Một số sai lầm của HS trong giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÀI TIỂU LUẬN

Đề tài: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH

KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Giảng viên: Bùi Thị Hạnh Lâm

Sinh viên: Hà Thị Thuý Hường

Lớp: Toán AK56

Mã sinh viên : DTS215D140209016

Năm học: 2023 – 2024

MỤC LỤC

Trang

A MỞ ĐẦU……… …3

1 Lý do nghiên cứu……… …3

2 Đối tượng nghiên cứu………3

B NỘI DUNG……… 3

I Cơ sở lý luận……….3

1.1 Phương trình vô tỉ……….3

1.2 Bất phương trình vô tỉ……… 4

II Một số sai lầm của học sinh khi giải phương trình và bất phương trình vô tỉ ……… 5

2.1 Một số sai lầm của học sinh khi giải phương trình……… 5

2.1.1 Dạng 1: Sai lầm trong khi tìm và giải điều kiện xác định……… 5

2.1.2 Dạng 2: Sai lầm khi đặt điều kiện………8

2.1.3 Dạng 3: Sai lầm trong chuyển đổi bài toán……… 11

2.1.4 Dạng 4: Sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm….13 2.2 Một số sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ………….14

2.2.1 Dạng 1: Sai lầm trong biến đổi làm thừa nghiệm của bất phương trình vô tỉ………14

2.2.2 Dạng 2: Sai lầm trong biến đổi làm thiếu nghiệm của bất phương trình vô tỉ………18

2.3 Một số giải pháp………21

III Bài tập tự giải………22

C KẾT LUẬN……… 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO

A MỞ ĐẦU

1 Lý do nghiên cứu

Theo như Oscar Wilde có nói “Kinh nghiệm chỉ đơn giản là cách mà ta gọi cho những sai lầm của mình.” Quả thực, những sai lầm trong quá trình học tập, đặc biệt trong giải toán đều không phải sự kết thúc mà đó là nền tảng mở ra con đường vững chắc cho việc học và giải quyết các dạng bài tập sau này Từ đó, chúng ta sẽ rút ra những bài học quý giá và tránh được những lỗi sai giải bài tập, ghi nhớ sâu sắt kiến thức đã được học và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy một cách hiệu quả

Trong học toán, việc vận dụng lý thuyết đã học để giải một bài toán cụ thể còn gặp không ít khó khăn cùng với những sai lầm đối với một số đối tượng học sinh và thậm chí đối với cả sinh viên Bởi vậy nên chúng ta cần trang bị những phương pháp hợp lý để hạn chế tối đa những sai lầm đáng tiếc trong giải toán

Một trong những vấn đề phổ biến mà học sinh thường mắc sai lầm đó là việc giải phương trình và bất phương trình vô tỉ Đây là nội dung đặc biệt quan trọng đối với học sinh THPT bởi nó xuyên suốt quá trình học và trong thi THPTQG Tuy nhiên, những sai lầm khi giải như rút gọn hoặc khử mẫu mà không có điều kiện, bỏ qua điều kiện xác định, quên xét các trường hợp đặc biệt,…vẫn còn xảy ra

Nhận thấy vấn đề trên, nên em chọn đề tài: “Một số sai lầm của học sinh khi giải phương trình và bất phương trình vô tỉ” với mục đích giúp học sinh

nhận biết và tránh những lỗi sai thường gặp, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra

2 Đối tượng nghiên cứu

Hệ thống các dạng bài tập về phương trình và bất phương trình mà học sinh

dễ mắc sai lầm khi giải

( )

0

k k

+ Sử dụng các định lý về biến đổi tương đương;

+ Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp;

+ Phương pháp nâng lên luỹ thừa;

+ Sử dụng các định lý về biến đổi tương đương;

+ Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp;

+ Phương pháp nâng lên luỹ thừa;

+ Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số;

+ Phương pháp lượng giác hoá,…

II Một số sai lầm của học sinh khi giải phương trình và bất phương trình vô

2.1 Một số sai lầm của học sinh khi giải phương trình

2.1.1 Dạng 1: Sai lầm trong khi tìm và giải điều kiện xác định

Để giải một phương trình, về phương pháp giải rất quan trọng Tuy nhiên, nếu ta không có điều kiện xác định chính xác sẽ gây ra hậu quả vô cùng nghiêm trọng Chúng ta sẽ không loại được nhưng nghiệm không thoả mãn dẫn đến mất thời gian mà kết quả lại không đúng Minh chứng cụ thể qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình

2

* Lời giải sai:

Vậy phương trình vô nghiệm

- Nhận xét: Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm x 1.

- Nguyên nhân: Do HS nhầm tưởng 0 0

co nghia.

A B AB

x

x x

- Nhận xét: Với x = - 2 thì không thoả mãn điều kiện của phương trình trong ví dụ

- Nhận xét: Ta thấy rằng x = 0 là nghiệm của phương trình, tức phương trình vẫn

- Cách khắc phục: Trong lời giải trên cần bổ sung trường hợp x  0 và xét trường hợp x < 0

2.1.2 Dạng 2: Sai lầm khi đặt điều kiện

Như ở trên, chúng ta đã thấy tầm quan trọng của điều kiện xác định Tuy nhiên, nếu ta có điều kiện xác định nhưng điều kiện đó lại không hợp lý hoặc

không đúng thì kết quả vẫn là một quá trình lãng phí mà không thu được kết quả chính xác Ở đây, chúng ta xét 3 dạng điển hình với những sai lầm dễ gặp để người giải có thể tránh được như sau:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { 3}

- Nhận xét: Ta có thể thấy, x = 3 không phải nghiệm của phương trình

2

x   x Thật vậy, với x = 3 thì vế trái bằng 2 nhưng vế phải bằng -2

- Nguyên nhân: Do xác định điều kiện bị sai và cũng không kiểm tra lại với

- Lưu ý: Ta có dạng tổng quát:

3

3 f x( )  3 g x( ) h x( )  f x( ) g x( )  3 3 f x g x( ) ( )( 3 f x( )  3 g x( )) h x( )

3 3

- Nguyên nhân: Do chỉ đặt điều kiện để căn có nghĩa nhưng khi bình phương hai vế

để được phương trình tương đương thì cả hai vế phải không âm Tuy nhiên,

f x  g x chưa xác định được âm hay dương nên khi bình phương hai vế không được phương trình tương đương với phương trình đã cho

- Cách khắc phục: Muốn bình phương hai vế để được phương trình tương đương

thì cả hai vế phải không âm Tức (1)

x x

2

x

x x

2.1.3 Dạng 3: Sai lầm trong chuyển đổi bài toán

Một số phương trình khá khó trong quá trình giải thông thường, từ đó chúng

ta cần chuyển đổi bài toán bằng cách đặt ẩn phụ Tuy nhiên, việc giải toán bằng cách đặt ẩn phụ lại làm người học dễ mắc một số sai lầm như:

Thứ nhất, khi đặt ẩn phụ nhưng lại quên đặt điều kiện cho ẩn phụ, mặc định rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) = 0 có

nghiệm

Thứ hai, xảy ra trường hợp có đặt điều kiện nhưng chỉ là điều kiện quá rộng hoặc quá hẹp, không sát, đặt ẩn phụ t( )x để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên học sinh lại chỉ đưa ra một điều kiện với ẩn t chứ không phải điều kiện cần và đủ

Tuy nhiên, việc mắc sai lầm như trên không chỉ với giải phương trình mà nó còn rộng rãi trong rất nhiều dạng toán khác mà chúng ta có thể bắt gặp trong quá trình học tập

a) Không đặt điều kiện của ẩn phụ

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x   1 m x (6)

* Lời giải sai

Ta có phương trình (6) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7) có nghiệm Khi

đó        ' 1 m 1 0 m 2 Vậy m 2 thì phương trình (6) có nghiệm

- Nhận xét: Với m 2khi đó phương trình (7) có nghiệm t = - 1 Tuy nhiên, nếu

1

t   thì dẫn đến phương trình x   1 1 vô nghiệm Hay nói cách khác, với

2

m  thì phương trình (6) vô nghiệm Như vậy, kết quả trên là không đúng

- Nguyên nhân: Do khi đặt ẩn phụ mà không có điều kiện của ẩn mà khi giải xong cũng không kiểm tra lại Phương trình (6) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7) có nghiệm t0.

- Cách khắc phục: Bổ sung điều kiện của ẩn phụ, t0

b) Đặt điều kiện cho ẩn phụ nhưng nó mới là điều kiện cần mà chưa phải điều kiện đủ

Ví dụ 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Để phương trình (8) có nghiệm thì phương trình (9) có nghiệm t0 Khi đó đường thẳng y = 1 – m cắt đồ thị hàm số 2

y t ttại những điểm có hoành độ thuộc

Vậy với m [-1;1] thì phương trình đã cho có nghiệm

2.1.4 Dạng 4: Sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm

Trong các phương pháp để giải phương trình hữu tỉ, có một phương pháp làm rất hay mà giải quyết những bài tập phức tạp đó là sử dụng đạo hàm Tuy nhiên, khi lấy giá trị chặn dưới (hoặc chặn trên) của tập giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) lại dễ dàng lấy đi điểm của học sinh bởi những sai lầm đó

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x  5 m

2.2 Một số sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ

2.2.1 Dạng 1: Sai lầm trong biến đổi làm thừa nghiệm của bất phương trình

Ví dụ 10: Giải bất phương trình sau 2

x x

- Cách khắc phục: Bổ sung điều kiện B > 0 để hai vế không âm Tức là,

0 0

4 4

2 2

16

3

x x

x x

x x

Vậy phương trình có tập nghiệm S    ( ; 3]

b) Bất phương trình dạng: A B  C (A, B, C là các biểu thức bậc nhất)

Ví dụ 11: Giải bất phương trình: 3x x  1 x 2

* Lời giải sai:

- Nguyên nhân: Khi giải bài toán trên, đã bình phương hai vế của bất phương trình

mà không xét xem 3x x  1 0hay không

- Cách khắc phục: Chuyển vế và tiếp tục giải (bổ sung thêm điều kiện để

3x x  1 0), tức là A B  C với điệu kiện xác định

0 0 0

A B C

Vậy bất phương trình vô nghiệm

c) Bất phương trình dạng: A C

B  hoặc A C

B Với bất phương trình như trên rất nhiều học sinh đã nhân B vào cả hai vế của bất phương trình mà không thêm bất kỳ điều kiện nào Khi nhân vào như vậy

đã làm cho hai bất phương trình không tương đương, do đó cách giải bị sai Ngoài

ra, một số học sinh khi giải có xét điều kiện B0 nhưng sau đó giải như đối với phương trình dẫn đến lời giải không còn đúng Để giải đúng chúng ta cần xét các điều kiện của B (B > 0 hoặc B < 0) trước khi nhân vào cả hai vế Trong ví dụ sau

sẽ chỉ ra chi tiết hơn:

Ví dụ 12: Giải bất phương trình sau:

2

8 2

1 2

x x x

- Nguyên nhân: Do khi giải không để đến dấu của x + 2 mà đã nahan vào hai vế của bất phương trình với x + 2 Như vậy đây không phải phép biến đổi tương đương Từ đó dẫn đến phương trình ới không tương đương với phương trình đã cho nên kết quả của bất phương trình trên bị sai

- Cách khắc phục: Cần xét dấu của x + 2 > 0 hoặc x + 2 < 0 thì mới được nhân vào hai vế của bất phương trình

* Lời giải đúng

Điều kiện: 4 2

2

x x

2

x x

Đối với dạng này, khi giải học sinh thường chỉ xét trường hợp B0,tức là

2

0 0

Tuy nhiên vẫn còn thiếu trường hợp B < 0 do đó phép biến đổi

kia chưa tương đương và có thể dẫn đến thiếu nghiệm Vì A 0 với A0 nên chỉ cần B < 0 thì hiển nhiên thoả mãn bất phương trình Ở đây, khi giải chúng ta cần

bổ sung thêm trường hợp B < 0 và giải Cụ thể trong ví dụ sau:

Kết hợp với điều kiện ta có x14

Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S  [14;  )

- Nhận xét: Nhận thấy với x = -2 vẫn thoả mãn bất phương trình trên, do đó bất phương trình trên đã giải sai

- Nguyên nhân: Do đã xét thiếu trường hợp x – 2 < 0 dẫn đến phép biến đổi chưa tương đương nên kết quả tính toán bị sai (cụ thể: thiếu nghiệm)

- Cách khắc phục: Bổ sung thêm trường hợp x – 2 < 0, tức là

2

0 0 0 0

A B

Trường hợp 1:

2 5

x x

- Nguyên nhân: Theo cách giải trên thì 2

2x  3x  2 0 chỉ là điều kiện của bất phương trình và ta không thể đưa ra kết luận 2

x  x Do giải thiếu trường hợp

2x  3x  2 0 Vì nếu 2

2x  3x  2 0 thì bất phương trình luôn đúng Do đó phép biến đổi trên là không tương đương

- Cách khắc phục: Bổ sung thêm trường hợp 2

x x

x x

+ Hình thành nền tảng kiến thức vững chắc về môn toán;

+ Hiểu rõ các kiến thức về logic;

+ Biết và nắm vững một số phương pháp giải toán cơ bản

III Bài tập tự giải

Bài 1: Giải phương trình: 3x  1 x   3 x 1 (x  ).

Bài 2: Giải phương trình: 2 2

x  x  x  x  Bài 3: Giải phương trình: x  1 x 10  x  2 x 5 (x  ).

Bài 4: Giải bất phương trình: x2 4x  x 3

Bài 5: Giải bất phương trình:

2

2

1 1

x

  

Bài 6: Giải bất phương trình: x 11  x  4 2x 1 (Trích đề thi Cao đẳng

Điều dưỡng chính qui (Đại học điều dưỡng) năm 2004)

Bài 7: Giải bất phương trình: x  2 x  1 2x 3(Trích đề thi Đại học Thuỷ sản năm 1999)

Bài 8: Giải bất phương trình:

T năm 1999 – Hệ chuyên ban)

C KẾT LUẬN

Trong bài tiểu luận trên, em đã trình bày được lý do nghiên cứu đề tài; cơ sở

lý luận; một số sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình vô tỉ với cụ thể từng dạng lỗi sai như: sai lầm trong khi tìm và giải điều kiện xác định; sai lầm khi đặt điều kiện; sai lầm trong chuyển đổi bài toán; sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm; sai lầm trong biến đổi làm thừa nghiệm của bất phương trình vô tỉ; sai lầm trong biến đổi làm thiếu nghiệm của bất phương trình vô tỉ cùng với đó là một số bài tập để luyện thêm

Do thời gian còn hạn chế nên bài tiểu luận của em không tránh khỏi những sai xót không mong muốn Em rất mong được nhận những lời nhận xét từ cô để bài tiểu luận được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Cao Thị Hà, giáo trình Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam

[2] Hoàng Kỳ - Nguyễn Văn Bàng – Nguyễn Đức Thuần, Đại số sơ cấp (tập 1),

NXB Giáo dục, 1978

[3] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB giáo dục, 1995

[4] Phan Huy Khải, 10.000 bài toán sơ cấp, NXB Hà Nội, 2001