Bài giảng xác xuất thống kê ( sinh viên ngành sinh học 2 tín chỉ )

Lóc â, méi bi¸n cè l mët tªp con cõa khæng gian m¨u... Lªp b£ng ph¥nphèi cõa X... Giîi thi»uStatistics is the discipline that concerns the collection, organization, analysis, interpretat

Trang 1

I HÅC NNG TR×ÍNG I HÅC S× PHM

Tæn Th§t Tó

BI GING XC SUT THÈNG K

(Sinh vi¶n ng nh Sinh håc - 2 t½n ch¿)

z α α

N®ng - 08/2022

Trang 2

- Ch÷ìng 2 Bi¸n ng¨u nhi¶n

- Ch÷ìng 3: Vectì ng¨u nhi¶n

- Ch÷ìng 4: Thèng k¶ mæ t£

- Ch÷ìng 5: ×îc l÷ñng tham sè

- Ch÷ìng 6: Kiºm ành gi£ thuy¸t thèng k¶

- Ch÷ìng 7: T÷ìng quan v hçi quy

* T i li»u tham kh£o:

1 L¶ V«n Dông (2014), B i gi£ng thèng k¶ thüc h nh L÷u h nh nëi bë

2 Tæn Th§t Tó, L¶ V«n Dông, Nguy¹n Thà H£i Y¸n (2019), Thèng k¶ to¡n, NXBThæng tin v Truy·n thæng

* Cæng cö: M¡y t½nh bä tói, Excel

Tæn Th§t Tó - 2022 Ch÷ìng 1: X¡c su§t 2/32

Ch÷ìng 1: X¡c su§t

1 Bi¸n cè v ành ngh¾a x¡c su§t

Khæng gian m¨u v bi¸n cè

C¡c kh¡i ni»m x¡c su§t

Trang 3

1.1 Bi¸n cè v ành ngh¾a x¡c su§t

1.1.1 Khæng gian m¨u v bi¸n cè

✓ Chån ng¨u nhi¶n 1 ng y trong th¡ng 1: Ω = {1, 2, , 31}

✓ Do nhi»t ë khæng kh½ t¤i thíi iºm 9h s¡ng: Ω = (−∞, +∞)

- Bi¸n cè : hi»n t÷ñng câ thº x£y ra ho°c khæng x£y ra trong th½ nghi»m ng¨u nhi¶n K½hi»u: A,B,C,

- K¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A: k¸t qu£ x£y ra k²o theo bi¸n cè A x£y ra

- Méi bi¸n cè ÷ñc çng nh§t vîi tªp c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cõa nâ Lóc â, méi bi¸n

cè l mët tªp con cõa khæng gian m¨u

- Bi¸n cè A ÷ñc xem l x£y ra n¸u câ ½t nh§t mët k¸t qu£ trong A xu§t hi»n

- Bi¸n cè sì c§p: bi¸n cè m tªp c¡c k¸t qu£ thuªn lñi ch¿ gçm 1 ph¦n tû

- Khæng gian m¨u: Khæng gian c¡c bi¸n cè sì c§p

V½ dö 3

Tung ng¨u nhi¶n 2 çng xu Lóc â:

✓ Khæng gian m¨u: Ω = {SS, SN, NS, NN}

✓ Hi»n t÷ñng (sü ki»n) "Câ m°t s§p xu§t hi»n" l bi¸n cè ng¨u nhi¶n K½ hi»u A

✓ Gi£ sû khi thüc hi»n, k¸t qu£ SN xu§t hi»n i·u n y k²o theo bi¸n cè A x£y ra.K¸t qu£ SN ÷ñc gåi l k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A

✓ Tªp c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A: {SN, NS, SS} Lóc â, ta biºu di¹n bi¸n cè A:

tùc A l mët tªp con cõa Ω

✓ Khi thüc hi»n ph²p thû, n¸u x£y ra ½t nh§t mët trong c¡c k¸t qu£ (cõa A): SS,

SN, NS th¼ ta b£o bi¸n cè A x£y ra

✓ C¡c bi¸n cè {SS}, {SN}, {NS}, {NN} l c¡c bi¸n cè sì c§p

V½ dö 4

Câ 3 håc sinh A, B, C ÷ñc x¸p ng¨u nhi¶n th nh 1 h ng dåc

Khi â: Ω = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Lóc â, ta câ:

- K¸t qu£ BAC, CAB l thuªn lñi cho bi¸n cè A ùng giúa

- Tªp c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A ùng giúa: {BAC, CAB}

- N¸u k¸t qu£ BAC xu§t hi»n, ta b£o bi¸n cè A ùng giúa x£y ra

Trang 4

C¡c bi¸n cè °c bi»t: - Bi¸n cè khæng thº (∅): l bi¸n cè khæng thº x£y ra

- Bi¸n cè chc chn (Ω): l bi¸n cè luæn x£y ra

Ch¯ng h¤n, gieo ng¨u nhi¶n 2 con xóc xc Lóc â:

- bi¸n cè "têng sè ch§m xu§t hi»n lîn hìn 12" l bi¸n cè khæng thº

- bi¸n cè "têng sè ch§m xu§t hi»n lîn hìn 1" l bi¸n cè chc chn

b C¡c ph²p to¡n tr¶n bi¸n cè

Cho hai bi¸n cè A v B Khi â:

- Bi¸n cè èi cõa A, k½ hi»u ¯A ho°c Ac l bi¸n cè x£y ra n¸u A khæng x£y ra

- Giao cõa A v B, k½ hi»u A ∩ B, AB l bi¸n cè x£y ra n¸u A v B çng thíi x£y ra

- Hñp cõa A v B, k½ hi»u A ∪ B l bi¸n cè x£y ra n¸u ½t nh§t A ho°c B x£y ra

- Hai bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l xung khc n¸u chóng khæng çng thíi x£y ra

Nhªn x²t:

- Hai bi¸n cè A v B xung khc khi v ch¿ khi AB = ∅

- Hai bi¸n cè èi nhau th¼ xung khc vîi nhau, nh÷ng i·u ng÷ñc l¤i nâi chung l khæng

- C£ hai vi¶n ¤n tróng ½ch: A ∩ B ho°c AB

- C£ hai vi¶n ¤n khæng tróng ½ch: A ∩ B ho°c A B

- Câ ¤n tróng ½ch: A ∪ B

- Ch¿ câ ng÷íi thù nh§t bn tróng: A ¯B

- Câ óng 1 vi¶n ¤n tróng ½ch: A ¯B∪ ¯AB

1.1.2 C¡c kh¡i ni»m x¡c su§t

ành ngh¾a (quan iºm cê iºn):

Cho th½ nghi»m vîi n(Ω) < +∞ k¸t qu£ çng kh£ n«ng, trong â câ n(A) k¸t qu£thuªn lñi cho bi¸n cè A Khi â, x¡c su§t cõa bi¸n cè A, k½ hi»u P (A), ÷ñc x¡c ành:

Trang 5

b) Gåi B l bi¸n cè "l§y ÷ñc 4 bi còng m u".

C4

6+ C4 4

C104c) Gåi C l bi¸n cè "l§y ÷ñc c£ hai lo¤i bi"

Ð mët cæng ty câ 20 ng÷íi, trong â câ 12 nam v 8 nú Trong ñt ti¶m vacxin covid-19

ñt 1, cæng ty ÷ñc chån ng¨u nhi¶n 6 ng÷íi i ti¶m T½nh x¡c su§t:

ành ngh¾a (quan iºm thèng k¶):

X²t bi¸n cè A Thüc hi»n ph²p thû n l¦n th¼ câ m l¦n xu§t hi»n bi¸n cè A Khi â t¿ sè

fn= m/n÷ñc gåi l t¦n su§t xu§t hi»n A Khi sè ph²p thû t«ng l¶n væ h¤n, t¦n su§t

fn s³ ti¸n ¸n mët h¬ng sè x¡c ành H¬ng sè n y ÷ñc gåi l x¡c su§t cõa bi¸n cè A.V¼ th¸, trong thüc t¸ khi sè ph²p thû n lîn, ta câ thº xem t¦n su§t fn nh÷ l x¡c su§tcõa xu§t hi»n bi¸n cè A

Trang 6

ành ngh¾a (theo h» ti¶n ·):

Cho tr÷îc mët th½ nghi»m vîi khæng gian m¨u Ω Khi â, x¡c su§t cõa mët bi¸n cè A,k½ hi»u P (A), l sè o kh£ n«ng x£y ra bi¸n cè A

Ùng vîi méi bi¸n cè A ta °t t÷ìng ùng vîi gi¡ trà P (A) thäa c¡c i·u ki»n sau:

(i) Vîi måi bi¸n cè A, P (A) ≥ 0

Lóc â P (A) ÷ñc gåi l x¡c su§t cõa bi¸n cè A

Nhªn x²t: Trong mët sè tr÷íng hñp, tòy v o khæng gian m¨u công nh÷ c¡c thi¸t lªp

"t÷ìng ùng" P m ta s³ thu ÷ñc mët v i ành ngh¾a x¡c su§t kh¡c

1.2 C¡c ph²p to¡n tr¶n x¡c su§t

T½nh ch§t

i) P (∅) = 0, P (Ω) = 1

ii) 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A

iii) N¸u A, B xung khc th¼ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Nâi ri¶ng, ta luæn câ: P ( ¯A) = 1− P (A)

1.2.1 ành lþ cëng

Cho hai bi¸n cè A, B Khi â:

Têng qu¡t hìn, vîi 3 bi¸n cè A, B, C b§t ký:

Trang 7

V½ dö 10

Mët ëi bâng b n cõa 1 ìn và gçm 2 vªn ëng vi¶n A v B X¡c su§t A, B v÷ñt quaváng b£ng l¦n l÷ñt l 0,7 v 0,5 Do £nh h÷ðng t¥m lþ n¶n x¡c su§t c£ hai ng÷íi ·uv÷ñt qua váng b£ng l 0,4 T½nh x¡c su§t câ ½t nh§t 1 vªn ëng vi¶n v÷ñt qua vángb£ng

Gi£i Gåi A, B l c¡c bi¸n cè vªn ëng vi¶n A, B v÷ñt qua váng b£ng Ta câ:

P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 5; P (AB) = 0, 4X¡c su§t câ ½t nh§t 1 vªn ëng vi¶n v÷ñt qua váng b£ng:

= 0, 7 + 0, 5− 0, 4 = 0, 8

V½ dö 11

Mët læ h ng câ 15 thi¸t bà, trong â câ 6 thi¸t do nh m¡y X s£n xu§t v 9 thi¸t bà do

nh m¡y Y s£n xu§t Ng÷íi ta chån ng¨u nhi¶n 4 thi¸t bà º kiºm tra T½nh x¡c su§t câ

½t nh§t mët thi¸t bà ÷ñc chån do nh m¡y X s£n xu§t

Gi£i Gåi B l bi¸n cè câ ½t nh§t mët thi¸t bà ÷ñc chån do nh m¡y X s£n xu§t Ta câ:

P (B) = 1− P ( ¯B) = 1− C

4 9

C4 15

1.2.2 X¡c su§t câ i·u ki»n

Mët læ h ng tivi vîi c¡c sè li»u sau:

- Khi khæng câ thæng tin, d¹ th§y x¡c su§t n y l 13/40

- V¼ bi¸t chån ÷ñc tivi LG n¶n ta "thu hµp" ph¤m vi quan s¡t v ch¿ t½nh ¸n lo¤i tivi

LG Lóc â, kh£ n«ng chån ÷ñc tivi häng vîi "i·u ki»n" l tivi LG b¬ng 5/20=1/4

BIT IU KIN XY RA → XC SUT THAY ÊI

Trang 8

ành ngh¾a:

Cho hai bi¸n cè A v B vîi P (B) > 0 Khi â, x¡c su§t câ i·u ki»n cõa A vîi i·u ki»nbi¸n cè B ¢ x£y ra, k½ hi»u P (A|B), x¡c ành nh÷ sau:

P (A|B) = P (AB)P (B)T½nh ch§t:

a) Cæng ty thng th¦u dü ¡n A bi¸t ¢ thng th¦u dü ¡n B

b) Cæng ty khæng thng th¦u dü ¡n B bi¸t ¢ thng th¦u dü ¡n A

Gi£i Gåi A, B l c¡c bi¸n cè cæng ty thng dü ¡n A, B Theo gi£ thi¸t:

P (A) = 0, 6; P (B) = 0, 7; P (AB) = 0, 5

a P (A|B) = P (AB)/P (B) = 5/7

b P ( ¯B|A) = 1 − P (B|A) = 1 − P (AB)/P (A) = 1 − 5/6 = 1/6

B¼nh luªn Ta câ: P (A|B) = 5/7 > P (A) = 0, 6 Nh÷ vªy, vi»c bi¸t bi¸n cè B x£y ra

¢ l m t«ng x¡c su§t x£y ra bi¸n cè A, hay nâi c¡ch kh¡c, vi»c thng dü ¡n B l câ lñicho qu¡ tr¼nh §u th¦u dü ¡n A

Nhªn x²t

Trong mët sè tr÷íng hñp, x¡c su§t câ i·u ki»n P (A|B) câ thº ÷ñc t½nh düa v o vi»c

"¸m trüc quan", tùc l ta thu hµp tªp c¡c k¸t qu£ sau khi bi¸n cè B x£y ra v ¸m l¤i

sè k¸t qu£ çng kh£ n«ng, sè k¸t qu£ thuªn lñi º t½nh x¡c su§t câ i·u ki»n

Ch¯ng h¤n, ta quay l¤i vîi v½ dö v· tivi Sony v LG V¼ bi¸t chån ÷ñc tivi LG n¶n tªpk¸t qu£ thu hµp v· 20 tivi LG Ch¿ câ 5 tivi LG bà häng, n¶n x¡c su§t chån ÷ñc tivihäng khi bi¸t â l tivi b¬ng 5/20=1/4

Trang 9

V½ dö 13

Theo thèng k¶ t¤i mët nh s¡ch, câ 30% kh¡ch häi nh¥n vi¶n b¡n h ng nh÷ng ch¿ câ12% kh¡ch vøa häi nh¥n vi¶n vøa mua s¡ch N¸u bi¸t kh¡ch ¢ häi nh¥n vi¶n b¡n h ngth¼ x¡c su§t ng÷íi n y mua s¡ch l bao nhi¶u?

Gi£i:

Gåi A l bi¸n cè ng÷íi ÷ñc chån häi nh¥n vi¶n

B l bi¸n cè ng÷íi ÷ñc chån mua s¡ch

Theo gi£ thi¸t:

P (A) = 0.3; P (AB) = 0.12X¡c su§t c¦n t¼m:

P (B|A) = P (AB)P (A) = 0.12

1.2.3 ành lþ nh¥n

Cho hai bi¸n cè A v B vîi P (A) > 0, P (B) > 0 Khi â:

Têng qu¡t: Cho n bi¸n cè Ai vîi P (A1A2 An −1) > 0 Khi â:

Gi£i:

Gåi A l bi¸n cè ng÷íi ÷ñc chån hót thuèc,

B l bi¸n cè ng÷íi ÷ñc chån bà b»nh v· phêi

Theo gi£ thi¸t, ta câ:

X¡c su§t ng÷íi n y hót thuèc v çng thíi bà b»nh v· phêi:

P (AB) = P (A).P (B|A) = 0, 3 ∗ 0, 6 = 0, 18

Trang 10

V½ dö 15

Mët cæng ty §u th¦u 2 dü ¡n A v B X¡c su§t thng th¦u l¦n l÷ñt l 0.7 v 0.4 N¸u

dü ¡n A ¢ thng th¦u th¼ x¡c su§t thng ti¸p dü ¡n B l 0.4 T½nh x¡c su§t:

- Hai bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l ëc lªp n¸u P (AB) = P (A).P (B)

- D¢y n bi¸n cè A1, , An ÷ñc gåi l ëc lªp n¸u ta l§y ra mët d¢y b§t k¼ c¡c bi¸n cèkh¡c nhau tø c¡c bi¸n cè tr¶n th¼ x¡c su§t cõa t½ch c¡c bi¸n cè n y b¬ng t½ch x¡c su§tcõa tøng bi¸n cè th nh ph¦n, ngh¾a l :

Hai bi¸n cè A v B ëc lªp ⇔ P (A|B) = P (A) ho°c P (B|A) = P (B)

i·u n y câ ngh¾a hai bi¸n cè ëc lªp th¼ vi»c x£y ra hay khæng x£y ra cõa bi¸n cè n ykhæng £nh h÷ðng g¼ ¸n vi»c x£y ra hay khæng x£y ra cõa bi¸n cè kh¡c

Trang 11

V½ dö 17

Mët · thi câ 2 c¥u häi ëc lªp Mët sinh vi¶n v o thi vîi kh£ n«ng tr£ líi óng c¥u 1

v 2 l¦n l÷ñt l 0.3 v 0.8 T½nh x¡c su§t sinh vi¶n n y:

- Quy tc nh¥n: Cæng vi»c A ÷ñc thüc hi»n qua m giai o¤n li¶n ti¸p

* Giai o¤n 1: câ n1 c¡ch

* Giai o¤n 2: câ n2 c¡ch

* Giai o¤n m: câ nm c¡ch

Sè c¡ch thüc hi»n cæng vi»c A:

n ∗ n ∗ ∗ n

Trang 12

V½ dö 18

Mët nhâm câ 10 håc sinh, trong â câ 6 nam v 4 nú Häi câ bao nhi¶u c¡ch:

a) X¸p th nh 1 h ng dåc

b) Chån mët nhâm câ 4 håc sinh ·u câ nam v nú vîi sè l÷ñng kh¡c nhau

c) Chån mët nhâm câ 4 håc sinh trong â câ ½t nh§t mët nú

6C3

4+ C3

6C1 4

- G 2: Chån chú sè cho 2 và tr½ cán l¤i, méi và tr½ câ 9 c¡ch n¶n sè c¡ch: 92

Vªy, theo quy tc nh¥n: C3

Trang 13

Ch÷ìng 2 Bi¸n ng¨u nhi¶n

1 Kh¡i ni»m bi¸n ng¨u nhi¶n v h m ph¥n phèi

Kh¡i ni»m bi¸n ng¨u nhi¶n

H m ph¥n phèi

2 Bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c v c¡c sè °c tr÷ng

Bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c

Tæn Th§t Tó - 2022 Ch÷ìng 2 Bi¸n ng¨u nhi¶n 2/41

2.1 Kh¡i ni»m bi¸n ng¨u nhi¶n v h m ph¥n phèi

2.1.1 Kh¡i ni»m bi¸n ng¨u nhi¶n

- Bi¸n ng¨u nhi¶n X l mët ¤i l÷ñng câ thº nhªn gi¡ trà n y hay gi¡ trà kh¡c phö thuëc

v o k¸t qu£ cõa ph²p thû ng¨u nhi¶n

- Tªp hñp t§t c£ c¡c gi¡ trà m bi¸n ng¨u nhi¶n X câ thº nhªn ÷ñc ÷ñc k½ hi»u X(Ω)

- BNN ríi r¤c: BNN câ tªp gi¡ trà câ sè l÷ñng húu h¤n ho°c væ h¤n ¸m ÷ñc

- BNN li¶n töc: tªp gi¡ trà t¤o th nh 1 o¤n, kho£ng ho°c hñp c¡c o¤n, kho£ng

Ch¯ng h¤n ð V½ dö 1, X, Y l c¡c BNN ríi r¤c, cán Z l BNN li¶n töc

2.1.2 H m ph¥n phèi

bi¸n ng¨u nhi¶n X

(−∞, x)

T½nh ch§t:

i) 0 ≤ FX(x)≤ 1, ∀x ∈ R; ii) FX(x) ìn i»u khæng gi£m vîi måi x ∈ R;

iii) FX(x)li¶n töc tr¡i vîi måi x; iv) lim

x →−∞FX(x) = 0Nhªn x²t:

Trang 14

2.1.3 Sü ëc lªp cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

- Hai bi¸n ng¨u nhi¶n X v Y ÷ñc gåi l ëc lªp n¸u c¡c bi¸n cè (X < a) v (Y < b)

ëc lªp vîi måi c°p gi¡ trà (a, b), tùc l :

P (X < a, Y < b) = P (X < a)P (Y < b)

- Nhâm n bi¸n ng¨u nhi¶n {X1, X2, , Xn} ÷ñc gåi l ëc lªp n¸u c¡c bi¸n cè (X1<

a1), , (Xn < an)ëc lªp vîi måi bë gi¡ trà (a1, a2, , an)

2.2 Bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c v c¡c sè °c tr÷ng

2.2.1 Bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c

Cho X l bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c vîi tªp gi¡ trà X(Ω) Khi â, h m

p(x) =

(

÷ñc gåi l h m khèi x¡c su§t (probability mass function)

Trong tr÷íng hñp X(Ω) = {x1, , xn} húu h¤n v pi= P (X = xi), ta câ b£ng ph¥nphèi x¡c su§t:

Trang 15

V½ dö 3

Mët læ s£n ph©m câ 12 s£n ph©m, trong â câ 8 ch½nh ph©m v 4 ph¸ ph©m L§y ng¨unhi¶n 2 s£n ph©m Gåi X l sè ch½nh ph©m trong 2 s£n ph©m l§y ra Lªp b£ng ph¥nphèi cõa X

Gi£i Ta câ X l bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c nhªn c¡c gi¡ trà: 0, 1, 2

P (X = 0) = C42/C122 = 1/11

P (X = 1) = C81C41/C122 = 16/33

P (X = 2) = C82/C122 = 14/33B£ng ph¥n phèi x¡c su§t:

2.2.2 C¡c sè °c tr÷ng

Cho X câ ph¥n phèi ríi r¤c vîi ph¥n phèi x¡c su§t P (X = xk) = pk, k = 1, 2,

a) Ký vång to¡n: Ký vång to¡n cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X, k½ hi»u E(X), l mët sè ÷ñcx¡c ành nh÷ sau:

cõa X, k½ hi»u l DX (hay V ar(X), V (X)), tùc l :

c) Sè mèt: Sè mèt cõa X, k½ hi»u mod(X) l gi¡ trà cõa X t÷ìng ùng vîi x¡c su§tlîn nh§t

d) Trung và: Trung và cõa X, k½ hi»u med(X) l gi¡ trà thäa:

P (X < med(X))≤ 12 v P (X > med(X)) ≤ 12

T½nh ch§t cõa ký vång:

i) E(c) = c vîi c l h¬ng sè

ii) E(cX) = cE(X) vîi c l h¬ng sè

iii) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ) vîi måi bi¸n ng¨u nhi¶n X, Y

iv) E(XY ) = E(X).E(Y ) n¸u X, Y ëc lªp

T½nh ch§t cõa ph÷ìng sai:

i) D(c) = 0 vîi c l h¬ng sè

ii) D(cX) = c2D(X) vîi c l h¬ng sè

iv) D(X ± Y ) = D(X) + D(Y ) vîi X, Y ëc lªp

Þ ngh¾a:

i) K¼ vång cõa bi¸n ng¨u nhi¶n thº hi»n gi¡ trà trung b¼nh cõa bi¸n ng¨u nhi¶n â, tùc

l khi thüc hi»n mët sè lîn l¦n c¡c ph²p thû th¼ gi¡ trà trung b¼nh thu ÷ñc cõa c¡c k¸tqu£ s³ x§p x¿ vîi k¼ vång

ii) Ph÷ìng sai công nh÷ ë l»ch chu©n l ¤i l÷ñng °c tr÷ng cho mùc ë tªp trung cõac¡c gi¡ trà cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X quanh ký vång EX Ph÷ìng sai c ng lîn th¼ c¡c gi¡

Trang 16

Nhªn x²t: Trong thüc h nh, ph÷ìng sai ÷ñc t½nh: D(X) = E(X2)− (EX)2, vîi:

Gi£i Gåi X (ng n çng) l sè ti·n sinh vi¶n n y ph£i tr£ Ta câ X nhªn c¡c gi¡ trà: 4,

5 v 6 Ta câ: P (X = 4) = C2

7/C102 = 7/15; P (X = 5) = C71C31/C102 = 7/15; P (X =6) = C32/C102 = 1/15

B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X:

2.3 Mët sè luªt ph¥n phèi x¡c su§t ríi r¤c thæng döng

T½nh ch§t: N¸u X ∼ Ber(p) th¼ E(X) = p v DX = p(1 − p)

Þ ngh¾a: Ph¥n phèi Bernoulli th÷íng ÷ñc sû döng º mæ t£ ph¥n phèi cõa ¤i l÷ñngch¿ nhªn 2 gi¡ trà: ¤t/khæng ¤t, çng þ/khæng çng þ, ho n th nh/ch÷a ho n th nh,th÷ r¡c/khæng ph£i th÷ r¡c,

Trang 17

2.3.2 Ph¥n phèi nhà thùc

ành ngh¾a: Bi¸n ng¨u nhi¶n X ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi nhà thùc vîi tham sè n v p,k½ hi»u X ∼ B(n, p) n¸u X nhªn c¡c gi¡ trà {0, 1, 2, , n} vîi x¡c su§t:

P (X = k) = Cnkpk(1− p)n−k, k = 0, nT½nh ch§t: N¸u X ∼ B(n, p) th¼ E(X) = np, D(X) = np(1 − p)

Nhªn x²t:

i) B(1, p) ch½nh l ph¥n phèi Ber(p)

ii) X²t d¢y n ph²p thû ëc lªp, trong méi ph²p thû bi¸n cè A xu§t hi»n vîi x¡c su§t

p = P (A) cè ành Lóc â, n¸u gåi X l bi¸n ng¨u nhi¶n ch¿ sè l¦n xu§t hi»n bi¸n cè

a) T½nh x¡c su§t câ óng 10 gia ¼nh câ tivi

b) T½nh x¡c su§t º câ ½t nh§t 2 gia ¼nh câ tivi

a) T¼m x¡c su§t º sinh vi¶n â tr£ líi óng 3 c¥u

b) T¼m sè iºm trung b¼nh m sinh vi¶n â ¤t ÷ñc

Gi£i Gåi X l sè c¥u tr£ líi óng cõa sinh vi¶n n y Ta câ: X ∼ B(n = 5; p = 0, 6)

50, 630, 42

b Gåi Y l sè iºm sinh vi¶n n y ¤t ÷ñc

Ta câ: Y = 4X − 2(5 − X) = 6X − 10

Sè iºm trung b¼nh sinh vi¶n n y ¤t ÷ñc:

Trang 18

T½nh ch§t: N¸u X ∼ P ois(λ) th¼ E(X) = λ, D(X) = λ.

Nhªn x²t: Trong thüc t¸ ph¥n phèi Poisson ph£n ¡nh ph¥n phèi sè l÷ñng c¡c bi¸n cèxu§t hi»n trong mët kho£ng thíi gian (sè cuëc i»n tho¤i gåi ¸n têng i, sè kh¡ch

h ng ¸n rót ti·n tø mët ng¥n h ng, )

V½ dö 8

Sè kh¡ch ¸n si¶u thà A trong 2 phót l bi¸n ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi Poisson vîi tham

sè λ = 3 T½nh x¡c su§t trong 2 phót câ:

2.4 Bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc v c¡c sè °c tr÷ng

2.4.1 H m mªt ë

Bi¸n ng¨u nhi¶n X ÷ñc gåi l li¶n töc n¸u vîi måi a < b tçn t¤i h m f(x):

P (a≤ X < b) =

Z b a

ii) P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) =Rbf (x)dx

Trang 19

f (x)dx =

Z 1 1/2

2xdx = 3/4

2.4.2 C¡c sè °c tr÷ng

Cho X câ ph¥n phèi li¶n töc vîi h m mªt ë f(x)

a) Ký vång to¡n: Ký vång to¡n cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X, k½ hi»u E(X), l mët sè ÷ñcx¡c ành nh÷ sau:

E(X) =

−∞

xf (x)dx

cõa X, k½ hi»u l DX (hay V ar(X), V (X)), tùc l :

c) Sè mèt: Sè mèt cõa X, k½ hi»u mod(X) l gi¡ trà m t¤i â h m mªt ë f(x) ¤tgi¡ trà lîn nh§t

Trang 20

d) Trung và: Trung và cõa X, k½ hi»u med(X) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:

x2∗ 2xdx = 1/2

2.5 Mët sè luªt ph¥n phèi x¡c su§t li¶n töc thæng döng

Trang 21

2πe

−(x2σ2−µ)2, x∈ R

Nhªn x²t:

Φ(x) = P (Z < x)ii) Φ(−x) = 1 − Φ(x), ∀x ∈ R

Mët v i gi¡ trà hay sû döng:

Φ(0) = 0, 5; Φ(1/2) = 0, 691; Φ(1) = 0, 841; Φ(2) = 0, 977Gi¡ trà tîi h¤n: Gi¡ trà tîi h¤n mùc α cõa ph¥n phèi chu©n tc ÷ñc k½ hi»u zα, tùc l :

P (Z > zα) = α hay zα= Φ−1(1− α)Gi¡ trà zα ÷ñc tra ð b£ng

Trang 22

2) CASIO FX570ES, FX570ES - PLUS, FX570VN - PLUS:

- V o Mode t¼m 1-Var: Mode → 3(Stat) → 1(1 − V ar) → AC

- Shift → 1(Stat) → 5(Distr) → 1

ii) N¸u X ∼ N(µ, σ2) th¼ Y = aX + b ∼ N(aµ + b, a2σ2), a̸= 0

N (µi, σ2i), i = 1, n th¼ bi¸n ng¨u nhi¶n X = X1 + X2 + + Xn công câ ph¥n

Trang 23

Gi£i:

Theo gi£ thi¸t, ta câ: X ∼ N(µ, σ2), vîi µ = 165 (cm) v σ = 5 (cm)

T¿ l» ng÷íi câ chi·u cao n¬m trong kho£ng (160; 170) (cm):

Trang 24

2.5.3 Ph¥n phèi χ2

ành ngh¾a: Cho X1, X2, , Xn l c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp v câ còng ph¥n phèi

1 + X22+ + Xn2 ÷ñc gåi l ph¥n phèi χ2 vîi n bªc tü do K½ hi»u X ∼ χ2

n.Gi¡ trà tîi h¤n mùc α cõa ph¥n phèi χ2

2.5.4 Ph¥n phèi student

n v X, Y ëc lªp Khi â, ph¥n phèi cõa bi¸n

Y /n ÷ñc gåi l ph¥n phèi student vîi n bªc tü do, k½ hi»u X ∼ Tn

, x∈ R

Trang 25

Trang 26

V½ dö 14

Tuêi thå cõa mët lo¤i bâng ±n l mët bi¸n ng¨u nhi¶n X câ E(X) = 250h v ë l»chchu©n σ(X) = 50h Mët cûa h ng mua 30 bâng ±n º khi häng câ thº thay th¸ T½nhx§p x¿ x¡c su§t cûa h ng câ thº duy tr¼ ¡nh s¡ng li¶n töc ½t nh§t 7700h

Gi£i Gåi Xi l tuêi thå cõa bâng ±n thù i, i ≥ 1 Ta câ c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n Xi ëclªp v câ còng ph¥n phèi vîi X Do â, ¡p döng ành lþ giîi h¤n trung t¥m:

Tæn Th§t Tó - 2022 Ch÷ìng 3 Vectì ng¨u nhi¶n hai chi·u 1/15

Ch÷ìng 3 Vectì ng¨u nhi¶n hai chi·u

1 Vectì ng¨u nhi¶n hai chi·u ríi r¤c

Kh¡i ni»m vectì ng¨u nhi¶n

Trang 27

3.1 Vectì ng¨u nhi¶n hai chi·u ríi r¤c

3.1.1 Kh¡i ni»m vectì ng¨u nhi¶n

Gi£ sû X1, , Xn l n bi¸n ngü nhi¶n li¶n quan ¸n th½ nghi»m ang x²t Lóc â tagåi bë gçm n bi¸n ngü nhi¶n (X1, , Xn) l vectì ngü nhi¶n n chi·u

÷ñc gåi l h m ph¥n phèi çng thíi cõa vectì ng¨u nhi¶n (X, Y )

3.1.3 Ph¥n phèi çng thíi ríi r¤c

Nhªn x²t: Ta công câ: Pi,jpi,j = 1

Trang 28

b Ph¥n phèi bi¶n: Ta ÷a v o k½ hi»u

Ph¥n phèi bi¶n cõa Y ÷ñc t¼m ho n to n t÷ìng tü

Trang 29

Ph¥n phèi bi¶n cõa X:

ii) Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y ), a, b, c, d = const

iii) Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y )

Nhªn x²t:

i) Cov(X, X) = D(X)

ii) N¸u X, Y ëc lªp th¼ Cov(X, Y ) = 0 Do â, tø "t½nh ch§t ëc lªp" suy ra "t½nhch§t khæng t÷ìng quan", tuy nhi¶n i·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng

iii) Trong thüc h nh, ta t½nh Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ), trong â:

Trang 30

Þ ngh¾a h» sè t÷ìng quan: H» sè t÷ìng quan o mùc ë phö thuëc tuy¸n t½nh giúa

✓ Khi ρ(X, Y ) > 0: X, Y t÷ìng quan d÷ìng (thuªn), tùc l X, Y câ xu h÷îng còngt«ng ho°c còng gi£m

✓ Khi ρ(X, Y ) < 0: X, Y t÷ìng quan ¥m (nghàch), tùc l X, Y câ xu h÷îng t«ng v gi£m ng÷ñc chi·u nhau

º ¡nh gi¡ mùc ë t÷ìng quan, ta câ thº tham kh£o b£ng sau (Hopkins, 2000):

Trang 31

Hi»p ph÷ìng sai: Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), trong â:

Trang 32

Giîi thi»u

Statistics is the discipline that concerns the collection, organization, analysis,

interpretation, and presentation of data.

- Ph²p l§y m¨u: vi»c chån mët tªp con b§t k¼ cõa têng thº

- Khi l§y m¨u, ta câ thº chån câ ho n l¤i ho°c khæng ho n l¤i c¡c ph¦n tû

- Mü ngü nhi¶n: mët mü l ngü nhi¶n n¸u vi»c chån c¡c c¡ thº ÷ñc ti¸n h nh

ëc lªp v câ x¡c su§t chån nh÷ nhau

Tæn Th§t Tó - 2022 Ch÷ìng 4: Thèng k¶ mæ t£ 4/33

V· m°t to¡n håc, m¨u ng¨u nhi¶n ÷ñc mæ t£ nh÷ sau:

phèi nh÷ bi¸n X

✓ Mët mü ngü nhi¶n k½ch th÷îc n tø têng thº câ ph¥n phèi theo bi¸n ngü nhi¶n

X câ thº xem nh÷ mët bë n bi¸n ng¨u nhi¶n {X1, X2, , Xn} ëc lªp v câ còng ph¥nphèi vîi X

- Cho m¨u ng¨u nhi¶n {X1, X2, , Xn} Khi â:

+ Bë n gi¡ trà {x1, x2, , xn} cö thº quan thu ÷ñc ÷ñc gåi l mü thüc nghi»m.+ Mët h m (o ÷ñc) T = T(X1, X2, , Xn) ÷ñc gåi l mët thèng k¶ tr¶n müngü nhi¶n {X1, X2, , Xn}

Trang 33

4.1.2 C¡c lo¤i m¨u th÷íng g°p

- Mü ìn gi£n: Mü ÷ñc chån trüc ti¸p tø danh s¡ch ¢ ¡nh sè cõa têng thº b¬ngc¡ch rót ngü nhi¶n n ph¦n tû theo mët b£ng sè ngü nhi¶n n o â (ch¯ng h¤n b£ngFisher v Yates, Burke Haton, )

- Mü h» thèng: Ph¦n tû ¦u ti¶n cõa mü ÷ñc chån ngü nhi¶n, sau â düa tr¶ndanh s¡ch ¢ ¡nh sè cõa têng thº º chån c¡c ph¦n tû cán l¤i theo mët thõ töc n o

â

- M¨u chòm: Têng thº ÷ñc chia ra l m nhi·u chòm theo nguy¶n tc: Méi ph¦n tûch¿ thuëc v o mët chòm, méi chòm chùa nhi·u ph¦n tû kh¡c nhau v· d§u hi»u nghi¶ncùu v câ ë ph¥n t¡n nh÷ cõa têng thº, quy mæ c¡c chòm t÷ìng èi çng ·u nhau.Sau â, chån ng¨u nhi¶n mët sè chòm v nghi¶n cùu t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa nhúngchòm â

- M¨u ph¥n tê: Chia têng thº ra l m c¡c tê câ ë thu¦n nh§t cao giúa c¡c ph¦n tû

v sau â chån ng¨u nhi¶n 1 sè ph¦n tû ð méi tê º l m ¤i di»n cho tê â

- Mü nhi·u c§p: N¸u c¡c ph¦n tû cõa têng thº ph¥n t¡n qu¡ rëng v thi¸u thæng tinv· chóng, ng÷íi ta câ thº ti¸n h nh chån mü theo nhi·u c§p ÷ñc ¡nh sè, ch¯ng h¤nmü c§p 1, mü c§p 2, Vi»c chån mü ð méi c§p ÷ñc ti¸n h nh düa tr¶n thæng tinv· d§u hi»u nghi¶n cùu ð c§p §y v câ thº thüc hi»n theo ph÷ìng ph¡p mü ìn gi£n,mü h» thèng, mü chòm hay mü ph¥n tê

4.2 C¡c sè °c tr÷ng m¨u

4.2.1 Trung b¼nh m¨u v ph÷ìng sai m¨u

Cho {x1, x2, , xn} l m¨u sè li»u cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X

- Trung b¼nh m¨u, k½ hi»u l x, ÷ñc t½nh theo cæng thùc:

x = x1+ x2+ + xn

1n

Trang 34

Giîi t½nh

Trang 35

N¸u ta quan t¥m th¶m t¼nh tr¤ng håc håc sinh câ eo k½nh hay khæng, ta câ thº thi¸tlªp b£ng t¦n sè nh÷ sau:

Nhªn x²t: Thæng th÷íng c¡c kho£ng chia câ ë d i b¬ng nhau Tuy nhi¶n, tòy thuëc

v o möc ½ch nghi¶n cùu m ta câ thº câ nhúng c¡ch chia kho£ng kh¡c nhau Sè kho£ngchia th÷íng tø 5-20 kho£ng, ho°c [√n], ho°c [log2n] ([x] - sè nguy¶n lîn nh§t khængv÷ñt qu¡ x)

Định dạng
Số trang	73
Dung lượng	3,16 MB