Đề Thi Vào Hệ ĐT KSTN - ĐHBK Hà Nội (Full: 99-07) ppt

1 Ph n th Nh t TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 1999 Mơn thi: Tốn h c Th i gian: 90 phút(*) Bài 1: Kh o sát s bi n thiên c a hàm s sau: f ( x ) xác đ nh tồn ℝ , ñư c cho x  x = x + f ( x) =  1+ ex  x ≠ 0 Bài 2: Tìm s th c a, b, c th a mãn ñi u ki n a − 2b + 3c − 16 = cho bi u th c: f = 2a + 2b + 2c − 4a − 4b − 4c + 15 ñ t giá tr nh nh t Bài 3: Ch ng minh r ng phương trình: a.cos x + b.sin x + c.cos3x = x có nghi m đo n [ −π , π ] v i m i a, b, c ∈ ℝ Bài 4: Tìm hàm s f ( x ) xác ñ nh ño n [ 0,1] , bi t r ng: ≤ f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ [ 0,1] và: f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1, x2 ∈ [ 0,1] (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2000 Mơn thi: Tốn h c Th i gian: 90 phút(*) Bài 1: Cho dãy s x1 , x2 , , xn , , xác ñ nh sau: x1 > 0, xn = ln (1 + xn−1 ) , ∀n ≥ Ch ng minh r ng dãy s y h i t t i m t gi i h n l Tìm l Bài 2: Ch ng minh r ng n u f ( x ) hàm s xác ñ nh ℝ, th a mãn ñi u ki n f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ ℝ f ( x ) hàm h ng Bài 3: f ( x ) m t hàm s xác ñ nh liên t c t i m i x ≠ 0, l y giá tr ≥ 0, th a mãn ñi u ki n: x f ( x ) ≤ k ∫ f ( t ) dt , ∀x ≥ 0 Trong k m t h ng s dương Ch ng minh r ng f ( x ) = 0, ∀x ≥ ( G i ý: Có th xét s bi n thiên c a hàm s F ( x ) = e x − kx ∫ f ( t ) dt kho ng (0, +∞)) Bài 4: Hàm s f ( x ) th a mãn ñi u ki n f " ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Ch ng minh r ng : f ( tx + (1 − t ) y ) ≤ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ, ∀t ∈ ( 0,1) Bài 5: Cho s th c k1 , k2 , , kn , khác t ng đơi m t Ch ng minh r ng : a1e k1x + a2e k2 x + + an e kn x = 0, ∀x ∈ ℝ ch a1 = a2 = = an = (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2001 Mơn thi: Tốn h c Th i gian: 120 phút(*) Bài 1: Cho hàm s f ( x) = ex ( x + 1) Xét dãy s {un } xác ñ nh b i: u0 = 1, un+1 = f ( un ) , ∀n ≥ 1  1./ Ch ng minh r ng phương trình f ( x ) = x có nghi m nh t α ∈  ,1 2  1  2./ Ch ng minh r ng un ∈  ,1 v i m i n nguyên dương 2  1  3./ Ch ng minh r ng f ' ( x ) tăng ño n  ,1 Suy t n t i m t s 2  k ∈ ( 0,1) cho un+1 − α = k un − α v i m i n nguyên dương 4./ Ch ng minh r ng: lim un = α n→∞ Bài 2: V i s x, y ∈ ℝ ta ñ t d ( x, y ) = x− y 1+ x − y Ch ng minh r ng v i s x, y, z ∈ ℝ ta ln có: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( y, z ) Bài 3: Cho hàm s f ( x ) có f " ( x ) > a < b Ch ng minh r ng: 1./ f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) > λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ [ a, b ] , ∀0 < λ <  a+b 2./ ∫ f ( x ) dx ≤ ( b − a ) f     a b Bài 4: Cho a < b hàm s b ∫ f ' ( x ) dx = m Ch a f ( x ) có f ' ( x ) liên t c ℝ th a mãn f ( a ) = f ( b ) = ng minh r ng: f ( x ) ≤ m , ∀x ∈ [ a, b ] (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2002 Mơn thi: Tốn h c Th i gian: 120 phút(*) Bài 1: Cho b t phương trình: x ≥ mx + x 1+ x (1) 1./ Gi i b t phương trình (1) m = 2./ Tìm m ∈ ℝ l n nh t cho b t phương trình (1) nghi m v i m i x ∈ ℝ Bài 2: Cho dãy s { xn } xác ñ nh sau:   x1 = −  f ( x) =   x = xn − 1, ∀n ≥  n +1  Ch ng minh r ng dãy { xn } có gi i h n n → +∞ tìm gi i h n Bài 3: Cho s th c a0 , a1 , , a2002 th a mãn:  a0 ≠   a2002 a1 a2  a0 + + + 2003 =  Ch ng minh r ng phương trình: a0 + a1 x + a2 x + + a2002 x 2002 = có nghi m đo n [ 0,1] Bài 4: Cho hàm s y = f ( x ) có đ o hàm c p hai f " ( x ) ≥ toàn b ℝ a ∈ ℝ c đ nh Tìm giá tr l n nh t c a hàm s g ( x ) = f ( x ) + ( a − x ) f ' ( x ) ℝ (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2003 Mơn thi: Tốn h c Th i gian: 120 phút(*) Bài 1: Tìm đa th c P ( x ) có b c bé nh t, ñ t c c ñ i t i x = v i P (1) = ñ t c c ti u t i x = v i P ( 3) = Bài 2: Có t n t i hay khơng m t đa th c P ( x ) th a mãn ñi u ki n: i ) P ( x ) ≥ P "( x ) ii ) P ' ( x ) ≥ P " ( x ) v i m i giá tr c a x Bài 3: 1./ Cho hàm s xác ñ nh f ' ( x ) > ∀x ∈ ℝ Bi t r ng t n t i x0 ∈ ℝ ( ( )) cho f f f ( f ( x0 ) ) = x0 Ch ng minh r ng f ( x0 ) = x0 2./ Gi i h phương trình:  x = y3 + y −   y = z + 2z −   z = t + 2t − t = x + x −  Bài 4: Cho dãy s { xn } th a mãn:  x1 =    x1 + x2 + + xn = n xn  Tìm gi i h n: lim ( n xn ) n →∞ (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2004 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*) Bài 1: Tìm s a, b, c cho: lim x →±∞ a ( x3 − x ) + b ( x3 + x − 1) − c ( x + x ) a ( x − x ) − bx + c ( x + 1) + x + x = Bài 2: Ch ng minh r ng v i m i tham s m, phương trình: x3 − x − m ( x − 1) = ln có nghi m Bài 3: f ( x ) hàm s xác ñ nh ño n [ 0,1] , th a mãn ñi u ki n: f ( x1 ) − f ( x2 ) < x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0,1] Ch ng minh r ng t n t i m t ñi m nh t x0 ∈ [ 0,1] cho: f ( x0 ) = x0 Bài 4: 1./ Ch ng minh r ng n u hàm s f ( x ) liên t c ño n [ a, b ] thì: b b a a ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx 2./ Ch ng minh r ng n u hàm s f ( x ) có đ o hàm liên t c ño n [ a, b ] th a mãn ñi u ki n f ( a ) = f ( b ) = thì: b ∫ f ( x) a (b − a ) dx ≤ M (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2005 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*) Bài 1: Cho dãy s {un } xác ñ nh sau: , ∀n ≥ un−1 y không d n t i m t gi i h n h u h n u0 = 1, un = un −1 + 1./ Ch ng minh r ng dãy s n → +∞ 2./ Ch ng minh r ng: lim un = +∞ n →∞ Bài 2: Cho hàm s f ( x ) liên t c, ñơn ñi u gi m [ 0,b ] a ∈ [ 0, b ] Ch ng minh r ng: a b 0 b ∫ f ( x ) dx ≥ a ∫ f ( x ) dx Bài 3:  π f ( x ) m t hàm s liên t c ño n 0,  , th a mãn:  2 π f ( x ) > ∫ f ( x ) dx < Ch ng minh r ng phương trình: f ( x ) = sin x  π có nh t m t nghi m kho ng  0,   2 Bài 4: Cho hàm s :  α 1  x sin   x ≠ f ( x) =  x 0 x =  v i α h ng s dương V i giá tr c a α , hàm s Bài 5: Tìm t t c hàm s f ( x ) có đ o hàm t i m i x f ( x ) có đ o hàm liên t c ℝ th a mãn h th c: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + xy, ∀x, y ∈ ℝ (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2006 Mơn thi: Tốn h c Th i gian: 120 phút(*) Bài 1: Phương trình: x3 − ax + = 0, (trong a tham s ), có nghi m? Bài 2: Cho dãy s {un } xác ñ nh sau: u0 ∈ ℝ và: un+1 = un + ∫ t − un dt , ∀n ∈ ℕ 1./ Ch ng minh r ng: dãy s tăng n u u0 ≥ thì: un+1 = 2un − , ∀n ∈ ℕ T ch ng minh r ng: lim un = +∞ n →∞ 2./ Ch ng minh r ng n u ≤ u0 < hay n u u0 < lim un = +∞ n →∞ Bài 3: V i m i n nguyên dương, ñ t I n = ∫ x n ln (1 + x ) dx 1./ Tính lim I n n →∞ c 2./ Gi s c ∈ ( 0,1) ð t An = ∫ x ln (1 + x ) dx, Bn = ∫ x n ln (1 + x ) dx n Ch ng minh r ng: lim n →∞ Bài 4: 1./ Tìm nh ng hàm s c An = Bn f ( x ) xác ñ nh ℝ , liên t c t i 0, cho: f ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ 2./ Tìm nh ng hàm s g ( x ) xác đ nh ℝ , có ñ o hàm t i 0, cho: g ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ ℝ Bài 5: x y ñư ng th ng chéo A B ñi m c ñ nh x CD ño n th ng có chi u dài l cho trư c trư t y Tìm v trí c a CD cho di n tích tồn ph n c a t di n ABCD nh nh t (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi n sinh chương trình đào t o K.s tài K.s ch t lư ng cao Năm 2007 Mơn thi: Tốn h c Th i gian: 120 phút(*) Bài 1: Cho phương trình: ( 1− x + x ) − x (1 − x ) = m (1) (m tham s ) 1./ Gi i phương trình (1) m = 2./ Tìm m đ phương trình (1) có nghi m Bài 2: V i n s nguyên dương, ñ t: π π 4 U n = ∫ x n −1 ( sin x ) dx Vn = ∫ x n−1 ( cos x ) 2n n −1 dx Ch ng minh r ng: 1./ lim U n = lim Vn = n →+∞ n→+∞ 2./ 2U n + Vn ≤ π2 32 , ∀n ≥ Bài 3: Ký hi u t p ℝ + t p s th c dương Gi s liên t c th a mãn f ( f ( x ) ) = ( x + 1) f : ℝ + → ℝ + m t hàm s + Ch ng minh r ng: 1./ N u f ( x1 ) = f ( x2 ) x1 = x2 2./ Hàm s f ( x ) ñơn ñi u tăng lim x →+∞ Bài 4: Cho m t ph ng ( P ) ñi m C , D f ( x + 1) = f ( x) v phía ñ i v i ( P ) cho CD khơng vng góc v i ( P ) Hãy xác đ nh v trí m A, B thu c ( P ) cho AB = a (a > cho trư c ) t ng ñ dài CA + AB + BD ñ t giá tr nh nh t Bài 5: Cho k1 , k2 , , kn s th c dương khác t ng đơi m t Ch ng minh r ng: λ1 cos ( k1 x ) + λ2 cos ( k2 x ) + + λn cos ( kn x ) = 0, ∀x ∈ ℝ ch λ1 = λ2 = = λn = (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN 10 Ph n th Hai ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 1999 Mơn thi: Tốn Bài 1: x  x ≠ x + f ( x) =  1+ e x  x = 0 Trư c tiên ta có lim f ( x ) = ⇒ hàm s liên t c t i x = x →0 V i x ≠ 0, f ' ( x ) = + 1 t t x = + + e + t.e , t = 2 x   (1 + et ) x 1+ e     + e x + x.e x ð t g ( t ) = + et + t.et ⇒ g ' ( t ) = et ( + t ) ⇒ g ' ( t ) = ⇔ t = −2 Qua t = −2, g ' ( t ) ñ i d u t âm sang dương, v y t = −2 ñi m c c ti u nh t c a g ( t ) ⇒ g ( t ) ≥ g ( −2 ) = + e −2 − 2e−2 = − e−2 > Do f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ* V y f ( x ) ñ ng bi n ℝ Bài 2: Áp d ng b t ñ ng h c Bunhiacopxki ta có: [(a − 1).1 + (b − 1).( −2) + (c − 1).3]2 ≤ [(a − 1) + (b − 1) + (c − 1) ][12 + ( −2) + 32 ] ⇒ 142 ≤ [a + b + c − 2a − 2b − 2c + 3].14 ⇒ 2a + 2b + 2c − 4a − 4b − 4c + 15 ≥ 2(14 + ) = 37 D u b ng x y khi: a − b − c − (a − 1) − 2(b − 1) + 3(c − 1) = = = = 1 −2 1+ + ⇒ a = 2, b = −1, c = Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 20 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2003 Mơn thi: Tốn Bài 1: Do ña th c P ( x ) ñ t c c ñ i c c ti u t i x = x = nên deg P ( x ) ≥ P ' ( x ) = ( x − 1)( x − 3) Q ( x ) v i Q ( x ) ( deg P ( x ) b c c a ña th c P ( x ) ) N u deg Q ( x ) = 0, Q ( x ) = a  x3  ⇒ P ( x ) = a  − x + x  + c   4a + c = P (1) = ⇒ P ( 3) = ⇒ c = ⇒ a = ⇒ P ( x ) = x − x + x + Th l i th y ña thưc th a mãn tốn có b c nh nh t Bài 2: Trư c h t ta có nh n xét: N u ña th c Q ( x ) khơng đ i d u ℝ deg Q ( x ) ch n Gi s t n t i đa th c th a mãn tốn Xét R ( x ) = P ( x ) − P "( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Rõ ràng deg R ( x ) = deg P ( x ) ⇒ deg P ( x ) ch n ⇒ deg P ' ( x ) l ⇒ deg ( P ' ( x ) − P " ( x ) ) = deg P ' ( x ) l ⇒ ña th c ( P ' ( x ) − P " ( x ) ) ñ i d u ℝ (mâu thu n v i ii)) ði u vô lý suy không t n t i ña th c th a mãn ñi u ki n toán Bài 3: 1./ Do f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ x1 > x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) ( ) N u: f ( x0 ) > x0 ⇒ f ( f ( x0 ) ) > f ( x0 ) > x0 ⇒ f f ( f ( x0 ) ) > f ( f ( x0 ) ) > x0 ( ( )) ( ) ⇒ f f f ( f ( x0 ) ) > f f ( f ( x0 ) ) > x0 Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 21 Tương t ñ i v i trư ng h p f ( x0 ) < x0 ði u vô lý d n ñ n f ( x0 ) = x0 2./ Không gi m t ng quát, gi s x = max { x, y, z , t} ⇒ x ≥ y; x ≥ t x ≥ y ⇒ y + y − ≥ y ⇔ ( y − 1) ( y + y + ) ≥ ⇔ y ≥ ⇒ x ≥ x ≥ t ⇒ t + 2t − ≤ t ⇔ ( t − 1) ( t + t + ) ≤ ⇔ t ≥ ⇒ x ≤ ⇒ x = ⇒ y = t = ⇒ z = V y nghi m c a h phương trình x = y = z = t = Bài 4: T : x1 + x2 + + xn = n xn ⇒ n xn + xn +1 = ( n + 1) xn +1 ⇒ n xn = n ( n + ) xn +1 ⇒ xn +1 = ⇒ ⇒ xn +1 = n ( n − 1) n xn ⇒ xn +1 = x n+2 ( n + )( n + 1) n n ( n − 1) 2.1 ( n + )( n + 1) 4.2 x1 = ( n + )( n + 1) 4n ⇒ lim n xn = = n →∞ ( n + 1) n Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 22 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2004 Môn thi: Toán Bài 1: lim x →±∞ a ( x3 − x ) + b ( x3 + x − 1) − c ( x3 + x ) a ( x − x ) − bx + c ( x + 1) + x + x = ( 2a + b − 3c ) x3 + ( 5b − a − c ) x − b = x →±∞ 5a − b + 4c x + x + − a + x + c ( ) ( ) ⇔ lim Nh n xét, ñ t n t i gi i h n trên, c t m u ph i có b c h s cao nh t c a t m u ph i b ng nhau, ñi u tương ñương v i:  a = − 109 5a − b + 4c =  46   2a + b − 3c = ⇔ b = 5b − a − c =  109  14  c = 109  Bài 2: Xét hàm s f ( x ) = x3 − x − m ( x − 1) f ' ( x ) = x − 2mx − Ta th y phương trình f ' ( x ) = ln có nghi m trái d u x1 , x2 ac < 2m   x m  f ( x ) =  −  ( x − 2mx − ) −  +  x  3   2m   ⇒ f ( x1 ) f ( x2 ) =  +  x1 x2 <   V y ñi m c c tr c a hàm s ñ th hàm s y = f ( x ) n m phía c a tr c hồnh L i f ( x ) ña th c b c nên phương trình f ( x ) = ln ln có nghi m phân bi t Bài 3: T : f ( x1 ) − f ( x2 ) < x1 − x2 Cho x1 → x2 ⇒ f ( x1 ) → f ( x2 ) ⇒ f ( x ) liên t c [ 0,1] Trư c h t ta ch ng minh t n t i x0 ∈ [ 0,1] : f ( x0 ) = x0 (1) Theo gi thi t: f ( ) ≥ 0, f (1) ≤ Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 23 N u BðT x y d u b ng ⇒ (1) ñúng  f ( 0) >  Xét hàm s g ( x ) = f ( x ) − x, x ∈ [ 0,1] ⇒ g ( x ) liên t c [ 0,1] N u   f (1) <  Mà g ( ) > 0, g (1) < ⇒ ∃x0 ∈ [ 0,1] : g ( x0 ) = ⇒ f ( x0 ) = x0 V y (1) ñúng Gi s t n t i a, b ∈ [ 0,1] : f ( a ) = a, f ( b ) = b, a ≠ b Theo gi thi t: a − b = f ( a ) − f ( b ) < a − b Vô lý ⇒ G i s sai V y t n t i nh t s x0 th a mãn f ( x0 ) = x0 Bài 4: b ∫ 1./ a b f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx a Chia [ a, b ] thành ño n nh mà m i đo n f ( x ) khơng ñ i d u Gi s a = x0 < x1 < x2 < < xn = b ñi m chia b n −1 xi +1 n −1 xi +1 b a Ta có: n −1 xi +1 i = xi i =0 i = xi a ∫ f ( x ) dx = ∑ ∫ f ( x ) dx ≤ ∑ ∫ f ( x ) dx = ∑ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx xi 2./ Ta th y, v i ∀x ∈ ( a, b ) , ∃t ∈ ( a, x ) , k ∈ ( x, b ) : | f ( x) |=| f ( x) − f (a) |=| f '(t ) | ( x − a) ≤ M ( x − a) | f ( x) |=| f (b) − f ( x) |=| f '( k ) | (b − x) ≤ M (b − x) b Suy b ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx a a a +b = b ∫ f ( x ) dx + ∫ a a+b  a +b  b   f ( x ) dx ≤ M  ∫ ( x − a ) dx + ∫ ( b − x ) dx  a +b  a     a+b b  M 2  = (a − b) M = ( x − a ) − (b − x ) a + b     a   Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 24 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2005 Mơn thi: Tốn Bài 1: un +1 = un + un (1) 1./ Gi s t n t i lim un = l Trong (1) cho n → +∞ ⇒ l = l + Phương trình n →∞ l vơ nghi m ⇒ không t n t i gi i h n lim un n →∞ 2./ Do u0 = > ⇒ un > 0, ∀n ⇒ {un } dãy tăng Gi s ∃M : un < M , ∀n ⇒ {un } b ch n ⇒ {un } h i t Mâu thu n v i câu 1./ V y gi s sai ⇒ lim un = +∞ n →∞ Bài 2: Do f ( x ) liên t c [ 0,b ] ⇒ ∃F ( x ) nguyên hàm c a f ( x ) đo n a b 0 ⇒ b ∫ f ( x ) dx ≥ a ∫ f ( x ) ⇔ b ( F ( a ) − F ( 0)) ≥ a ( F ( b ) − F ( )) ⇔ (b − a ) ( F ( a ) − F ( 0) ) ≥ a ( F (b ) − F ( a )) Theo ñ nh lý Lagrange ∃c ∈ ( 0, a ) , d ∈ ( a, b )( c < d ) : F ( a ) − F ( ) = f ( c ) a F ( b ) − F ( a ) = f ( d ) ( b − a ) V y BðT ñ tương ñương v i: ( b − a ) f ( c ) a ≥ a f ( d )( b − a ) Do f ( x ) hàm s ñơn ñi u gi m ⇒ f ( c ) ≥ f ( d ) Mà ( b − a ) a ≥ nên BðT ñã cho ñúng Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 25 Bài 3:  π Xét hàm s g ( x ) = f ( x ) − sin x v i x ∈ 0,   2 Ta có g ( ) = f ( ) > (1) π Và π π π 2 2 ∫ g ( x ) dx = ∫ ( f ( x ) − sin x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ sin xdx < − = 0 0 (2) N u ∃x0 : g ( x0 ) = ⇒ dpcm π  π N u g ( x ) > 0, ∀x ∈  0,  ⇒ ∫ g ( x ) dx > Mâu thu n v i (2)  2 N u ∃x1 : g ( x1 ) <  π K t h p v i (1) g ( x ) liên t c 0,  ⇒ ∃x0 : g ( x0 ) = ⇒ f ( x0 ) = sin x0 ( dpcm )  2 Bài 4:  α  x sin f ( x) =  x 0  Ta có ≤ x a sin x≠0 (α > ) x = ≤ xα lim xα = α > x →0 x V y lim f ( x ) = = f ( ) nên f ( x ) liên t c ℝ x →0 Rõ ràng v i ∀α , f ( x ) có đ o hàm t o ∀x ≠ Ta ph i tìm α đ t n t i f ' ( ) , t c t n t i gi i h n lim x →0 f ( x ) − f ( 0) 1  = lim  xα −1 sin  x →0 x x  Tương t trên, gi i h n t n t i n u α > V i α ≤ 1, ta s ch ng minh không t n t i gi i h n 1  Th t v y lim  xα −1 sin  = lim ( t1−α sin t ) x →0 x  t →∞  D dàng ch ng minh ñư c gi i h n không t n t i b ng ph n ch ng Gi s lim ( t 1−α sin t ) = M T c ∀ε > 0,∃t0 : ∀t ≥ t0 t →∞ Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN t 1−α sin t − M < ε Hà N i, tháng 8/2008 26 Cho t = kπ ⇒ M = ñi u khơng th v i t = π + k 2π , k > t0 2π 1− α π  t 1−α sin t − M =  + k 2π  2  không t n t i gi i h n không th nh ε ( ε đ nh ) ði u vơ lý d n ñ n K t lu n: α > Bài 5: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + xy, ∀x, y ∈ ℝ (1) ð t g ( x ) = f ( x ) − x ⇒ (1) ⇔ f ( x + y ) − ( x + y ) = f ( x ) − x + f ( y ) − y 2 ⇔ g ( x + y ) = g ( x ) + g ( y ) (2) Do f ( x ) có đ o hàm liên t c ℝ nên g ( x ) có đ o hàm liên t c ℝ Cho x = y = ⇒ g ( ) = g ( ) ⇒ g ( ) = Ta có: ( ) ⇔ g ( x + y) − g ( x) y = g ( y ) − g ( 0) y Cho y → ⇒ g ' ( x ) = g ' ( ) , ∀x ∈ ℝ ⇒ g ' ( x ) = c, ∀x ∈ ℝ ( c = const ) ⇒ g ( x ) = cx + d ( d = const ) ⇒ f ( x ) = x + cx + d Thay vào (1) ⇒ d = V y f ( x ) = x + cx Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 27 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2006 Mơn thi: Tốn Bài 1: x3 − ax + = ð t v trái c a phương trình f ( x ) f ' ( x ) = x − 2ax  x = f '( x ) = ⇔  2a x =  ( 27 − a ) 4a  a  8a f ( ) = > 0, f   = − +4= 27   27 T ta có th suy ra: N u a < : Phương trình có nghi m th c N u a = : Phương trình có nghi m(1 nghi m kép x = ) N u a > : Phương trình có nghi m phân bi t Bài 2: un +1 = un + ∫ t − un dt 1./ u0 ≥ T cách xác đ nh dãy ta có un +1 ≥ un ≥ 1, ∀n ∈ ℕ 1 ⇒ un +1 = un + ∫ t − un dt = un + ∫ ( un − t ) dt = 2un − 0 T ñó suy lim un = +∞ n →∞ 2./ N u u0 ≤ ⇒ u1 = u0 + ∫ ( t − u0 ) dt = u0 + 1 − u0 = 2 V y ta ch c n xét v i < u0 < 1 u0 0 Khi u1 = u0 + ∫ t − un dt = u0 + = u + u0 ( u − ) − ∫ (u − t) + ∫ ( t − u ) dt u0 2 u0 − u + − u0 (1 − u0 ) 2 = u0 + Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 28 Do < u0 < ⇒ u1 > N u u1 ≥ ⇒ dpcm (Theo câu 1./) 1 1 < u1 < ⇒ u2 = u12 + > + = 2 4 Tương t n u u2 v n < u3 = u2 + > + > 16 V y theo câu 1/ ta có dpcm N u Bài 3: 1./ I n = ∫ x n ln (1 + x ) dx ⇒ I n ≥ 0, ∀n ∈ ℕ* (*) Ta có: ≤ I n ≤ ∫ x n ln 2dx = ln n +1 ln Do lim = nên theo nguyên lý gi i h n k p ta có lim I n = n →+∞ n →+∞ n + c c 2./ Ta có An = ∫ x n ln (1 + x ) dx ≤ ln (1 + c ) ∫ x n dx 0 Bn = ∫ x n ln (1 + x ) dx ≥ ln (1 + c ) ∫ x n dx ≥ c c c ∫ x dx n A ⇒0≤ n ≤ Bn ∫ x dx n c n +1 = − c n +1 c n +1 c = < c < n →∞ − c n +1 Mà lim Theo nguyên lý gi i h n k p ⇒ lim n →∞ An = Bn Bài 4: 1./ f ( 2x) = f ( x) x x  x  T gi thi t ta có f ( x ) = f   = f   = = f  n  , ∀n ∈ ℕ 2 4 2   x  V i x b t kỳ cho n → +∞ ⇒ f  n  → f ( ) f ( x ) liên t c t i x = 2  ⇒ f ( x ) = f ( ) , ∀x ∈ ℝ V y nghi m c a toán f ( x ) = c, ∀x ∈ ℝ, ( c = const ) Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 29 2./ T g ( x ) = g ( x ) ⇒ g ( ) = Và g ( 2x ) 2x = 2g ( x) 2x = g ( x) x = g ( x ) − g ( 0) x Do g ( x ) kh vi t i x = nên h ( x ) = g ( x) x Theo câu 1./ ta có h ( x ) = c ⇒ g ( x ) = cx liên t c t i x = h ( x ) = h ( x ) Bài 5: G i HK đư ng vng góc chung c a x, y Qua H k ñư ng th ng y’ song song v i y Qua C , D k CP, DQ song song v i HK, P,Q n m y’ Ta có: 1 StpABCD = S ACD + S BCD + SCAB + S DAB = CD ( d ( A, y ) + d ( B, y ) ) + AB ( d ( C , x ) + d ( D, x ) ) 2 V y di n tích tồn ph n c a t di n ABCD nh nh t d ( C , x ) + d ( D, x ) ñ t giá tr nh nh t G i I,J l n lư t chân ñư ng vng góc h t C,D xu ng x Ta ph i tìm v trí c a C,D đ CI + DJ ñ t giá tr nh nh t Ta có CI + DJ = CH − HI + DH − HJ Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 30 = HK + CK − HI + HK + KD − HJ = HK + PH − HI + HK + HQ − HJ = HK + PI + HK + QJ = HK + PH sin α + HK + QH sin α V i α góc gi a x y PQ = CD= l L i có: HK + PH sin α + HK + QH sin α ≥ HK + sin α ( PH + QH ) ≥ HK + sin α PQ = HK + sin α l D u b ng x y ch H trung ñi m c a PQ T suy v trí C, D Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 31 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2007 Mơn thi: Tốn Bài 1: ( 1− x + x ) − x (1 − x ) = m (*) 1./ ði u ki n: ≤ x ≤ ð t t = − x + x  t −1  x (1 − x ) = ⇒ t = + x (1 − x ) ⇒  t ≥  Và t = ( ) ≤ (1 + ) (1 − x + x ) = ⇒ t ≤ 1− x + x 2 V y ≤ t ≤ t −1 = m Thay vào (*) ta có: t − Khi m = t −1 1) ⇔ t − = ⇔ 2t − t − = ( 2 ⇔ ( t − 1) ( 2t + t + 1) = ⇔ t = (1)  x = Theo trên, t ≥ , d u b ng x y ⇔   x = V y nghi m c a phương trình x = 0, x = t −1 2./ ð t f ( t ) = t − , t ∈ 1,    Phương trình (1) có nghi m m n m d i giá tr c a f ( t ) Ta có: f ' ( t ) = 3t − t = t ( 3t − 1) Do ≤ t ≤ ⇒ f ' ( t ) > 0∀t ∈ 1,    ⇒ f (1) ≤ f ( t ) ≤ f ( ) ⇒ ≤ f (t ) ≤ 2− 1  V y v i m ∈ 1, 2 −  phương trình cho có nghi m 2  Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 32 Bài 2: π π 4 U n = ∫ x n −1 ( s inx ) dx, Vn = ∫ x n −1 ( cos x ) 2n n −1 dx 2n π    1./ Ta th y ≤ U n ≤ ∫ x n −1dx =   2n π π    Mà lim   n →∞ 2n 2n = (do π < 1) ⇒ lim U n = n →∞ Tương t , lim Vn = n →∞  π 2./ V i x ∈ 0,  ≤ sinx, cos2 x ≤  4 ⇒ ≤ x n −1 ≤ x, ≤ ( sinx ) ≤ sin x, ≤ ( cos2 x ) 2n n −1 ≤ cos2 x V y: π π 2U n + Vn = ∫ x n −1 ( (sinx ) 2n + ( cos2 x ) n −1 ) dx ≤ ∫ x ( 2sin x + cos2 x ) dx π = ∫ xdx = π2 32 Bài 3: f ( f ( x )) = ( x + 1) + 1./ Ta có f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ f ( f ( x1 ) ) = f ( f ( x2 ) ) ( x1 + 1) + = ( x2 + 1) + 5 ⇔ ( x1 + 1) + = ( x2 + 1) + ⇔ x1 = x2 ⇒ 5 Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 33 2./ Theo câu 1./, f ( x ) ñơn ánh, k t h p v i f ( x ) liên t c ℝ ⇒ f ( x ) ñơn ñi u ℝ N u f ( x ) ñơn ñi u gi m ℝ ( ) ( ( )) > f ( x ) f ( f ( f ( x ) ) ) < f ( x ) (Do f ( x ) ñơn ñi u gi m ℝ ) T gi thi t ta có f f ( x ) > x + > x ⇒ f f f ( x ) Và Mâu thu n suy f ( x ) ñơn ñi u tăng ℝ ( ) Do lim f f ( x ) = +∞ nên lim f ( x ) = +∞ x →+∞ x →+∞ Ta có v i x ñ l n, < Mà lim ( f ( x ) + 1) f ( x + 1) f ( x) +1 f ( x) x →+∞ < ( f f ( f ( x )) f ( x) = lim ) = ( f ( x ) + 1) ( f ( x ) + 1) Theo nguyên lý gi i h n k p ta có lim x →+∞ f ( x + 1) f ( x) +1 f ( x) +1 f ( x) f ( x ) →∞ = = Bài 4: G i H , K l n lư t hình chi u c a C, D xu ng (P) I giao m c a CD, HK Ta có: B CA + AB + BD = I AB + CH + HA + DK + KB 2 2 K H P V y ta c n xác ñ nh A, B ñ A CH + HA2 + DK + KB ñ t giá tr nh nh t Theo BðT Mincopxki ta có: D CH + HA2 + DK + KB ≥ ( CH + DK ) + ( HA + KB ) 2  HA + AB + BK ≥ HK 2 ⇒ HA + KB ≥ HK − AB ⇒ ( HA + KB ) ≥ HK − a Mà   AH + HK + KB ≥ AB Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 34 D u b ng x y khivà ch khi: A, H , K , B th ng hàng (theo th t n u a > HK , theo th t a < HK , A ≡ H , B ≡ K KHI a = HK ) và: H , K , A, B HA CH IH IA IA CH a.CH = = = ⇒ = ⇒ IA = KB DK IK IB a CH + DK CH + DK Tóm l i: CA + AB + BD ñ t giá tr nh nh t A,H n m v phía so v i I IA = a.CH CH + DK Bài 5: λ1cos ( k1 x ) + λ2 cos ( k2 x ) + + λn cos ( kn x ) = 0, ∀x ∈ ℝ (1) Quy n p theo n V i n = , kh ng đ nh c a tốn hi n nhiên ñúng Gi s kh ng ñ nh ñã ñúng ñ n n − V i n ð t f ( x ) v trái c a (1) Ta có: − f " ( x ) = k12 λ1cos ( k1 x ) + k22λ2cos ( k2 x ) + kn2λn cos ( kn x ) = 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ( x ) + kn2 f "( x ) = 0, ∀x ∈ ℝ n −1 ⇔ ∑ ( ki2 − kn2 ) λ1 cos ( ki x ) = 0, ∀x ∈ ℝ i =1 Theo gi thi t quy n p ta có ( ki2 − kn2 ) λi = 0, ∀i = 1, n − Do ki , i = 1, n − s th c dương khác ⇒ λi = 0, ∀i = 1, n − ⇒ λn = Theo nguyên lý quy n p ta có dpcm CHÚC CÁC B N ƠN T P T T Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 ... lu n: có hàm s th a mãn u ki n toán là: f ( x) = x f ( x ) = − x Vũ Hữu Tiệp K5 2- ĐTVT -KSTN- ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 12 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2000 Mơn thi: Tốn... đư c ch ng minh Vũ Hữu Tiệp K5 2- ĐTVT -KSTN- ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 15 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2001 Mơn thi: Tốn Bài 1: 1./ Xét hàm s g ( x ) = f ( x ) − x = ex... x + cx + d Thay vào (1) ⇒ d = V y f ( x ) = x + cx Vũ Hữu Tiệp K5 2- ĐTVT -KSTN- ĐHBKHN Hà N i, tháng 8/2008 27 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài K sư ch t lư ng cao Năm 2006 Mơn thi: Tốn Bài 1: x3