ON THI DH(2)

ON THI ĐẠI HỌC 08-09 Đề 2 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x 3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau. Câu II. (2 điểm) 1/ Giải hệ phương trình:    =−−−+ =−+−− 0322 6)2)(1)(1( 22 yxyx yxyx 2/ Giải phương trình : tan2x + cotx = 8cos 2 x . Câu III.(1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 x , y = 3 – x , trục hòanh và trục tung. Câu IV.(1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là d. Tính thể tích khối chóp đã cho. Câu V. (1 điểm) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: 2 sin. 2 sin. 2 sin 4 sin. 4 sin. 4 sin CBACBA ≥       −       −       − πππ II. PHẦN RIÊNG. (3điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc b) Câu VI a.(2 điểm) 1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy ,cho elip (E): 1 46 22 =+ yx và điểm M(1 ; 1) . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - 3 z = 0 một góc 60 0 Câu VII a.(1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 x – 4m(2 x – 1) = 0 Câu VI b.(2 điểm) 1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai điểm A(1 ; 2), B(1 ; 6) và đường tròn (C): (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 2. Lập phương trình đường tròn (C’) qua B và tiếp xúc với (C) tại A. 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 3. Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất. Câu VII b.(1 điểm) Tìm m để phương trình: ( ) 0loglog4 2 1 2 2 =+− mxx có nghiệm trong khỏang (0 ; 1). HƯỚNG DẪN GIẢI Đề 2 Câu I. 1/ 2/ Phương trình hòanh độ giao điểm của (C) và (d): x 3 – (m + 3)x – m – 2 = 0 Hay : (x + 1)(x 2 – x – m – 2) = 0    =−−− =−= (*)02 3,1 2 mxx yx (*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > ) 4 9 − , x N và x P là nghiệm của (*) Theo giả thiết: ( )( ) 133 22 −=−− PN xx       −− = +− = ⇔=++⇔ 3 223 3 223 01189 2 m m mm Câu II. 1/ Hệ    =−−+ =+ ⇔    =−+ =+ ⇔    =−−+− =−+−−− ⇔ 052)( 6)( 05 6)( 05)1()1( 6)11)(1)(1( 22222 uvvu vuuv vu vuuv yx yxyx với    −= −= 1 1 yv xu Đặt:    = += vuP vuS . được    = = ⇔    =−− = 2 3 052 6. 2 P S PS SP u, v là nghiệm của phương trình: X 2 – 3X + 2 = 0    =− =− ∨    =− =− ⇔    = = ⇔ 21 11 11 21 2 1 y x y x X X Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3) 2/ ĐK:    ≠ ≠ 0sin 02cos x x tan2x + cotx = xx x xx xxxx x x x x sin.2cos cos sin.2cos cos2cossin.2sin sin cos 2cos 2sin = + =+ Pt 2(cos0)12coscossin8(cos xxxxx ⇔=−⇔ sin4x – 1) = 0       +=∨+= += ⇔ 224 5 224 2 ππππ π π kxkx kx Câu III. Phương trình : 2 x = -x + 3 có một nghiệm duy nhất x = 1. Do đó đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm có hòanh độ x = 1. Vậy diện tích cần tính là: S = ∫ ∫ +=+−+ 1 0 3 1 2 2ln 1 )3(2 dxxdx x Câu IV. d x H M O D C B A S Gọi M là trung điểm CD )()()( SOMSCDSOMCD CDOS CDOM ⊥⇒⊥⇒    ⊥ ⊥ ⇒ Kẻ đường cao OH của tam giác SOM dOHSCDOH =⇒⊥⇒ )( Gọi CM = x. Khi đó: OM = x , SM = x 3 SO = 23 2222 xxxxSM =−=− Ta có: SM.OH = SO.OM hay 3,6 2 6 .2 3 dSOdCD d xxxdx ==⇒=⇒= 323.6 3 1 . 3 1 322 dddSOCDV === Câu V. Theo bất đẳng thức Côsi:            − ≤ −+ =       +≤ − ≤ −+ =       +≤ − ≤ −+ =       +≤ 4 sin 4 cos 4 sin 2 sin 2 sin 2 1 2 sin 2 sin 4 sin 4 cos 4 sin 2 sin 2 sin 2 1 2 sin 2 sin 4 sin 4 cos 4 sin 2 sin 2 sin 2 1 2 sin 2 sin BACACACAC ACBCBCBCB CBABABABA π π π Nhân vế với vế được bất đẳng thức cần chứng minh. Câu VIa. 1/ Pt của d: y = k(x – 1) + 1 Tọa độ giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ    =+ +−= 2464 1)1( 22 yx xky Suy ra: (6k 2 + 4)x 2 – 2(6k 2 – k)x + 6k 2 – 2k – 23 = 0 (*) Để thỏa YCBT thì từ (*) ta có: 41 46 6 2 46 )6(2 2 2 2 2 −=⇔= + − ⇔= + − k k kk k kk Vậy d : y = -4x + 5 hay 4x + y – 5 = 0 2/ Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, )0;;( BAn p =⇒ → và )5;1;2( −= → Q n . Theo gt: 22 22 0 .1022 2 1 514. 2 60cos),cos( BABA BA BA nn Qp +=+⇔= +++ + ⇔= →→ 06166 22 =−+⇔ BABA Chọn B = 1 ta có : 6A 2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0. Câu VII a. Đặt t = 2 x (t > 0) ta có phương trình: t 2 – 4mt + 4m = 0 (*) (*) )10(4 1 2 ≠∧>= − ⇔ ttm t t Xét 1 2 − = t t y có ( ) 2 2 1 2 ' = − = t tt y y’ = 0 20 =∨=⇔ tt + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ 4 0 0 0 2 0 1 y y' x + ∞ - ∞ Từ bảng biến thiên ta có : m < 0 1≥∨ m Câu VI b. 1/ (C) có tâm I(2 ; 1) và phương trình của đường thẳng AI: x + y – 3 = 0. Pt của (C’) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 có tâm I’(-a ; -b) A(1 ; 2), B(1 ; 6) thuộc (C’) và tâm I’ thuộc đường thẳng AI. Ta có hệ phương trình:      =++ −=++ −=++ 03 37122 542 ba cba cba , giải hệ được a = 1, b = -4, c = 9 Pt của (C’) : x 2 + y 2 + 2x – 8y + 9 = 0 2/ Pt mp(ABC): 222 111 1 ))(;(1 cba ABCOd c z b y a x ++ − =⇒=++ Theo bất đẳng thức Côsi : 3 222222 1 3 111 cbacba ≥++ và 3 = a 2 + b 2 + c 2 3 222 3 cba≥ Ta có : 3 1 .3 111 3 111 222222 ≤⇒≥++⇔≥++ d cbacba Dấu = xảy ra khi a 2 = b 2 = c 2 hay a = b = c = 1 Vậy d lớn nhất bắng 3 1 khi a = b = c = 1 Câu VII b. Pt đã cho 0loglog)1;0(0loglog 2 1 4 2 2 22 2 2 =++⇔∈∀=++       ⇔ mxxxmxx (*) Đặt )0;()1;0(,log 2 −∞∈⇒∈= txxt (*) )0;(0 22 −∞∈∀−−=⇔=++⇔ tttmmtt Xét hàm số y = -t 2 – t có y’ = -2t – 1 y’ = 0 4 1 , 2 1 =−=⇔ yt t - ∞ - 2 1 0 y’ + 0 - y 4 1 - ∞ 0 ĐS : m 4 1 ≤ . ON THI ĐẠI HỌC 08-09 Đề 2 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x 3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3. 1/ Khảo sát sự biến thi n. minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: 2 sin. 2 sin. 2 sin 4 sin. 4 sin. 4 sin CBACBA ≥       −       −       − πππ II. PHẦN RIÊNG. (3điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai. điểm) 1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy ,cho elip (E): 1 46 22 =+ yx và điểm M(1 ; 1) . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. 2/ Trong không