và vuông góc với mp ( ): 6 0x y z γ − + − = 18. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 2 0x y z α − + + = và ( ) : 2 1 0x y z β + + − = a) Tìm điểm M trên Oy sao cho M cách đều hai mặt phẳng ( ) α , ( ) β b) Viết phương trình mp ( ) γ qua A(-1;2;1) và vuông góc với ( ) α , ( ) β 19. Trong kgOxyz, cho 1 ( ) : 1 3 x t y t z t = + ∆ = − = − và 2 ' ( ') : 3 ' 1 ' x t y t z t = − ∆ = + = − a) CMR ( )∆ và ( ')∆ chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong mpOxy và cắt cả ( )∆ và ( ')∆ 20. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng 1. CMR: AC’ ( ' )A BD⊥ 21. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng 1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD,BB’ CMR: 'A C MN ⊥ Từ bài 22 đến bài 30 dành cho học sinh nâng cao. 22. Trong kgOxyz, cho 1 ( ) : 1 3 x t y t z t = + ∆ = − = − và điểm A(2;-1;0) a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng ( )∆ . b) Lập phương trình mặt phẳng chứa ( )∆ và qua A. 23. Trong kgOxyz, cho 1 ( ) : 1 3 x t y t z t = + ∆ = − = − (D): 1 2 1 2 1 x y z− − = = − a) CMR ( ) ∆ và (D) chéo nhau.Tính khoảng cách giửa chúng. b) Tính góc giửa ( ) ∆ và (D) 24. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 2 0x y z α − + + = và (D): 2 1 2 1 2 1 x y z+ − − = = − a) Viết phương trình đường thẳng (D 1 ) là hình chiếu của (D) lên mpOxy. b) Viết phương trình đường thẳng (D 2 ) là hình chiếu của (D) lên mp ( ) α 25. Trong kgOxyz, cho A(0;-1;-2),B(-1;2;1),C(1;0;0) a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Tính độ dài đường cao CH trong tam giác ABC 26. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 0x y z m α + + − = 4 a) Tìm m để hình tứ diện giới hạn bởi ( ) α và các mặt toạ độ có thể tích bằng 2 3 b) Tính góc tạo bởi ( ) α và mp ( ) : 1 0x y β + − = 27. a) Lập phương trình mp ( ) α cắt các trục toạ độ tại A,B,C biết trọng tâm tam giác ABC là G(1;-1;1) b) Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau 1 ( ) : 4 x t y at z t = + ∆ = = − , (D): 2 1 1 1 y z x − − = = − 28. Trong kgOxyz, cho 3 ( ) : 1 1 x t y t z t = − ∆ = − = + (D): 2 1 1 2 x y z − − = = − a) CMR ( ) ∆ và (D) chéo nhau. b) Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của ( ) ∆ và (D) 29. Trong kgOxyz, cho ( ) : 1 1 x t y t z = ∆ = − = (d): 2 1 1 2 x y z − − = = − và mp ( ) : 2 1 0x y z α + − + = a) Tính góc tạo bởi (d) và mp ( ) α b) Lập phương trình đường thẳng nằm trong mp ( ) α và cắt cả hai đường thẳng (d) và ( ) ∆ 30. Trong kgOxyz, cho 1 2 ( ) : 1 x t y t z t = − ∆ = + = (d): 2 1 1 2 x y z − − = = − a) Lập phương trình đường thẳng (D) qua gốc toạ độ và vuông góc với hai đường thẳng ( ) ∆ và (d) b) Lập phương trình mp chứa ( ) ∆ và vuông góc với mp(Oyz) NGUYÊN HÀM 1 Tìm : 1/ 3 2 1 1 x dx x + − ∫ Đs : 2 ln 1 2 x x C− − − + 2/ 2 1 x x dx e − ∫ Đs : 2 (ln 2 1) x x e C e − − + + ÷ 3/ 3 2x e dx − ∫ Đs : 3 2 1 2 x e C − − + 4/ 3 1 2 dx x x − ÷ ∫ Đs : 2 3 2 3x x C− + 5 5/ 2 2sin 2 x dx ∫ Đs : x - sinx + C 6/ 2 tan xdx ∫ Đs : tanx - x + C 7/ 2 cos xdx ∫ Đs : 1 1 sin 2 2 4 x x C+ + 8/ 2sin3 cos2x xdx ∫ Đs : 1 cos5 cos 5 x x C− − + 9/ ( 1) x x e e dx− ∫ Đs : 2 1 2 x x e e C− + Đổi biến số : 1/ 2 xdx x 1+ ∫ Đáp số: 2 1 ln(x 1) C 2 + + 2/ 2008 (1 2x) dx− ∫ Đáp số: 2009 1 (1 2x) C 2 2009 − − + 3/ 4 4 x x 2dx − + + ∫ Đáp số: 3 x 1 C 3 x − + 4/ 2 x x 1dx+ ∫ Đáp số: 2 2 1 (x 1) x 1 C 3 + + + 5/ 3 4 ln x dx x + ∫ Đáp số : 1 (3 ln 4) 3 ln 4 C 6 + + + 2/ Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : udv uv vdu= − ∫ ∫ Tính : 1/ (2 1)cosx xdx+ ∫ 2/ (1 4 )lnx xdx− ∫ 3/ x xe dx ∫ Bài tập Tính : 1/ (1 2 ) x x e dx− ∫ Đáp số: ( 3 - 2x )e x + C 2/ x xe dx − ∫ Đáp số: -(1 + x )e -x + C 3/ 2 sinx xdx ∫ Đáp số: 2 1 sin 2 cos2 4 4 8 x x x x C− − + 4/ 2 lnx xdx ∫ Đáp số: 3 2 2 2 4 8 (ln ) ln 3 3 9 x x x C − + + 5/ 2 ln x dx x ÷ ∫ Đáp số: 2 1 (ln ) 2ln 2x x C x − + + + 6/ 2 sin 2x xdx ∫ Đáp số: 2 1 2 cos2 sin 2 4 2 x x x x C − + + 6 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I/ Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1/ 2 0 1I xdx= − ∫ 2/ 2 2 0 I x xdx= − ∫ Bài tập Tính các tích phân sau: 1/ 4 2 1 x 3x 2 dx − − + ∫ Đáp số : 19 2 2/ 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − − ∫ Đáp số: 8 3/ 4 2 1 x 6x 9dx− + ∫ Đáp số: 5 2 4/ 1 1 4 x dx − − ∫ Đáp số: 5 2 5/ 3 x 0 2 4 dx− ∫ Đáp số: 1 4 ln 2 + 6/ 2 2 sin x dx π π − ∫ Đáp số: 2 7/ 0 1 sin 2xdx π − ∫ Đáp số: 2 2 8/ 0 2 2 cos 2xdx π + ∫ Đáp số: 4 II/ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Tính các tích phân sau : 1/ 2 2 0 4I x dx= − ∫ 2/ 3 2 0 1 9 I dx x = + ∫ 3/ / K = 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ 4/ 1 2 2 0 4 x dx x− ∫ 5/ 3 2 2 2 2 2 1x x dx− ∫ Bài tập Tính các tích phân sau : 1/ 1 2 2 0 2x x dx− ∫ Đs : 8 π 2/ 1 2 2 0 1 4x dx− ∫ Đs : 8 π 3/ 3 2 0 1 3 dx x+ ∫ Đs : 3 12 π 4/ 1 3 2 1 1 2 10 dx x x + − + ∫ Đs : 18 π 1/ I = 1 3 0 1 xdx− ∫ 2/ I = 1 3 0 1x xdx− ∫ 3/ I = 1 3 4 0 1 x dx x + ∫ 4/ I = 1 2 3 0 ( 1) xdx x + ∫ 7 5/ I = 3 3 2 0 . 1x x dx+ ∫ 6/ I = 2 2 3 3 0 . 8.x x dx− ∫ 7/ I = 1 2 33 0 1 x dx x+ ∫ Bài tập 1/ I = 2 0 sin 1 3cos xdx x π + ∫ Đs : 1 ln 4 3 2/ I = 3 2 0 4sin . 1 cos x dx x π + ∫ Đs : 2 3 / I = 2 3 6 cos sin xdx x π π ∫ Đs : 4 3 4/ I = 3 3 2 0 sin cos x dx x π ∫ Đs : 1 2 5/ 2 1 1 x x e dx e − ∫ Đs : ln(e + 1 ) 6 / ln 2 0 1 x e dx− ∫ Đs : 2ln2 - 1 7/ I = 5 .ln e e dx x x ∫ Đs : 64 15 8/ I = 1 1 1 ln e x dx x − + ∫ Đs : 2 3 9/ 2 1 (1 ln ) e dx x x+ ∫ Đs : 4 π 11/ I = 1 1 ln e x dx x + ∫ Đs : 2 12 / I = 4 2 2 4x dx x − ∫ Đáp số : 4 3 3 6 π − 13/ I = 5 1 2 2 1x x dx− ∫ Đáp số : 144 5 14/ I = 4 1 x e dx x ∫ Đáp số : 2e(e- 1) 15/ 2 0 1 sin dx x π + ∫ Đáp số : 1 16/ 1 5 2 0 1 x dx x+ ∫ Đáp số : 1 1 ln 2 2 4 − 17/ 1 0 1x xdx− ∫ Đáp số : 4 15 18/ 1 2 0 2 3 2 x x dx x − − − ∫ Đáp số : 1 3ln 2 2 − − 19/ 2 1 1 1 dx x x+ + − ∫ 20/ 2 2 2 2 0 1 x dx x− ∫ Đáp số : 2 8 π − 21/ 2 3 2 2 1 dx x x − ∫ Đáp số : 6 π 22/ 3 2 6 cos sin 5sin 6 xdx x x π π − + ∫ Đáp số : 3(6 3) ln 5(4 3) − − 23/ 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ Đáp số : 141 20 III/ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ví dụ 1/ ln2 2 0 . x x e dx − ∫ 2/ 2 1 (3 2).lnx xdx+ ∫ 3/ 2 0 (3 2 )sinx xdx π − ∫ 8 4/ 5 2 2 ln( 1)x x dx− ∫ Bài tập Tính các tích phân sau: 1/ π + ∫ 2 2 0 (x 1)sin xdx Đáp số: 1π− 2/ + ∫ 2 2 1 ln(1 x) dx x Đáp số: 3 ln 3 3 ln 2 2 − + 3/ + ∫ 1 2 0 x ln(x 1)dx Đáp số: 1 ln 2 2 − 4/ π + ∫ 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx Đáp số: 2 2 π − 5/ 1 2 0 x xe dx ∫ Đáp số: 2 1 4 e + 6/ 2 1 ln e xdx ∫ Đáp số: e - 2 7/ 1 2 2 0 ( 1) x x e dx+ ∫ Đáp số: 2 3( 1) 4 e − 8/ 1 cos(ln ) e x dx π ∫ Đáp số: 1 2 e π − − 9/ cos 0 ( )sin x e x xdx π + ∫ Đáp số: 1 e e π − + 10/ 2 0 cos x e xdx π ∫ Đáp số: 2 1 2 e π − ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau : 1/ y = x 2 - 4x + 3 , y = 0 , x = 2 , x = 4. Đáp số: 2 2/ y = - x 2 + 3x , y = 0 , x = -1 , x = 1 Đáp số: 3 3/ y = sin 2 x.cos 3 x , y = 0 , 6 x π = , 2 x π = , Đáp số: 47 480 (đvdt) 4/ y = 4 1 x x− , y = 0 , x = 0 , x = 2 2 Đáp số : 12 π (đvdt) 5/ y = xln 2 x , y = 0 , x = 1 , x = e Đáp số : 2 1 4 e − (đvdt) 6/ y = sin 4 x + cos 4 x , y = 0 , x = 2 π và x = π Đáp số : 3 8 π (đvdt) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau : 1/ 2 2y x= + , y = x , x = 0 , x = 2 Đáp số: 14 3 2/ y = 2 - x 2 , y = x , x = 0 , x = 1 Đáp số: 7 6 3/ y = 2 - x 2 , y = x Đáp số: 9 2 4/ y = x , y = 6 - x và trục hoành Đáp số: 91 6 5/ y = 7 - 2x 2 , y = x 2 + 4 Đáp số: 4 6/ x - y 2 = 0 và x + 2y 2 = 3 Đáp số: 4 7/ x = y 3 - y 2 và x = 2y Đáp số: 37 12 9 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox : 1/ y = x 2 - 4x + 4 , y = 0 , x = 0 , x = 3 Đáp số: V = 33 5 π ( đvtt ) 2/ y = 2 - x 2 , y = 1 Đáp số: 56 15 π ( đvtt ) 3/ y = 2x - x 2 , y = x Đáp số: 5 π (đvtt ) 4/ = 2 (P) : y 8x và đường thẳng x = 2: Đáp số: V 16= π (đvtt) 5/ = − 2 (P) : y 2x x và trục hoành: Đáp số: 16 V 15 π = (đvtt) 6/ = = 2 y x , y x Đáp số: 3 V 10 π = (đvtt) SỐ PHỨC 1. Thực hiện Các phép tính a. 1 i 1 i 1 i 1 i + − + − + b. 2 i 3 3 i 2 i 3 + − − 2. Giải các phương trình : a. (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i) b. 2iz + 3 = 5z + 4i c. 3z(2 – i) + 1 = 2iz(1 + i) + 3i 3. Tính : 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + … + (1 + i) 20 4. Tìm x và y để: 5. Tính: a. (1 + i) 2 b. (1 + i) 3 c. (1 + i) 4 d. (1 + i) 5 6. Tính căn bậc hai của số phức sau: a. 1 2i 2− − b. 16 – 30i c. 8 + 6i d. 1 – i 7. Giải các phương trình: a. 2z 2 + 3z + 5 = 0 b. z 2 – (2+ i)z + (-1 + 7i) = 0 c. z 2 + (3 – 2i )z + (5 – 5i) = 0 d. z 4 – 3z 2 + 4 = 0 8. Gọi ,α β là hai nghiệm của phương trình: z 2 + (2 – i)z + 3 + 5i = 0. Không giải phương trình, hãy tính: a. 2 2 α +β b. 4 4 α +β c. α β + β α d. 2 4 α β+β α 9. Giải các phương trình : a. z 3 – 1 = 0 b. z 3 + 1 = 0 c. z 4 – 1 = 0 d. z 4 + 1 = 0 10. Giải phương trình z z 3 4i+ = + 11. Giải hệ phương trình: z 2i z z i z 1 − = − = − 10 . thẳng (d) qua M(1;1;2) và song song với hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β 17. Trong kgOxyz, cho A(1;-1;2) , B(3;0;1),C(-2;1;0). a) Lập phương trình mp ( ) α qua A,B và song song với OC b) Lập phương. nhau. 8. Trong kgOxyz, cho ( ) : 2 1 0x y z α − + + = và ( ) : 1 2 x t d y t z t = = + = − + a) CMR: (d) song song với mp ( ) α b) Tính khoảng cách giửa (d) và mp ( ) α 9. Trong kgOxyz,. vuông góc với ( ')∆ 14. Trong kgOxyz, cho 2 ( ) : 1 2 4 x t y t z t = ∆ = − − = và (D): 1 2 1 1 2 x y z− − = = − a) CMR : Hai đường thẳng trên song song nhau. b) Lập phương trình