— Nghiên cứu các điều kiện ổn định cho các mô hình tối ưu: + Tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu xấp xỉ đối với bàitoán tối ưu tập phụ thuộc tham số.. nghiệm xấp xỉ đối vớ
Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
— Bai toán cân bằng, bài toán tối ưu tập, bao hàm thức biến phan Browder
— Cỏc dạng nửa liờn tục/liờn tục, liờn tục Lipschitz/HửIder của cỏc ỏnh xạ nghiệm đối với các mô hình tối ưu.
— Các phương pháp vô hướng hóa, các đạo hàm suy rộng cho ánh xạ đa trị, các giả thiết chính quy metric.
Luận án sẽ sử dụng và phối hợp nhiều phương pháp nghiên cứu khoa học hữu dụng, như phương pháp tổng hợp, phân tích; phương pháp tổng quát hóa và đặc biệt hóa; phương pháp nghiên cứu tài liệu Các phương pháp này sẽ được triển khai tương thích các công cụ và kỹ thuật hữu hiệu của toán học hiện đại và phù hợp với từng hướng tiếp cận.
Nội dung và phạm vi nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho các mô hình tối ưu, và được sắp xếp theo các nội dung chính sau đây:
— Xem xét các mô hình tối ưu và các dạng nghiệm hữu hiệu của chúng.
— Khao sát các phương pháp vô hướng hoá cho các mô hình.
— Nghiên cứu các điều kiện ổn định cho các mô hình theo hai dang chính: ổn định định tính theo nghĩa liên tục, nửa liên tục; ổn định định lượng theo nghĩa liờn tục Lipschitz/Hửlder, tớnh khả vi Ap dụng vào cỏc mụ hỡnh thực tế.
Luận án chỉ tập trung khảo sát hai mô hình chính trong tối ưu hoá: bài toán cân bằng, bài toán tối ưu tập, và sự ổn định cũng được xét theo hai nghĩa phổ biến: liên tục Hausdorff, liên tục Lipschitz.
Tổng quan 4 Chương 3 Cơ sở lý thuyết 10
Các khái nệm HH ee 10
Cho X, Y, W là các không gian định chuẩn và C là nón lồi đóng có đỉnh trong
Y Ho các tập con khác rỗng của Y được kí hiệu bởi P(Y) và B là quả cầu đơn vị đóng trong tất cả các không gian R, là tập tất cả các số thực không âm.
Cho A và B là các tập con khác rỗng của X, va x € X, ta kí hiệu d(,B) := inf lla = |, e(A, B) := sup d(a, 8), acA
Dinh nghĩa 3.1.1 (xem [5]) Mot tap A € P(Y) được gọi là
(b) đ-đóng nếu A+C là một tap đóng;
(c) C-bi chặn nếu lấy bất kì lân cận V của gốc trong Y, ta luôn tim được t > 0 sao cho A CtV+C;
(d) C-compact nếu bất kì phủ mở của A có dạng {Ua +C | Ua là mở } đều trích được một phủ con hữu hạn.
Ta kí hiệu ho các tập C-chinh thường, C-déng và C-compact lần lượt là
Dinh nghĩa 3.1.2 Một ánh xạ đa trị G : X 3 Y được gọi là có đường kính bi chặn déu trong A Cc X nêu tồn tại p > 0 thoả mãn với mọi x € A thì diamG(#) < 0, trong đó “diam” là đường kính của tập.
Rõ ràng, nếu G(A) là bị chặn thì G có đường kính bị chặn đều trong A với mọi Ac X Cho G: R? 3 R? được xác định bởi
Khi đú, G cú đường kớnh bị chặn đều trong R? với ứ = V2, nhưng G(R?) = R? là không bị chặn Vì vậy, chiều ngược lại của nhận xét này là không đúng.
Tính lồi, lõm mở rộng của ánh xạ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cổ điển về các điều kiện lồi/lõm và cung cấp các điệu kiện lồi lõm mở rộng như đã giới thiệu trong các bài báo [B1- B5]. Định nghĩa 3.2.1 Cho A là một tập con không rỗng của X và 21,29 € A.
(a) (xem [84]) Ánh xa £„,„, : [0,1] 3 X được định nghĩa bởi
Khi đó, tập Le, 2,((0,1]) được gọi là một đoạn thẳng với hai đầu mút 21, 22.
Hơn nữa, tập A là loi nếu Z;;([0,1]) C A với moi z,z € A.
(b) (xem [85]) Một ánh xạ liên tục Tz, „, : [0,1] + A sao cho
Px, z;„(0) —= T1; Ez,z;„(1) = 12 được gọi là một cung trong A với hai đầu mút 21, 72 Tập A được gọi là lên thông cung nêu với mỗi cặp điểm z,z € A, ta luôn tìm được một cung z„„; trong A. Định nghĩa 3.2.2 (xem [S6]) Một ánh xạ đa trị Œ: X = Ÿ được gọi là
(a) C-ldi trong một tập lồi A nếu với mọi 71,22 € A và t € |0, 1], tG(a1) + (1 —t)G(a2) C G(tay + (1— t)ae) + C, (3.2.1)
(b) G được gọi là C-lốm nếu (3.2.1) được thay thế bởi
(c) C-gidng lồi trên một tap 4 C X (A có thé không lồi) nếu với moi 21,72 € A và t € [0,1], ta luôn tim được 23 € X sao cho tG(1) + (1 — t)G(z2) C G(a3) +C.
11 Định nghĩa 3.2.3 (xem [S7]) Một hàm đa trị G: X = Y được gọi là loi trong một tập con lồi A của X nếu đồ thị của nó là một tập lồi trong A x Ÿ.
Tiếp theo, một khái niệm giảm nhẹ của Định nghĩa 3.2.2 đã được đề xuất trong bài báo [BI]. Định nghĩa 3.2.4 Cho 9 C R và Ac X là lồi, C là nón có phần trong khác rong (int C # 0) Với mỗi e € intC cho trước, ánh xạ đa trị Œ: X 3 Y được gọi là
(a) Q-lốm ứng uới e loại một trong X nêu với mọi 71,272 € A va ?,ra € © sao cho G(21) C rie + C và G(x2) C ree + intC thì ta được
G(ta, + (1— f)z3) C [ri + (1— f)ra]|e + intC Vt €]0, 1{;
(b) Q-lém ứng uới e loại hai trong nếu với mọi 71, 72 € A và r,ra € © sao cho
G(z1) N (rie +) #0 và G(z:) N (ree + intC) # thì ta được
Nhận xét 3.2.1 Nếu một ánh xa thoả mãn tính chat Q-lốm trong A thà nó cũng thoả mãn tính chất Q-lom trong A vdi mọt Qc Nếu G là ánh za đơn trị thà tính Q-lom ứng uới e loại mot va logi hai trong A là trùng nhau, được gọt là Q-lém ứng uới e trong A, va nó là một dang mở rộng của C-lõm.
Trong bai báo [B1], các kết quả quan trong sau đây đã được chứng minh.
Bồ đề 3.2.1 Cho G,A được xác định trong Dinh nghĩa 3.2.4 Khi đó, các khẳng định sau là đúng.
(a) Nếu G là (—)-lồi trong A thà G là R-lém ứng uới e loại hai trong A.
(b) Nếu G là C-lém trong A thà G là R-lém ứng uới e loại một trong A.
Cho A và G lần lượt là các tập con lồi khác rỗng của X va R Kí hiệu, F(A, G) là tập tat cả các hàm véctơ v: Xx Xx W -—› Y thoả mãn với mọi x1, 272 € A,r € G, z€X,ạ„cW wate |0, l1],
0(#1, z, g) € C, 0(za, z,g) € rB+C => 0(z¡, z, g) € tr + C, trong đó ay, := tao + (L— £)#1.
Nhận xét 3.2.2 Từ sự zác định của F(A,G), các tính chat sau đâu dé thu được.
Một kết qua quan trong về tính lõm giảm nhẹ của ánh xạ đơn trị, trình bày chỉ tiết trong bài báo [B2], sẽ được phát biểu như sau.
Bồ đề 3.2.2 Nếu o:XxXx W — Y là C-lõm theo biến thú nhất trong một con tập lồi A của X thi nó là một phần tử cia F(A,R).
Khi nghiên cứu các mô hình tối ưu tập dựa trên quan hệ thứ tự giữa các tập hợp thì việc lựa chọn quan hệ thứ tự tập hợp là cần thiết và đảm bảo sự phù hợp với ý nghĩa bài toán thực tế Luận án này tập trung nghiên cứu bài toán tối ưu tập dựa trên quan hệ thứ tự KNY. Định nghĩa 3.2.5 Cho A,B € P(Y), một quan hệ thứ tự tập trong Y ứng với nón C được định nghĩa bởi
Quan hệ thứ tự này thường được gọi là quan hệ thứ tự KNY, xem [19,20] và các tài liệu tham khảo trong đó.
Dựa vào [S8], chúng tôi xem xét các khái niệm lồi tổng quát cho các ánh xạ đa trị như sau. Định nghĩa 3.2.6 Cho 4 c P(X), một ánh xạ da trị G : X= Ÿ được gọi là
(a) Œ-lồi theo đoạn trong A nếu £z,„„(|0, 1]) C A và G(#z,„;(f)) < (1 — t)G (21) + tG(x2), với mọi 21,72 € A vat € |0, 1];
(b) Œ-lồi theo cưng trong A nếu với mỗi cặp điểm 21,22 € A, ta luôn tìm được một cung Tz, „„ trong A sao cho
(c) C-tựa lồi tự nhiên theo đoạn trong A nêu Ly, „„([0, 1]) C A với mọi 21,22 € A và với mỗi £ € [0,1], ta luôn tìm được s € [0,1] sao cho
(d) C-tua loi tự nhiên theo cung trong A nêu cho bất kì cặp điểm z1,za € A, ta luụn tỡm được một cung ẽ„, „, trong A sao cho với mỗi ¿ € [0, 1], ta luụn tim được s € [0,1] sao cho
Tính liên tục của ánh xạ đa frỊ Ặ.Ặ SỐ QC 14 Chương 4 Kết quả nghiên cứu và phân tích, đánh giá, thảo luận 17 A Kết quả nghiên cứu
Mục này dành để trình bày các khái niệm cổ điển và giảm nhẹ liên quan đến tính nửa liên tục, liên tục, liên tục Hausdorff/Lipschitz. Định nghĩa 3.3.1 (xem [S7]) Một ánh xạ đa trị G: X = Ÿ được gọi là
(a) nửa liên tục trên (usc) tại xo € X nếu với bất kì một lân cận YU của G(zo) thì luôn tồn tại lan cận N của zọ sao cho G(M) CU;
(b) nửa liên tục dưới (Isc) tại xo € X nếu với mọi xp > xo và yo € G(xo) thì tồn tại Ya € G(#„) sao cho yn —> 90;
(c) liên tục tại ro € X nếu nó là usc và Isc tai xo. Định nghĩa 3.3.2 (xem [90]) Một ánh xạ đa trị Œ: X = Y được gọi là
(a) mửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff (Husc) tại xo € X nêu với mọi lân cận Y của gốc trong Y thì tồn tại lân cận của zọ sao cho
(b) nita liên tục dudi theo nghĩa Hausdorff (HIse) tai ao € X nếu với moi lan cận } của gốc trong Y thi tồn tại lân cận của x9 sao cho
(c) liên tục Hausdorff tai ao € X nêu nó là Huse va Hlsc tai ao.
14 Định nghĩa 3.3.3 (xem [90]) Một ánh xạ đa trị Œ: X = Y được gọi là
(a) C-nửa liên tục trên (C-usc) tại zọ € X nếu lấy bất kì lân cận V của G(zo), ta luôn tìm được một lân cận U của zp sao cho G(U) CV+C;
(b) C-nita liên tục đưới (C-lsc) tại ro € X nếu lẫy bat kì một tap mở V trong Y thoả man G(zọ) NV # Ú, ta luôn tìm được một lân cận YU của zp sao cho
(c) C-lién tục tai ro € X nếu nó là C-use và C-Isc tai xo. Định nghĩa 3.3.4 (xem [90]) Một ánh xa đa triG: X = Y được gọi là
(a) C-ntia liên tục trên theo nghĩa Hausdorff (C-Husc) tai ro € X nếu với mọi lan cận } của gốc trong Y thì tồn tại lan cận N của x9 sao cho
(b) C-nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff (C-Hlsc) tai x9 € X nêu với mọi lân cận V của gốc trong Ÿ thì tồn tại lân cận của x9 sao cho
(c) C-lién tục Hausdorff tại xo € X nếu nó là C-Husc và C-Hlsc tại zo.
Bồ đề 3.3.1 (xem [89]) Ánh zạ G là Isc tai xạ nếu uới moi xn > 20,
G(zo) C liminf G(z„ạ) := {yo € Y | dyn € G(2n), tạ > 90}:
Bổ đề 3.3.2 (xem [S9]) Giả sử rằng G(ao) là compact Khi đó, G là usc tai xo nếu va chỉ nếu uới moi day {tn} — 20 Đồ Yn € G(œn), ta luôn trích được day con fyn,} của {yn} hội tụ ve yo € G(a0).
B6 dé 3.3.3 (xem [89]) Hợp LJ;„„ Gi của một ho các ánh za nửa liên tục dưới
G¡:X — Ÿ là một ánh xạ nửa liên tục dưới từ X uào Y vdi 7 là một tập chỉ số.
Bổ đề 3.3.4 (xem [89]) zọ € X là một điểm cho trước.
(a) Nếu GŒ là usc tại xo thà G là Husc tại xo Ngược lại, nếu G là Husc tại xo va
G(ao) là compact thà G là usc tai zo.
(b) Nếu G là Hlsc tại xq thi G là Isc tại ao Ngược lại, nếu G là Isc tại xo va
Go) là compact thi G là Hlsc tai zo.
Một lớp hàm quan trọng khác trong ổn định nghiệm là ham liên tục Lipschitz. Ý nghĩa quan trọng của hàm liên tục Lipschitz thể hiện trong việc giới hạn tốc độ tăng của giá trị hàm số khi các điểm đầu vào tách xa nhau Điều này có nghĩa là nếu một hàm là liên tục Lipschitz, thì sự thay đổi nhỏ trong đầu vào chỉ dẫn đến sự thay đổi nhỏ tương ứng trong đầu ra, hơn nữa nó cung cấp các ước lượng định lượng cụ thể về độ lệch Ta có các khái niệm mở rộng lớp hàm này trong trường hợp vector và đa trị như sau. Định nghĩa 3.3.5 Cho G : X Y là một ánh xạ đa trị, g: X > Y là một ham có giá tri vector và A là một tập hợp con khác rỗng của X.
(a) (xem [62]) G được gọi là Lipschitz liên tục xung quanh xp € A nếu tồn tại một số thực £ > 0 và một vùng lân cận của zọ sao cho tất cả 71,72 € 4,
Gai) C Ga) + (Ji — za|lB;
(b) (xem [91]) g được gọi là C-Lipschitz liên tục xung quanh zp € A nếu tồn tại một số thực £ > 0 và một vùng lân cận UY của x9 sao cho tất cả 71,72 EU, g(x1) € g(x2) + ella — za||B + C.
Khi đó, £ được gọi là hằng số Lipschitz của G và g Chúng tôi nói rằng một ánh xạ thỏa mãn một thuộc tính nhất định trong A nếu và chỉ khi nó thỏa mãn điều này xung quanh mọi điểm của A.
KET QUA NGHIÊN CỨU VÀ PHAN
TÍCH, ĐÁNH GIÁ, THẢO LUẬN
Luận án bám sát vào các nội dung nghiên cứu đã được đưa ra và thu được các kết quả mới đóng góp có ý nghĩa cho sự phát triển của các vấn đề Toán học liên quan đến nội dung của luận án Các kết quả này đã được chọn lọc từ ð bài báo quốc tế, trong đó có 4 bài báo đã được công bố trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục SCIE/SCOPUS và 1 bài báo gửi đăng (Revised) trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục SCIE/SCOPUS Trong mục này, chúng tôi sắp xếp và trình bày một cách có hệ thống các kết quả đạt được của luận án.
Các mô hình tối ưu và các dạng nghiệm
Cho A là một tập con khác rỗng của X và P, Q là các tập con khác rỗng của
W Ta xét các mô hình tối ưu sau đây.
4.1.1 Bài toán tối ưu tập
Với mỗi p € P, ta xem xét bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số (SOP): min F(z,p) sao cho ứ€ , trong đú ':X x W ơ Y là một ỏnh xạ đa trị.
Nếu int C # ỉ thỡ dựa vào cụng trỡnh [19], cho e > 0 và e € intC, một quan hệ tựa thứ tự xấp xỉ C(Engs #2 Ðny) + Eng nụ (4.3.1)
Vì tính compact của A, nên {2„„} hội tụ về 2 € A Kết hợp điều này với (4.3.1) va tính liên tục của ¢, ta được điều này mâu thuẫn với zo € f(£,eo,po) Vì vậy, E(z,-,-) là Isc trong ]0, +oo[xP
Phan còn lại của chứng minh này, chúng tôi chỉ ra rằng Eff là Isc trong J0, +oo[xP Lấy bat kỡ (z,ứ) €]0, +o0o[xP và U là một lõn cận mở thoả món
Ap dụng Dinh lý 4.2.3, ta tim được # € A sao cho
Vỡ E(z,-,-) là lsc tại (Z,ứ) nờn tồn tai một lõn cận V của (ộ,p) thoả món
E(,c,p)niúz# Ve,p) EV. Điều này kết hợp với Dinh ly 4.2.3 cho phép ta viết
Ef(,p)n4#_ V(e,p) EY, hay ta được điều phải chứng minh.
Với mọi (z,e,p) € Ax Ry x7, ta đặt
W(z,e,p) := {2 €.A:C(Z,z,p) < C(z,z,p)+e for all z € A}, và định nghĩa ánh xạ
Dễ thay, E(z,¢,p) C W(z,e,p), và Dinh lý 4.2.3 giúp ta thu được
Trong quá trình nghiên cứu mối quan hệ ngược lại của bao hàm thức (4.3.3), chúng tôi chứng minh được kết quả sau.
Bổ đề 4.3.1 Cho (c,p) €]0,+00[xP, nếu tat cả điều kiện của Dinh ly 4.2.2 thoả mãn, A là liên thông cưng va F(-,p) là C-tua lồi tự nhiên theo cưng trong A thi
5(e,p) C cl(Eff(e, p)), trong đó “cl” kí hiệu bao đóng của một tập.
Ngay sau đây, chúng tôi nghiên cứu điều kiện liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm xấp xỉ cho (SOP) mà không dùng bất kì giả thiết nào liên quan đến tính lồi, tính đơn điệu hay các tính chất ngược của hàm mục tiêu.
Dinh lý 4.3.2 Cho P là một tập con khác rỗng của W Giả sử rằng
(i) A là tập liên thông cung va compact;
(ii) F là (£C)-lién tục Hausdorff có giá trị (+C)-đóng trong A x 7;
(iii) vdi mỗi p € P, F(-,p) là C-tựa loi tự nhiên theo cưng trong A.
Khi đó, Eff la liên tục Hausdorff trong |0, +co[xP.
Chứng minh được chia thành sáu bước.
Bước 1 W là nửa lên tục trên trong Ax]0,+00[xP.
Giả sử rằng W là không usc tại (zo,eo,pọ) € 4x]0,+oe[x? Khi đó, ta tìm được một lân cận mở # của W/(zo,zo,po), một dãy {(z„,e„,p„)} hội tụ về (zo,£o,po), và z„ € W(Za,en,p„) \U với mọi n Vì A là compact, ta giả sử rằng {z„} hội tụ về 29 € A Nếu x ¢ W/(zo,£o,pọ) thì ta tìm được 2 € A sao cho ¢(20, 20, Po) > €(Ê; #0, Po) + €0-
Vì 2n € W(2n,; En, Pn), ta được
CỨn.#n.Đn) Š CÍÊ, #n, Pn) + En: (4.3.4)
Vì ¢ là liên tục trong A x A x 7, nên (4.3.4) kéo theo
(20, 0, Po) < €ÍÊ, #0, Po) + £0. Điều này mâu thuẫn với C(zo, 70, po) > ¢(2, 20, po) + eo, và do đó zo € W(#o,£0,po) CU, điều này lại vô lý vì {zn} CU va là mở Vì vậy, W là usc trong Ax]0, +00[xP.
Bước 2 W(z,e,p) là compact vdi moi (z,e,p) € Ax]0,+00[xP.
Cho z„ € W(z,e,p) với z„ hội tụ đến z € A, ta có
Ap dụng tính liên tục của ¢, ta được
C(zo,#,p) 29 € A Vì W la usc có giá trị compact tại (z0,€0,p0) và tn € W(z„,e„,p„), ấp dụng [89, Mệnh đề 2.19], ta tìm được một điểm tụ xo € Wf(zo,zo,po) của dãy {z„} Khi đó, xo € Š(eg,pọ) C V điều này là vô lý vi z„ không thuộc V với mọi n Vì vậy, S là usc trong |0,-+oo[x7.
Bước 4 Lay bất kì lan cận Ox của gốc toa độ trong X, ta tìm được một lân cận cân bằng Of của gốc toa độ trong X sao cho
Vỡ S là Husc tại (z,ứ) €]0,+00[xP nờn với Ok, ta tỡm được lõn cận N của (ộ,p) thoả man
Ap dung Bổ đề 4.3.1 và (iii), ta được $(é,p) C clEf(é,p) Kết hợp điều này với
OL + OL C Ox và (4.3.5), ta được
Cc Eff (é, ?) + Ox với moi (e,p) € N Điều này kết hợp với (4.3.3) suy ra
Vi vay, Eff là Husc trong ]0, +oo[xP.
Bước 5 S$ là Hisc tai (é,p) €]0, +oo[xP.
Cho bat kì z € S(é,p), áp dung Bồ đề 4.3.1, ta có x € clEff (é, p).
Khi đó, với Of, ta tìm được z € Eff (é,p) thoả mãn
Vi Eff là Isc tại (Ê,ứ) nờn ta tỡm được một lõn cận của (ộ,p) sao cho
Kết hợp điều này với (4.3.3), ta được
(x + Óx) 1 6(c,p) #0 Ve,p) EN vỡứ+ Ok Cz+ O} +ểỉ} C r+ Ox Vỡ vậy, Đ là Isc tại (ộ,p) Dựa vào Bo dộ
3.3.4, ta cần chứng minh rằng S(é,p) là một tập con đóng của tập compact A. Lấy bất kì dãy {z„} C S(é,p) hội tụ về #, khi đó áp dung (4.3.2), ta tìm được zn € A thoa man in © W(zn,ẽ,Pp) Vn.
Vi A là compact, ta giải sử rang {z„} hội tu về z € A Bởi vì W là usc có giá trị compact tại (Z,é,p), ta kết luận rằng và suy ra S(é,p) là đóng.
Bước 6 Eff là Hlsc trong ]|0,+oo|x7.
Từ (4.3.3) và tính Husc của 9, ta tim lân cận N của (€,p) sao cho
Kết hợp điều này với (iii), Bo đề 4.3.1 giúp ta thu được
C Eff(e, p) Tv Ox, với moi (c,p) e W Vì vay, Eff là Hlsc.
(b) Đối với bài toán cân bằng đa trị mạnh phụ thuộc tham số
Khi xem xét các bài toán (SEP1) và (SEP2), chúng tôi chứng minh được điều kiện liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm xấp xỉ thông qua các điều kiện lõm giảm nhẹ của ánh xạ đa trị Kết quả này được công bố trong [BI]. Định lý 4.3.3 Với po €7, giả sử rằng:
(i) K là một hàm liên tục có giá trị compact tại po va K(P) là bị chan;
(ii) ton tại một lân cận N của po sao cho F là liên tục va có giá tri compact trong K(N) x K(N) x {po};
(iii) vdip Ee P, z € K(p), F(,z,p) là —lR„-lốm ứng uới e loại một trong K(p).
Khi đó, Sị là liên tục Hausdorff tat (eo, po) Uới mọt eq > 0.
Chứng minh được chia thành ba bước.
Bước 1 Ta chỉ ra rằng với mỗi lân cận lồi, đóng Ox của gốc trong X, luôn tồn tại một lân cận V của eg sao cho với mọi p € 7 vac EY,
Si(é, p) C Si (Eo, p) + Ox va 51 (€0, p) C Si(é, p) + Ox (4.3.6)
Từ tinh bi chặn của K(p), với mỗi lân cận lồi đóng Ox, ta luôn tìm được một số ứ > 0 thoả món
Với mỗi 7 € (0,€0), €1,€2 € |£o —7,€0 + 9] với 1 < £a và 1 € Si (E1,p), ta có
F(zi,z,p) + eae = (F(a1,z,p) + e1e) + (e2 —erle CC Vz€ K(p).
Tức là, 21 € 5:(ea,p), do đó
Hệ quả là với mọi e € [eg — 9, €9 + | thì
Lay bat kỡ ỉ với 1 < 0 < va + := €2 + O(e1 — es) Khi đú,c2
€2 — EL g8I(.p) + (: _ 2) Si(€2,p) C SI(£1,P), (4.3.9) 1 trong đó SI(e,p) := {x € K(p) | F(z,z,p) + ee C intC Vz € K(p)} Thật vậy, bởi tính lồi của K(p), ta được
Lp i= +214 (1 2) ra € K(p) Var € Si(y,p), 2 € S1(€2, p). Điều này kết hợp với tính —]R-lõm của F suy ra
F (xg, z,p) + eie = F (29, z,p) + ave + (1 — 2) cae C intC CC Vz € K(p), 1 1 nghĩa là (4.3.9) được chứng minh Khi đó, (4.3.9) dan đến
Kết hợp kết quả nay với (4.3.7), ta được
Ta chọn ?o sao cho 79 < mi và V = [eo — fJo,eu + mo], thé ea = €0, €1 = €0 — 0 VA
0=p+1 (rõ ràng, 29 Vi tn € S1(£,pn) VỚI MOI Yn € F (Ln, Zn, Pn) nên
Diều này kết hợp với tính nửa liên tục dưới của hàm F suy ra sự tồn tai phan ttt Gn € F(#n, Zn; Pn) VỚI Jn — yo thoả mãn ÿ„ + ce € C Nghĩa là, yo + ee € C vì € là đóng, điều này mâu thuẫn với yo + ce ý C.
Bay giờ, ta chứng minh tính Hausdorff nửa liên tục dưới của 51(e,:) tai po.
Từ Bồ đề 3.3.4, ta cần kiểm tra rằng đ5¡(z, -) là Isc tại pp và Š¡(e, po) là compact.
Ta bắt đầu kiểm tra tính nửa liên tục dưới của Š(e,:) Giả sử rằng 8¡(e,-) là không Isc tại po, nghĩa là ta tìm được xp € Si(e, po) và một day {pr} —> po với MỌI Lp € Si(e, Dn), thi
Từ tinh nửa liên tục dưới của K tai po, tồn tai #„ € K (pp) sao cho #„ > x Khi đó, ta luôn tim được một dãy con {Z,,} của #„ thoả man
Tic là, đzn, € K(pn,) Và Yn, € (Eng, Zng; Đny) : Ung + Ee E intC.
Vì K là usc và có giá tri compact tai po nên ta tìm được zp € K (po) với Zn, — Z0.
Phân tích, đánh giá, thảo luận
— Về các mô hình tối ưu và các dạng nghiệm: Trong luận án này, chúng tôi đã xem xét các dạng nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu chặt của bài toán tối ưu tập, đồng thời khảo sát các nghiệm của các bài toán cân bằng mạnh và yếu Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi thấy rằng một mô hình tổng quát của bài toán tối ưu tập và bài toán cân bằng đa trị đã được đề xuất, nghiên cứu trong [97-100] Tuy nhiên, vì thời gian nghiên cứu có giới hạn nên luận án chưa đề cập đến mô hình này và các dạng nghiệm của nó.
— Về phương pháp vô hướng hoá: Chúng tôi đã sử dụng hàm vô hướng hoá tuyến tính và các hàm vô hướng hoá phi tuyến dạng khoảng cách định hướng Hiriart-Urruty, Gerstewitz để biểu diễn nghiệm cho các bài toán cân bằng đa trị yếu, bài toán cân bằng vector mạnh và bài toán tối ưu tập Bằng việc khảo sát sâu rộng hơn các tính chất của các hàm vô hướng được xem xét trong [B2-B3], chúng ta có thể thu được các kết quả thú vị về tính chất nghiệm của nhiều mô hình tối ưu.
— Về tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu đối với bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số: Chúng tôi thu được các kết quả của tính liên tục này đối với ánh xạ nghiệm xấp xỉ mà không sử dụng tính đơn điệu, tính lồi và tính ngược của hàm mục tiêu Các kết quả của chúng tôi là rất khác so với các kết quả trong [58,59] và cải tiến các kết quả trong [60] Với cách tiếp cận mới được đề xuất trong [B4], chúng tôi tin rằng sẽ khảo sát được các kết quả mới về tính liên tục của các loại nghiệm hữu hiệu khác đối với bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số.
— Về điều kiện liên tục Hausdorff cho bài toán cân bằng đa trị: Chúng tôi xem xét các mô hình khác nhau của bài toán cân bằng phụ thuộc tham số và đã đạt được các kết quả mới hoặc làm sâu sắc hơn các kết quả đã có Cụ thể là, Dinh lý 4.3.5 và Hệ quả 4.3.2 là mở rộng của Dinh lý 4.2 trong [44] và Dinh lý 4.1 trong [101] vì chúng tôi đã xem xét bài toán cân bằng cho trường hợp tập ràng buộc bị nhiễu bởi tham số trong khi các tác giả [44,101] xem xét bài toán cân bằng với tập ràng buộc cố định Hệ quả 4.3.1 là sự cải tiến Định lý
1 trong [67] và Dinh lý 3.1 trong [101] vì tính lõm của hàm mục tiêu đã được giảm nhẹ, trong khi đó các Định lý 4.3.3 và Định lý 4.3.6 là hoàn toàn mới Với kỹ thuật và cách tiếp cận đã được đề xuất trong [B4], chúng ta có thể khảo sát điều kiện ổn định nghiệm cho lớp các bài toán cân bằng không lồi và không đơn điệu.
— Về điều kiện liên tục Lipschitz cho bài toán cân bằng đơn trị: Chúng tôi
44 chứng minh được tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng vô hướng và bài toán cân bằng vector mạnh Trong đó, Định lý 4.3.7 là một phiên bản cải tiến cho các kết quả trong [16,61,62] vì các tính chất bị chặn của ánh xạ ràng buộc, điều kiện lõm của hàm mục tiêu lần lượt được thay thế bằng tính chất có đường kính bị chặn đều và điều kiện lõm giảm nhẹ Hơn nữa, Dinh Lý 4.3.8(d) là một bản nâng cấp của các kết quả trong |63-65,102,103], trong khi các kết luận khác, Dinh lý 4.3.8 (a)—(c), là mới.
— Dé thể hiện khả năng áp dụng của các kết quả đạt được trong luận án, chúng tôi đã vận dụng thành công các kết quả chính của luận án vào hai mô hình đặc biệt, bao gồm bài toán bao hàm thức biến phân Browder và bài toán cân bằng mạng giao thông Ngay cả đối với hai trường hợp đặc biệt này, các kết quả đạt được đều là mới.
KET LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ
Luận án đã đạt được các kết quả mới cho các tính chất sau đây của nghiệm các mô hình tối ưu:
— Biểu diễn được nghiệm của bài toán tối ưu tập và các bài toán cân bằng thông qua hàm vô hướng hoá tuyến tính (Định lý 4.2.1), hàm khoảng cách định hướng Hiriart-Urruty (Định lý 4.2.2), và hàm Gerstewitz (Định lý 4.2.3).
— Tính nửa liên tuc/lién tục Hausdorff của các ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số (Dịnh lý 4.3.1 và Dịnh lý 4.3.2), bài toán cân bằng đa trị mạnh phụ thuộc tham số (Định lý 4.3.3 và Dịnh lý 4.3.4), bài toán cân bằng da trị yếu phụ thuộc tham số (Dinh lý 4.3.5 và Dinh lý 4.3.6), bài toán cân bằng vector mạnh (Hệ quả 4.3.1) và yếu (Hệ quả 4.3.2) phụ thuộc tham số.
— Tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng vô hướng (Định lý 4.3.7) và bài toán cân bằng vector mạnh (Định Lý 4.3.8).
— Tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bao hàm thức biến phân
Browder (Hệ quả 4.3.3 và Hệ quả 4.3.4), tính liên tục Hausdorff (Hệ quả 4.3.6) và liên tục Lipschitz (Hệ quả 4.3.5) của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng mạng giao thông.
Các kết quả trình bày trong luận án này là cơ sở cho việc tiếp tục khám phá và mở rộng nghiên cứu các vấn đề:
— Các dạng nghiệm hữu hiệu, nghiệm Henig của các bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng và bài toán tối ưu hai mức thông qua các hàm vô hướng cho các quan hệ thứ tự khác nhau.
— Tính liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz của các ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối uu tập và các bài toán cân bang đa trị phụ thuộc tham số nhưng không sử dụng các tính lồi/lõm, tính đơn điệu, hoặc các giả thiết liên quan đến tập nghiệm và đặc biệt hơn trong một số trường hợp cần loại bỏ yêu cầu nón có phần trong khác rỗng.
— Bên cạnh việc áp dụng những kết quả đạt được từ các mô hình tổng quát, việc sử dụng các kỹ thuật đã nêu trên để khảo sát trực tiếp tính chất nghiệm của các mô hình thực tế như bài toán tối ưu hoá hàm hữu dụng, bài toán cân bằng lượng cầu dư thừa cũng là một cách tiếp cận hay và có khả năng đạt được nhiều kết quả tốt.
Muu, L.D., Oettli, W (1992) Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 18, 1159-1166.
Blum, E., Oettli, W (1994) From optimization and variational inequalities to equilibrium problems Mathematics Student 63, 123-145.
Nikaidô, H., Isoda, K (1955) Note on non-cooperative convex games Pa- cific Journal of Mathematics 5, 807-815.
Fan, K (1972) A minimax inequality and applications Inequalities 3,
Luc, D.T (1989) Theory of Vector Optimization Springer.
Dontchev, A.L., Zolezzi, T (2006) Well-posed Optimization Problems.
Mordukhovich, B.S (2006) Variational analysis and generalized differenti- ation II: Applications (Vol 331) Berlin: Springer. loffe, A.D., Tihomirov, V.M (2009) Theory of Extremal Problems Else- vier.
Khan, A.A., Tammer, C., Zalinescu, C (2015) Set-valued Optimization.
Jahn, J., et al (2011) Vector Optimization Springer.
Kuroiwa, D (1997) Some criteria in set-valued optimization Nonlinear
Hernandez, E., Rodriguez-Marin, L (2007) Nonconvex scalarization in set optimization with set-valued maps Journal of Mathematical Analysis and Applications 325, 1-18.
Jahn, J., Ha, T.X.D (2011) New order relations in set optimization Jour- nal of Optimization Theory and Applications 148, 209-286.
Gutiérrez, C., Miglierina, E., Molho, E., Novo, V (2012) Pointwise well- posedness in set optimization with cone proper sets Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 75, 1822-1833.
Khoshkhabar-Amiranloo, S., Khorram, E (2015) Pointwise well-posedness and scalarization in set optimization Mathematical Methods of Operations Research 82, 195-210.
Han, Y (2019) Nonlinear scalarizing functions in set optimization prob- lems Optimization 68, 1685-1718.
Hamel, A.H., Heyde, F., Lửhne, A., Rudloff, B., Schrage, C (2015) Set Optimization and Applications—The State of the Art Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 151.
Han, Y., Zhang, K (2022) Semicontinuity of the minimal solution mappings to parametric set optimization problems on Banach lattices Optimization
Anh, L.Q., Duy, T.Q., Hien, D.V., Kuroiwa, D., Petrot, N (2020) Con- vergence of solutions to set optimization problems with the set less order relation Journal of Optimization Theory and Applications 185, 416-432.
Anh, L.Q., Duy, T.Q., Hien, D.V (2020) Stability of efficient solutions to set optimization problems Journal of Global Optimization 78, 563-580.
Young, R.C (1931) The algebra of many-valued quantities Mathematische
Nishnianidze, Z (1984) Fixed points of monotonic multiple-valued opera- tors Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences 114, 489-491.
Sun, Y (2020) Continuity of solution mappings for parametric set opti- mization problems under partial order relations Advances in Pure Mathe- matics 10, 631-644.
Liu, P.P., Wei, H.Z., Chen, C.R., Li, S.J (2021) Continuity of solutions for parametric set optimization problems via scalarization methods Journal of the Operations Research Society of China 9, 79-97.
Xu, Y., Li, 5 (2014) Continuity of the solution set mappings to a para- metric set optimization problem Optimization Letters 8, 2315-2327.
Xu, Y., Li, S (2016) On the solution continuity of parametric set op- timization problems Mathematical Methods of Operations Research 84, 223-237.
Khoshkhabar-amiranloo, 5 (2018) Stability of minimal solutions to para- metric set optimization problems Applicable Analysis 97, 2510-2522.
Mao, J.Y., Wang, S.H., Han, Y (2019) The stability of the solution sets for set optimization problems via improvement sets Optimization 68, 2171-
Kassay, G., Radulescu, V (2018) Equilibrium Problems and Applications.
Muu, L.D (1984) Stability property of a class of variational inequalities.
Takahashi, S., Takahashi, W (2008) Strong convergence theorem for a generalized equilibrium problem and a nonexpansive mapping in a hilbert space Nonlinear Analysis 69, 1025-1033
Bianchi, M., Pini, R (2003) A note on stability for parametric equilibrium problems Operations Research Letters 31, 445-450.
Kimura, K., Yao, J.C (2008) Semicontinuity of solution mappings of para- metric generalized vector equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 138, 429-443.
Kimura, K., Yao, J.C (2008) Sensitivity analysis of solution mappings of parametric vector quasi-equilibrium problems Journal of Global Optimiza- tion 41, 187-202.
Chen, C., Li, S., Teo, K.L (2009) Solution semicontinuity of parametric generalized vector equilibrium problems Journal of Global Optimization
Bianchi, M., Rita, P (2006) Sensitivity for parametric vector equilibria.
Gong, X.H (2008) Continuity of the solution set to parametric weak vector equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications
[38] Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2004) Semicontinuity of the solution set of para- metric multivalued vector quasiequilibrium problems Journal of Mathe- matical Analysis and Applications 294, 699-711.
Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2007) On the stability of the solution sets of gen- eral multivalued vector quasiequilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 135, 271-284.
Kim, W.K., Kum, S., Lee, K.H (2009) Semicontinuity of the solution multifunctions of the parametric generalized operator equilibrium problems. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 71, e2182—e2187.
Li, S., Fang, Z (2010) Lower semicontinuity of the solution mappings to a parametric generalized Ky Fan inequality Journal of Optimization Theory and Applications 147, 507-515.
Han, Y., Gong, X.H (2014) Lower semicontinuity of solution mapping to parametric generalized strong vector equilibrium problems Applied Math- ematics Letters 28, 38-41.
Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2010) Continuity of solution maps of parametric quasiequilibrium problems Journal of Global Optimization 46, 247-259.
Peng, Z., Zhao, Y., Yang, X (2015) Semicontinuity of approximate solu- tion mappings to parametric set-valued weak vector equilibrium problems. Numerical Functional Analysis and Optimization 36, 481-500.
Anh, L.Q., Duoc, P.T., Thuy, V.T.M (2023) Existence and stability to vector optimization problems via improvement sets Journal of Applied and Numerical Optimization 5, 219-235.
Li, S., Li, X., Wang, L., Teo, K.L (2009) The Holder continuity of so- lutions to generalized vector equilibrium problems European Journal of Operational Research 199, 334-338.
Li, S., Li, X (2011) Hélder continuity of solutions to parametric weak generalized Ky Fan inequality Journal of Optimization Theory and Appli- cations 149, 540-553.
Mansour, M.A., Riahi, H (2005) Sensitivity analysis for abstract equilib- rium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 306,
[49] Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2006) On the Holder continuity of solutions to parametric multivalued vector equilibrium problems Journal of Mathemat- ical Analysis and Applications 321, 308-315.
[50] Mansour, M.A., Scrimali, L (2008) Holder continuity of solutions to elastic traffic network models Journal of Global Optimization 40, 175-184.
[51] Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2007) Uniqueness and Holder continuity of the solution to multivalued equilibrium problems in metric spaces Journal of Global Optimization 37, 449-465.
[52] Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2008) Sensitivity analysis for multivalued quasiequilibrium problems in metric spaces: Hửlder continuity of solutions. Journal of Global Optimization 42, 515-531.
[53] Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2009) Holder continuity of the unique solution to quasiequilibrium problems in metric spaces Journal of Optimization Theory and Applications 141, 37-54.
[54] Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N (2015) On Hélder continuity of solution maps of parametric primal and dual Ky Fan inequalities Top 23, 151-167.
[55] Li, X., Long, X., Zeng, J (2013) Holder continuity of the solution set of the Ky Fan inequality Journal of Optimization Theory and Applications
[56] Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N (2018) On Hélder continuity of so- lution maps to parametric vector primal and dual equilibrium problems. Optimization 67, 1169-1182.
[57] Tam, T.N (2022) On Holder continuity of solution maps to parametric vector Ky Fan inequalities Top 30, 77-94.
[58] Anh, L.Q., Danh, N.H., Tam, T.N (2020) Continuity of solution maps to parametric set optimization problems via parametric equilibrium problems. Acta Mathematica Vietnamica 45, 383-395.
[59] Han, W., Yu, G (2022) Scalarization and semicontinuity of approximate solutions to set optimization problems Applied Set-Valued Analysis and Optimization 4, 239-250.
Han, Y., Li, S.J (2023) Stability of the approximate solution sets for set optimization problems with the perturbations of feasible set and objective mapping Optimization, DOI: 10.1080/02331934.2023.2231492
Li, X., Li, S., Chen, C (2012) Lipschitz continuity of an approximate solu- tion mapping to equilibrium problems Taiwanese Journal of Mathematics
Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N (2012) On Hửlder continuity of approx- imate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 75, 2293-2303.
Anh, L.Q., Danh, N.H., Duoc, P.T., Tam, T.N (2021) Qualitative proper- ties of solutions to set optimization problems Computational and Applied Mathematics, 40, 1-18.
Peng, Z., Yang, X., Teo, K.L (2015) On the Holder continuity of approxi- mate solution mappings to parametric weak generalized Ky Fan inequality. Journal of Industrial and Management Optimization 11, 549-562.
Sadeqi, I., Salehi Paydar, M (2016) Lipschitz continuity of an approximate solution mapping for parametric set-valued vector equilibrium problems. Optimization 65, 1003-1021.
Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N (2017) Continuity of approximate solu- tion maps to vector equilibrium problems Journal of Industrial and Man- agement Optimization 13, 1685-1699.
Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N (2019) Continuity of approximate solution maps of primal and dual vector equilibrium problems Optimization Letters 13, 201-211.
Hiriart-Urruty, J.B (1979) Tangent cones, generalized gradients and math- ematical programming in banach spaces Mathematics of Operations Re- search 4, 79-97.
Huerga, L., Jiménez, B., Novo, V., Vilchez, A (2021) Six set scalarizations based on the oriented distance: continuity, convexity and application to convex set optimization Mathematical Methods of Operations Research
[70| Jiménez, B., Novo, V., Vilchez, A (2020) Six set scalarizations based on the oriented distance: properties and application to set optimization. Optimization 69, 437-470.
[71] Gerth, C., Weidner, P (1990) Nonconvex separation theorems and some applications in vector optimization Journal of Optimization Theory and Applications 67, 297-320.
[72] Hernandez, E., Rodríguez-Marín, L (2007) Existence theorems for set opti- mization problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications
[73] Ha, T.X.D (2020) A new concept of slope for set-valued maps and appli- cations in set optimization studied with Kuroiwa’s set approach Mathe- matical Methods of Operations Research 91, 137-158.
[74] Cheng, Y., Zhu, D (2005) Global stability results for the weak vector variational inequality Journal of Global Optimization 32, 543-550.
[75| Han, Y., Wang, S.H., Huang, N.J (2019) Arcwise connectedness of the solution sets for set optimization problems Operations Research Letters
[76] Han, Y (2020) Connectedness of weak minimal solution set for set opti- mization problems Operations Research Letters 48, 820-826.
[77] Anh, L.Q., Anh, N.T., Duoc, P.T., Duong, T.T.T (2022) Connectedness properties of the efficient sets and the minimal sets to vector optimization problems Optimization Letters 16, 2457-2468.
[78] Araya, Y (2012) Four types of nonlinear scalarizations and some applica- tions in set optimization Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Appli- cations 75, 3821-3835.
[79| Anh, L.Q., Anh, N.T., Duoc, P.T., Khanh, L.T.V., Thu, P.T.A (2023).
Connectedness properties of efficient and minimal sets to vector optimiza- tion problems, Applied Set-Valued Analysis and Optimization 5, 121-135.
[80] Kasimbeyli, R (2010) A nonlinear cone separation theorem and scalariza- tion in nonconvex vector optimization SIAM Journal on Optimization 20,
[81] Kasimbeyli, R (2013) A conic scalarization method in multi-objective op- timization Journal of Global Optimization 56, 279-297.
[82] Gũnther, C., Khazayel, B., Tammer, C (2023) Nonlinear Strict
Cone Separation Theorems in Real Reflexive Banach Spaces DOI:
83] Ha, T X D (2023) A unified scheme for scalarization in set optimization.
84] Tyrrell Rockafellar, R (1970) Convex analysis Princeton mathematical series 28.
85] Avriel, M., Zang, I (1980) Generalized arcwise-connected functions and characterizations of local-global minimum properties Journal of Optimiza- tion Theory and Applications 32, 407-425.
[86] Kuroiwa, D., Tanaka, T., Ha, T.X.D (1997) On cone convexity of set- valued maps Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 30,
[87] Aubin, J.P., Frankowska, H (2009) Set-valued Analysis Springer Science and Business Media.
[88] Anh, L.Q., Anh, N.T., Duoc, P.T., Khanh, L.T.V., Thu, P.A.T (2022) The connectedness of weakly and strongly efficient solution sets of nonconvex vector equilibrium problems Applied Set-Valued Analysis Optimization 4, 109-127.
89] Papageorgiou, S.H.N., Hu, S (1997) Handbook of Multivalued Analysis.
Volume i: Theory Mathematics and Its Applications 419.
90] Gửpfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C (2003) Variational Meth- ods in Partially Ordered Spaces, Volume 17 Springer.
91] Han, Y (2018) Lipschitz continuity of approximate solution mappings to parametric generalized vector equilibrium problems Journal of Optimiza- tion Theory and Applications 178, 763-793.
[92] Jiménez, B., Novo, V., Vilchez, A (2020) Characterization of set rela- tions through extensions of the oriented distance Mathematical Methods of Operations Research 91, 89-115.
[93] Rockafellar, R.T., Wets, R.J.B (2009) Variational Analysis, Volume 317.
Springer Science and Business Media.
[94| Yang, H., Huang, H.J (2004) The multi-class, multi-criteria traffic network equilibrium and systems optimum problem Transportation Research Part B: Methodological 38, 1-15.
[95] Smith, M.J (1979) The existence, uniqueness and stability of traffic equi- libria Transportation Research Part B: Methodological 13, 295-304.
[96] Lin, Z (2010) The study of traffic equilibrium problems with capacity constraints of arcs Nonlinear Analysis: Real World Applications 11, 2280-
97] Sach, P.H (2018) Solution existence in bifunction-set optimization Journal of Optimization Theory and Applications 176, 1-16.
98] Sach, P.H (2018) Stability property in bifunction-set optimization Journal of Optimization Theory and Applications 177, 376-398.
99] Sach, P.H., Tuan, L.A (2021) Semicontinuity property of approximate solution mappings in bifunction-set optimization Journal of Optimization Theory and Applications 191, 202-228.
[100] Sach, P.H., Tuan, L.A (2023) Existence of solutions of a generalized bifunction-set optimization problem Journal of Industrial and Management Optimization 19, 4233-4254.
[101] Li, X., Li, S (2011) Continuity of approximate solution mappings for parametric equilibrium problems Journal of Global Optimization 51, 541- 548.
[102] Anh, L.Q., Nguyen, K.T., Tam, T.N (2017) On Holder continuity of approximate solution maps to vector equilibrium problems Turkish Journal of Mathematics 41, 1591-1607.
[103] Anh, L.Q., Tam, T.N (2017) Sensitivity analysis for parametric vector equilibrium problems Journal of Nonlinear and Convex Analysis 18, 1707—
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
CÁC BÁO CÁO TẠI HỘI NGHỊ VÀ HỘI THẢO
[HI| Studies on generalized Hiriart-Urruty oriented distance functions and their applications in optimization 18th Workshop on Optimization and Scientific Computing August 20—22, 2020 — Hoa Lac, Vietnam.
[H2| Tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm đối với bai toán cân bằng va áp dụng Hội nghị Khoa học lần thứ 12, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, DHQG—HCM, ngày 18-19 tháng 12 năm 2020 — Thành phố Hồ
[H3] Connectedness properties of solution sets to bilevel set optimization prob- lems 19th Workshop on Optimization and Scientific Computing April
[H4| Star-shapedness of efficient solution sets to generalized set optimization problems 20th Workshop on Optimization and Scientific Computing April
[H5] Connectedness of approximate efficient and nondominated sets to vector optimization problems Hội nghị Toán hoc Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 4, ngày 25—26 tháng 8 năm 2022 — Huế, Việt Nam.
[H6] New nonlinear scalarization and subgradient of cone-convex set-valued map with applications in set optimization The International Symposium on Applied Science October 14—16, 2022, HCMC University of Technology,
Ho Chi Minh City, Vietnam.
[H7| Biểu diễn vô hướng và tính liên tục Hausdorff của ánh xa nghiệm cho bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số Hội nghị Khoa học lần thứ 13, Trường Đại học Khoa hoc Tự nhiên, DHQG—HCM, ngày 21—26 tháng 11 năm
2022 — Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam.
[H8] New scalarization approach to the stability analysis in parametric set op- timization problems 21th Workshop on Optimization and Scientific Com- puting April 20-22, 2023 — Ba Vi, Vietnam.