Lý do chọn đề tài Các vấn đề liên kết hình dạng của một miền hoặc các hệ số của toán tửelliptic với chuỗi các giá trị riêng của nó là một trong những vấn đề hấp dẫnnhất của phân tích toá
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Một số khái niệm cơ bản
Phương trình đạo hàm riêng mô tả mối quan hệ giữa một hàm nhiều biến và các biến độc lập cũng như các đạo hàm riêng của nó Trong nghiên cứu này, chúng ta sẽ sử dụng một số ký hiệu để biểu diễn các thành phần của phương trình.
• Đạo hàm riêng: Sử dụng khái niệm đa chỉ số α = (α 1 , , α n ) trong đó α i là các số nguyên không âm, và |α| := α 1 + .+α n , ta ký hiệu
Với m là một số nguyên không âm, ta ký hiệu D m u(x) là vectơ đạo hàm riêng cấp m của hàm u(x) Trường hợp m = 1 ta có
Đôi khi ta cũng sử dụng các ký hiệu tương đương u x = ∂u
Cho k là một số nguyên dương và Ω là một tập mở trong R^n Định nghĩa 1.1.1: Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp k là phương trình có dạng.
Phương trình F(x, u(x), Du(x), , D^k u(x)) = 0, với x thuộc miền Ω, mô tả một hàm nhiều biến, thể hiện mối quan hệ giữa ẩn hàm, các biến độc lập và các đạo hàm riêng của ẩn hàm, trong đó cấp cao nhất là k.
Ví dụ 1.1.1 • Phương trình Laplace:
• Phương trình truyền nhiệt (hoặc khuyếch tán): ut −∆u = 0.
Phương trình truyền sóng, được D’Alembert công bố vào năm 1752, được biểu diễn bằng công thức u_tt − ∆u = 0 Theo Định nghĩa 1.1.2, một hàm v: Ω → R có đạo hàm riêng đến cấp k được coi là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng nếu nó thỏa mãn điều kiện cụ thể liên quan đến phương trình này.
Phương trình ĐHR có thể được phân loại theo nhiều cách khác nhau Định nghĩa 1.1.3 cho thấy rằng phương trình ĐHR được coi là tuyến tính nếu nó có dạng F(x, v(x), Dv(x), , D^k v(x)) = 0, với x thuộc miền Ω.
Phương trình tuyến tính có dạng |α|≤k a α (x)D α u = f(x), trong đó a α (x) và f(x) là các hàm số đã cho Nếu f ≡ 0, phương trình này được gọi là thuần nhất Ngoài ra, phương trình ĐHR (1.1) được coi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng nhất định.
|α|=k aα(x)D α u+a0(x, u, Du, , D k−1 u) = 0. iii) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng
|α|=k a α (x, u, Du, , D k−1 u)D α u+a 0 (x, u, Du, , D k−1 u) = 0. iv) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là phương trình phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộc không tuyến tính vào các đạo hàm bậc cao nhất.
Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 4 1.3 Bài toán truyền nhiệt
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá ba loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, bao gồm phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic, với các ví dụ tiêu biểu là phương trình Laplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt Định nghĩa 1.2.1 sẽ trình bày rõ hơn về phương trình ĐHR cấp hai dạng n.
= f(x, u, u x 1 , , u x n ) (1.2) được gọi là phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính cấp hai.
Phương trình (1.2) được gọi là tuyến tính nếu nó viết được dưới dạng n
Trong trường hợp n= 2 phương trình (1.2) trở thành a 11 ∂ 2 u
Sử dụng phép đổi biến sau ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), trong đó các hàm ξ, η ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn:
Mục đích của phép đổi biến trên là đưa phương trình(1.3)về dạng mới trong đó ít nhất một hệ số bằng không.
∂y 2 Khi đó phương trình (1.3) trở thành a 11 ∂ 2 u
. Gọi z = φ(x, y) là một ngiệm phương trình ĐHR cấp một sau a11
Khi thực hiện phép đổi biến ξ = φ(x, y) và η = η(x, y), ta có a11 = 0 Tương tự, với phép đổi biến ξ = ξ(x, y) và η = φ(x, y), ta có a22 = 0 Ngoài ra, việc giải phương trình (1.4) tương đương với việc giải phương trình vi phân thường a11(dy)² - 2a12dy dx + a22(dx)² = 0 Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng a11 dy dx.
Giải phương trình (1.5) cho ta tích phân tổng quát φ(x, y) = C, được gọi là đường cong đặc trưng của phương trình (1.4) Khi đó, hàm z = φ(x, y) là một nghiệm của phương trình (1.4), và phương trình (1.5) được xem là phương trình đặc trưng Để xác định các đường cong đặc trưng, ta cần xem xét biệt thức ∆ = a12² - a11a22, với ba trường hợp có thể xảy ra.
• Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1.5) có hai đường cong đặc trưng thực phân biệt Khi đó (1.3) được gọi là phương trình hyperbolic.
• Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1.5) chỉ có một đường cong đặc trưng thực Khi đó (1.3) được gọi là phương trình parabolic.
• Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1.5) có hai đường cong đặc trưng phức liên hợp Khi đó (1.3) được gọi là phương trình elliptic.
Nếu một hàm liên tục có giá trị dương tại một điểm, thì nó cũng có giá trị dương trong một vùng lân cận của điểm đó Do đó, toàn bộ mặt phẳng có thể được chia thành ba miền rời nhau Miền hyperbolic của phương trình (1.3) được định nghĩa là tập hợp các điểm trong mặt phẳng R² mà tại đó phương trình (1.3) là hyperbolic Tương tự, có các định nghĩa cho miền parabolic và elliptic.
1.3 Bài toán truyền nhiệt Để xây dựng phương trình nhiệt, ta xét một thanh đồng dẫn nhiệt, dài từ x = 0 đến x = L dọc theo trục x Thanh có tiết diện A đều và mật độ không đổi ρ, được được cách nhiệt mặt xung quanh sao cho nhiệt chỉ truyền theo hướng x và đủ mỏng để nhiệt độ tại tất cả các điểm trên một mặt cắt không đổi.
Nhiệt độ tại điểm x trong mặt cắt ngang tại thời điểm t được biểu thị bằng u(t, x), trong khi c là nhiệt dung riêng của thanh Nhiệt lượng trong đoạn giữa tiết diện tại x và tiết diện tại x + ∆x được tính toán dựa trên các yếu tố này.
Tốc độ truyền nhiệt vào thanh tại mặt cắt ngang x tỷ lệ thuận với tiết diện và độ dốc của hàm nhiệt độ tại mặt cắt ngang, theo định luật truyền nhiệt của Fourier.
Hệ số dẫn nhiệt κ của thanh trong công thức (1.7) cho thấy rằng nhiệt độ truyền theo hướng giảm Tốc độ truyền nhiệt ra khỏi đoạn qua mặt cắt ngang tại x + ∆x cũng được xác định tương tự.
Sự chênh lệch giữa lượng nhiệt truyền qua tiết diện tại x và lượng nhiệt tỏa ra qua tiết diện tại x + ∆x phải tương đương với thay đổi về lượng nhiệt trong đoạn x ≤ s ≤ x + ∆x Bằng cách trừ công thức (1.8) cho công thức (1.7) và lấy đạo hàm thời gian của công thức (1.6), chúng ta có thể xác định mối quan hệ giữa các yếu tố này.
Giả sử biểu thức dưới dấu tích phân trong công thức (1.9) là một hàm liên tục theo biến s Theo định lý giá trị trung bình của tích phân, chúng ta có thể áp dụng những kết luận quan trọng liên quan đến tính chất của hàm này.
Khi đó, công thức (1.9) trở thành cρ∆x∂u(t, ξ)
Chia cả hai vế của phương trình (1.10) chocρ∆x và lấy giới hạn với ∆x → 0,
Phương trình nhiệt một chiều được mô tả bởi (1.11) với a 2 = κ/(cρ), trong đó a 2 là độ khuếch tán trong chất rắn Khi có nguồn nhiệt bên ngoài cung cấp nhiệt cho thanh với tốc độ f(t, x) trên mỗi đơn vị khối lượng theo thời gian, ta cần bổ sung Rx+∆x x f(t, s)ds vào đạo hàm thời gian của phương trình (1.9) Khi cho ∆x tiến gần đến 0, chúng ta sẽ nhận được kết quả cần thiết.
∂x 2 = F(t, x),trong đó F(t, x) = f(t, x)/(cρ) là hàm mật độ nguồn nhiệt Phương trình này được gọi là phương trình nhiệt không thuần nhất.
Bài toán giá trị ban đầu
Cho Ω là miền bị chặn trên R n có biên ∂Ω và Ω = Ω∪∂Ω Trong một thời gian T > 0 tùy ý, ký hiệu
Phương trình truyền nhiệt có dạng u t (t, x)−a 2 ∆u(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ T T ×Ω, (1.12) trong đó a là hằng số, ∆ := ∂ 2
∂x 2 n là toán tử Laplace Phương trình trên thường kết hợp với điều kiện ban đầu u(0, x) = φ(x), ∀x ∈ Ω (1.13) Chúng ta xét một trong các điều kiện biên sau
• Điều kiện biên hỗn hợp λ 1 ∂u
• u(t, x) là hàm chưa biết của bài toán và biểu diễn nhiệt độ của vật thể
• φ(x) là hàm cho trước biểu diễn nhiệt độ của vật thể tại thời điểm ban đầu;
• α(t, y) là hàm cho trước biểu diễn nhiệt độ tại mọi thời điểm trên bề mặt ∂Ω.
Do đó, bài toán (1.12)-(1.14) xác định nhiệt độ trong tất cả các điểm, biết được nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ trên bề mặt tại mọi thời điểm.
Trong bài toán (1.12), (1.13), (1.14), ta có các giả thuyết sau: i) f: T T ×∂Ω →R là hàm cho trước và f ∈ C(T T ×∂Ω); ii) φ: Ω →R là hàm cho trước và φ ∈ C(Ω); iii) α: T T ×∂Ω →R là hàm cho trước và α ∈ C(T T ×∂Ω).
Ta có u = u(t, x), u : T T ×Ω →R là nghiệm của bài toán (1.12), (1.13),(1.14) thỏa mãn các tính chất sau:
• u thỏa mãn bài toán (1.12), điều kiện ban đầu (1.13) và điều kiện biên Dirichlet (1.14).
Trong công thức bài toán (1.12), (1.13), (1.14), điều kiện ban đầu và điều kiện biên được xác định trên tập T T ×∂Ω và 0×Ω Chúng ta định nghĩa Γ = (t, x) : (t, x) ∈ T T ×∂Ω ∪ {0} ×Ω, và gọi Γ là biên parabolic.
Chúng tôi chứng minh định lý về giá trị cực trị cho phương trình parabolic thuần nhất u_t(t, x) - ∆u(t, x) = 0, với mọi (t, x) thuộc T_T × Ω Định lý 1.1 chỉ ra rằng trong miền Ω và T_T đã được định nghĩa, hàm số u thuộc C(T_T × Ω), và các đạo hàm u_t, u_{x_i} cũng thuộc C(T_T × Ω) Nếu hàm u thỏa mãn phương trình thuần nhất (1.18), thì giá trị cực trị sup tồn tại.
Theo định lý Weierstrass, hàm u sẽ đạt giá trị cực trị trong miền nếu thỏa mãn các điều kiện của định lý Giả sử rằng u có giá trị cực đại trong miền mà không đạt trên biên Γ, điều này dẫn đến một mâu thuẫn với các giả định ban đầu.
Ký hiệu m là giá trị cực đại của hàm u đạt được trên Γ m = sup
Theo giả thiết, ta có
Ta cần chứng minh mâu thuẫn Ta đặt v(t, x) = u(t, x) + M −m
(x i −x 0 i ) 2 , (1.20) trong đó d là đường kính của tập Ω¯ Lấy v trên Γ, ta có v(x, t) | Γ ≤ m+ M −m
(x 0 i −x 0 i ) 2 = M, nghĩa là v cũng đạt giá trị lớn nhất tại điểm (t 0 , x 0 ) Vì giá trị của v trên Γ nhỏ hơn M, suy ra có một điểm (t 1 , x 1 ) bên trong biên sao cho sup
(t,x)∈T T ×Ω v(t, x) =v(t 1 , x 1 ), và v không đạt giá trị cực đại trên Γ Do đó
Nếu t1 thuộc khoảng (0, T), thì theo định lý Fermat, đẳng thức trong (1.22) được áp dụng Khi t1 bằng T, giá trị bên phải của T không tồn tại, dẫn đến việc điểm cực trị tại t1 thỏa mãn điều kiện bên trái của T, và hàm v là dương và tăng Ngoài ra, hàm v(t1, x) chỉ được xem là hàm của n biến không gian (x1, x2, , xn) khi đạt cực trị trên miền Ω tại điểm (x11, x12, , x1n).
Từ dạng (1.20) của hàm v, ta có
= (M −m)n d 2 > 0, vì M > m Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (1.24), vậy giả thiết (1.19) là sai và định lý được chứng minh.
□ Định lý 1.2 Bài toán (1.12) với điều kiện ban đầu (1.13) và điều kiện biên (1.14) có nhiều nhất một nghiệm cổ điển.
Chứng minh Giả sử bài toán (1.12), (1.13), (1.14) có hai nghiệm cổ điển u 1 (t, x) và u 2 (t, x) Khi đó
∂t (t, x) =f(t, x), ∀(t, x) ∈ T T ×Ω, ui(0, x) = φ(x), ∀x ∈ Ω, (1.25) u i (t, y) =α(t, y), ∀(t, y) ∈ T T ×∂Ω, với i = 1,2 và các hàm f, φ và α cho trước và liên tục trên miền xác định của chúng Mặt khác, u1(t, x) và u2(t, x) thỏa mãn điều kiện của nghiệm cổ điển Đặt v(t, x) = u 1 (t, x)−u 2 (t, x), ∀(t, x) ∈ T T ×Ω.
Với điều kiện trên, v thỏa mãn điều kiện của nghiệm cổ điển, và ta có
Hàm v thỏa mãn các điều kiện của định lí (1.1) Khi đó sup
(t,x)∈T T ×Ω v(t, x) đạt được trên Γ Theo (1.26)2 và (1.26)3, v đạt trên biên parabolic, khi đó sup
Suy ra u 1 (t, x) ≡ u 2 (t, x) và Định lý (1.2) đã được chứng minh Định lý 1.3 khẳng định rằng nếu hàm f(t, x) liên tục trên miền T T ×Ω, cùng với hai hàm liên tục φ 1 (t, x) và φ 2 (t, x) trên Ω, cũng như hai hàm liên tục α 1 (t, x) và α 2 (t, x) trên T T ×∂Ω, thì bài toán sẽ được xem xét.
∂t (t, x) =f(t, x), ∀(t, x) ∈ T T ×Ω, u i (0, x) = φ i (x), ∀x ∈ Ω, ui(t, y) =αi(t, y), ∀(t, y) ∈ T T ×∂Ω, với i = 1,2 Khi đó, nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho
Chứng minh Hàm u được xác định bởi công thức: u(t, x) = u 1 (t, x)−u 2 (t, x), thỏa mãn điều kiện nghiệm cổ điển Đồng thời, u cũng thỏa mãn bài toán sau:
Hàm u thỏa mãn điều kiện về tính trơn và phương trình thuần nhất (1.27), đạt được trên biên parabolic Γ Tại biên Γ, hàm u có dạng φ hoặc α, với điều kiện |φ| < δ và |α| < δ Kết quả của định lý được xác định bằng cách chọn δ = ε.
Một nghiệm riêng của bài toán (1.12), (1.13), (1.14) là nghiệm thu được bằng cách cố định vế phải f, dữ liệu ban đầu φ và dữ liệu biên α.
Chúng ta sẽ chỉ ra một nghiệm riêng của phương trình truyền nhiệt thuần nhất là hàm V có dạng sau:
Bài toán dây rung
Nhiều hiện tượng vật lý dẫn đến phương trình truyền sóng, như dao động của sóng âm và sóng nước Bài viết này xây dựng mô hình cho bài toán dao động của một sợi dây Xét một sợi dây nhỏ, căng, có chiều dài L, ở trạng thái cân bằng nằm dọc theo trục x với hai đầu cố định tại (0,0) và (L,0) Khi sợi dây bị kéo và thả ra tại thời điểm t=0, nó sẽ dao động trong mặt phẳng Ký hiệu u(x, t) là vị trí của một điểm trên sợi dây so với trục x tại thời điểm t, trong khi T1 và T2 là các lực căng tại hai đầu mút của đoạn dây.
Theo định luật II Newton:
Hình chiếu vuông góc lên hai trục là
|T 2 |cosθ2 − |T 1 |cosθ1 and |T 2 |sinθ2 − |T 1 |sinθ1, tương ứng Vì
|T 2 |cosθ 2 = |T 1 |cosθ 1 = T (1.29) Áp dụng định luật II Newton ta có
|T 2 |sinθ 2 − |T 1 |sinθ 1 = ρ∆s u tt (x, t), (1.30) trong đó∆s là chiều dài của đoạn dây và x hoành độ của trọng tâm sợi dây. Khi đó, x < x < x+ ∆x.
Do độ dốc của sợi dây nhỏ ta có thể xấp xỉ
Sử dụng (1.29), chia hai về cho T ta có tanθ2 −tanθ1
Vì tanθ 1 = u x (x, t) và tanθ 2 = u x (x + ∆x, t), phương trình (1.31) tương đương với u x (x+ ∆x, t)−u x (x, t)
T u tt (x, t), hay utt = a 2 uxx,với a 2 = T /ρ.
Không gian Hilbert
Tích trong trên không gian vectơ X trên R là một hàm song tuyến tính, thường được kí hiệu
(ã,ã) X : X ìX →R, với tính đối xứng
Trong không gian vectơ phức, điều quan trọng là đảm bảo rằng dấu ngoặc phải tuyến tính, tức là tuyến tính trong thành phần đầu tiên và tuyến tính liên hợp trong thành phần thứ hai Đặc biệt, tính đối xứng được thay thế bằng tính chất Hermitian, điều này có nghĩa là nếu (0,0) X = 0 trong dạng song tuyến tính, thì các yếu tố này cần được xem xét kỹ lưỡng để duy trì các quy tắc trong không gian vectơ phức.
(x, y) X = (y, x) X ∀x, y ∈ X, tức là (x, x)x ∈ R với mọi x Tích trong thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
Trong không gian tích trong X, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xác định rằng |(x, y)| ≤ (x, x)^(1/2) (y, y)^(1/2) với mọi x, y ∈ X Điều này chỉ đúng khi x và y tỉ lệ thuận với nhau.
Chuẩn trên không gian X được định nghĩa bởi công thức ∥x∥ X := (x, x)^(1/2) Từ đó, chúng tôi xem tất cả các không gian tích trong như là không gian chuẩn Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể được diễn đạt dưới dạng toán tử.
Không gian tích trong được gọi là không gian Hilbert khi nó là không gian Banach dưới dạng không gian chuẩn hoặc là không gian đầy đủ dưới dạng không gian metric Một đặc điểm thú vị của các không gian tích trong là chuẩn liên kết của chúng thỏa mãn đồng nhất thức bình hành.
Mệnh đề 1.1 Mọi không gian định chuẩn thỏa mãn đồng nhất thức bình hành là một không gian tích trong.
Chứng minh Ta sẽ thực hiện cho trường hợp cụ thể và để cho người đọc hoàn thành trong trường hợp phức tạp Tích trong được xác định bởi
4 ∥v +u∥ 2 − ∥v −u∥ 2 Trước tiên ta lưu ý (sử dụng tính chất ∥w∥= ∥ −w∥ )
4 ∥u+v∥ 2 − ∥u−v∥ 2 = ⟨u, v⟩, điều này cho ta tính đối xứng Vì
4∥2u∥ 2 = ∥u∥ 2 , do đó ⟨u, u⟩ ≥ 0 và ⟨u, u⟩ = 0 khi và chỉ khi u = 0.
Tính chất tuyến tính trong biến đầu tiên (biến duy nhất chúng ta cần kiểm tra) khá phức tạp Trước hết ta chứng minh điều sau:
Ta vừa vận dụng định nghĩa tích trong để chứng tỏ được định lý hình bình hành Để dễ tham khảo, chúng tôi lặp lại công thức:
(vì ⟨u,0⟩ = 0 từ định nghĩa của dấu ngoặc), và theo tính đối xứng
= ⟨u 1 +u 2 , v⟩, (bởi (1.33)) điều đó chứng tỏ tính cộng trong biến đầu tiên Sử dụng tính chất này n−1 lần, ta có
⟨nu, v⟩ = n⟨u, v⟩ ∀n ∈ Z (1.34) Áp dụng điều này cho w = nu, ta có
∀n ∈ Z\{0} (1.35) Như một hệ quả đơn giản của (1.34) và (1.35), ta có thể chỉ ra rằng
Mở rộng của (1.36) cho số thực vô hướng cần một đối số liên tục Đầu tiên, lưu ý rằng
⟨u, v⟩ = 1 2 ∥u+v∥ 2 − ∥u∥ 2 − ∥v∥ 2 (tính chất hình bình hành)
≤ 1 2 (∥u∥+ ∥v∥) 2 − ∥u∥ 2 − ∥v∥ 2 (bất đẳng thức tam giác)
= ∥u∥∥v∥, mà (sau khi áp dụng bất đẳng thức này choưuvàv, lưu ý rằng∥ưu∥= ∥u∥), dẫn đến bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cuối cùng, nếu r ∈ R và q ∈ Q, ta có
Vì chúng ta có thể lấy một dãy các số hữu tỉ {q n } sao cho q n → r, nên suy ra ⟨ru, v⟩ = r⟨u, v⟩, kết thúc chứng minh □
Tính trực giao Cho một không gian con V của một không gian Hilbert
Dễ thấy rằng V ⊥ là một không gian con đóng của H và V¯ ⊥ = V ⊥
Mệnh đề 1.2 (Xấp xỉ tốt nhất - phép chiếu trực giao) Cho V là một không gian con đóng của không gian Hilbert H Với u ∈ H, bài toán
∥u−v∥ = min! v ∈ V, (1.37) và v ∈ V, v −u ∈ V ⊥ (1.38) có thể giải được duy nhất.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng: (a) bài toán xấp xỉ (1.37) có nghiệm tồn tại, (b) bài toán phân tích trực giao (1.38) có nghiệm duy nhất, và (c) các bài toán này là tương đương với nhau.
Sự tồn tại Đặt δ := inf{∥u−v∥ :v ∈ V} ≥ 0 Theo định nghĩa, tồn tại một dãy {v n } trong V sao cho
Bằng đẳng thức hình bình hành,
Dễ dàng chứng minh từ bất đẳng thức trên rằng {v n } là một dãy Cauchy.
Do đó, tồn tại v ∈ V (chúng ta sử dụng V đóng trong không gian Hilbert) sao cho v n →v Đặc biệt v ∈ V thỏa mãn
Tính duy nhất Đặt v 1 , v 2 ∈ V thỏa (1.38) Vì v 1 −v 2 ∈ V, ta có
Trừ các đẳng thức này ta được ∥v 1 −v2∥ 2 = 0 và do đó nghiệm của (1.38) là duy nhất.
Bài toán (1.37) bao hàm bài toán (1.38) Nếu w ∈ V thỏa mãn ∥w∥= 1, thì
= ∥u−v∥ 2 + |(u−v, w)| 2 −2|(u−v, w)| 2 , trong đó, sau khi đơn giản hóa cơ bản thì (u−v, w) = 0.
Bài toán (1.38) bao hàm bài toán (1.37) Nếu v ∈ V là một nghiệm của (1.38), vì (u−v, v−w) = 0, ta có
∥u−w∥ 2 = ∥u−v+ (v−w)∥ 2 = ∥u−v∥ 2 +∥v−w∥ 2 ≥ ∥u−v∥ 2 ∀w ∈ V, và v thỏa (1.37) Điều này kết thúc chứng minh □
Hệ quả Các kết quả sau đây là hệ quả đơn giản của mệnh đề 1.2
(a) Toán tử P : H →V được xác định bởi xấp xỉ tốt nhất trên V
P u∈ V, (P uưu, v) = 0 ∀v ∈ V là tuyến tính và bị chặn bởi ∥P∥ = 1 nếu V không phải là không gian con tầm thường Điều này thực tế là
∥u∥ 2 = ∥u−P u∥ 2 +∥P u∥ 2 , vì P u và u−P u là trực giao và thực tế P v = v với mọi v ∈ V.
(b) Phép chiếu trực giao P cung cấp phép phân tích trực giao của bất kỳ không gian
H = ¯V ⊕V ⊥ trong tổng quát (Đối với khẳng định sau, hãy áp dụng phép chiếu trực giao lên V¯ và lưu ý rằng V ⊥ = ( ¯V) ⊥ )
(c) Một không gian con V ⊂ H là trù mật khi và chỉ khi V ⊥ = {0}.
Dãy trực chuẩn Đặt {ϕ n } là một dãy trực chuẩn trong H, nghĩa là, một dãy sao cho (ϕ n , ϕ m ) =δ nm , và đặt V := span{ϕ n : n ≥1} Chuỗi trực giao hội tụ
(u, ϕ n )ϕ n định nghĩa phép chiếu trực giao u lên V¯ và ta có bất đẳng thức Bessel’s
(u, ϕn) = 0 ∀n =⇒ u = 0 (1.39) tương đương với V ⊥ = {0}, và tương đương với tính trù mật của V trong
H Điều này tương đương với P u= u với mọi u ∈ H và kéo theo đẳng thức Parseval’s
Vì đẳng thức Parseval’s ngụ ý rằng V ⊥ = {0}, chúng ta có rằng tất cả các mệnh đề sau đây là tương đương với một dãy trực chuẩn xác định:
(a) {ϕ n } là trực chuẩn đầy đủ (tức là, ((1.39) giữ nguyên)),
(c) Đẳng thức Parseval’s (1.40) giữ nguyên,
(d) mọi phần tử có thể được xây dựng lại từ chuỗi trực giao u ∞
Không gian Sobolev H 1 (Ω)
Giả sử Ω là một tập con mở và có thể không bị chặn của R d Chúng ta xác định không gian Sobolev
H 1 (Ω) := u ∈ L 2 (Ω) : ∇u ∈ L 2 (Ω) , ở đây chúng ta sử dụng kí hiệu L 2 (Ω) := L 2 Ω;R d ≡ L 2 (Ω) d Lưu ý rằng
L 2 (Ω) ⊂ L 1 loc (Ω), và các đạo hàm riêng ∂ x i u là phân phối đều trong L 2 (Ω). Không gian H 1 (Ω) được trang bị tích trong
Tích trong này có thể xác định dễ dàng là song tuyến tính, đối xứng và xác định dương Số hạng chính (∇u,∇v) Ω sẽ đóng vai trò quan trọng và được gọi là dạng Dirichlet Chuẩn liên kết được ký hiệu.
Nhận xét Nếu giả sử rằng Ω là một miền bị chặn thì tập hợp
C 1 ( ¯Ω) là tập hợp con của H 1 (Ω), với U thuộc C 1 R d Điều này có thể dễ dàng xác minh, vì u thuộc C( ¯Ω) và cũng nằm trong L 2 (Ω) Hơn nữa, các đạo hàm riêng của u, ∂ x i u, cũng thuộc C( ¯Ω) và nằm trong L 2 (Ω) cho mọi chỉ số i Chúng ta khẳng định rằng các đạo hàm riêng của u thỏa mãn điều kiện này, do sự tương đồng giữa các đạo hàm phân phối và cổ điển trong C 1 (Ω).
Không gian H 0 1 (Ω)
Trong phần trước chúng ta đã chỉ ra rằng D R d là tập con trù mật của
Trong không gian R^d, khi xem xét một miền giới hạn Ω, sự gián đoạn của trù mật trong trường hợp bị chặn dẫn đến việc xác định không gian Sobolev H^0_1(Ω) Định nghĩa 1.8.1 chỉ ra rằng Ω là một tập mở trong R^d.
Chúng ta xác định không gian
Nói cách khác, không gian H 0 1 (Ω) là bao đóng của D(Ω) đối với chuẩn
H 1 (Ω) được định nghĩa là một không gian con đóng của H 1 (Ω), với H 0 1 R d = H 1 R d Đối với các phần tử thuộc H 0 1 (Ω) trong miền giới hạn, ta có định lý Poincaré-Friedrichs Định lý 1.4 chỉ ra rằng nếu Ω ⊂ R d−1 × (a, b) hoặc nếu Ω bị chặn ít nhất một hướng, thì bất đẳng thức này sẽ được áp dụng.
Để chứng minh định lý, trước hết cần chỉ ra lý do tại sao chỉ cần xác minh cho các phần tử φ ∈ D(Ω) Xét một hàm u ∈ H 0 1 (Ω) và một dãy {φ n } trong D(Ω) sao cho φ n hội tụ đến u trong không gian H 1 (Ω) Điều này dẫn đến việc chuẩn ∥φ n ∥ Ω hội tụ đến chuẩn ∥u∥ Ω.
2 ∥∇u∥ Ω Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp một chiều Với φ ∈ D(a, b), ta viết φ(x) = 1
Một phép tính đơn giản cho ta giới hạn
|φ ′ (t)|dt ∀x ∈ (a, b), mà chúng ta có thể sử dụng cho giới hạn
Để chứng minh mệnh đề của định lý trong một chiều, ta xem xét hàm φ ∈ D(Ω) với Ω ⊂ R d−1 ×(a, b) Nhờ vào kết quả đã thiết lập trước đó, ta có thể áp dụng lập luận trong chiều mà Ω bị giới hạn bằng cách viết x = (˜x, xd) ∈.
4 ∥∇φ∥ 2 Ω Điều này kết thúc chứng minh □
Hệ quả 1.1 Nếu Ω là một miền bị chặn, thì dạng Dirichlet xác định một chuẩn trong H 0 1 (Ω) tương đương với chuẩn thông thường, cụ thể là tồn tại C > 0 sao cho
Bài toán Dirichlet
Sau khi triển khai các công cụ cần thiết để hiểu không gian H 0 1 (Ω), chúng ta sẽ tìm hiểu về cách biểu diễn tương đương của bài toán Poisson với các điều kiện biên Dirichlet thuần nhất.
Lưu ý rằng, trong hình thức này, chúng ta chưa đưa ra bất kỳ khẳng định nào về tính đều của nghiệm u, cũng như cách thức áp dụng các điều kiện biên Những vấn đề này sẽ được xem xét trong các hình thức tiếp theo.
Dạng đầu tiên Ta trình bày bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson dưới dạng một PDE phân phối Bài toán là u ∈ H 0 1 (Ω),
(1.41) mà chúng ta có thể hiểu là tìm u trong H 0 1 (Ω) sao cho −∆u = f giữ nguyên đẳng thức phân phối trong D ′ (Ω).
Chúng ta chỉ tìm kiếm u ∈ H 0 1 (Ω), dẫn đến −∆u có thể không phải là phân phối đều Tuy nhiên, nếu f ∈ L 2 (Ω), điều này sẽ xảy ra Bài toán áp đặt một dạng yếu của các điều kiện biên bằng không trong không gian nghiệm, được thể hiện qua một phương trình cụ thể.
D ′ (Ω) có nghĩa là phương trình thỏa mãn khi được kiểm định bởi một phần tử của không gian tiêu chuẩn D(Ω) Do đó, phép phân phối PDE
Dạng thứ hai Giả sử rằng u ∈ H 0 1 (Ω) Vì u, ∂ x i u ∈ L 2 (Ω) là các phân phối đều, nên chúng ta có thể viết PDE phân phối theo phương pháp mạnh như d
(1.42)Chúng ta sẽ gọi dạng thứ hai này là công thức biến phân.
Định lý Rellich-Kondrachov
Trong phần này chúng ta tìm hiểu với những điều kiện nào trên Ω các nhúng
H 0 1 (Ω) ⊂L 2 (Ω) và H 1 (Ω) ⊂ L 2 (Ω) là compact Chúng ta sẽ có thể lấy tất cả các kết quả nhúng compact từ những mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3 Nếu Q := (−M, M) d là một khối lập phương d chiều, thì
Mệnh đề 1.4 (Rellich-Kondrachov) Nếu Ω là một miền giới hạn, thì
Mệnh đề 1.5 Nếu Ω là một miền giới hạn với tính chất mở rộng H 1 ,thì H 1 (Ω) nhúng compact trong L 2 (Ω).
GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ ELLIPTIC
Giá trị riêng Dirichlet và Neumann
Chúng tôi nghiên cứu các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử G : X → X trong không gian Hilbert X, nhằm tìm kiếm các đại lượng không tầm thường ϕ ∈ X.
Giả sử G là compact, lân cận, và xác định dương Nếu X là một không gian Hilbert thực, thừa nhận à ∈ C và ϕ ∈ X C , sự phức húa của X.
Toán tử Green cho bài toán Dirichlet Xét không gian Hilbert thực
X = L 2 (Ω) và toán tử G: L 2 (Ω)→ L 2 (Ω), f 7→u bằng phương pháp PDE u ∈ H 0 1 (Ω), −∆u = f, có dạng biến phân u ∈ H 0 1 (Ω), (∇u,∇v) Ω = (f, v) Ω ∀v ∈ H 0 1 (Ω), (2.1) và ước tính ổn định
Trong bài toán này, chúng ta có điều kiện biên Dirichlet đồng nhất, dẫn đến việc giới hạn ổn định của bài toán không phụ thuộc vào tính thường xuyên của biên ∂Ω Điều này cho thấy rằng ∥u∥ 1,Ω ≤C∥f∥ Ω vẫn giữ nguyên tính chất ổn định, bất chấp sự biến đổi của biên.
Đẳng thức ∥Gf∥₁,Ω ≤ C∥f∥₁,Ω ∀f ∈ L²(Ω) chứng tỏ tính compact của toán tử G: L²(Ω) → L²(Ω) Để làm rõ tính compact này, chúng ta có hai cách giải thích khác nhau Đầu tiên, nếu {fₙ} là một chuỗi hội tụ yếu trong L²(Ω) với fₙ → f trong L²(Ω), thì Gfₙ → Gf trong H₀¹(Ω) nhờ tính bị chặn của G Theo định lý Rellich-Kondrachov, ta có Gfₙ → Gf trong L²(Ω) Cách giải thích thứ hai đơn giản hơn, khi G có thể được xem như một toán tử nghiệm cho bài toán (2.1), dẫn đến việc áp dụng định lý nhúng Rellich-Kondrachov.
Sự tự phụ của G tuân theo đối số đơn giản sau: nếu f 1 , f 2 ∈ L 2 (Ω) và u1 = Gf1, u2 = Gf2, khi đó
Trong bài toán Dirichlet, tính đối xứng của dạng song tuyến là điều quan trọng, thể hiện qua các mối quan hệ như (f 1 , Gf 2 ) Ω = (f 1 , u 2 ) Ω = (∇u 1 ,∇u 2 ) Ω = (u 1 , f 2 ) Ω = (Gf 1 , f 2 ) Ω Điều này cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các thành phần trong phương trình, nhấn mạnh vai trò của tính đối xứng trong việc giải quyết bài toán.
Lưu ý rằng G là hàm đơn ánh (nếu Gf = u = 0, thì f = −∆u = 0) và xác định dương, vì
(f, Gf) Ω = (∇Gf,∇Gf) Ω = ∥∇Gf∥ 2 Ω ≥ C PF ∥f∥ 2 Ω ∀f ∈ L 2 (Ω).
Giỏ trị riờng Dirchlet Nếu một cặp (à, ϕ) thỏa món Gϕ = àϕ, từ u = Gϕ, chỳng ta cú −∆(àϕ) =ϕ, hoặc là ϕ ∈ H 0 1 (Ω), −∆ϕ = à −1 ϕ.
Nếu đặtλ = à −1 , sau đú ta núi rằng λ là một giỏ trị riờng Dirichlet của phộp biến đổi Laplace và ϕ là hàm riêng tương ứng.
Bài toán tìm giá trị riêng không tầm thường của ϕ ∈ H 1 (Ω) và λ ∈ R được thiết lập dưới dạng −∆ϕ = λϕ với điều kiện biên ∂ n ϕ = 0 Ngoài ra, bài toán cũng có thể được biểu diễn dưới dạng (∇ϕ,∇v) Ω = λ(ϕ, v) Ω cho mọi v ∈ H 1 (Ω).
Bài toán (2.4) có thể được xem xét trong miền tổng quát hơn so với bài toán (2.3) và yêu cầu định nghĩa đạo hàm thông thường với sự xuất hiện của toán tử vết Chúng ta có khả năng xử lý bài toán (2.4) trong bất kỳ miền nào mà H 1 (Ω) nhúng compact vào L 2 (Ω) Tuy nhiên, bài toán Neumann cho phương trình Laplace gặp phải những vấn đề về khả năng giải, do đó cần thực hiện một số điều chỉnh để tạo ra toán tử Green có các giá trị riêng tương ứng với các giá trị riêng Neumann Để bắt đầu, chúng ta tiến hành nghiên cứu trên không gian Hilbert.
, và xem xét toán tử được xác định G: L 2 ◦ (Ω)→ L 2 ◦ (Ω) cho bởi u = Gf là lời giải của bài toán cưỡng bức (nhớ lại bất đẳng thức Poincaré ) u ∈ H 1 (Ω)∩L 2 ◦ (Ω), (∇u,∇v) Ω = (f, v) Ω ∀v ∈ H 1 (Ω)∩L 2 ◦ (Ω).
Khi toán tử đạo hàm thông thường được xác định, điều này tương đương với u ∈ H 1 (Ω), −∆u = f, ∂ n u = 0, (u,1) Ω = 0, bài toán có một nghiệm duy nhất khi (f,1)Ω = 0 Vì
∥Gf∥ 1,Ω ≤ ∥f∥ Ω ∀f ∈ L 2 ◦ (Ω), nên suy ra rằng G là compact (bằng phép nhúng compact H 1 (Ω) trong
(Gf₁, Gf₂)Ω = (∇Gf₁, ∇Gf₂)Ω ∀f₁, f₂ ∈ L²◦(Ω), cho thấy rằng G là tự liên hợp và xác định dương Tương tự như trường hợp Dirichlet, các giá trị riêng của G là nghịch đảo của các giá trị đặc trưng Neumann Cần lưu ý rằng trong việc khái quát hóa bài toán, giá trị riêng Neumann bằng không (liên quan đến các hàm riêng không đổi) bị thiếu.
Một cách khái quát khác cho các giá trị đặc trưng Neumann là thay vì làm việc trong không gian L²₀(Ω), chúng ta có thể sử dụng các giá trị riêng và giải quyết bài toán có giá trị riêng với phương trình −∆ϕ + ϕ = ξϕ, cùng với điều kiện biên ∂nϕ = 0, trong không gian H¹(Ω) Ngoài ra, bài toán cũng có thể được biểu diễn dưới dạng biến đổi với u ∈ H¹(Ω) và ξ ∈ R, thông qua phương trình (∇u, ∇v)Ω + (u, v)Ω = ξ(u, v)Ω cho mọi v ∈ H¹(Ω).
Toán tử Green được liên kết G : L 2 (Ω) →L 2 (Ω), cho bởi Gf = u, trong đó u ∈ H 1 (Ω), (∇u,∇v) Ω + (u, v) Ω = (f, v) Ω ∀v ∈ H 1 (Ω), là compact, tự liờn hợp và xỏc định dương Chỳ ý rằng nếuGϕ = àϕ, sau đú
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (∇u,∇v) Ω = à −1 −1 (u, v)Ω với mọi v thuộc H 1 (Ω), liên quan đến việc chuyển đổi các giá trị riêng và hàm riêng của G sang hàm riêng Neumann Nhận xét 2.1.1 cho thấy rằng, mặc dù có thể xem xét khả năng tồn tại các giá trị riêng phức tạp và các hàm riêng tương ứng thông qua các không gian L 2 (Ω;C) và H 1 (Ω;C), nhưng thực tế điều này sẽ không cần thiết trong bối cảnh hiện tại.
Giá trị riêng của toán tử tự liên hợp compact
Đối với những điều sau đây, giả sử rằng X là một không gian Hilbert và
G: X → X là một toán tử tự liên hợp compact Nếu X là không gian thực, chúng ta sẽ xét sự phức hóa X C và toán tử G : X C → X C thực hiện riêng biệt trên phần thực và phần ảo Toán tử này lại compact và tự liên hợp Điều này có nghĩa là, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể thực hiện trên không gian Hilbert phức tạp Các kết quả đầu tiên dựa trên đại số tuyến tính sơ cấp.
Mệnh đề 2.1 Các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp là thực.
Chứng minh Nếu G là tự liờn hợp và Gϕ = àϕ, thỡ (Gϕ, ϕ) X = à(ϕ, ϕ) X
Vỡ (Gϕ, ϕ) X là thực (G tự liờn hợp ) và (ϕ, ϕ) X = ∥ϕ∥ 2 X , do đú à ∈ R cũng vậy □
Mệnh đề 2.2 Các hàm riêng cho các giá trị riêng khác nhau của một toán tử tự liên hợp là trực giao.
Chứng minh Cho λ ̸= à là (thực) giỏ trị riờng của G Nếu Gϕ = λϕ và
Mệnh đề 2.3 Nếu λ ̸= 0 là một giá trị riêng của toán tử compact G, khi đó dim ker(λI −G) là hữu hạn.
Chứng minh Chúng ta biến đổi λI −G = λ I −λ −1 G , đây là phép đồng nhất cộng một toán tử compact Do đó, lý thuyết tiêu chuẩn Fredholm được áp dụng □
Mệnh đề 2.4 Nếu {à n } là một chuỗi cỏc giỏ trị riờng khỏc nhau của toỏn tử compact G, và à n →à, khi đú à = 0.
Chứng minh Xét các hàm riêng được chuẩn hóa tương ứng các giá trị riêng:
Vì {ϕ n } là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert X, ta có ϕ n → 0.
Vỡ tớnh compact của G, ta cú Gϕ n → 0 và do đú à n ϕ n → 0 Bằng cỏch lấy chuẩn của chuỗi hội tụ này, ta suy ra |à n | → 0 □
Trong không gian Hilbert phức vô hạn chiều X, với một toán tử compact tự liên hợp G : X → X, chúng ta có thể rút ra hai kết luận quan trọng từ lý thuyết Fredholm.
(a) G : X → X không khả nghịch Nếu vậy, khi đóI = G −1 Gsẽ là compact, nhưng chúng ta đang thực hiện trong chiều vô hạn và toán tử vô hạn không compact.
(b) Nếu λ ̸= 0, hoặc λI −G là một hạt nhân không tầm thường (và λ là một giá trị riêng của G ), hoặc λI −G :X →X là khả nghịch.
Tập hợp giải thích cho ma trận G được ký hiệu là ρ(G), bao gồm các số phức λ sao cho ma trận (λI − G) −1 tồn tại Phần bù của tập hợp này được gọi là phổ và được ký hiệu là σ(G) Chúng ta biết rằng 0 luôn thuộc σ(G), và nếu λ khác 0 thuộc σ(G), thì λ được xem là một giá trị riêng.
Gϕ = àϕ, thỡ |à| ≤ ∥G∥, nghĩa là, phổ là một tập hợp cú giới hạn Chỳng ta nhận thấy rằng:
(c) Phổ của G được bao hàm trong khoảng [−∥G∥,∥G∥].
Phổ G là hữu hạn hoặc đếm được, theo lập luận từ mệnh đề (2.4) Trong tập hợp [−1,−1/n]∪[1/n,1], chỉ tồn tại hữu hạn số giá trị riêng Nếu có vô số giá trị riêng, sẽ xuất hiện điểm tụ, nhưng mệnh đề (2.4) chứng minh rằng điểm tụ này là 0.
Các tính chất đã nêu không chỉ áp dụng cho các toán tử tự liên hợp compact, mà còn có thể mở rộng cho các toán tử compact tổng quát Điểm đặc trưng của các toán tử tự liên hợp compact là sự tồn tại thực của các giá trị riêng.
Mệnh đề 2.5 Nếu G là một toán tử tự liên hợp compact, thì khi đó ∥G∥ hoặc −∥G∥ là một giá trị riêng.
Có một dãy {x_n} với đơn vị chuẩn ∥Gx_n∥_X → ∥G∥ Dãy {x_n} bị chặn, dẫn đến sự tồn tại của một dãy con hội tụ yếu x_n_k → x, với x ∈ X Vì G là tập hợp compact, nên Gx_n_k → Gx Điều này chứng minh rằng ∥Gx∥_X = ∥G∥ và đảm bảo rằng x ≠ 0 Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phép toán sau.
Trường hợp đặc biệt G 2 x = ∥G∥ 2 x và do đó
G 2 x− ∥G∥ 2 x = (G+∥G∥I)(G− ∥G∥I)x= 0, điều này cho thấy rằng một trong hai Gx = ∥G∥x và ∥G∥ là một giá trị riêng, hoặc y = Gx− ∥G∥x ̸= 0 và Gy = −∥G∥y và −∥G∥ là một giá trị riêng □
Định lý Hilbert-Schmidt
Định lý Hilbert-Schmidt khẳng định rằng trong không gian Hilbert thực hoặc phức, nếu G là toán tử tuyến tính compact, tự liên hợp và nửa xác định dương, thì tồn tại một chuỗi số không tăng à n > 0 với à n tiến tới 0, cùng với một dãy trực chuẩn {ϕ n } trong X.
X n=1 à n (ã, ϕ n ) X ϕ n , (2.5) với sự hội tụ trong toán tử chuẩn Ngoài ra, với mọi f ∈ X f ∞
(f, ϕn)xϕn +Qf, (2.6) trong đó Q :X →kerG là phép chiếu trực chuẩn lên kerG.
Định lý Hilbert-Schmidt cho phép một công thức khác mà không yêu cầu toán tử phải là xác định dương, và trong trường hợp này, |a_n| không tăng Khi phạm vi G là hữu hạn, định lý vẫn giữ nguyên, nhưng các tổng trong (2.5) và (2.6) chỉ chứa một số thuật ngữ hữu hạn Từ công thức này, có thể rút ra một số kết luận quan trọng về định lý Hilbert-Schmidt, mặc dù một số kết luận này được sử dụng như các bước trung gian trong chứng minh.
(a) Từ (2.5) dẫn đến Gϕn = ànϕn với mọi n.
(b) Tập hợp {ϕ n } là trực chuẩn đủ trong (kerG) ⊥ = rangeG Điều này từ (2.6), vì f −Qf ∞
(f, ϕ n ) X ϕ n , là phép chiếu trực chuẩn (kerG) ⊥
Nếu kerG = {0}, thì {ϕ n } là một hệ trực chuẩn đủ trong không gian X, chứng tỏ rằng X là một không gian Hilbert khả li Cụ thể, khi G là toán tử compact xác định dương tự liên hợp, điều này dẫn đến việc kerG = {0}, rangeG phải có chiều vô hạn, và do đó, không gian X cũng là khả li.
Nếu Gϕ = àϕ với ϕ khác 0 và à khác 0, thì à có thể biểu diễn dưới dạng à = à k với ít nhất một k, và ϕ là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm {ϕ n : à n = à k} Điều này có thể được chứng minh thông qua việc mở rộng ϕ ∞.
(lưu ý rằng ϕ là trực giao với các phần tử là hạt nhân, là các hàm riêng cho một giỏ trị riờng khỏc nhau) và so sỏnh chuỗi Gϕ và àϕ :
(à n −à) (ϕ, ϕ n )xϕ n = 0. Đặc biệt, điều này cho thấy rằng à 1 = ∥G∥.
(e) Toán tử G là giới hạn đồng nhất của dãy
X n=1 à n (ã, ϕ n )xϕ n , toán tử tự liên hợp với phạm vi chiều hữu hạn.
Lưu ý rằng phần mở rộng (2.5) không bao gồm các hàm riêng tương ứng với giá trị riêng bằng 0, do có thể tồn tại một số không đếm được trong số đó Sự phân rã phổ (2.5) không nhất thiết phải duy nhất; các hàm riêng có thể được nhân với các số có giá trị tuyệt đối bằng 1, và các hàm riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng có thể được kết hợp để tạo ra các chuỗi trực chuẩn mới.
Giá trị riêng Dirichlet được nghiên cứu trong không gian Ω, một tập hợp mở và hữu hạn, nơi H 0 1 (Ω) được nhúng chặt trong L 2 (Ω) Để phân tích, chúng ta xem xét bản đồ G : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) với định nghĩa Gf = u, trong đó u thuộc H 0 1 (Ω) và thỏa mãn phương trình −∆u = f Ngoài ra, u cũng phải thỏa mãn điều kiện (∇u,∇v) Ω = (f, v) Ω cho mọi v thuộc H 0 1 (Ω).
Toán tử G là compact, tự liên hợp và xác định dương, điều này dẫn đến việc nó là đơn ánh Do đó, tồn tại một tập hợp trực chuẩn đủ {ϕ n} trong L2(Ω) và một dãy số dương {à n} với à n → 0.
X n=1 à n (f, ϕ n ) Ω ϕ n , là nghiệm duy nhất của (2.7) Giá trị
Các giá trị riêng Dirichlet được xác định bởi 0 < λ n := à −1 n −→ ∞ Chúng ta đã tìm thấy một chuỗi trực chuẩn đầy đủ {ϕ n } với ϕn ∈ H 0 1 (Ω), thỏa mãn điều kiện −∆ϕ n = λnϕn Ngoài ra, chúng tôi đã khái quát hóa tất cả các hàm riêng có thể có cho bài toán Dirichlet của Laplacian, bao gồm cả các tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng tương ứng với nhiều giá trị riêng khác nhau.
Đẳng thức (∇ϕ n ,∇ϕ m ) Ω = λ n (ϕ n , ϕ m ) Ω = λ n δ nm ∀n, m chứng minh rằng tập hợp {ϕ n } là trực giao trong không gian H 0 1 (Ω) Chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu các đặc tính của dãy này trong Mục 2.5, nơi chúng ta khám phá các dạng hội tụ khác nhau của dãy quang phổ f ∞.
(f, ϕ n ) Ωϕ n , về nguyên tắc, nó hội tụ trong L 2 (Ω).
Giá trị riêng Neumann Coi toán tử G: L 2 (Ω)→ L 2 (Ω) được cho bởi u = Gf là nghiệm của u∈ H 1 (Ω), (∇u,∇v) Ω + (u, v) Ω = (f, v) Ω ∀v ∈ H 1 (Ω) (2.8) Khi Ω là một tập hợp có giới hạn sao cho H 1 (Ω) được nhúng chặt trong
L 2 (Ω), toán tử G là compact, tự liên hợp, và xác định dương Sau đó, chúng ta có L 2 (Ω) là chuỗi trực chẩn đầy đủ {ψ n } sao cho
Lưu ý rằng nếu Gf = àf, từ (2.8) dẫn đến
Do đú à = 1 là giỏ trị riờng lớn nhất cú thể, tương ứng với hằng số f và với không gian riêng một chiều Giá trị
0 ≤λn := à −1 n −1−→ ∞ là giá trị riêng Neumann, mà đối với các miền Lipschitz, là nghiệm của ϕ n ∈ H 1 (Ω), −∆ϕ n = λ n ϕ n , ∂ n ϕ n = 0.
Như đã đề cập, λ 1 = 0 và λ n > 0 với n ≥2.
Chứng minh Định lý Hilbert-Schmidt
Chúng ta sẽ chứng minh định lý Hilbert-Schmidt bằng phương pháp suy biến, tập trung vào việc thu thập tất cả các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng lớn nhất.
Chúng ta sẽ thu thập các hàm riêng và khai triển các dạng suy biến của toán tử tự liên hợp để chứng minh định lý Hilbert-Schmidt Giả sử G là một toán tử tự liên hợp với các giá trị riêng khác không và có một hệ thống trực chuẩn với các hàm riêng liên kết tương ứng.
Gϕ n = à n ϕ n n = 1, , N (ϕ n , ϕ m ) X = δ nm Xem xét toán tử suy biến (hạng hữu hạn)
X n=1 à n (ã, ϕ n ) X ϕ n NếuPN : X → span{ϕ 1 , , ϕN}là phép chiếu trực giao lên không gian của các hàm riêng
X n=1 à n (u, ϕ n ) X ϕ n = G N u, từ đó dễ dàng thấy rằng
G N = P N G = GP N = P N GP N Bây giờ hãy xem xét phần còn lại
Chúng ta có kết quả sau trên phổ R N
Bổ đề 2.4.1 Nếu RNϕ = àϕ, thỡ à = 0 hoặc Gϕ = àϕ và ϕ ⊥ ϕn với mọi n.
Chứng minh Nếu R N u = àu, thỡ
Gu−àu = G N u ∈ span{ϕ 1 , , ϕ N }, ta có
Chúng ta so sánh biểu thức sau với G N u và lưu ý rằng điều này ngụ ý rằng à(u, ϕn) x = 0, n= 1, , N.
Nếu à = 0 thỡ quỏ trỡnh chứng minh hoàn tất Nếu khụng thỡ (u, ϕn) X = 0 với mọi n và dẫn đến G N u = 0, nghĩa là R N u = Gu= àu □
Sự suy biến có giới hạn của toán tử tự liên hợp là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết toán tử Nếu G là một toán tử tầm thường trên không gian Hilbert X, và G là compact, tự liên hợp và vô hạn dương, thì có thể tạo ra một danh sách có thể đếm được các cặp riêng.
Gϕ n = à n ϕ n và (ϕ m , ϕ n ) X = δ mn cho thấy rằng tập hợp {à n} không tăng Điều này được thực hiện bằng cách lấy cơ sở trực chuẩn cho không gian hữu hạn chiều ker(àI −G) khi à là một giá trị riêng Có hai tùy chọn cho giá trị riêng này: hoặc {à n} là một danh sách hữu hạn các giá trị riêng, hoặc nó đang giảm xuống 0.
R N được xác định bởi công thức R N = G− G N = (I −P N )G(I −P N ) Nó có tính chất tự liên hợp và compact, đồng thời cũng là vô hạn dương Để chứng minh điều này, chúng ta cần kiểm tra R N với một phần tử ϕ và thực hiện các phép toán cần thiết.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức G(I − P N)ϕ, (I − P N)ϕ) X ≥ 0, trong đó G là một nửa hàm dương Các giá trị riêng của R N được phân loại thành các giá trị riêng khác của G cùng với số 0, bất kể số 0 có phải là giá trị riêng của G hay không.
∥R N ∥= àN+1 Trong trường hợp G cú rất nhiều giỏ trị riờng, ta cú thể thấy
N đủ lớn để à N +1 = 0 và do đú
X n=1 à n (ϕ, ϕ n ) X ϕ n cho thấy rằng G là một toán tử suy biến với dạng hữu hạn Nếu G có một chuỗi các cặp riêng cụ thể đếm được với à n → 0, thì ∥R N ∥= à N +1 →0 khi n → ∞ Vì R N = G−G N, ta có ∥G−G N ∥ → 0, từ đó suy ra G = P n à n (ã, ϕ n ) X ϕ n hội tụ theo tiêu chuẩn Điều này chứng tỏ phần đầu tiên của định lý Hilbert-Schmidt, và bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ phần thứ hai của định lý.
Kết thúc của chứng minh Cần chứng minh toán tử Q được cho bởi
(ϕ, ϕ n )xϕ n , là phép chiếu trực giao lên kerG Trong trường hợp suy biến, tổng sẽ chỉ từ n= 1 đến n= N Đầu tiên, hãy lưu ý rằng
X n=1 à n (ϕ, ϕ n ) X ϕ n = 0, và do đó Qϕ ∈ kerG Từ điều này, ta thấy rằng
Trong không gian đóng (kerG) ⊥, chuỗi hội tụ (ϕ, ϕ n ) X ϕ n cho thấy rằng ϕ n là một hàm riêng với giá trị khác không Điều này dẫn đến kết luận rằng Qϕ−ϕ thuộc (kerG) ⊥, chứng minh rằng Q là phép chiếu trực giao lên kerG.
Đặc điểm quang phổ của không gian Sobolev
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các đặc tính hội tụ của chuỗi quang phổ liên quan đến bài toán giá trị riêng elliptic Chúng ta sẽ trình bày chi tiết qua một ví dụ cụ thể, tập trung vào các giá trị đặc trưng Neumann cho một tham số khuếch tán không thay đổi.
Bài toán giá trị đặc trưng Neumann liên quan đến miền Lipschitz Ω và hàm κ ∈ L ∞ (Ω) với giá trị dương Các phương trình biến phân cho hàm u ∈ H 1 (Ω) được mô tả bởi (κ∇u,∇v) Ω + (u, v) Ω = (f, v) Ω cho mọi v ∈ H 1 (Ω) Điều này tương đương với bài toán giá trị biên, trong đó u ∈ H 1 (Ω) thỏa mãn phương trình −∇ · (κ∇u) + u = f, với điều kiện biên (κ∇u) · n = 0.
Ta viết a(u, v) := (κ∇u,∇v) Ω + (u, v) Ω để biểu thị dạng song tuyến được liên kết với (2.9) Dạng song tuyến này xác định một tích trong H 1 (Ω) tương đương với tích thông thường Toán tử
G : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) được xác định bởi Gf = u, trong đó u là nghiệm của (2.9) và (2.10) là tuyến tính và thừa nhận giới hạn
G là một toán tử compact, như đã đề cập trong mục 2.1 Theo công thức biến đổi (2.9), ta có a(Gf₁, Gf₂) = (f₁, Gf₂) ∀f₁, f₂ ∈ L²(Ω), điều này chứng minh rằng G là tự liên hợp và xác định dương Do đó, tồn tại một chuỗi số dương không tăng {aₙ} và một chuỗi trực chuẩn đủ {ϕₙ}.
Trong (2.11), chúng ta bắt đầu đếm từ n = 0, với lý do là giá trị riêng lớn nhất λ₀ = 1 tương ứng với các hàm riêng không đổi Chúng ta có thể lấy ϕ₀ ≡ |Ω|⁻¹/² làm phần tử đầu tiên của dãy trực chuẩn, cho thấy rằng tất cả các phần tử khác của dãy đều có giá trị trung bình bằng không trên Ω Giá trị riêng λ₀ = 1 là đơn giản và là giá trị riêng lớn nhất có thể.
Gϕ n = à n ϕ n n ≥0, cú thể được viết lại về bài toỏn khuếch tỏn như sau λ n := à −1 n −1 ϕn ∈ H 1 (Ω), −∇ ã(κ∇ϕ n ) =λnϕn, (κ∇ϕ n )ãn = 0 (2.12)
Lưu ý rằng λ0 = 0 và λn > 0 với mọi n xác định một chuỗi dương không giảm phân kỳ đến vô cùng Không gian H 1 (Ω) là nơi chúng ta tìm nghiệm cho phương trình (2.9) Việc kiểm tra (2.10) cho thấy rằng u tự động đáp ứng các tính chất bổ sung mà chúng ta sẽ khám phá khi nghiên cứu phạm vi G Tập hợp {ϕ n } là một tập chuẩn đủ trong L 2 (Ω), và tính chất Gϕ n = à n ϕ n tương đương với a(ϕn, v) = à −1 n (ϕn, v) Ω ∀v ∈ H 1 (Ω), dẫn đến a(ϕ n , ϕ m ) = à −1 n (ϕ n , ϕ m ) Ω = à −1 n δ nm ∀n, m ≥ 0 Điều này ngụ ý rằng các hàm ψ n := à 1/2 n ϕ n là trực chuẩn trong H 1 (Ω), khi sử dụng dạng song tuyến tính a là tích trong.
Hệ trực chuẩn này đã được xác định đầy đủ vì a(ϕ n , v) = 0 ∀n dẫn đến (ϕ n , v) Ω = 0 ∀n, theo (2.13), điều này ngụ ý rằng v = 0 Với {ψ n } là một chuỗi trực chuẩn đủ trong H 1 (Ω), chúng ta có thể áp dụng đẳng thức Parseval’s để viết a(u, u).
Tuy nhiên, a(u, ψ n ) = à −1 n (u, ψ n ) Ω = à −1/2 n (u, ϕ n ) Ω ∀n, và do đó
X n=0 à −1 n |(u, ϕ n ) Ω | 2 Thực tế {ϕ n } là trực chuẩn đủ trong L 2 (Ω), chúng ta có thể viết
|(u, ϕ n ) Ω | 2 , và do đó, nhớ lại các giá trị riêng của Neumann, ta có
Lưu ý rằng tổng trong (2.14) bắt đầu từ n = 1 do λ 0 = 0 Tính toán này có thể được tóm gọn trong một mệnh đề, đồng thời xem xét một số tính chất ngược lại.
Mệnh đề 2.6 Nếu {(λ n , ϕ n )} là tập hợp tất cả các nghiệm của (2.12), trong đó {ϕ n } được coi là L 2 (Ω) trực chuẩn, khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(c) Chuỗi P∞ n=0(u, ϕn) Ω ϕn hội tụ đến u trong H 1 (Ω).
Chúng ta đã chứng minh rằng (a) ngụ ý (b) Giả sử (b) giữ nguyên, và không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả định rằng (u, ϕ 0) Ω = 0, vì điều này không ảnh hưởng đến sự hội tụ Chúng ta có thể trừ một hằng số từ u mà không làm thay đổi tính chất mịn của nó Xét dãy u N: N.
Chúng ta biết rằng u N → u trong L 2 (Ω) và u N ∈ H 1 (Ω), vì nó là một tổ hợp tuyến tính của hàm riêng Hơn nữa
Có thể dễ dàng chứng minh rằng {u N} là Cauchy trong H 1 (Ω), dẫn đến sự hội tụ trong H 1 (Ω) Sự hội tụ này trong H 1 (Ω) cũng đồng nghĩa với hội tụ trong L 2 (Ω), từ đó suy ra (c) Thực tế rằng (c) kéo theo (a) là điều hiển nhiên Cuối cùng, chúng ta xem xét không gian range G⊂ H 1 (Ω), nơi G = {u ∈ H 1 (Ω) : κ∇u ∈ H(div,Ω), (κ∇u)ãn = 0} Biểu diễn phổ của G và tiêu chuẩn Picard’s (Định lý 2.2) cho thấy rằng range G là tập hợp các u ∈ L 2 (Ω).
Chúng ta có chuỗi Fourier liên quan đến bài toán Neumann u ∞
(u, ϕ n ) Ω ϕ n , có thể được sử dụng để mô tả đặc điểm của hai không gian:
) Định lý 2.2 (Tiêu chuẩn Picard’s) NếuG : X →X là toán tử compact, tự liên hợp, xác định dương với sự phân tích quang phổ
Chứng minh Cho u = Gv ∈ rangeG Chúng ta có thể so sánh hai chuỗi liên kết ∞
X n=1 à n (v, ϕ n )xϕ n , để thấy rằng (u, ϕ n ) X = à n (v, ϕ n ) X Vỡ vậy
Chúng ta có Gv = u ∈ range G, hoàn thành chứng minh Giá trị riêng Dirichlet được định nghĩa bởi hệ phương trình ϕ n ∈ H 0 1 (Ω), với −∇(κ∇ϕ n ) = λ n ϕ n, trong đó {λ n } là dãy số dương không giảm và phân kỳ đến vô cùng Đồng thời, {ϕ n } là một hệ trực chuẩn đủ trong L 2 (Ω), với chuẩn liên quan đến dạng song tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng phân tích quang phổ Dirichlet.
X n=1 λ n |(u, ϕ n ) Ω | 2 Chúng ta có thể mô tả không gian năng lượng H 0 1 (Ω) như sau
) , và miền của toán tử Green được liên kết là range G = u ∈ H 0 1 (Ω) : ∇ ã(κ∇u) ∈ L 2 (Ω)
Chuỗi Fourier cổ điển
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét chuỗi Fourier cổ điển có liên quan đến các bài toán giá trị riêng một chiều của dạng
Phương trình \( u'' = \lambda u \) trong khoảng (0, L) với các điều kiện biên khác nhau được trình bày để người đọc tự tìm hiểu Đặt \( V \) là không gian con đóng của \( H^1(0, L) \), nơi \( H^1(0, L) \) liên tục nhúng trong \( C[0, L] \) Nếu \( u \in V \) và \( \lambda \in \mathbb{R} \), thì điều kiện \( (u', v')_{(0,L)} = \lambda (u, v)_{(0,L)} \) với mọi \( v \in V \) cho thấy phương trình (2.15) được hiểu theo nghĩa phân phối Khi \( \lambda = 0 \), ta có \( u \in P_1 \), tức là \( u(x) = a_0 + a_1 x \) với \( a_0, a_1 \in \mathbb{R} \) Ngược lại, nếu \( \lambda \neq 0 \), \( u \) sẽ liên tục và có thể được biểu diễn trong \( C^2[0, L] \), do đó (2.15) có nghĩa cổ điển Lý thuyết quang phổ Laplacian một chiều bao gồm bài toán Sturm-Liouville, mà từ đó chúng ta sẽ rút ra các chứng minh đơn giản liên quan đến sự hội tụ của chuỗi Fourier.
Giá trị riêng bằng 0 Nếu V ∩ P 0 = {0}, bài toán (2.16) là ’bài toán nghịch đảo giá trị riêng’ cho bài toán tìm giá trị riêng cho toán tử Green
G: L 2 (0, L) → L 2 (0, L) được định nghĩa bởi Gf = u là nghiệm của u ∈ V, (u ′ v ′ ) (0,L) = (f, v) (0,L) ∀v ∈ V (2.17) Trong trường hợp này, tất cả các giá trị riêng được liên kết với (2.16) là hoàn toàn dương và phân kỳ đến vô cùng Nếu P 0 ⊂V, chúng ta cần sửa đổi một chút (2.17) để thêm một tích L 2 thành dạng song tuyến tính: u ∈ V, (u ′ v ′ ) (0, L) + (u, v) (0,L) = (f, v) (0,L) ∀v ∈ V. Điều này thay đổi mối quan hệ giữa các giá trị riêng của G và nghiệm cho (2.16), các giá trị này không chỉ liên quan bởi sự nghịch đảo mà còn bằng sự nghịch đảo và dịch chuyển (Xem các giá trị riêng của Neumann trong các phần trước.) Giá trị riêng λ = 0 (với các hàm riêng không đổi được liên kết) chỉ xuất hiện khi P 0 ⊂ V.
Vết một chiều và đạo hàm thông thường Lưu ý rằng toán tử vết có thể được hiểu là toán tử tuyến tính có giới hạn
H 1 (0, L) ∋ u 7−→ (u(0), u(L)) ∈ R 2 , trong đó chúng ta sử dụng H 1 (0, L) ⊂ C[0, L] với chức năng nhúng liên tục.
Biên Ω = (0, L) xác định tập hợp ∂Ω = Γ = {0, L}, cho phép chúng ta xác định L²(Γ) = R² = H¹/²(Γ) Định mức trên không gian này là không liên quan và tất cả đều tương đương Không gian H(div,Ω) khi
Ω = (0, L) chính là H 1 (0, L) và toán tử thông thường là một vết có dấu
(p ′ , u) (0,L) + (p, u ′ ) (0,L) = −p(0)u(0) +p(L)u(L), đúng với mọi p ∈ H 1 (0, L) = H(div,(0, L)) và u ∈ H 1 (0, L) Đạo hàm chuẩn do đó được định nghĩa trong
Bốn bài toán với các lựa chọn khác nhau của V tạo ra các cặp điều kiện biên và các bài toán giá trị riêng khác nhau Đầu tiên, chúng ta sẽ liệt kê các bài toán cùng với miền của toán tử Green liên quan Tất cả các điều kiện biên có thể được nhận diện trong miền của toán tử Green.
W := rangeG = Gf :f ∈ L 2 (0, L) Tiếp theo, chúng ta sẽ đến với giá trị riêng, hàm riêng và chuỗi Fourier.
(a) Trường hợp V = H 0 1 (0, L) = u ∈ H 1 (0, L) : u(0) = u(1) = 0 bao gồm các điều kiện biên trong định nghĩa không gian Lưu ý rằng các hàm hằng không nằm trong V Miền của toán tử Green là
(b) Không gian V = H 1 (0, L) bao gồm các hàm hằng và trong trường hợp này là
(c) Khi chúng ta chọn V = u ∈ H 1 (0, L) : u(0) = 0 , chúng ta loại trừ các hằng số và miền giới hạn
W = u ∈ H 2 (0, L) : u(0) = u ′ (L) = 0 Trường hợp V = u ∈ H 1 (0, L) : u(L) = 0 rất giống nhau và chúng ta sẽ không xem xét riêng.
(d) Cuối cùng, khi V = u ∈ H 1 (0, L) : u(0) = u(L) , chúng ta lại cho phép các hằng số trong V Miền liên kết của G là
Giá trị riêng Dirichlet và chuỗi sin Trong trường hợp (a) ở trên, các giá trị riêng và hàm riêng có thể được tính toán bằng tay: λ n := nπ
L n ≥ 1. Điều này có nghĩa là các hàm sin là cơ sở Hilbert của L 2 (0, L) và trực giao đầy đủ trong H 0 1 (0, L) Chuỗi Fourier liên quan có thể được viết dưới dạng u ∞
X n=1 ub n sin(nπã/L), (2.18) trong đó ub n = 2
Biểu thức thứ hai thường gặp trong sách giáo khoa sơ cấp về phương trình vi phân, với hệ số chuẩn hóa được chuyển sang hệ số tích phân Chúng ta có thể đặc trưng không gian năng lượng V và W range G dựa trên sự hội tụ của chuỗi sin Fourier.
Trong biểu thức này, không thể sử dụng các hệ số thực (u, ϕ n ) (0,L) và giá trị riêng λ n, nhưng các chuỗi hoạt động vẫn tương tự Nếu u thuộc H 0 1 (0, L), thì chuỗi sin Fourier (2.18) sẽ hội tụ trong H 1 (0, L) và do đó đồng nhất.
Giá trị riêng Neumann và chuỗi cosin Trong trường hợp (b), chúng ta bắt đầu đếm các giá trị riêng từ n = 0 λ n = nπ
2 n ≥0, và viết các hàm chuẩn hóa L 2 (0, L) như sau ϕ 0 (x) r1
Chuỗi Fourier được liên kết thông thường được viết ở dạng u = 1
X n=1 ub n cos(nπã/L), (2.20) trong đó ub n = 2
Hệ số 1/2 đứng trước ub 0 trong (2.20) được viết để thống nhất biểu thức của hệ số cosin Fourier (2.21) Các công thức như (2.19) hiện mô tả không gian
Giá trị riêng Steklov
Bài toán giá trị riêng Steklov là một dạng đặc biệt của bài toán giá trị riêng vi phân, trong đó giá trị riêng λ xuất hiện trong điều kiện biên của hàm u Cụ thể, hàm u thuộc không gian H1(Ω) và thỏa mãn phương trình vi phân ∆u = 0, với điều kiện biên ∂nu = λγu Tất cả các nghiệm của bài toán này đều là các hàm điều hòa Một cách diễn đạt tương đương khác là hàm u cũng thuộc không gian H1(Ω) và thỏa mãn điều kiện (∇u,∇v)Ω = λ⟨γu, γv⟩Γ cho mọi hàm v thuộc H1(Ω).
Các hàm hằng u ∈ P 0 (Ω) là các hàm riêng cho λ = 0 Chúng ta sẽ loại bỏ chúng bằng cách làm việc trên không gian
Một cách để nhận diện sự khác biệt trong bài toán về giá trị riêng là định dạng lại nó dưới dạng phân rã phổ của một toán tử xác định riêng trên biên Chúng ta xác định toán tử N: L²◦(Γ) → L²₀(Γ) với Nₕ := γu, trong đó u thuộc V, và thỏa mãn điều kiện (∇u, ∇v)ₒ = ⟨h, γv⟩₍Γ₎ cho mọi v thuộc V.
Do bất đẳng thức Poincaré ( V không chứa hằng số), (2.23) là một bài toán cưỡng bức và N xác định rõ ràng Từ đó
∥γu∥ Γ ≤ C 1 ∥u∥ 1,Ω ≤C 2 ∥h∥ −1/2,Γ ≤C 3 ∥h∥ Γ ∀h ∈ L 2 0 (Γ), dẫn đến N được giới hạn, và từ đó γ : H 1 (Ω) →L 2 (Γ) là compact, kéo theo
N là compact Ngoài ra, cho h, g ∈ L 2 ◦ (Γ) và các nghiệm tương ứng u, v ∈ V trong (2.23) (sao cho γu = N h, γv = N g ), chúng ta có
⟨h, N g⟩ Γ = ⟨h, γv⟩ Γ = (∇u,∇v) Ω , chứng minh tính đối xứng và tính nửa xác định dương Chúng ta cũng có
⟨h, N h⟩ Γ = ∥∇u∥ 2 Ω Nếu N h = 0, thì u = 0 và do đó
Trong không gian H 1 (Ω), điều kiện ⟨h, γv⟩ Γ = 0 với mọi v ∈ H 1 (Ω) và ⟨h, 1⟩ Γ = 0 cho thấy rằng h = 0, vì H 1/2 (Γ) dày đặc trong L 2 (Γ) Chúng ta có một cơ sở chính thống cho L 2 0 (Γ), được ký hiệu là {g n } n≥1, với các giá trị riêng liên quan đến n > 0 giảm dần về 0 Ngoài ra, chúng ta bổ sung giá trị riêng bằng 0 và g 0 ≡ |Γ| −1/2, để thiết lập một cơ sở Hilbert đầy đủ cho không gian này.
L 2 (Γ) = P 0 (Γ)⊕L 2 ◦ (Γ) và các phép phân tách trực giao g = 1
⟨g, g n ⟩ Γ g n ∀g ∈ L 2 (Γ) (2.24) Toán tử N có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi như
X n=1 àn⟨g, g n ⟩ Γ gn, với sự nhận biết rằng nó đã được mở rộng để triệt tiêu trên các hàm không đổi.
Các hàm riêng Steklov được liên kết với bài toán giá trị riêng Steklov thông qua các hàm riêng {g n} của toán tử N Cụ thể, nếu ϕn ∈ V là hàm điều hòa sao cho N gn = γϕn, ta có g n = à −1 n γϕ n Do đó, ϕ n thuộc H 1 (Ω) và thỏa mãn ∆ϕ n = 0, ∂ n ϕ n = à −1 n γϕ n Thêm vào đó, hàm riêng ϕ 0 tương ứng với giá trị riêng bằng không được định nghĩa là |Γ| −1/2 Khi đặt λ 0 = 0 và λ n = à −1 n, ta nhận thấy rằng (2.22) có một chuỗi các giá trị riêng thực đếm được, phân kỳ đến vô cùng Cuối cùng, chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của các hàm riêng liên quan {ϕ n }, trong đó n ≥ 1, ϕn ∈ H 1 (Ω) và γϕn ∈ L 2 o (Γ).
(∇ϕ n ,∇ϕ m ) Ω = ⟨g n , N g m ⟩ Γ = à n δ nm , n, m ≥ 1. Điều này có nghĩa là {ϕ n } n≥0 trực giao với tích bên trong a(u, v) := (∇u,∇v) Ω + ⟨1, γu⟩ Γ (1, γv⟩ Γ , tương đương với tích bên trong thông thường tính bằng H 1 (Ω) Nếu v ∈
H 1 (Ω) là a-trực giao với mọi ϕ n , thì γv ∈ L 2 o (Γ) (trực giao với ϕ 0 ) và
Do đó γv = 0 và v ∈ H 0 1 (Ω) Ngược lại, nếu v ∈ H 0 1 (Ω), thì (nhớ rằng
= u ∈ H 1 (Ω) : (∇u,∇v) Ω = 0 ∀v ∈ H 0 1 (Ω) = u ∈ H 1 (Ω) : ∆u = 0 do đó là bao đóng của các hàm riêng Steklov và các hàm ψ 0 := ϕ 0 và ψ n := à −1/2 n ϕ n tạo thành cơ sở Hilbert của H.
Xem xét không gian vết và nghiên cứu tính chất hội tụ của chuỗi trực giao Chúng ta phân tích u ∈ H trong không gian H 1 (Ω), với u ∞.
X n=1 à −1 n ⟨g n , γu⟩ Γ ϕn, vỡ ∂ n ϕ n = à −1 n γϕ n = à −1 n N g n = g n Bõy giờ chỳng ta lấy vết, sử dụng lại à −1 n γϕ n = g n , và hội tụ trong H 1/2 (Γ) cho chuỗi sau γu = |Γ| −1 ⟨1, γu⟩ Γ +
⟨g n , γu⟩ Γ g n Điều này chứng tỏ rằng g ∈ H 1/2 (Γ) khi và chỉ khi chuỗi trên là chuỗi trực giao trong L 2 (Γ), hội tụ tại H 1/2 (Γ).
Những tìm hiểu ban đầu về phép nội suy
Chúng ta sẽ áp dụng các định lý nội suy trong không gian Hilbert bằng cách sử dụng tập hợp các chuỗi trực giao hội tụ đồng thời đã được giới thiệu Bắt đầu với không gian Hilbert X0, với tích bên trong được ký hiệu là (u, v)0 và {ϕn} là một Hilbert nền tảng, cho thấy rằng X0 có khả năng tách biệt Chúng ta xét dãy số thực dương {λn} không giảm và phân kỳ, và với s ∈ (0,1], chúng ta sẽ xác định không gian tương ứng.
Các không gian Xs được chứng minh là không gian Hilbert, liên tục được nhúng vào X0 Dãy {ϕn} là trực giao và đầy đủ trong mọi không gian Xs Hơn nữa, một phần tử u ∈ X0 sẽ thuộc Xs nếu và chỉ nếu chuỗi u hội tụ.
(u, ϕn) 0 ϕn hội tụ theo chuẩn ∥ ã ∥ s Mục tiờu của phần này là chứng minh kết quả sau.
Mệnh đề 2.7 Nếu A : X 0 → X 0 bị chặn, Au ∈ X 1 với mọi u ∈ X 1 ,
A: X 1 →X 1 cũng bị chặn, thì A : X 1/2 →X 1/2 bị chặn và
Một kết quả tương tự có thể áp dụng cho các "không gian trung gian" khác Chúng ta có thể tìm thấy ví dụ với X 0 = L 2 (Ω), X 1 = range G (với G là toán tử Green), và X 1/2 là không gian Sobolev liên quan đến công thức biến phân dùng để xác định G Đặt Tn := span{ϕ 1 , , ϕ n } và định nghĩa phép biến đổi Λ : X 0 → X 1/2 bởi Λu : ∞.
X n=1 λ −1/2 n (u, ϕ n ) 0ϕ n , sao cho ∥Λu∥ 1/2 = ∥u∥ 0 Suy ra Λ là một đẳng cấu đẳng cự, Λϕ n = λ −1/2 n ϕ n và do đó không gian Tn là bất biến dưới tác động của Λ Chúng ta cũng có Λ 2 u
1 = ∥u∥ 0 Xem xét các toán tử thu gọn (các phép chiếu trực giao)
(u, ϕ j ) 0 ϕ j và lưu ý rằng ∥P n u∥ 1 ≤ ∥u∥ 1 với mọi u ∈ X1 Xem xét các toán tử
T n : T n →T n , tuyến tính và có giới hạn, theo bất kỳ chuẩn nào, vì chúng đang ở trong các chiều hữu hạn.
Bổ đề 2.8.1 Với mọi n ≥1, ta có
1 →X 1∥u∥ 1/2 ∀u ∈ T n Chứng minh Chúng ta xác định các phần tử của T n với các vectơ hệ số
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một ma trận A biểu diễn An và ma trận D biểu diễn Λ −1 | T n với cơ sở {ϕ 1 , , ϕ n } Chúng ta lưu ý rằng ∥u∥ 0 = |u| và sử dụng chuẩn phổ của ma trận, được định nghĩa là ∥B∥ 2 = ρ(B ∗ B), trong đó B ∗ là chuyển vị liên hợp và ρ là bán kính quang phổ Cuối cùng, chúng ta có thể viết sup để tổng hợp các kết quả.
≤ ∥A ∗ ∥ 1/2 D 2 AD 2 1/2 = ∥A∥ 1/2 D 2 AD 2 1/2 , chúng ta sử dụng ρ(B) ≤ ∥B∥ Tuy nhiên
1 →X 1 , bổ đề được chứng minh □
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận văn đã trình bày
• Tổng hợp các kiến thức cơ bản để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng
• Các tính chất về giá trị riêng của hàm
• Giải một số ví dụ về phương trình truyền nhiệt bằng phương pháp tách biến Fourier.
Mặc dù thời gian thực hiện khóa luận có hạn và kiến thức của tác giả còn nhiều thiếu sót, nhưng tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc để cải thiện chất lượng bài viết.