Tìm hiểu về hàm sinh mômen hàm Đặc trưng và ứng dụng khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hàm đặc trưng của 1 số biến ngẫu nhiên .... Phân phối của tổng các biến ngẫn nhiên độc lâp ..... Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán, trong phạm vi của một khóa luận

NGUYEN THI HIEN

TIM HIEU VE HAM SINH MOMEN HAM DAC TRUNG VA UNG DUNG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

LOI CAM GON

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành là kết quả của quá trình học tập, tích lũy kinh nghiệm là sự hướng dẫn chỉ đạo tận tình của TS Trần Minh Tước

Em tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Đồng thời em xin chân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và đặc biệt là các thầy cô trong tổ toán ứng dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm on!

Đinh viên Nguyễn Thị Hiền

LOI CAM DOAN

Khóa luận của em hoàn thành nhờ sự lỗ lực cỗ gắng của bản thân, cùng

sự chỉ bảo tận tình của TS Trần Minh Tước, những ý kiến đóng góp của thầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm

Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài này

em tự nghiên cứu, tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham khảo.Những nội dung này chưa được công bố trong bất kì khóa luận nào

Đinh viên Nguyễn Thị Hiền

1.2.3 Hàm đặc trưng của 1 số biến ngẫu nhiên 17

2 UNG DUNG CUA HAM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC

2.1 Ứng dụng của hàm sinh mômen 20 2.11 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhién 20 2.1.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 22 2.1.3 Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 23 2.2_ Ứng dụng của hàm đặc trưng 26 2.21 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên 26 2.2.2 Tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 28 2.2.3 Phân phối của tổng các biến ngẫn nhiên độc lâp 29

LOI NOI DAU

Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn Trong ngành toán ứng dụng,Lí thuyết xác suất và thống kê toán học ngày càng phát triển và nó là công cụ để giải quyết những vấn

đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực kinh tế, sinh học,tâm lí xã hội Xuất phát từ nhu cầu đó bộ môn này đã được đưa vào giảng dạy tại hầu hết các trường cao đẳng, đại học

Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán, trong phạm

vi của một khóa luận tốt nghiêp và với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về

bộ môn xác suất thống kê em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết của mình

về đề tài "Tìm hiểu về hàm sinh mômen - hàm đặc trưng và ứng dụng"

Khóa luận này bao gồm 2 chương:

Chuong 1 Ham sinh mémen va ham đặc trưng

Trong chương này, trình bày các khái niệm và tính chất của hàm sinh mômen, hàm đặc trưng.Giới thiệu về hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp, hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên, hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên là cơ sở để nghiên cứu ứng dụng của hàm sinh mmômen,hàm đặc trưng trong chương 2

Chương 2 Ứng dụng

duoc goi la ham sinh mémen cia bién ngau nhién X

Nhận xét 1.1 75uát ngữ hàm sinh mémen xuất phát từ mômen cấp r của X, có thể được tính từ Mxy(t) Thật uậu, sử dưng khai trién Taylor cho

M(t) = E(X) +tE(X*) + F(x") to (1.2)

Cho t = 0, ta duoc Mi.(0) = E(X).Dao hàm 2 về của (1.8) đối uới t ta được

M” x(t) = E(X*) +tE(X*) +

Cho t =0, ta cé M” x(0) = E(X?)

Tiép tuc qua trinh nay ta duoc

Mry, x, (41; tee stn) = Ee®

được gọi là ham sinh momen dong thời của các biên ngẫu nhiên X\, Xu

Nhận xét 1.2

+ Ta có

MX, ,X¢(0;0,.04,0,t),0) 0) = E(e*™) = Mx(ti)

+ Néu X1, ,Xn la cac bién ngau nhiên độc lập thì

Mx, x,(tty stn) =E (cliXittaXat.ttoXa) —E (cli X1 elaXe_,elvXn)

= Bleh*) Be) B(e*) = [] Mx (ti)

=1

1.1.2 Tính chất của hàm sinh môrnen

Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là Mxy(t) Khi

đó biến ngẫu nhiên Y — aX +b tới a, b là các hằng số thực có hàm sinh momen là

My(t) = ce’ Mx(at)

Chứng mình

Ta có My(t) = E(etY) = E(x) = ef E(e@%) — e° Mx(a£) m

= điều phải chứng minh

Dinh ly 1.2 Cho X oà Y là biến ngẫu nhiên độc lập uới hàm sinh mémen tương ting la Mx (t), My(t) Khi đó Z = aX +bY uới a, b là các hằng số thục

cé ham sinh mémen là

" axXi " aitXi , " ait X n

Ta có Mz(t) = EelZ = EeR ˆ`EeÐ =]|re* ˆ = ]]2x2).=

1.1.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

Tính chất 1.1 Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n,p) thì

t

1.1.4 Lũy thừa của hàm sinh mômen của môt số biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3 Lñy thừa của hàm sinh mrômen nếu tồn tại được kí hiệu lanx va duoc rac dinh bdi nx(t) = E(t*),t ER

a Néu X ~ B(n,p) thi nx(t) = (pt + q)",t ©R,g=1—p That vay

nx(t) = So tte A =e » (À9) =e r= MATER

1.1.5 Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên

a Nếu các biến ngẫu nhiên X\, , X; có phân phối đa thức với các tham số

1 VÀ ÿØ1, , pr thi Mx,, x,(t1, ,th) —= (pie” © -©pee*)*,ty €R,j = 1,k

= (pe +: +ppe*)" te R,7 = L,&

b Nếu 2 vectơ ngẫu nhiên (X\, Xa) có phân phối chuẩn 2 chiều với tham

SỐ /,a,ơ‡.Øá và ø thì ta có hàm sinh mômen là

1

= (1 + 2poicatite + ot) t1,f2 ER

Mx,,x,(ti, ta) = exp lan + pati + 5

Do đó hàm mật độ xác suất được viết dưới dạng ma trận như san

=> Mx,.x,(ti,t2) = exp [ưa +afq + 5 (z1 + poyootyte + o3t3) | t1,t2 ER

c Cho véc to ngau nhién V = (X,Y) với hàm mật độ xác suất đồng thời

Định nghĩa 1.5 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X kí hiệu là @x(£) được xác ttmh bởi

yx(t) = Ee!*, B6 dé 1.1 Cho g(x) va go(x) la céc ham thuc không âm sác định trên

R khi do vdi mét day số thực {z„} sao cho g\(#„) € 0(„) Vn = 1,2,

ua 5 onl In} <0o thi » Tn) < OO

Bổ đề 1.3 Cho g(x) la ham sé rac định trên R oà {z„} là dãy số thục

Khi đó nếu 3 |g(zø)| < too thi » < 00,

Va,beR,a<b Khi đó nếu / |ø(z)| đ# < œ thà / g(x)dxz < œ

Nhận xét 1.3 Từ các Bồ đề 1.1 đến 1.4 cho chúng ta sự tồn tại của các hàm đặc trưng @x()

Thật vậy,

@x() = Ee”*“ = Elcos(tX) + isin(tX)] = E cos(tX) + iF sin(tx),

ta phải chỉ ra Ecos(tX)<oo va Esin(tX) < oo

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất px(z) thì

Ecos (tX) = » cos (tX) - p(x), B sin (tX) = » sin (LX) - pz(z)

Ta có |cos(£fX)-p„(z)| <Spx(ø) Ve ma

À p„(z) =l<œ => cos(tX) - px (x) < 0 => |cos (LX) - px (x)| < 00

=> Ecos(tX) < œ = tồn tại Ecos(tX)

Lập luận tương tự ta cũng chỉ ra sự tồn tại của Esin(tX)

Do đó tồn tại hàm đặc trưng ¿x(f) trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên

6 @¿x+aŒ) = €““¿x(et) uới c, d là hằng số

7 Text) ="E(X") n=1,2,3, néu E |X"| <0

Chứng minh

1 px(t) = Ee1Z, Do đó yx (0) = Be®X = E(1) = 1

2 |px(t)| =|Be"*| < Ble*X| = B() vi e#* =1

3 |px(t+ h) — yx (t)| = |E [c/#:X _ c1X] |=# | [etX (cit _ 1)] |

< Ele" (e#® —1)| = E|eX - 1|

= fizglex (+B) —ext01 fife — 1] = 2 [fin e™* — a] =o,

= xạ) liên tục

4.3 @x+a() — Be#~A@X+d) —ƑE (cứu ) — c“l me#ÄX — etd oy (t)

5 Yex (t) = Belt(eX) = Rell)X — px (ct)

6 Yex+a(t) — Ee#(eÄX+d) — Ee#dgidXx — cltd FreictX — et px (ct)

2 |XX X,) (ts taste) | < 1

B Dix, XX) Ey tasestn) da liên Lục

{- Q(X 4d, XotdejenXotdy) (C1 ta; 0tr) =e Ph pi xy x) (ti ta os tn), di, i=l

là các hằng số

De Pe XieaXrpeetnXn) (E15 250 tn) = P(X Kaye Xp) (Crt Cote, 5 Cnty), Git = Ln

Định lý 1.6 Nếu X\, Xa X„ là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối thà

" (L6)

i=1 Chứng mình

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với ¡ = 2 ta có ¿x,.x,(f) = EB (eA'+*2) Do X1, X2 doc lập nên suy

Dinh ly 1.7 (Công thúc ngược)

Cho biến ngau nhién X vdi ham mat dé xác suất ƒ(>) uà hàm đặc trưng p(t) Khi do:

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị phân biệt #; > 1)

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thà

T

1 fil-e i,

‘(x) = lim lim — 2 o(t dt

FO) Tinh ae | ane PO

() Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc

+ Theo Định lí (1.4) thì ¿() là hàm liên tục và e~”“¡ là liên tục

1 iT la, —a 1 néu x, = 2;

Vì vậy, ta có jim — / eft) dp = » me

_?

(1.7) Thay (1.7) vào biển thức

1 lim — e tttin t)dt = ) da _— ck— xj) tydt

khi cho T > œ ta được

T lim — | e '“(t)dt

1.2.3 Hàm đặc trưng của 1 số biến ngẫu nhiên

Tính chất 1.7 Cho X ~ B(n,p) thi px(t) = (pet +)", vdiq=1—p

t ite 12 t ¬

> Pu (=) = eme ta thay 5z bởi —> @x( t) = — citu

Tính chất 1.10 Cho X có phan phéi Gamma voi tham s6 a va B khi do

Đặt z(1 — 700) — „ ta có L —- nn tpt} = y 00 X= OT ipt’ ” › dự —— Lo 1—ipe YS" » Ỷ E [0, 00) CO}

Vì vậy biểu thức trên trở thành

1 f Ị a— dy — ;/9+)—@ 1 | al _F — 9+) —~@ Bay | cinpe 1Ÿ rŠpg 0719) ° nang [ v°È:Ÿg = ri)

Do sin(tx) 1A ham 1é va cos(tx) 1A ham chan Ta thấy rằng ¿x(#) không kha

vi tai t = 0, diéu nay khẳng định rằng phân phối Cauchy không tồn tại kì

cos(tz) — ® _lị lor dr = 2 el

vọng Hơn nữa, /

Tính chất 1.12 Cho X = (XI, Xa, Xự) có phân phối đa thức túc là

lp!

Diy ln

Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH MOMEN VA HAM DAC

TRUNG

2.1 Ứng dụng của hàm sinh mômen

2.1.1 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

Phương pháp

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất ƒx(z) và ø(z)

là hàm đo được trên € R Khi đó hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên

Y =g(X) (nếu tồn tại) là

aytt) = Ble) =f etuyty

hoic = My(t) = E(e'”) = E(e'9)) = / ct9Œ) Ƒ (+) da

Trong trường hợp (XI,Xa, , X„) là vectơ ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất đồng thời đã biết Đặt y- = g(X\,Xa, , X„) ta cd

+oc -++oc

My (t) -/ I fo #8) £v x (a1, y8u)đi ¬ đa,

Từ những thông tin về hàm sinh mômen A#y(£) ta có thì tìm được phân phối xác suất của biến ngẫu Y

Ví dụ 2.1 Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ B(n,p) Tim ham phan phối của biến ngẫu nhiên Y —n — X

20

= Mx (at) My (bt) = exp («to += 5 ˆ) exp G + 5 )

= exp laa + byt + (B+ 028)

Đâu là hàm sink momen của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(aa + by, a? + bồ) Do đó ta có Z ~ N(aa + by,a^28 + B2)

Ví dụ 2.3 Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y — X3

Ví dụ 2.4 Giá sử Xị, X› là các hàm ngẫu nhiên có phân phối chuẩn lắc Tồm phân phối xác suất của biến VỊ = ø\(XI,X;) = ÄXỊ + X: 0à Yo = go(X1, X2) = X2— X1

Giải

Tacó My, y,(ti,t2) =E (ch te¥2) =£ etn Art Xa}HaCa—%)]

—E |ctứ-nrs0m] —=E Gand E [c6]

z5

2

= Mx, (tg — t1) Mx, (th + to) =e we Vậu Y\.Y; có phân phối chuẩn uới ¡—0, ø?—2

y1) = e4

fya(y2) = et,

2.1.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

+ C6 biến ngẫu nhiên X với hàm sinh mômen Mx(#).Khi đó ta có

(với mị, ,m„ là các số nguyên không âm)

Vi du 2.5 Cho X ~ B(n,p),(n € N)* cé Mx(t) = (pe! + q)" ,q=1l_—p Khi

2.1.3 Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Phương pháp dựa trên định lí sau

Định lý 2.1 (Luật yếu số lớn) Cho Xì, Xạ, là đấu các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phâm phối uới biến ngẫu nhiên X ~ Nịu, đ))

Đặt Y„ — i 4 X;.Khi dé day các biến ngẫu nhién Y,,¥2 héi tu theo rac suất tới pu

Day là hàm sinh mômen của biên ngẫu nhiên sao cho p(Y = p) = 1

= Day cdc biến ngẫu nhiên YỊ,Y›, hội tụ tối p

Dinh li duoc ching minh =

Dưới đây chúng ta sé stt dung céng cu ham sinh mmômen để chứng minh định lí giới hạn trung tâm

Dinh ly 2.3 (Dinh li gidi han trung tâm)

Cho X„.n = 1,2, là dấu các biến ngẫu nhiên đôc lập uà có cùng phân

5` X¡— nụ phối uới — EX„.ơ? — DX„, tồn tại hữu hạn Đặt — Y„ — mm

Từ giới hạn hàm sinh mômen của W„ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc nên ta suy ra được

lim Fy(a} = ®(a),Va ER

ri >C@O

(Dinh lí được chứng minh) m

2.2_ Ứng dụng của hàm đặc trưng

2.2.1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

Từ định lí về công thức ngược ta có thể tìm được hàm xác suất và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên

Vi du 2.8 Cho X ~ B(n,p) vdi px (t) = (pếft+ q)" (uới q— 1—p) Ấp dụng kết quả của Định lí u công thức ngược chúng ta có

Cho T > 00, chiing ta nhén duoc két qua la f(r) = C&p*q?™

Vi du 2.9 Cho X ~ Poi(\) uới px(t) = oer, Ap dụng kết quả của định

lí công thúc ngược chúng †a có

Cho T + œ, ta nhận được kết quá là ƒ(z) = e ^Äy

Ví dụ 2.10 Cho X ~ N(0,1) vdi px(t) =e 2 Vilyx(t)| = er, / |(#)|d# <

2.2.2 Tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

Từ tính chất của hàm đặc trưng ta có thể tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫn nhiên

+ Cho ¿x() là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X Khi đó

Ví dụ 2.13 Cho X ~ Nịu,ø?) có hàm đặc trưng là @„ — ezp (itn — 2) Khi do ta co:

=> EX? = +07? > DX = EX?- EX =P 4+07?- pe =o’

Vi du 2.14 Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phoi Gamma vi tham sé a

=> (XI Xy) = n{n — 1) (nT— k+ 1)pip Đẹ

2.2.3 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lâp

Bổ đề 2.1 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó ta có

Y độc lập)

= điền phải chứng minh m

Dinh lý 2.4 Giả sử X;,j = 1,k là các biến ngẫu nhiên độc lập va X; ~ B(nj,p),j =1,k Khi do ta c6

Dinh ly 2.7 (Dinh lí giới hạn trung tâm ) Cho X„,n = 1,2, là đâu các biến ngẫu nhiên độc lập va có cùng phân phối uới — EX„.ơ? — DX„ tồn