Hàm đặc trưng của 1 số biến ngẫu nhiên .... Phân phối của tổng các biến ngẫn nhiên độc lâp ..... Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán, trong phạm vi của một khóa luận
Tính chất của hàm sinh mômen
Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là Mxy(t) Khi đó biến ngẫu nhiên Y — aX +b tới a, b là các hằng số thực có hàm sinh momen là
Ta có My(t) = E(etY) = E(x) = ef E(e@%) — e° Mx(a£) m
Định lý 1.2 cho rằng, nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập với hàm sinh mẹn tương ứng là Mx(t) và My(t), thì biến ngẫu nhiên Z = aX + bY, trong đó a và b là các hằng số, sẽ có hàm sinh mẹn được xác định.
Mz(t) = Mx (at)My (bt)
Ta cd Mz(t) = E(el4) = BetX+Y = Ƒ(eeÐ)Xef92Y3, Do X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập nên suy ra
Mz(t)— E (ox ) E (“x) — Mx(at)My-(bt)
Khóa luận tốt nghiệp đại học trình bày Định lý 1.3, trong đó xét các biến ngẫu nhiên độc lập X₁, X₂, , Xₙ với các hàm sinh mô men tương ứng Mₓ₁(t), Mₓ₂(t), , Mₓₙ(t) Đặt Z = a₁X₁ + a₂X₂ + + aₙXₙ, trong đó a₁, a₂, , aₙ là các hằng số thực Kết quả của định lý này sẽ được phân tích trong bối cảnh các biến ngẫu nhiên độc lập.
Ta có Mz(t) = EelZ = EeR ˆ`EeÐ =]|re* ˆ = ]]2x2).= i=1 i=1
1.1.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp
Tính chất 1.1 Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n,p) thì
Ta c6 Mx(t) eix -ye KOK k gh k =ÀŒ(ep)*4ˆ — (pc! + ạ)” q= (1—p) 1 k=0
Tính chất 1.2 Nếu X tuân theo phân phối Poi(d) thà
2iÄ nành d = (Ae')* dA Ae A(#—1
Tinh chat 1.3 e Néu X tuan theo phan phối chuẩn tắc N{(0,1) thi
Mx(t) =e? e Nếu X tuõn theo phõn phối chuẩn N{(u,ứđ) thà g2t2
Mx(t) = củ? on Nguyễn Thị Hi K36A SPToán
Chứng mình e Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc W(0, 1) thì
—oo e X tuân theo phân phối chuẩn N(j, 07) thi oo
-0*12 =x? xy aye 0212 _2 ete 2 eme 2 erewdr
Tính chất 1.4 Nếu X tuân theo phân phối rũ Ezp(A) thì
Mx(t) = E(e*) = / e! Ne dr = / de O-Y# dy = vài / e O-O8 dp =
Tính chất 1.5 Néu X tuân theo phân phéi Gamma G(a, 8) thì
Khóa luận tốtnghiệp đại học
Mx(® — I / ete le Fdr — Ị Thọ a
Faye f oom eh Rap fv“
Sau d6 dat x(1— St) =y khi do 7 = -4y, dr= ip va y € [0, 00)
Mx(Œ)==—————— | *te#du=——— m 0 meray | ve tr
0 Tính chất 1.6 Nếu X tuân theo phân phối đều U[a,b| thà t
Ta có Mx(t)= E(e'*) = “ fe Lp _ © “boa” ebay (c°— e") có "
Lũy thừa của hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên được định nghĩa là hàm nx(t) = E(t*), với t thuộc R Đối với biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(n,p), hàm sinh mômen được tính là nx(t) = (pt + q)^n, trong đó q = 1 - p Điều này cho thấy rằng nx(t) có thể được biểu diễn dưới dạng (pE + g)^n, với g = 1 - p.
=0 z=0 b Nếu X ~ Pứi(A) thỡ px(#) = e*~^,+cR Thật vậy
Co rN % At x nx(t) = So tte A =e ằ (À9) =e r= MATER x! zl
1.1.5 Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên a Nếu các biến ngẫu nhiên X\, , X; có phân phối đa thức với các tham số
1 VÀ ÿỉ1, , pr thi Mx,, x,(t1, ,th) —= (pie” â -âpee*)*,ty €R,j = 1,k
Thật vậy, sẻ sẻ mì „
Mxy,, x (th, có th) _ EeXit +EX — ` elikit +E Xk ch Dy ry! _
= (pe +: +ppe*)" te R,7 = L,& b Nếu 2 vectơ ngẫu nhiên (X\, Xa) có phân phối chuẩn 2 chiều với tham
SỐ /,a,ơ‡.ỉỏ và ứ thỡ ta cú hàm sinh mụmen là
Mx,,x,(ti, ta) = exp lan + pati + 5
That vay, ta có hàm mật độ xác suất đồng thời của (Xì, Xa) được xác định bởi
- 1 —1 tT fh 1 — fly fo — fh #9 — l2
Khi đú |E2|=ứiứjdl~p) và 3) Tiờu ( m3)
Do đó ry )- ) ơ? —polay #— py
Do đó hàm mật độ xác suất được viết dưới dạng ma trận như san
{g)=—— Le diy yt ep fla) eee ( sew "
Khóa luận tốtnghiệp đại học trong đó / là vectơ kì vọng và ` là ma trận hiệp phương sai của
Các số mũ có thể viết như sau
—]l —]l —]l at = tha, pit = tu, z2 = se x
Từ (1.4) và(1.5) ta có hàm sinh mômen trong (1.3) trở thành
Mặt khác tT Sot = (t1, te) 1 p 9 = o7t? + 2poicatite + ont
=> Mx,.x,(ti,t2) = exp [ưa +afq + 5 (z1 + poyootyte + o3t3) | t1,t2 ER c Cho véc to ngau nhién V = (X,Y) với hàm mật độ xác suất đồng thời
Khi đó Mxy(t +) = (—u)(2—t—u) (với +t z 1,£+%+ < 2) That vay, ta có oo Yy
Mxy(,u) = EeXYH# = / Tư nhac tang
Ta có hàm sinh mômen của các biến ngẫu nhiên X và Y là
Hai biến ngẫu nhiên X và Y được xác định trên cùng một không gian xác suất (Q, A, P) với kỳ vọng EX và EY Khi đó, tổng của hai biến ngẫu nhiên X + Y cũng là một biến ngẫu nhiên và có thể được xác định.
E(X+iY) = EX + iEY, với định nghĩa hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là φX(t) và được xác định bởi φX(t) = E[e^(tX)] Hãy xem xét g(x) và g0(x) là các hàm thực không âm được xác định trên tập hợp.
R khi do vdi mét day số thực {z„} sao cho g\(#„) € 0(„) Vn = 1,2, ua 5 onl In} " ad en o2t2 › g?2
= exp | pt + ——] + (w+ ortjexp | pt + — dt 2 2 0
2.1.3 Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
Phương pháp dựa trên định lí sau
Nguyễn Thị Hi, sinh viên lớp K36A SPToán, nghiên cứu Định lý 2.1 (Luật yếu số lớn) liên quan đến các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối Đặt Y_i = 4X_i, khi các biến ngẫu nhiên Y_1, Y_2, được xác định theo xác suất tới hạn.
=> lim My (t) = lim [ers @ + *)| = ell
Định lý 2.2, được biết đến như Luật số lớn Bécnuli, khẳng định rằng nếu Y1, Y2, là các biến ngẫu nhiên độc lập với cùng phân phối, thì tổng của chúng sẽ hội tụ về một giá trị xác định Cụ thể, với biến ngẫu nhiên X có phân phối B(1,p), các biến này sẽ có những đặc điểm nhất định khi được xem xét trong bối cảnh thống kê.
Yn = 2 › Xị Khi đó dãy các biến ngẫu nhiên Y\,Y›, hội tụ theo ác i=1 suât tới Ð
Khai trién Taylor cua ev 1a oo t t 1/t\* t
Khóa luận tốtnghiệp đại học
Day là hàm sinh mômen của biên ngẫu nhiên sao cho p(Y = p) = 1
= Day cdc biến ngẫu nhiên YỊ,Y›, hội tụ tối p
Dinh li duoc ching minh Dưới đây chúng ta sé stt dung céng cu ham sinh mmômen để chứng minh định lí giới hạn trung tâm
Dinh ly 2.3 (Dinh li gidi han trung tâm)
Cho X„.n = 1,2, là dấu các biến ngẫu nhiên đôc lập uà có cùng phân
5` X¡— nụ phối uới — EX„.ơ? — DX„, tồn tại hữu hạn Đặt — Y„ — mm oven vn X—p , trong đó tr ủó X = — 1 nd th je kha đó ta có , do Só o
Yn = fe lim P ("vi < ) = ®(a),Va ER,
NOOO oO túc là Jim Fy(a) = O(a), Va ER
Sử dụng khai triển Maclaurin hàm E “exp (2) ta được
Từ giới hạn hàm sinh mômen của W„ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc nên ta suy ra được lim Fy(a} = ®(a),Va ER ri >C@O
(Dinh lí được chứng minh) m
2.2_ Ứng dụng của hàm đặc trưng
2.2.1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên
Từ định lí về công thức ngược ta có thể tìm được hàm xác suất và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên
Vi du 2.8 Cho X ~ B(n,p) vdi px (t) = (pếft+ q)" (uới q— 1—p) Ấp dụng kết quả của Định lí u công thức ngược chúng ta có
—fe™ xp fo vxfữ) thdt =— xp | (pe + ae s 6 #Zj‡ — — oT
“3 ằ Cpt gh / cilr—2)t gy r—0 tp n ằ cr Hy tim dt r—0
—_— Tat ,RCT xứ —#)t; — pdt + —C* p®q?-* ap CFP d ifr —2) ic ir — x)dt + open? 1 je rau “LT -T i(r—a)t i(r—a)T tì 4 —
~~" 2Ti(r — x) 27" r=0 ru tì nó ne sin(r — 2)T th
— ^- TP” TT Cc r „HT uy + GA Ce LLL rae
Khóa luận tốtnghiệp đại học
Cho T > 00, chiing ta nhén duoc két qua la f(r) = C&p*q?™
Vi du 2.9 Cho X ~ Poi(\) uới px(t) = oer, Ap dụng kết quả của định lí công thúc ngược chúng †a có
1 ite — 1 rere, 5 te 1 củ cÀÀ ete
27 : ex(tdt = op ic = 7 ne La
Cho T + œ, ta nhận được kết quá là ƒ(z) = e ^Äy
Ví dụ 2.10 Cho X ~ N(0,1) vdi px(t) =e 2 Vilyx(t)| = er, / |(#)|d# < co nén ta co
Sy, ` I 3 NO 3 | ạ 0 mơg đ 1 ly Ss = |
8) ơ _ ơ 1 ly Q oF I SỈ” s ok ~ ty = + a 9
2.2.2 Tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
Từ tính chất của hàm đặc trưng ta có thể tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫn nhiên
+ Cho ¿x() là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X Khi đó ứ" are) =i E(X"), m=1,2,3, nếu #|X"| BEX =p dt t=0 2 £=0
—s5 x(t) = ezp | it — of (ip — ot)? — 0 exp ( ity — oe dt? ¿=0 2 2 J ho
=> EX? = +07? > DX = EX?- EX =P 4+07?- pe =o’
Vi du 2.14 Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phoi Gamma vi tham sé a
` se ps „ ` 1 _ z— ¡8#) va 8 uà có hàm đặc trưng là t) = ——_ | x exp (1) dz
=, x(t) dt 10 =a (1 —i6tjet! 10 = ian > EX =a d 2 a(a + 1đ” 2 2 sa x(t q2 ( ) 10 = FoF (1 — ¡8012 " = /“a(a ( + 1)8” )
=> EX? =ala+1)6? = DX = EX? — EX =a(a+1)8? — a28* — a8°
=> (XI Xy) = n{n — 1) (nT— k+ 1)pip Đẹ
2.2.3 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lâp
Bổ đề 2.1 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó ta có ex+y (t) = #x Œ)wy ()
Ta có @x,y() = Ee#f+Y) = E(c#Xeff 3 = petŠ + Bé = vx (thpy(t) (X,
Dinh lý 2.4 Giả sử X;,j = 1,k là các biến ngẫu nhiên độc lập va X; ~ B(nj,p),j =1,k Khi do ta c6 k k
Vi Xj ~ B(nj,p) > x(t) = (pft+g) với g—1—p), j—1,E,
=>) Xj~B (Som = điều phai chitng minh = j=l ¿=1
Dinh ly 2.5 Cho X; ~ Pứi(A,),7j = 1,k là cỏc biến ngẫu nhiờn độc lập Khi đó k k (itr, 0U) Ài
= ee t)ì— = ][en =]Te (t) = oI DA — @ e if
=> ằ Xj~ Poi(S > À;) = Điều phải chứng minh j=l j=l
Dinh ly 2.6 Cho X; ~ Nứu;,ứ7) j = 1,k là cỏc biến ngẫu nhiờn độc lập kha đó
Khóa luận tốtnghiệp đại học
So ej X) ~ Nỳu,ơ?) trong đú — ằ = ằ o7,Â) ER, j= Lk j=l ¿=1 ¿=1
2.2 H aL 2 ciMm= TE— Ì cẹP 9 ql ý — lã ơ7
=> P x (t) -|[ px, (cjt) = ll exp < ite; {ij — =
Vay Soo X; ~ N(j,0°) trong dé p= So oy = S 6 i i ER j j=l j=l j=l
Chúng ta đã sử dụng hàm sinh mômen để chứng minh Định lý giới hạn trung tâm Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng hàm đặc trưng để thực hiện lại việc chứng minh định lý này.
Định lý 2.7 (Định lý giới hạn trung tâm) phát biểu rằng cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) với kỳ vọng \(E[X_i] = \mu\) và phương sai \(D[X_i] = \sigma^2\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, tổng hợp của các biến ngẫu nhiên này sẽ hội tụ về phân phối chuẩn Cụ thể, nếu \(Y_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)\), thì \(Y_n\) sẽ hội tụ phân phối về \(N(0, \sigma^2)\).
Trì >OO lim an n< | = 9(a),Vac R tức là - lim Fy, (a) = O(a), Va ER
Chứng mình Để chứng mình định lí ta chỉ cần chỉ ra rằng jim vy, (t)=px(t) Va eR,
1 aX - [t trong ng ¢ đó Z ~ N(0,1) (0,1) V6i mdi n V6iméin € N* tacé Y, = /n Jae st = —— 3 : -
Xi — fl Đặt Z; = ait EZ,—0, ĐZ; — 1 và Z¡,¡ — 1,2, là các dãy biến ngẫu ơ fa) -He(&)- ($0) talt—0 ta có nhién déc lap
=z, (th=p, ằ wp, 4 Khai trién Taylor ham yz,
= vy, (t) = t+ mị => lim /y,() = lim (+5 —=ez =ựz()
Khóa luận đã hoàn thành mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu đã đề ra, trong đó trình bày những vấn đề cơ bản về hàm sinh momen và hàm sinh đặc trưng, cùng với các ứng dụng của chúng.
Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên ĩ
a Nếu các biến ngẫu nhiên X\, , X; có phân phối đa thức với các tham số
1 VÀ ÿỉ1, , pr thi Mx,, x,(t1, ,th) —= (pie” â -âpee*)*,ty €R,j = 1,k
Thật vậy, sẻ sẻ mì „
Mxy,, x (th, có th) _ EeXit +EX — ` elikit +E Xk ch Dy ry! _
= (pe +: +ppe*)" te R,7 = L,& b Nếu 2 vectơ ngẫu nhiên (X\, Xa) có phân phối chuẩn 2 chiều với tham
SỐ /,a,ơ‡.ỉỏ và ứ thỡ ta cú hàm sinh mụmen là
Mx,,x,(ti, ta) = exp lan + pati + 5
That vay, ta có hàm mật độ xác suất đồng thời của (Xì, Xa) được xác định bởi
- 1 —1 tT fh 1 — fly fo — fh #9 — l2
Khi đú |E2|=ứiứjdl~p) và 3) Tiờu ( m3)
Do đó ry )- ) ơ? —polay #— py
Do đó hàm mật độ xác suất được viết dưới dạng ma trận như san
{g)=—— Le diy yt ep fla) eee ( sew "
Khóa luận tốtnghiệp đại học trong đó / là vectơ kì vọng và ` là ma trận hiệp phương sai của
Các số mũ có thể viết như sau
—]l —]l —]l at = tha, pit = tu, z2 = se x
Từ (1.4) và(1.5) ta có hàm sinh mômen trong (1.3) trở thành
Mặt khác tT Sot = (t1, te) 1 p 9 = o7t? + 2poicatite + ont
=> Mx,.x,(ti,t2) = exp [ưa +afq + 5 (z1 + poyootyte + o3t3) | t1,t2 ER c Cho véc to ngau nhién V = (X,Y) với hàm mật độ xác suất đồng thời
Khi đó Mxy(t +) = (—u)(2—t—u) (với +t z 1,£+%+ < 2) That vay, ta có oo Yy
Mxy(,u) = EeXYH# = / Tư nhac tang
Ta có hàm sinh mômen của các biến ngẫu nhiên X và Y là
Hàm đặc trưng hy y va 10
Định nghĩa co 10
Định nghĩa 1.4: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y cùng xác định trên không gian xác suất (Q, A, P) với EX và PY tồn tại Khi đó, biến ngẫu nhiên X + Y được xác định bởi tổng của hai biến này.
E(X+iY) = EX + iEY, định nghĩa hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là φX(t) được xác định bởi φX(t) = E[e^(tX)] Bài 6 đề 1.1 cho g(x) và g0(x) là các hàm thực không âm xác định trên.
R khi do vdi mét day số thực {z„} sao cho g\(#„) € 0(„) Vn = 1,2, ua 5 onl In} " ad en o2t2 › g?2
= exp | pt + ——] + (w+ ortjexp | pt + — dt 2 2 0
Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 23 2.2_ Ứng dụng của hàm đặc trưng
Phương pháp dựa trên định lí sau
Nguyễn Thị Hi, sinh viên lớp K36A SPToán, trình bày Định lý 2.1 (Luật yếu số lớn) liên quan đến các biến ngẫu nhiên độc lập với cùng phân phối Đặt X ~ N(μ, σ²) là một biến ngẫu nhiên và Y_n = (1/n) Σ X_i Khi số lượng biến ngẫu nhiên Y_n tăng lên, xác suất hội tụ của Y_n đến kỳ vọng của X sẽ xảy ra.
=> lim My (t) = lim [ers @ + *)| = ell
Định lý 2.2, hay còn gọi là Luật số lớn Bernoulli, khẳng định rằng nếu Y1, Y2, là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối, với mỗi biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối nhị phân X ~ B(1,p), thì các biến này hội tụ về một giá trị xác định khi số lượng biến tăng lên.
Yn = 2 › Xị Khi đó dãy các biến ngẫu nhiên Y\,Y›, hội tụ theo ác i=1 suât tới Ð
Khai trién Taylor cua ev 1a oo t t 1/t\* t
Khóa luận tốtnghiệp đại học
Day là hàm sinh mômen của biên ngẫu nhiên sao cho p(Y = p) = 1
= Day cdc biến ngẫu nhiên YỊ,Y›, hội tụ tối p
Dinh li duoc ching minh Dưới đây chúng ta sé stt dung céng cu ham sinh mmômen để chứng minh định lí giới hạn trung tâm
Dinh ly 2.3 (Dinh li gidi han trung tâm)
Cho X„.n = 1,2, là dấu các biến ngẫu nhiên đôc lập uà có cùng phân
5` X¡— nụ phối uới — EX„.ơ? — DX„, tồn tại hữu hạn Đặt — Y„ — mm oven vn X—p , trong đó tr ủó X = — 1 nd th je kha đó ta có , do Só o
Yn = fe lim P ("vi < ) = ®(a),Va ER,
NOOO oO túc là Jim Fy(a) = O(a), Va ER
Sử dụng khai triển Maclaurin hàm E “exp (2) ta được
Từ giới hạn hàm sinh mômen của W„ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc nên ta suy ra được lim Fy(a} = ®(a),Va ER ri >C@O
(Dinh lí được chứng minh) m
2.2_ Ứng dụng của hàm đặc trưng
Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên
Tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
Từ tính chất của hàm đặc trưng ta có thể tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫn nhiên
+ Cho ¿x() là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X Khi đó ứ" are) =i E(X"), m=1,2,3, nếu #|X"| BEX =p dt t=0 2 £=0
—s5 x(t) = ezp | it — of (ip — ot)? — 0 exp ( ity — oe dt? ¿=0 2 2 J ho
=> EX? = +07? > DX = EX?- EX =P 4+07?- pe =o’
Vi du 2.14 Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phoi Gamma vi tham sé a
` se ps „ ` 1 _ z— ¡8#) va 8 uà có hàm đặc trưng là t) = ——_ | x exp (1) dz
=, x(t) dt 10 =a (1 —i6tjet! 10 = ian > EX =a d 2 a(a + 1đ” 2 2 sa x(t q2 ( ) 10 = FoF (1 — ¡8012 " = /“a(a ( + 1)8” )
=> EX? =ala+1)6? = DX = EX? — EX =a(a+1)8? — a28* — a8°
=> (XI Xy) = n{n — 1) (nT— k+ 1)pip Đẹ
2.2.3 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lâp
Bổ đề 2.1 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó ta có ex+y (t) = #x Œ)wy ()
Ta có @x,y() = Ee#f+Y) = E(c#Xeff 3 = petŠ + Bé = vx (thpy(t) (X,
Dinh lý 2.4 Giả sử X;,j = 1,k là các biến ngẫu nhiên độc lập va X; ~ B(nj,p),j =1,k Khi do ta c6 k k
Vi Xj ~ B(nj,p) > x(t) = (pft+g) với g—1—p), j—1,E,
=>) Xj~B (Som = điều phai chitng minh = j=l ¿=1
Dinh ly 2.5 Cho X; ~ Pứi(A,),7j = 1,k là cỏc biến ngẫu nhiờn độc lập Khi đó k k (itr, 0U) Ài
= ee t)ì— = ][en =]Te (t) = oI DA — @ e if
=> ằ Xj~ Poi(S > À;) = Điều phải chứng minh j=l j=l
Dinh ly 2.6 Cho X; ~ Nứu;,ứ7) j = 1,k là cỏc biến ngẫu nhiờn độc lập kha đó
Khóa luận tốtnghiệp đại học
So ej X) ~ Nỳu,ơ?) trong đú — ằ = ằ o7,Â) ER, j= Lk j=l ¿=1 ¿=1
2.2 H aL 2 ciMm= TE— Ì cẹP 9 ql ý — lã ơ7
=> P x (t) -|[ px, (cjt) = ll exp < ite; {ij — =
Vay Soo X; ~ N(j,0°) trong dé p= So oy = S 6 i i ER j j=l j=l j=l
Chúng ta đã sử dụng hàm sinh mômen để chứng minh Định lý giới hạn trung tâm Trong phần dưới đây, chúng ta sẽ áp dụng hàm đặc trưng để thực hiện lại chứng minh cho định lý này.
Định lý 2.7 (Định lý giới hạn trung tâm) khẳng định rằng cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và đồng phân phối \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) với kỳ vọng \(E(X_i) = \mu\) và phương sai \(D(X_i) = \sigma^2\), khi \(n\) tiến tới vô cùng, tổng hợp \(Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\) sẽ hội tụ phân phối về một biến ngẫu nhiên chuẩn Điều này có nghĩa là phân phối của \(Y_n\) sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình \(\mu\) và độ lệch chuẩn \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
Trì >OO lim an n< | = 9(a),Vac R tức là - lim Fy, (a) = O(a), Va ER
Chứng mình Để chứng mình định lí ta chỉ cần chỉ ra rằng jim vy, (t)=px(t) Va eR,
1 aX - [t trong ng ¢ đó Z ~ N(0,1) (0,1) V6i mdi n V6iméin € N* tacé Y, = /n Jae st = —— 3 : -
Xi — fl Đặt Z; = ait EZ,—0, ĐZ; — 1 và Z¡,¡ — 1,2, là các dãy biến ngẫu ơ fa) -He(&)- ($0) talt—0 ta có nhién déc lap
=z, (th=p, ằ wp, 4 Khai trién Taylor ham yz,
= vy, (t) = t+ mị => lim /y,() = lim (+5 —=ez =ựz()
Khóa luận đã hoàn thành các mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu đã đề ra, trong đó trình bày các vấn đề cơ bản về hàm sinh momen, hàm sinh đặc trưng và các ứng dụng của chúng.
Qua quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã làm quen với phương pháp làm việc khoa học và hiệu quả Điều này giúp em củng cố lý thuyết xác suất thống kê, từ đó nhận thấy sự phong phú và hấp dẫn của toán học Em hy vọng tài liệu này sẽ hữu ích cho những ai quan tâm đến vấn đề này.
Mặc dù đã nỗ lực nghiên cứu, khóa luận vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và các bạn sinh viên để hoàn thiện đề tài của mình hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nôi, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền