Luận án tiến sĩ Vật lý: Tương tác tán sắc gần các vật thể vĩ mô

Sự hiện diện của vật thể vĩ mô gần các nguyên tử không chỉ ảnh hưởng lên tương tác tán sắc, mà còn ảnh hưởng lên tất cả các đại lượng vật lý khác đặc trưng chotương tác giữa nguyên tử và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYÊN DŨNG CHINH

TƯƠNG TÁC TÁN SẮC GẦN

CAC VAT THE VI MO

Nganh: Vat ly ly thuyét va vat ly todn

Ma s6 chuyén nganh: 62440103

Phan bién 1: PGS.TS Phan Thi Ngoc Loan

Phan biện 2: PGS.TS Trương Minh Đức

Phản biện 3: TS Huỳnh Thanh Đức

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Trương Minh Đức

Phản biện độc lập 2: PGS.TS Phạm Nguyễn Thành Vinh

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS HỒ TRUNG DŨNG

TPHCM — 2023

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hồ Trung Dũng Là thầy hướng dẫn,thầy luôn tận tâm giúp đỡ, chỉ dạy tôi cả về chuyên môn và nhiều kiến thức xã hội

Thầy cũng đã giúp đỡ tôi vượt qua khó khăn về môn Anh văn.

Toi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy và các bạn học trong bộ môn vật lý lý thuyết,

trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong quá trình

tôi học tập tại bộ môn.

Tôi xin cảm ơn phòng sau dai học trường Đại học Khoa Học Tu Nhiên TP.HCM

đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi về mặt thủ tục hành chính trong quá trình tôi học tập tại trường

Toi xin cảm ơn các thầy cô, anh chi và các bạn đồng nghiệp tại Viện IFAS, trườngĐại học Duy Tân đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình tôi công tác tại Viện

Tôi xin cảm ơn Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia (NAFOSTED) đã

hỗ trợ tôi một phần kinh phí trong hai năm đầu làm NCS

Cuối cùng, tôi đặc biệt gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi, vợ con tôi đã hỗ trợ tôi vềmặt tài chính, giúp tôi vượt qua giai đoạn khó khăn khi tôi gặp vấn đề sức khỏe, và

đã cho tôi thời gian để làm luận án này.

Lời cam đoan

Tôi cam đoan các số liệu và kết quả trong luận án này là trung thực Các kết quảnghiên cứu của tôi chưa được công bố trong các công trình khác

Tác giả luận án

Nguyễn Dũng Chỉnh

1

1.1 Mô tả định tính tương tác tan sắc

1.2 Lượng tử hóa trường điện td) 2 ee ee

13 Tốc độ rã tựphất cv và

1.5 Tương tac van der Waals ee

2 Nguyên tử kích thích bên trong hệ tru dài vô han

2.1 Công thức cho tương tác Casimir-Polder và tốc độ rã tự phát

3 Tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử ở mức cơ bản bên

trong hệ tru dài võ han

3.1 Hàm Green cho tần số a0 0 00000000 cee eee

3.3.1 Tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử gần biên

3.3.2 Ảnh hưởng của vật liệu thực và tường phản xạ Bragg

3.4 Kết luận Q Q Q Q Q Q Q Q v v v va

4 Tương tác Casimir-Polder của nguyên tử gần một đầu của hệ trụ

dai hữu han

4.1 Khai triển Born 0 v2

4.2 Khai triển Born cho tốc độ rã tự phát va tương tác Casimir-Polder

4.2.1 Nguyên tử bên ngoài khối trụ

4.2.2 Nguyên tử bên trong khối trụ

43 Két qua LH Hi

4.3.1 Técdoratuphaét 2 20.0.0 2 20004

4.3.2 Tương tác Casimir-Polder lên một nguyên tử kích thich .

4.3.3 Tương tác Casimir-Polder lên một nguyên tử ở mức cơ ban .

Kết luận và hướng phát triển

Danh mục các công trình đã công bố

Tài liệu tham khảo

1V

72

74

75

TE Tranverse Electric - Điện trường ngang

TM Tranverse Magnetic - Tw trường ngang

vl

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 1.1 Lực hút Casimir giữa hai tấm phẳng kim loại

Hình 1.2 Lực hút van der Waals giữa hai hạt trung hòa điện với nhiễu loạn

mật độ điện tích và lưỡng cực điện tức thời

-Hình 2.1 Mặt cắt của hệ trụ N lớp với nguyên tử ở lớp trong cùng được

biểu diễn bởi mũi tên hai đầu 2

Hình 22 Tốc độ rã tự phát, chuẩn hóa với đại lượng trong chân không,

của nguyên tử có moment lưỡng cực định hướng theo phương z được

vẽ phụ thuộc vào tần số nguyên tử Nguyên tử được đặt trên trục z

Các hằng số điện môi của các lớp là ea;+¡ = £ụ = 1, €2; = En, ở đó

j =0,1, ,(N —1)/2 Các đường khác nhau là (a) thay đổi số lớp N và (b) thay đổi giá trị hằng số điện môi en -

Hình 2.3 Tóc độ rã tự phát được khảo sát theo bán kính của lớp trong cùng

R= RA_i (N = lỗ, ey = 1, en = 9, wa = wo) Nguyên tử ở trên trục,

có moment lưỡng cực điện định hướng (a) doc theo trục z và (b) vuông

góc với trục z Trong các hình nhỏ, các đường cho cấu trúc tru Bragg

(nét liền) và cho hệ phan xạ toàn phần (nét đứt) được phóng đại cho

các giá trị nhỏ ctaT/Tp 22 Q Q Q vo

Hình 2.4 Tốc độ rã tự phát của nguyên tử định hướng theo phương z phụ

thuộc vào vị trí nguyên tử được vẽ theo các giá trị khác nhau của ew

(e, = 1, N=15) cho các trường hợp (a) mode cộng hưởng po; và (b) mode po2 trong hình 2.3(a) Q Q Q Q HQ ko

Hình 2.5 Thế CP được vẽ phụ thuộc vào vi trí nguyên tử được định hướng

theo phương z với các giá trị khác nhau của ey (e„, = 1, N = 15) Hình

(a) và (b) tương ứng với các mode po) va poz trong hình 2.3(a).

Hình 26 Tốc độ rã tự phát được vẽ phụ thuộc vào bước sóng chuyển mức

nguyên tử Đường nét liền cho hằng số điện môi ey = £s¡ = 12.25 và

EL = €si0, = 2.25, đường nét chấm gach cho hằng số điện môi phụ thuộc

tần số ey = €g; được cho bởi phương trình (2.38) và ce, = £s¡io, 6 các

phương trình (2.35)-(2.37) Các thông số khác như hình 2.2 (b)

11

41

42

Hình 3.2 Thế tương tác vdW (bên trái) và độ lớn của luc tán sắc (bên phải)

giữa hai nguyên tử (Q/c = 2z/780nm), được đặt đối diện trên cùng một

đường kính bên trong hệ trụ hai lớp, được vẽ phụ thuộc vào bán kính

khối trụ Các đường khác nhau cho các khoảng cách nguyên tử-bề mặt

A khác nhau Tường của hệ trụ là phan xạ toàn phần trong hình (a) và

(d), vàng trong hình (b) và (e), silicon trong hình (c) và (f) Các moment

lưỡng cực nguyên tử được định hướng theo phươngz .

Hình 3.3 Thế tương tác vdW được vẽ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai

nguyên tử (Q/c = 2z/780nm) ở trên trục của khối trụ hai lớp (e¡ =

€, es = 1, đường nét chấm) và khối trụ phan xạ Bragg (N = 9, ey =

€, €y = 1, đường nét liền) Hai trường hợp được so sánh theo cặp cho

e = 9 và e = 25 Sự định hướng của moment lưỡng cực nguyên tử là(a) vuông góc và (b) song song với trục Để so sánh, trường hợp hệ trụ

phan xa lý tưởng (e¡ + —œ) được vẽ bởi đường gach chấm Tất cả các

khối trụ ở đây có bán kính y_¡ =0.8e/Q

Hình 3.4 Thế tương tác vdW được vẽ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai

nguyên tử (Q/c = 2z/780nm) ở trên trục của hệ trụ có bán kính trong

cùng „_¡ = 0.8c/Q Trong hình (a), hệ trụ gồm hai lớp với tường vậtliệu vàng (e¡ = £x„, đường gạch chấm) Bề rộng vạch (linewidth) sau

đó được tăng lên để xem xét ảnh hưởng của sự hấp thụ của vật liệu.Trong hình (b), hệ trụ có tường phan xa Bragg (N = 9), tường là silicon

(En = £s¿, eo = 11.87, e„ = 1, đường nét gạch) eo được tăng lên giá trị

16 (đường nét chấm) và 25 (đường gạch chấm) Dé so sánh, đường kết

quả cho tường phản xạ lý tưởng là đường nét liền moment lưỡng cực

nguyên tử có hướng vuông góc với trục .

Hình 4.1 Tốc độ rã tự phát chuẩn hóa với đại lượng trong chân không được

vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử Khối trụ có bán kính R/A, = 1,chiều dai H/A, = 10, và hằng số điện môi e(wa) = 1.1 Các vị trí bên

trái (phải) của øA/^Àa = 1 là các vị trí nguyên tử bên trong (ngoài) của

khối trụ Nguyên tử ở z4/Aq = 4.96, tức là rất gần một đầu của khốitrụ Các đường được ngắt cách biên 0.01ÀA Kết quả cho khối trụ dài vô

hạn có cùng bán kính và hằng số điện môi được vẽ để so sánh (đường

nét ditt) 2 ee

vill

Hình 4.2 Thế CP U = U8ze/(uoj3đ3) tác dụng lên một nguyên tử kích

thích được vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử Các vị trí bên trái (phải)

của øA/^ÀaA = 1 là bên trong (bên ngoài) của khối trụ Nguyên tử ở rấtgần một đầu của khối trụ, zA/Àa = 4.96 ((H/Àa)/2 = 5) Các kết quacho khối trụ có chiều dài vô hạn cùng bán kính và hệ số điện môi được

vẽ để so sánh (đường nét đứt) Các hình nhỏ khuếch đại thế CP bên

trong khối trụ hữu hạn Các thông số khác như hình 4.1 67

Hình 43 Thé CP U = U8re/(pipw di) tác dụng lên một nguyên tử kích

thích được vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử trên trục z Nguyên tử ở

trên trục, trong vùng gần một đầu của khối trụ, dau của khối trụ cótọa độ (H/AÀA)/2 = 5 Các đường chấm và đường nét đứt vẽ cho lưỡng

cực định hướng vuông góc (phương z) và song song (p và ¿) với bề mặt.

Các đường nét liền biểu diễn kết quả trung bình, cho định hướng bất kì

của moment lưỡng cực Các thông số khác như hình 4.1 68Hình 4.4 Thế CP U = U8re/(jipw di) 6 trên một đầu của khối trụ hữu han

(a) được vẽ phụ thuộc vào các tọa độ theo phương bán kính và z và (b)

phụ thuộc vào các tọa độ ra và ya cho moment lưỡng cực theo phương

y Các thông số khác như hình 4.1 - 69

Hình 45 Thế CP U = U§zc/(nus¿Ä4đ3) tác dụng lên một nguyên tử ở mức

cơ bản được vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử Nguyên tử ở trên trục

của khối trụ, trong vùng gần một đầu của khối trụ, (H/ÀA)/2 = 5 Các

đường chấm và nét đứt biểu diễn cho lưỡng cực theo hướng song song và

vuông góc với bề mặt, đường nét liền cho giá trị trung bình các thông

số khác như hình 4.3 2 cv 70

Mo dau

Tương tác tán sắc là các loại tương tác giữa các vật thể trung hòa điện thông qua trường điện từ trong trạng thái chân không [1] Các vật thể này có thể là vi mô như

nguyên tử hoặc phân tử, có thể là vĩ mô như các tấm, khối có dạng hình học khác nhau

được mô tả qua hằng số điện môi phụ thuộc không gian và tần số Trong trường hợp

các vật thể nằm ở trạng thái cơ bản, là các trường hợp được xem xét sớm nhất, tương

tác tán sắc bao gồm sự đóng góp gần như tương đương từ mọi tần số Ta thường chia

tương tác tán sắc thành ba loại: Tương tác van der Waals (vdW) là tương tác giữa các

nguyên tử, tương tác Casimir-Polder (CP) là tương tác giữa nguyên tử và vật thể vĩ

mô và tương tác Casimir là tương tác giữa các vật thể vĩ mô [1] Lực vdW gây ra do

các nhiễu loạn lượng tử của phân bồ điện tử quanh hạt nhân tạo thành các lưỡng cực

điện tức thời, còn lực Casimir thường được giải thích qua các nhiễu loạn lượng tử của

trường điện từ chân không phát sinh các photon ảo [1] Trường hợp trung gian — tương

tác CP - có thể giải thích như giải thích tương tác vdW, với hạt thứ hai là ảnh của hạt thứ nhất bên trong vật thể vĩ mô Các tương tác tán sắc là các tương tác yêu nhất

trong tương tác điện từ [1] Tuy nhiên, nó có mặt khắp nơi và đóng vai trò quan trọngtrong nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm vật lý phân tử, vật lý bề mặt, khoa học kếtdính, sinh học và thiên văn học Vi dụ các lực vdW đóng góp vào sự liên kết của các

nguyên tử để hình thành phân tử, tương tác giữa hai nguyên tử ở khoảng cách r có thể được mô tả bởi thế Lennard-Jones [1] gồm thành phan hút tỉ lệ với r~® và thành phần day tỉ lệ với r~!? Lực hút CP là cơ chế cơ bản cho sự hấp phụ của các nguyên tử

hoặc phân tử với các bề mặt [2] Trong lĩnh vực sinh học, tương tác tán sắc được cho

là cơ chế cho sự bám dính giữa ban chân của một số loài nhện [3] và tắc kè [4] với các

bề mặt vĩ mô Trong luận án này, chúng tôi chỉ xem xét tương tác vdW và tương tác

CP Do tương tác tán sắc đã được quan tâm từ lâu và bao trùm nhiều lĩnh vực, hiệnnay chưa có sự thống nhất về cách gọi tên của các tương tác này giữa các cộng đồngkhoa học thuộc chuyên ngành khác nhau Cách gọi và cách tiếp cận của chúng tôi gần

nhất với đề xuất trong [1] Cũng trong [1] người đọc có thể tìm thấy một danh sách

trích dẫn hết sức đầy đủ, với hơn 600 công trình

Từ góc độ lý thuyết, Lennard-Jones rút ra được công thức của mình hoàn toàndựa trên kinh nghiệm Các tính toán đầu tiên dựa trên cơ học lượng tử cho tương tácvdW giữa hai nguyên tử trung hòa điện, không phân cực, ở trạng thái cơ bản và nằm

trong không gian tự do được thực hiện bởi London [5] Trong đó, ở khoảng cách rất

nhỏ so với bước sóng chuyển mức của nguyên tử, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn không

phụ thuộc thời gian, tương tác vdW được coi gần đúng là tương tác tĩnh điện giữahai moment lưỡng cực nguyên tử được tìm thấy, đây là tương tác hút nhau tuân theo

qui luật r~® (r là khoảng cách giữa hai nguyên tử) Casimir và Polder đã phát triển lý

thuyết áp dụng cho mọi khoảng cách giữa hai nguyên tử và đã chỉ ra trong giới hạnkhoảng cách giữa hai nguyên tử lớn hơn nhiều so với bước sóng nguyên tử, tương tác

vdW tuân theo qui luật z~” [6] Lý thuyết này sau đó được mở rộng để xem xét hai

nguyên tử ở trạng thái kích thích [7-9], một nguyên tử ở trạng thái cơ bản và một ở trạng thái kích thích [7,10], một hoặc cả hai nguyên tử phân cực từ [11,12], tương tác

vdW có sự hiện diện của photon nhiệt [13], tương tác giữa hai nguyên tử ở mức cơ bảntrong điện trường tĩnh [L4]

Các nghiên cứu ban đầu về tương tác vdW thường tập trung vào trường hợp đơn

giản nhất khi hai nguyên tử nằm trong không gian tự do Sự hiện diện của vật thể

vĩ mô gần hai nguyên tử sẽ ảnh hưởng lên trường điện từ, từ đó thay đổi tương tác vdW [I,15-17] Người ta có thể lợi dụng điều nay để điều khiển tương tác vdW dẫn

tới các ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực khoa học vật liệu hoặc trong thiết kế các

linh kiện có kích thước cực nhỏ [18-20] Vật thể vĩ mô có hình học phẳng [21-23, 26],

cầu [24-26], trụ [27-30] đã được xem xét Ví dụ, các nghiên cứu trong [21] cho thấytương tác vdW giữa hai nguyên tử ở nhiệt độ khác không trong buồng cộng hưởng

phẳng độc lập với hiệu ứng trễ (hiệu ứng xảy ra khi khoảng cách giữa hai nguyên tử lớn hơn bước sóng chuyển mức của nguyên tử), ngược với quy luật tương tac trong

chân không Các nghiên cứu trong [27] cho thấy tương tác vdW giữa hai nguyên tử đặt

giữa hai tường phản xạ toàn phần (ở tất cả các tần số truyền qua) của hệ trụ ba lớp

tăng lên đáng kể so với trong không gian tự do Ảnh hưởng của tường phản xạ toàn

phần lên tương tác vdW giữa hai nguyên tử đặt trên trục của hệ trụ hai lớp được xem

xét trong [28] Tương tác được chỉ ra giảm theo hàm mũ khi tăng khoảng cách giữa

hai nguyên tử và tăng lên nhiều bậc cho trường hợp các nguyên tử định hướng theophương z (trong hệ tọa độ trụ) bên trong hệ trụ silicon [28] Khi hai nguyên tử nằmlệch trục, tương tác được chỉ ra tăng lên nhiều bậc cho trường hợp moment lưỡng cực

theo phương bán kính và bên ngoài hệ trụ hai lớp, trong khi giảm cho các trường hợp

còn lại [29] Hơn nữa, cho trường hợp hai moment lưỡng cực nguyên tử vuông góc với

nhau, tương tác vdW được chứng minh biến mất trong chân không, mặt khác vẫn tồn

tại trong sự hiện diện của hệ trụ hai lớp [30] Các nghiên cứu cho hệ trụ trên đây chỉ

vật lý thú vị cho một cấu hình mới theo vị trí cho tương tác giữa hai nguyên tử Trong

cấu hình này, hai nguyên tử được đặt trên cùng một đường kính, đối xứng qua tâm.

Do tính phức tạp của hệ nhiều lớp, việc tính số gặp nhiều khó khăn Chúng tôi sẽ chỉ

ra những khó khăn này và cách giải quyết vấn đề trong luận án

Sự hiện diện của vật thể vĩ mô gần các nguyên tử không chỉ ảnh hưởng lên tương

tác tán sắc, mà còn ảnh hưởng lên tất cả các đại lượng vật lý khác đặc trưng chotương tác giữa nguyên tử và trường điện từ, ví dụ như tốc độ rã tự phát của nguyên

tử ở trạng thái kích thích và dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng nguyên tử.

Các nghiên cứu về ảnh hưởng của các vật thể vĩ mô lên tương tác nguyên tử - trườngđiện từ tạo thành một nhánh quan trọng trong quang học lượng tử, thường được gọi

là điện động lực học lượng tử buồng cộng hưởng (cavity quantum electrodynamics)

Ba đại lượng mà chúng tôi vừa nhắc tới có liên quan chặt chẽ với nhau Trong khônggian tự do, mật độ trạng thái của trường điện từ là hằng số theo tần số Sự có mặt của

các vật thể vĩ mô sẽ phân bố lại mật độ trạng thái của trường điện từ, tạo thành các vạch cộng hưởng sắc khi có độ giam nhốt cao Việc hiểu biết cấu trúc mật độ trạng

thái của hệ chính là bước đầu tiên quan trọng cho các nghiên cứu về tương tác tấn

sắc Từ một phía khác, mật độ trạng thái của trường điện từ tỷ lệ thuận với tốc độ

rã tự phát của nguyên tử ở trạng thái kích thích Vì vậy các kết quả về tốc độ rã tự

phát trở thành một “san phẩm phự” trong các khảo sát của chúng tôi về tương tác tan sắc Thêm vào đó, dịch chuyển Lamb cũng chính là thế tương tác CP Việc coi hai đại

lượng này là một chính là "tam nhìn” của Casimir-Polder Các tính toán sau này xuấtphat từ lực CP như một trường hợp riêng của lực Lorentz dẫn tới cùng một kết quả

Ta hãy điểm qua một số nghiên cứu cũng như khả năng ứng dụng của điện động lực học lượng tử buồng cộng hưởng: Việc điều khiển tốc độ rã tự phát thông qua thay đổi

môi trường xung quanh [31-35] dẫn tới ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như thông tinlượng tử [36] hay thiết kế các thiết bị lượng tử [37] Bản thân nguyên tử chịu tác dung

của lực CP với môi trường vật thể thong qua trung gian là các photon ảo [1] Các bay nguyên tử có thể được tạo ra thông qua cơ chế này [38-41] Trái ngược với tương tác hút khi nguyên tử ở mức cơ bản, tương tác CP còn được tìm thấy là tương tác day

6 vài vùng khoảng cách của nguyên tử với sợi quang học [42] Gần đây, các nhà khoa

học đã đạt được nhiều thành tựu trong thực nghiệm tao ra nền tang tiềm năng trong

công nghệ thông tin lượng tử khi nghiên cứu tương tác CP [43,44] Hai bài toán tốc

độ rã tự phát và tương tác CP trong môi trường là hệ phẳng và hệ cầu đã được quan

tâm nhiều Tốc độ rã tự phát của một nguyên tử kích thích đã được nghiên cứu trong

các môi trường có cấu hình khác nhau như gương phản xạ Bragg, gương tạo thành từ

các lớp điện môi với hằng số điện môi thay đổi có chu kỳ giữa hai giá trị cao và thấp,

với độ dày mỗi lớp bằng một phần tư bước sóng trung tâm của vùng band gap (vùng

tần số bị chặn) [45] Các công trình khác xem xét bức xạ tự phát trong tỉnh thể quang

học một chiều [46], hệ cầu điện môi nhiều lớp [47], với ứng dụng trong nguồn phát đơnphoton [48] Các hiệu ứng liên quan như hiệu chỉnh trường định xứ trong cấu trúc cầu

và phổ gần hồng ngoại phan xa từ hệ cầu Bragg đã được xem xét lần lượt trong [49]

và [50].

Nhiều công trình khác cũng đã xem xét cùng lúc tương tác tán sắc và tốc độ rã

tự phát [51-64] Trong công trình [51], Wylie và Sipe sử dung lý thuyết phan hồi tuyến

tính để tính độ dịch chuyển tần số, như trên đã nói, đại lượng này cũng chính là thế

CP, và thời gian sống của một nguyên tử kích thích gần bề mặt tấm phẳng Rippin và

Knight sử dung cách tiếp cận khai triển mode (mode expansion) dé tính tốc độ rã của

một nguyên tử hai mức trong cấu trúc trụ hai lớp, cả hai trường hợp hệ trụ dài vô hạn

và gương Bragg được sắp xếp dọc theo trục khối trụ [52] Henkel và Sandoghdar đã

phân tích các ảnh hưởng của sự uốn nếp bề mặt lên bề rộng mức và dịch chuyển mức

của một nguyên tử gần bề mặt điện môi [53] Klimov và Ducloy đã xem xét sự dịch

chuyển của lưỡng cực và tứ cực trong một nguyên tử gần hệ trụ kim loại, và sự dịch chuyển lưỡng cực trong một nguyên tử gần hệ trụ điện môi [54,55] Guzatov và Klimov

sau đó xem xét tốc độ rã của một nguyên tử gần hệ trụ dẫn lý tưởng có mặt cắt vuông

góc với trục là một elip [56] Dựa trên cách tiếp cận hàm Green và khai triển Born,

Bennett phân tích tốc độ rã tự phát của một nguyên tử kích thích và tương tác CP

của một nguyên tử ở mức cơ bản gần bề mặt quang khắc (bề mặt có cấu trúc nhỏ hình

dạng bat kì) [57] Kien và Rauschenbeutel nghiên cứu bức xạ tự phát của một nguyên

tử hai mức với sự định hướng của lưỡng cực điện phụ thuộc thời gian gần bề mặt điện

môi phẳng [58] Buhmann va Scheel thảo luận các điều kiện để lý thuyết Lifshitz có

thể được sử dụng để mô ta các lực CP nhiệt lên các nguyên tử hoặc phan tử [59] Sử dụng khai triển Born, các tác giả trong [60] đã xem xét ảnh hưởng của biên của tam phẳng lên tốc độ rã tự phát của một nguyên tử kích thích Ellingsen, Buhmamn và

Scheel nghiên cứu tương tác CP cộng hưởng và tốc độ rã của một hat trong buồng

cộng hưởng trụ kim loại ở nhiệt độ khác không [61] Bender và các cộng sự đã phan

tích và đo tương tác CP của các nguyên tử trong trạng thái cơ bản với một tấm phẳng

vật liệu rắn [62] Tác giả trong [63] đã nghiên cứu tốc độ rã tự phát của một nguyên

tử bên trong hệ trụ hai lớp có chiều dài hữu hạn và đã chỉ ra cách để loại bỏ kì đị

khi nguyên tử ở tâm của hệ trụ Stourm và các cộng sự đã tính tốc độ rã tự phát và

dịch chuyển Lamb (độ dịch chuyển tần số) của nguyên tử " Rb gần sợi quang hoc trụ

kể trên, các công trình [27-30,63,64] đã xem xét hệ trụ hai hoặc ba lớp Trong [65,66],

các tác giả cho phép hệ N lớp nhưng giả định nguồn là một dòng dài vô cùng, vì thế

mô hình của họ bị giới hạn trong lý thuyết hai chiều Tiết diện tán xạ đã được xemxét [67,68], và gần day, vấn đề về Tamm plasmon polaritons đã được phân tích [69]

Các ứng dụng của cấu trúc trụ nhiều lớp có thể kể đến như tạo ra vật thể tàng hình

với radar dò tín hiệu [67,68], các hệ laser [65], các nguồn photon đơn [45], ống dẫnchùm nguyên tử, và các linh kiện điện tử [70] Do tính ứng dụng cao của hệ trụ nhiều

lớp đặc biệt là hệ tru phan xạ Bragg Chúng tôi đã tính tốc độ rã tự phát và tương tác

CP của nguyên tử bên trong hệ trụ phan xạ Bragg Mô hình của chúng tôi ở đây được

mô tả bởi lý thuyết ba chiều Một số kết quả thú vị cho thấy các mode cộng hưởng cơbản xuất hiện và thế giam nhốt ở trên trục của khối trụ được tìm thấy

Mô hình hệ trụ trong các công trình kể trên được giả định có chiều dài vô hạn

theo phương trục của hệ trụ Một vấn đề đặt ra là các biên ở hai đầu hình trụ ảnh

hưởng như thé nào lên các đại lượng vật lý như tốc độ rã tự phát hay tương tác CP

khi chiều dài hệ trụ là hữu hạn, gần với nhiều tình huống thực tế Các nguồn phátphoton đơn với một nguyên tử kích thích gần một đầu của khối trụ nano [71-73], các

bay ion với một sợi quang học được sử dụng làm máy dò huỳnh quang [74] là những ví

dụ cho trường hợp hệ trụ có chiều dài hữu hạn Khi mô tả các đại lượng đặc trưng cho

tương tác trường điện từ và nguyên tử, để thuận tiện người ta thường sử dụng cách

tiếp cận hàm tensor Green [75, 79,80] Trong khi dạng của hàm Green cho các cấu hình

đối xứng cao đã biết (hệ trụ vô hạn, hệ phẳng vô hạn, hệ cầu), khi các điều kiện biên

phức tạp hơn (như hệ trụ có chiều dài hữu hạn), người ta phải dựa trên các phươngpháp tính số [73], hoặc các phương pháp tiếp cận gần đúng như phương pháp khai

triển Born [76,77] Phương pháp khai triển Born đã được sử dụng để tính tốc độ rã tự

phát của một nguyên tử hai mức kích thích được đặt bên ngoài của một hệ trụ điện

môi có chiều dài hữu han [78], tốc độ rã tự phát của nguyên tử gần tấm phẳng [60], và

tốc độ rã tự phát của nguyên tử kích thích bên trong hệ trụ có chiều dài hữu hạn [63].

Các công trình [63, 78] chỉ xem xét trường hợp moment lưỡng cực điện của nguyên tử

định hướng theo phương song song với trục của khối trụ Luận án của chúng tôi mởrộng bài toán cho sự định hướng theo phương bất kì của nguyên tử Điều này tạo điềukiện thuận lợi cho việc so sánh kết quả với thực nghiệm

Trên cơ sở điện động lực học lượng tử vĩ mô (macroscopic QED), sử dụng lý thuyết

nhiễu loạn gần đúng bậc bốn, các tác giả của [23] đã dẫn ra biểu thức tổng quát cho

tương tác vdW giữa hai nguyên tử ở mức cơ bản trong sự hiện diện của môi trường vật

thé tán sắc, hấp thu bất kì, biểu diễn theo hàm Green Kết quả sau đó được áp dụng

để xem xét thế vdW giữa hai nguyên tử trong môi trường đồng nhất và gần cấu trúc

phẳng điện từ nhiều lớp Biểu thức tốc độ rã tự phát biểu diễn thông qua hàm Green

có thể tìm thấy trong [79,80], và thế CP trong [S1] Dựa vào các phương trình tổng

quát này, chúng tôi sẽ thực hiện tính toán các đại lượng vật lý tương ứng trên cơ sở xử

lý hàm tensor Green cho hệ trụ đa lớp có chiều dài vô hạn O bài toán thứ nhất, chúng

tôi xem xét tương tác CP và tốc độ rã tự phát của nguyên tử hai mức ban đầu ở mức

trên và được đặt ở lớp trong cùng của hệ trụ nhiều lớp, thỏa điều kiện gương Bragg

Hệ Bragg cho trường hợp hệ cầu cũng đã được xem xét trong [49] Hàm Green cho hệ

trụ có số lớp bat kì có dạng phức tạp [82,83] hơn nhiều so với hệ cầu và hệ phẳng.

Một số công trình sử dụng hàm Green cho hệ trụ như [2§-30,63] chỉ tính đến hệ trụ

có số lớp là hai Chúng tôi sử dụng hàm Green có dạng tổng quát trong [82] Chúng tôi kết hợp cả giải tích và giải số để xử lý hàm Green Cũng bằng cách này, trong bàitoán thứ hai chúng tôi xem xét tương tác vdW giữa hai nguyên tử ở mức cơ bản bên

lớp trong cùng của hệ trụ nhiều lớp cho hai trường hợp: Trường hợp thứ nhất là hainguyên tử trên trục của hệ tru Bragg, trường hợp thứ hai là hai nguyên tử ở gần biên

và trên cùng phương bán kính của hệ trụ hai lớp Các kết quả thú vị được tìm thấy

trong trường hợp này, khi đó lực vdW có thể tăng lên hoặc giảm xuống nhiều bậc so

với trong không gian tự do Đặc biệt trong bài toán tương tac vdW giữa hai nguyên

tử ở mức cơ bản, khi tần số được chuyển qua trục ảo, đóng góp của các thông số trên

cận của tích phân tiến ra vô cùng là rất lớn, dẫn tới việc tính số gặp nhiều khó khăn.Chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải quyết vấn đề này dựa trên tính giải tích sau đó đưa kếtquả vào giải số Phương pháp của chúng tôi rõ ràng sẽ hữu ích cho việc tính toán nhiều

đại lượng vật lý khác dựa trên hàm Green.

Trong các công trình [63,78], các tác giả đã xem xét nguyên tử định hướng theo

phương z trong hệ tọa độ trụ Để thuận tiện cho việc so sánh kết quả với thực nghiệm,

điều cần thiết là xem xét hai phương còn lại, phương ¿ và phương bán kính ø, sau đó

lấy trung bình để có được sự định hướng của nguyên tử theo phương bất kì Từ nhu

cầu đó, trong bài toán thứ ba, chúng tôi tính tốc độ rã tự phát của nguyên tử kích

thích cả bên trong và bên ngoài hệ trụ có chiều dài hữu hạn cho trường hợp nguyên tử

định hướng theo phương ¿ và phương p Chúng tôi cũng tính tương tác CP cho nguyên

tử ở cả mức kích thích và mức cơ bản, ảnh hưởng của hai đầu biên khối trụ lên tương

tác CP Để làm điều đó, chúng tôi sử dụng khai triển Born, ngắt chuỗi ở số hang thứ

nhất [63,78] Kết quả cho thấy hé thế CP ba chiều xuất hiện khi nguyên tử ở trên trục

và ở bên ngoài khối trụ Chúng tôi sẽ đánh giá khả năng sử dụng hé thế này tạo bay

nguyên tử.

buồng vi cộng hưởng được chú ý gần đây có dạng trụ Hệ trụ có hàm Green phức tạp

nên chưa được xem xét đầy đủ Đặc biệt hệ trụ Bragg chưa được xem xét Trong nhiều

công trình trước người ta sử dụng mô hình tường phản xạ toàn phần, cần xác định rõ

hơn giới hạn áp dụng của mô hình này Xem xét các phương khác nhau của moment

lưỡng cực nguyên tử tạo thuận lợi cho việc so sánh với thực nghiệm Các kết quả vật

lý ở đây là quan trọng Ví dụ chúng tôi đã tìm thấy trường hợp tương tác vdW gấp

bốn bậc so với không gian tự do Các kết quả cho tương tác CP có thé ứng dung trong các bẫy nguyên tử và kết quả cho tốc độ rã tự phát có thể ứng dụng trong nguồn phát

đơn photon.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là xem xét ảnh hưởng của hệ trụ có tường phản

xa Bragg lên tương tác tán sắc, cụ thể là tương tác CP của nguyên tử với tường và

tương tác vdW giữa hai nguyên tử ở mức cơ bản Hệ này có giam nhốt theo các phươngvuông góc với trục nên sẽ tồn tại các mode cộng hưởng sắc nét của trường điện từ Các

mode cộng hưởng này có khả năng sẽ ảnh hưởng đáng kể lên tương tác CP Việc nghiên

cứu các mode cộng hưởng thường được thực hiện, cả trong lý thuyết và thực nghiệm,thông qua khảo sát tốc độ rã tự phát của nguyên tử ở mức kích thích đặt trong hệ

Vì vậy chúng tôi sẽ bắt đầu chương 2 với việc xem xét sự hình thành các mode cộng

hưởng khi tăng số lớp của tường Bragg, cũng như thay đổi sự sai khác hằng số điện

môi giữa các lớp Việc xác định tần số và độ sắc các vạch cộng hưởng được sử dụng

trong các tính toán tiếp theo cho tương tác CP Mở rộng hiển nhiên của bài toán này

là tương tác tán sắc giữa hai nguyên tử khi có mặt hệ trụ phản xạ Bragg Van đề này

được xem xét trong chương 3 Trong chương 2 và 3, khi có thể chúng tôi luôn luôn so

sánh hệ trụ phan xa Bragg với hệ trụ phan xạ toàn phần, qua đó xác định điều kiện ápdụng mô hình hệ trụ phản xạ toàn phần Chúng tôi cũng sẽ xem xét các vật liệu thựcnhư 5i, Au Trong hai chương 2 và 3, chúng tôi giả định khối trụ dài vô hạn Trongmột số trường hợp, hiện tượng vật lý thú vị xảy ra ở đầu khối trụ Điều này đòi hỏi

khối trụ có độ dài hữu hạn Bài toán này được chúng tôi xem xét trong chương 4 cho

tương tác CP Do hàm Green cho hệ trụ có chiều dài hữu hạn không được biết mộtcách tường minh, chúng tôi sẽ sử dụng gần đúng Born bậc nhất Trong cả ba chương,

các vị trí cũng như định hướng moment lưỡng cực nguyên tử khác nhau được xem xét.

Như vậy chúng tôi sẽ trình bày một cái nhìn từ nhiều góc độ khác nhau về tương táctán sắc gần hệ trụ, cho một hay hai nguyên tử, hệ trụ Bragg hay phản xạ toàn phần,

hệ trụ vô hạn hay hữu hạn Do giới hạn về công sức, thời gian, cũng như do độ phức

tạp của bài toán, đây chưa phải là một bức tranh hoàn chỉnh Một số hướng phát triển

tiếp theo được liệt kê ở cuối luận án

Ba bài toán trên là nội dung chủ yếu của luận án này và được công bố trên các

tap chí uy tín Công trình thứ nhất có tên "van der Waals interaction of an atom near

a fiber tip" được đăng trên tạp chí "The European Physical Journal D" năm 2018.

Công trình thứ hai là "Spontaneous decay rate and Casimir—Polder interaction of a

two-level atom in a Bragg-reflector cylindrical structure" được đăng trên "Journal of

Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics" năm 2019 Công trình thứ ba có tén "Strong enhancement and inhibition of the interatomic van der Waals interaction

inside a cylindrical waveguide" được đăng trên "The European Physical Journal D"

năm 2020 Chi tiết về ba công trình này được cung cấp trong danh mục các công trình

đã công bố

Chương 1

Lý thuyết tổng quan

Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả đã đạt được trong công

trình [23,80,81] trong đó các tác giả đã sử dụng cách tiếp cận hàm Green để rút ra các công thức tổng quát cho cho tốc độ rã tự phát của nguyên tử hai mức kích thích [80], tương tác CP giữa nguyên tử với vật thể vĩ mô [81], và cho tương tác vdW giữa hai

nguyên tử ở mức cơ bản [23] trong sự hiện diện của vật thể vi mô có cấu hình hình

học bất kỳ, có hấp thụ và tán sắc

Kể từ đây đến hết luận án, chúng tôi quy ước như sau: Chữ viết in dam thẳng

đứng là vector, chữ in đậm nghiêng là hàm hoặc tensor.

Các hiện tượng mà chúng tôi xem xét ở đây, cụ thể là tương tác tán sắc và tốc độ

rã tự phát của nguyên tử kích thích, là các hiện tượng có bản chất lượng tử Vì vậy,

ta cần một lý thuyết lượng tử để mô tả chúng, bắt đầu từ lượng tử hóa trường điện

từ trong sự hiện diện của vật thể vĩ mô có hấp thụ và tán sắc Trong các sách về cơ

học lượng tử hay lý thuyết trường, ta thường tìm thấy các thảo luận về lượng tử hóatrường điện từ trong chân không Khi có sự hiện diện của môi trường vật chất, trường

điện từ thay đổi Việc lượng tử hóa hệ vật chất-trường điện từ trong trường hợp này có thể thực hiện hoàn toàn ở cấp độ vi mô, nghĩa là xem các môi trường như cấu thành

từ từng nguyên tử Phương pháp này tuy triệt để nhưng quá phức tạp Vì vậy người

ta thường xem xét vật chất như vật thể vĩ mô, thể hiện qua hằng số điện môi và độ

từ thấm phụ thuộc không gian Nếu bỏ qua tính chất hấp thụ và tán sắc của vật chất,

người ta có thể sử dụng phương pháp khai triển mode Chúng tôi xin nhắc lại một chút

về phương pháp khai triển mode Phương pháp này có thể được tìm thấy trong những sách giáo khoa về lượng tử hóa trường điện từ Trong cơ học cổ điển, nếu ta có một

sợi dây cố định hai đầu và được kính thích dao động sẽ xuất hiện các sóng dừng Mỗi

sóng dừng được gọi là một mode 'Pương tự như vậy trong điện động lực học, theo các

phương trình Maxwell, giữa hai tấm phẳng phản xạ lý tưởng sẽ tồn tại sóng dừng cũng

được gọi là các mode Ba mode cơ bản nhất đã được minh họa trong hình 1.1 Xem xét

khối lập phương thay vì hai tấm phẳng, ta có được các mode theo cả ba chiều không

gian Cho kích thước khối tiến tới vô cùng, ta nhận được một hệ cơ sở đầy đủ Khai

triển trường điện từ bất kỳ trong hệ cơ sở này gọi là phương pháp khai triển mode.

Đưa vào các toán tử sinh hủy boson, ta được phương pháp khai triển mode trong điện động lực học lượng tử Phương pháp khai triển mode có nhược điểm là khi vật chất có hấp thụ và tán sắc, tức là hằng số điện môi và độ từ thẩm phụ thuộc tần số và là đại

lượng phức, các giao hoán tử sẽ tiến về không khi khoảng cách tăng lên

Việc cho phép hấp thụ trong lượng tử hóa trường điện từ là rất cần thiết Ví dụ

khi xem xét hiệu ứng truyền ta không thể bỏ qua hấp thụ Khi trường rất yếu, ví dụ

chỉ bao gồm vài photon, là tình huống trong các bài toán của quang học lượng tử, ta

cũng không thể bỏ qua hấp thụ của môi trường vật chất Từ góc độ lý thuyết, tính

đến đầy đủ cả hấp thụ và tán sắc ta mới có thể thỏa mãn nguyên lý nhân quả.

Một sơ đồ lượng tử hóa đáp ứng yêu cầu trên đã được đưa ra trong [86] Sơ đồ

này sử dụng cách tiếp cận hàm Green (Hàm Green là một công cụ toán học mạnh để

giải các phương trình đạo hàm riêng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoahọc cũng như kỹ thuật Trong vật lý ta thấy ứng dụng của nó trong lý thuyết trường,

lý thuyết hạt cơ bản, vật lý chất rắn và ở đây là quang học lượng tử.) Tất cả các đặc

tính hình học của vật chất được chứa đựng trong hàm Green Như vậy rất tiện lợi vì

nó cho phép ta thực hiện lượng tử hóa mà không quan tâm tới hình học cụ thể Tất

nhiên khi tính toán các bài toán cụ thể ta sẽ cần biết hàm Green của hệ

Ngoài sự hiện diện của môi trường vật chất, các bài toán mà chúng tôi xem xét

ở đây liên quan tới một nguyên tử (bài toán bức xạ tự phát và tương tác CP) hoặc

hai nguyên tử (bài toán tương tác vdW) Như vậy hệ xem xét được chia làm hai phan:

Nguyên tử (một hoặc hai) được xem xét lượng tử và trường điện từ trong sự hiện diện

của môi trường vật chất cũng được xem xét lượng tử Tuy nhiên vật chất được xem

xét vĩ mô thông qua hằng số điện môi và độ từ thẩm phụ thuộc không gian và tần số,

đáp ứng hệ thức Kramers-Kronig Hai đại lượng này được nhận lấy từ thực nghiệm

hoặc các tính toán khác Tiếp theo chúng tôi sẽ thể hiện các đại lượng vật lý như tốc

độ rã tự phát, tương tác vdW và tương tac CP qua hàm Green.

Trước khi đi vào tính toán giải tích, chúng tôi xin trình bày các giải thích vật lý

cho lực tán sắc

1.1 Mô tả định tính tương tác tán sắc

Theo vật lý cổ điển, chân không được hiểu là vùng không gian được loại bỏ hoàn toàn vật chất và bức xạ Chân không cổ điển vì vậy hoàn toàn trống rỗng Khái niệm

chân không của trường điện từ, các photon có thể xuất hiện ở các thời điểm bất kỳ và

biến mất ở một thời điểm ngay sau đó sao cho hệ thức bất định Heisenberg giữa nănglượng và thời gian không bị vi phạm Ta gọi hiện tượng này là hiện tượng nhiễu lượng

tử và các photon này là các photon ảo.

Làm thế nào chúng ta tìm thấy bằng chứng cho sự tồn tại của các photon ảo?

Mỗi khi sinh ra, các photon ảo tuân theo các định luật vật lý giống như các photon

thật Xét hai tấm phẳng kim loại có tính chất dẫn lý tưởng, rộng vô cùng, đặt song

song trong chân không (hình 1.1) Trên một bề mặt dẫn lý tưởng, biên độ sóng điện từbằng không, tương ứng với một nút sóng Do trên bề mặt tấm luôn luôn phải là nútsóng, không gian giữa hai tấm chỉ cho phép sự tồn tại các sóng điện từ với số nguyênlần bụng sóng, tức là khoảng cách giữa hai tấm chia cho nửa bước sóng phải bằng một

số nguyên Trên hình 1.1, chúng tôi thể hiện ba mode được phép của trường điện từ

có bước sóng lớn nhất, với một, hai và ba bụng sóng Mật độ trạng thái của trườngđiện từ trở thành hàm gián đoạn theo tần số Bên ngoài hai tấm, tất cả các bước sóngđều được phép, mật độ trạng thái của trường điện từ là hàm liên tục theo tần số Do

không thể vẽ tất cả các sóng điện từ được phép, trên hình 1.1, chúng tôi chỉ thể hiện

mật độ mode của trường điện từ bên ngoài hai tấm lớn hơn bên trong Ta cũng biết

ánh sáng tạo áp suất lên bề mặt Số lượng các photon ảo bên ngoài lớn hơn so với bên

trong dẫn tới sự xuất hiện sức ép từ phía bên ngoài, hay lực hút giữa hai tấm, được

gọi là lực hút Casimir theo tên nhà vật lý đã phát hiện ra hiệu ứng này năm 1948.

Xét hai hạt nhỏ như các nguyên tử hoặc phân tử, mỗi hạt gồm số điện tích dương

và âm như nhau (hình 1.2) Các hạt có phân bố điện tử đối xứng cầu quanh hạt nhân,

tức là không có lưỡng cực điện vĩnh cửu Theo vật lý cổ điển, giữa hai hạt như vậy

có lực tương tác điện từ bằng không Trong vật lý lượng tử, do nguyên lý bất định

Heisenberg, vị trí của các điện tích bên trong các hạt không thể được xác định với độ

chính xác tuyệt đối Thay vì luôn luôn phân bố dàn đều xung quanh hạt nhân, mật

độ điện tích luôn chịu các dao động ngẫu nhiên Các dao động này có bản chất chính

Hình 1.1: Lực hút Casimir giữa hai tấm phẳng kim loại.

11

Hình 1.2: Lực hút van der Waals giữa hai hạt trung hòa điện với nhiễu loạn mật độ

điện tích và lưỡng cực điện tức thời.

là nhiễu lượng tử mà chúng ta đã nhắc tới ở trên Tại một thời điểm nào đó, phân bố

điện tích âm có thể bị lệch về một bên Ví dụ, trong hình 1.2, các điện tích âm của hạt

bên trái bị lệch về bên phải Hệ quả là các điện tích dương của hạt bên phải bị hútlệch về bên trái Thay vì hai hạt trung hòa điện không phân cực có lực tương tác bằngkhông, bây giờ ta có hai lưỡng cực điện hút nhau Lực hút này được biết đến như là

lực van der Waals.

Tương tác van der Waals là tương tac giữa hai hạt vi mô Tương tac Casimir là

tương tác giữa hai vật thể vĩ mô, không dứt khoát phải là hai tấm phẳng bằng vật dẫn

lý tưởng Hai vật thể vĩ mô hiển nhiên tạo thành từ các hạt vi mô Khi các vật thể vĩ

mô có mật độ đủ loãng, tương tác giữa các hạt vi mô trong cùng một vật thể vĩ mô

có thể bỏ qua Khi đó nếu cộng lực van der Waals giữa các cặp hạt vi mô thì ta nhận

được lực Casimir Còn nếu tương tác giữa các hạt vi mô trong cùng một vật thể vĩ mô

là đáng kế thi lực van der Waals không có tính cộng được Hai loại tương tác này rõ

ràng có cùng bản chất Tuy chúng ta giải thích chúng theo hai cách khác nhau: tương

tác Casimir như là kết quả nhiễu lượng tử của trường điện từ trong trạng thái chân

không và tương tác van der Waals như kết quả của nhiễu lượng tử của mật độ phân bốđiện tử quanh hạt nhân, điều này không có mâu thuẫn Các điện tích và trường điện

từ là hai yếu tố cơ bản của điện động lực học lượng tử Các điện tích sinh ra trường

điện từ, ngược lại trường điện từ tác động lên điện tích Nhiễu của trường điện từ thể

hiện qua sự xuất hiện và biến mất của các photon ảo, trong khi nhiễu của phân bố

mật độ điện tích dẫn tới sự hình thành của các lưỡng cực điện tức thời Cả lực Casimir

và van der Waals đều là kết quả của các nhiễu lượng tử trong điện động lực học lượng

tử Hai cách giải thích khác nhau giống như hai mặt của một đồng xu [1]

1.2 Luong tử hóa trường điện từ

Xét trường điện từ trong sự hiện điện của các vật thể điện môi có tính hấp thụ

và tán sắc bất kì, không có thêm các nguồn nguyên tử Theo [86], ta biểu diễn toán tử

điện trường Ê dưới dạng

Ê(r) = Ê(r) + BO), BO) = [Ê(9)]! (1.1)

Ê(r) = [ dw B(r,w), (1.2)

và tương tự cho toán tử từ trường B Các toán tử thành phan Fourier E(r,w) va

B(r,w) thỏa các phương trình Maxwell lượng tử

ÿ:B(r,u) =0, (1.3)

V+ lae(r,s)Ê(r,+)| = A(r,w), (1.4)

V x E(r,w) = iwB(r,w), (1.5)

V x B(r,w) = =i5 cír,ø)ÊŒ,e) + poj(t,w), (1.6)

trong đó hằng số điện môi e(r,w) = er(r,w) + ie(r,w) là hàm phức của toa độ và tần

số Sự phụ thuộc vào tần số của hằng số điện môi thể hiện tính tán sắc, trong khi phần

ảo khác không thể hiện tính hấp thụ của môi trường Do nguyên lý nhân quả, phần

thực và phần ảo của hằng số điện môi liên hệ với nhau một cách đơn nhất thông qua

hệ thức Kramers-Kronig Dé mô tả tính hấp thụ của môi trường, toán tử nhiễu mật

độ điện tích (noise charge density) p(r,w) và toán tử nhiễu mật độ dong (noise current

density) j(r, w) đã được đưa vào các phương trình Maxwell Chúng liên hệ với toán tử

phân cực nhiễu P(r,w) như sau

lr), flr,o)] <0 = |Ñứ,e), Mew] (1.11)

lộ đây fi(v,w), fi(r',w’) là các thành phan của các toán tử trường boson f(r,w),

fi(r’,w’) Nhắc lại rằng trong không gian tự do, để lượng tử hóa trường điện từ người

13

ta đưa vào các toán tử thường ký hiệu bằng A(r,w) và al(r,w) dé mô tả sinh và hủy

một photon Toán tử f(r,w) và ft(r,w) mô tả sinh và hủy một kích thích (excitation)

của hệ tổ hợp bao gồm đồng thời trường điện từ và vật thể điện môi, tương tự với một

polariton [86].

Sau khi loại B khỏi các phương trình Maxwell, ta nhận được phương trình dao hàm riêng chỉ chứa toán tử cường độ điện trường E Tiếp theo ta sử dụng cách tiếp cận ham Green Từ phương trình (1.3) — (1.9), E có thể được viết dưới dạng

^ hw?

B(r,w) =i /—

E(r,w) =7 To v2

x | Br! fe(r’,w) G(r, 1/,w) - £(r,w) (1.12)

Toán tử từ trường B có thể được nhận từ E thông qua biểu thức B= (iw) lV x E.

Trong phương trình (1.12), G(r, r’,w) là tensor Green thỏa phương trình

2

wW

E e(r,w) — V x vị Gi(r,r’,w) = —d(r—r’), (1.13)

với 0(r — r’) = lô(r —r’), I là tensor don vi va ô(r — r’) là ham delta Dirac Nhu vậy,

các toán tử cường độ điện trường và từ trường được biểu diễn qua các tích phân theo

các trường boson liên tục f và ft, với nhân là tensor Green Các trường này đóng vai

trò là các biến cơ bản của hệ tổ hợp trường điện từ và môi trường Toán tử Hamilton

của hệ có dạng

A= [or [donot ee) -f(r,w) (1.14)

Hệ tới day là đầy đủ, tức là chúng ta không cần đưa thêm phương trình nao từ bên

ngoài vào nữa.

Để chứng minh cách tiếp cận lượng tử hóa trên đây là đúng đắn, ta cần kiểm tra

xem các toán từ điện trường E(r) và từ trường B(r) có thỏa mãn các giao hoán tử nhưđòi hỏi của điện động lực học lượng tử Bước này có thể được thực hiện sử dụng các

tính chất tổng quát của tensor Green mà không phụ thuộc vào một hệ cu thể [86].

Để mô tả tương tác giữa nguyên tử và trường điện từ, ta còn cần thêm các biểu

thức cho thế vô hướng và thế hữu hướng Trong chuẩn Coulomb ta có thể biểu diễn

thế vô hướng ¢ va thé vector A của trường điện từ theo các trường boson cơ bản như

A(r) = [ dw (iw) 'E*(r,w) + H.e., (1.15)

trong đó Ê„ là toán tử vi trí và p, là toán tử động lượng (canonical momentum operator)

của hạt điện tích a khối lượng my Toán tử Hamilton (1.20) gồm bốn số hạng Dau

tiên là phần năng lượng (1.14) của hệ tổ hợp trường điện từ cộng vật thể vĩ mô khi

không có thêm các hạt điện tích ngoài ga Phần thứ hai là động năng của các hạt vàphần thứ ba là năng lượng Coulomb của các hạt, ở đó thé ga có dạng

ôA(r) = pare (1.21)

15

— » quð(r — Ê„) (1.22)

là mật độ điện tích Số hạng cuối cùng là năng lượng Coulomb của tương tác giữa

các hạt với trường Chú ý rằng tất cả các số hạng được biểu diễn qua các biến

f(r,ø),fÏ{r,ø),Êa, pa.

Xét một nguyên tử hai mức trung hòa điện (vị tri ra, tần số chuyển mức wa)

tương tác với trường thông qua chuyển mức lưỡng cực điện (moment lưỡng cực p) Áp

dụng gần đúng lưỡng cực điện (kích thước nguyên tử rất nhỏ so với bước sóng) và gần

đúng sóng quay (rotating wave approximation — bỏ qua các thành phần quay nhanh,tức là đóng góp của những thành phần xa cộng hưởng, ở đây ta chỉ tính đến tần số

cộng hưởng với tần số chuyển mức nguyên tử), toán tử Hamilton (1.20) có thể viết lại

dưới dang (xem các bước chi tiết trong [80])

: = [er [done tir) le)

+1 hue — le" (ra) p+ IH ; (1.23)

trong đó ở = |I) (u|, ot = Ju) (I|, và ô; = |u)({u| — |D (| là các toán tử Pauli của nguyên

tử hai mức, |u) và |/) tương ứng là các trạng thái trên và dưới của nguyên tử

Khi nguyên tử ở trạng thái trên và phần còn lại của hệ là trong trạng thái chân

không, ham sóng của hệ ở thời điểm t có thể được viết

IU()) = Cue s/?"\u)|{0})

+ [orf dw Cii(r, w, the #9/2)"11) £1 (r, w) }), (1.24)

0

trong đó |{0}) là trạng thái chân không của trường với sự hiện diện của vật thể vĩ

mô, |{1;(r,ø)}) = fi(r,w)|{0}) là trạng thái Fock đơn lượng tử Từ phương trình

Schrödinger ta có

C,,(t) = d Pr ) VTegh me | h c2 = [er Vei(r, 0)

x G;;(rA,r, (0) Cy(r,w, te iw so (1.25)

Ap dung gần đúng Markov (hệ khong có trí nhớ, trang thái của hệ trong tương

lai chỉ quyết định bởi trạng thái của hệ ở thời điểm hiện tại, mà không phụ thuộc vào các thời điểm quá khứ), ta đặt [S0]

eilwa—wy(t-t') — 4

wa — 0) > C(wa — w) (1.32)

17

trong phương trình (1.31) [€(z) = zỗ(%) +iP/z; 7 là giá trị chính], từ đó nhận được

là tốc độ rã tự phát va dịch chuyển mức năng lượng (line shift) của nguyên tử Cac bước

mà chúng tôi trình bày trong mục này được tiến hành theo lý thuyết Wigner-Weisskopf

cho bức xạ tự phát của nguyên tử hai mức trong không gian tự do.

1.4 Tương tác Casimir-Polder

Khác với trong mục trước, chúng tôi không giới hạn số mức nguyên tử Nguyên

tử có thể ở trạng thái cơ bản hoặc trạng thái kích thích, vì lực CP tồn tại trong cả

hai trường hợp Chúng tôi cũng cho phép môi trường có tính chất từ, tức là có độ từ

thấm khác một, giống như trong công trình [S8], trong đó các tác giả xem xét vật liệu

thuận tay trái (left-handed material) Tuy nhiên tính chất này sẽ bị bỏ qua trong các

tính toán số cụ thể liên quan tới hệ trụ Lượng tử hóa trường điện từ trong sự hiện

diện của môi trường như vậy đã được thực hiện trong công trình [88] Thay vì cách

tiếp cận Wigner-Weisskopf trong mục trước, chúng tôi sử dụng lý thuyết nhiễu loan

bậc hai Trong chuẩn Coulomb và sơ đồ tương tác tối thiểu, toán tử Hamilton của

hệ một nguyên tử (hoặc phân tử) gồm các hạt điện tích phi tương đối tính tương tác

với trường điện từ trong sự hiện hiện của các vật thể có tính hấp thụ và tán sắc có

3>!

tương ứng là mật độ điện tích và thé vô hướng của các hat tao thành nguyên tử (Hat

được kí hiệu œ có điện tích q„, khối lượng mq, vi trí Ê„, và moment động lượng Ô„.)

Các trường boson co bản f(r,œ) [và fj(r,ø)] liên quan tới nhiễu phân cực điện (noise

polarization) (A= e) và nhiễu phân cực từ (noise magnetization) (À =zm), là các biếnđộng lực học mô tả trường điện từ có mặt môi trường hấp thụ và tán sắc, với môi

trường có cả tính chất điện (hằng số điện môi khác một) và tính chất từ (độ từ thẩm

khác một) Chúng thỏa mãn các giao hoán tử [88]

L¡ứ.e), ft e0] = 6uyôuð(r = #)ð(ø — w"), (1.39) [fasle,c2), u29] = 0 (1.40)

Trong Hamilton (1.36), số hang dau tiên là năng lượng của hệ gồm trường điện từ

và vật thể vĩ mô, số hạng thứ hai là động năng của các hạt điện tích œ, số hạng thứ

ba là năng lượng Coulomb của chúng, và số hạng cuối cùng là năng lượng tương tác

Coulomb giữa các hạt và vật thể vĩ mô Toán tử Hamilton (1.36) tương tự với toán tử

Hamilton (1.20), nhưng số hạng đầu tiên chứa thêm thành phần mô tả tính chất từ

2 ^ 2 ~ “a

của vat the vi mô.

Dé thuan tiện, ta dua vào các ký hiệu

với [G(r r’,w) x thụ = €jkiÐGjy(£, f2) và K(r,w) = !(r,) Trong đó G(r, r’, w)

là Green tensor thỏa phương trình

Phương trình (1.43) trở về phương trình (1.13) cho tensor Green khi hệ không có tính

chất từ (w = 1) Chú ý rằng hằng số điện môi e(r,w) và hệ số từ thẩm (permeability)

p(r,w) của môi trường là hàm phức theo tần số, phần thực và ảo của nó thỏa hệthức Kramers-Kronig Với môi trường hấp thu ta có Ime(r,w) >0 và Imp(r,w) > 0

=> Ima«(r,w) < 0, các biểu thức dưới dấu căn trong phương trình (1.41) và (1.42) là

(ma=)>>,, Ma), ấp dung gan đúng sóng dai (long-wavelength approximation) bằng cách

khai triển trường A(r) va G(r) quanh khối tam va chỉ giữ các số hang đầu của các toán

tử trường tương ứng Với một hệ trung hòa điện,

đây là gần đúng lưỡng cực điện Ta viết lại toán tử Hamilton (1.36) lần lượt là toán

tử Hamilton cho trường điện từ, cho nguyên tử và tương tác giữa nguyên tử và trường

dưới dạng như sau

Đặt |n) là các trang thái riêng của hệ nguyên tử nhiều mức ta có thể viết Hy

(phương trình (1.54)) như sau

Dé tính hai bậc bổ chính đầu ứng với trị riêng không nhiễu loạn của trạng thái |j)|{0})

do toán tử Hamilton nhiễu loạn (1.55) (|{0}), trạng thái chân không của các trường cơ

bản f\(r,w)), ta chú ý rằng hai số hạng đầu không có các yếu tố chéo Vì vậy Hamilton

nhiễu loạn bắt đầu đóng góp vào bổ chính từ bậc thứ hai,

(7, giá trị chính), trong khi số hạng thứ ba bắt đầu đóng góp từ bậc đầu

AE, = (I|( 1D oi da =Â*£a)I{0NII: (1.59)

O day, |{1,(r, w)}) =fi(r, w)|{0}) là các trang thái Fock don lượng tử (single-quantum

Fock states) của các trường co ban, và

là các tần số chuyển mức nguyên tử Do Ai; va AoE, đều tỷ lệ với bac hai của hằng

số tương tác [88], bd chính bậc chủ đạo cho năng lượng riêng của mức | bằng tổng của

hai đại lượng trên

AF, = AiFi + AasHt (1.61)

Qua nhiều bước biến đổi dài dòng [88] ta được

— Ho ror Jun mm + 5 dik {we

x [Im G(ra,ra,w) — Im lại (ra,ra,w)|

với

dụ = (|d|k) (1.63)

là các yếu tố ma trận lưỡng cực lŒÌ(r,r',ø) = ƒ d3s ƒ ds'ðÌ'(r—s)G(, 8’, w)6!l(s’—-r’).

Do nguyên tử phải nằm trong vùng không gian tự do, tensor Green trong vùng

này là tổ hợp tuyến tính của tensor Green chân không G và tensor Green tán xạ

GO)

G(r, r’,w) = GO(r,r’',w) + G(r, r',w), (1.64)

trong đó tensor Green chan không không phụ thuộc tọa độ, trong khi tensor Green tán

xạ mô tả sự thay đổi trong không gian của hằng số điện môi và hệ số từ thẩm Tương ứng, bổ chính AE, có thể tách thành hai phần

AE, = AE + AEP)tra) (1.65)

AE (ra) phụ thuộc ra liên quan tới tensor Green tán xạ chính là thé CP ma chúng

ta tìm kiếm

U(rA) = AB}? (ry) = ALES? (ra) + AsEf)ứà) (1.66)

Từ phương trình (1.62) [G(ra,ra,w) => GM (ra, ra,w)], sử dụng phương trình (1.45)

và đổi biến —w sang w, ta nhận được

i" GM Eras ns,)}| dy (1.67)

Phương trình này có thé được đơn giản hóa sử dụng kỹ thuật tích phan vòng tensor Green tấn xạ GY (ra, ra,w) là ham giải tích trong nửa trên của mặt phẳng tần

số phức, bao gồm trục thực Áp dụng định lý Cauchy, ta có thể thay thế tích phân giá

trị chính theo nửa trục dương của tần số thực (số hạng thứ nhất trong phương trìnhtrên) bằng tích phân vòng theo nửa trục dương tần số ảo w = 7u cộng với tích phântheo một phần tư đường tròn có bán kính vô cùng lớn trong phần tư thứ nhất của

mặt phẳng phức Thực hiện tương tự cho số hạng thứ hai trong phương trình trên,

với phần tư đường tròn có bán kính vô cùng lớn nằm trong phần tư thứ hai của mặt

phẳng phức (xem chỉ tiết trong công trình [8§]) Các tích phân dọc theo các phần tư

đường tròn có bán kính vô cùng lớn biến mất do tính chất

là phần ngoài cộng hưởng, và

U(rA) = —no ` ©(uw)f,

k

x diz -Re GO (ra, ra, wr) dx (1.71)

[O(z), ham bước nhảy đơn vị] là phần cộng hưởng xuất phát từ đóng góp của các cực

@=0„y (@= —uy) Chú ý rằng phần cộng hưởng U?(rA) bằng không khi hệ nguyên tử

ở mức cơ bản Khi nguyên tử ở mức kích thích, phần cộng hưởng U}(ra) thường lớn

hơn rất nhiều so với phần ngoài cộng hưởng Up" (ra)

1.5 Tương tác van der Waals

Ta chuyển sang bài toán kế tiếp là bài toán tương tác tán sắc giữa hai nguyên tử(hoặc phân tử) A và trung hòa điện va ở trong trạng thái cơ bản Do hai nguyên tử

trung hòa điện ta có acd da = oeR da = 0, trong đó qa ky hiệu các điện tích tao

thành nguyên tử Khác với trong hai mục trước và giống với công trình [23], trong mục

này chúng tôi sử dụng toán tử Hamilton ở dạng tương tác đa cực (multipolar-coupling)

thay vì dạng tương tác tối thiểu (minimal-coupling) Hai dạng này tương đương và liên

quan với nhau thông qua biến đổi Power-Zienau [23]

+ 1 3 ^ A

U = exp fe r 2„Pa) - Aw] (1.72)

trong đó su phân cực điện của nguyên tử A được cho bởi

của nguyên tử A (ma= „e4 Ma) Giả sử rằng tất cả các nguyên tử (i) chuyển động không đáng kể, (ii) có kích thước nhỏ so với bước sóng và (iii) phân biệt với nhau,

/ d?rPa(r)-Pp(r) = ổag / d°r Ð3(r) (1.76)

Khi đó, toán tit Hamilton có thể được viết lại như sau [23]

ft = fie +S flat SO flaw (1.77)

Trong trường hợp các nguyên tử không có phân cực từ, phương trình (1.80) chỉ còn lại

một số hạng

Hap = —d4- B(êa) (1.86)

Xét hai nguyên tử trung hòa điện, ở mức cơ ban A và B ở các vi trí ra varg trong

sự hiện diện của các vật thể điện từ có hình dạng bất kì Đặt |nacp)) là các trạng thai riêng của nguyên tử A(B), ta có thể biểu diễn lại toán tử Hamilton Hu(p ở dạng

Hap) = » EA\mnAtp) ứAtm)l (1.87)

Trong gần đúng lưỡng cực điện, toán tử Hamilton tương tác fA\sw có dạng, từ phương

trình (1.86) [Pacey > rA(m],

=3” Ina)(mavs|ldfft - Ê(ra), (1.88)

ở đó đt» = (n4(B) lđa (B)|nA()), và Ê(r) được cho bởi phương trình (1.82) cùng với

phương trình (1.83) Đặt |{0}), |1), và |1), 19)) là các trạng thái chân không, trạng

thái kích thích đơn lượng tử và trạng thái kích thích hai lượng tử của hệ gồm trường

điện từ và môi trường vật thể,

fr(r,w)|{0}) = 0, (1.89)

Pravin Fas Wa)|{O}) = |L), (1.90)

wi ¡„(0 a,s) ƒS ¿„ (F+, e2)|{0}) = JI,1) (1.91)

(năng lượng tương ứng là hw, va A(wg + w,)).

Theo cách tiếp cận của Cassimir và Polder [6], tương tác vdW giữa hai nguyên tử

chính là sự dịch chuyển của mức năng lượng cơ ban Afxg được tính theo lý thuyết

nhiễu loạn như sau

;(0LU]ap+fpg|LLD(TIHfAp+ Ñpg|TT

AE ap = >- Art Hsp|LLD II|Har + pelt)

1I1I1I (Ey — Eo)

(11|Hap+Hopp|L) (| Hart Ñng|0)

x 3

(Em — Eo)(Ein — Eo) (1.92)

trung gian |), |TT), |TTT), mà không bao gồm trạng thái cơ bản của hệ

l0) = |04)|0z)|{0}) (1.93)

Chú ý là các tong cũng chứa trong đó cả các tích phân theo vị tri và tần số.

Từ phương trình (1.88), bằng cách xem xét các quá trình ảo của hai nguyên tử, có

thể suy ra các trạng thái trung gian |7) và |III) có một nguyên tử kích thích và một

trường kích thích, trong khi các trang thái trung gian |7) có thể ở ba trường hợp: (i)

cả hai nguyên tử ở mức cơ bản cùng với hai trạng thái trường kích thích, (ii) cả hai nguyên tử kích thích cùng với không có trường kích thích, (iii) cả hai nguyên tử kích

thích cùng với hai trạng thái trường kích thích Tất cả các trạng thái trung gian khả

di cùng với các mẫu số năng lượng tương ứng được cho bởi bang II trong [23]

Ví dụ xét trường hợp thứ (1) trong bảng này Thay các yếu tố ma trận

vào phương trình (1.92) Khi đó, đóng góp của AF yg) vào AE yg là [23]

Dam (01, We, 03, Wa) = (0-Ð01)(00a2-E03) (WR +04) (1.100)

l2Atø = (EN) — EX py)/N- Từ phương trình (1.48), phương trình (1.98) được viết lại

trong đó Dị và Dị là các mẫu số thứ nhất và thứ hai trong bang II [23]

Các đóng góp của AJAp() vào AE yg tương ứng với các trường hợp (2)-(10) trong

bang II [23] có thé được tính một cách tương tự Các kết quả chỉ khác phương trình (1.101) ở mẫu số Tổng của các mẫu số có dạng

xii

> A(01 + wit + w) ( 1 1 ) (1.102)

Từ đó, đóng góp của các AZap() vào dich chuyển mức năng lượng dẫn tới thế vdW

UAp(FA,tp)= ho AE 4B (rk) nhu sau

Để xử lý tích phân theo uw”, trước tiên ta sử dung tính chất Im Œ= (G — G*)/(2i)

và mối liên hệ (1.45) để viết

trong đó các cực tại w’ = —w và w’ = w được xử lý như giá trị chính tensor Green là

hàm giải tích trong nửa trên của mặt phẳng tần số phức bao gồm trục thực Sử dụng

kỹ thuật tích phân vòng và tính chất

lim œ?G(ru,rs,6) =0, (1.105)lol->s TAZrbB