Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Nghiên cứu hệ số ma sát ở đáy sông vùng triều

Ngày nay sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử là một công cụ đắc lực cho phép áp dụng các mô hình toán số để nghiên cứu các quá trình vật lý xảy ra trong môi trường cửa sông, ven

-

NGUYỄN VIẾT DƯƠNG

NGHIÊN CỨU HỆ SỐ MA SÁT Ở ĐÁY SÔNG

VÙNG TRIỀU

Chuyên ngành : XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH THỦY

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 09 năm 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học :

Tp HCM, ngày 26 tháng 09 năm 2007

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Nguyễn Viết Dương Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 16/12/1979 Nơi sinh: Thừa Thiên Huế Chuyên ngành: Xây Dựng Công Trình Thủy MSHV: 02004529

I- TÊN ĐỀ TÀI:

Nghiên cứu hệ số ma sát ở đáy sông vùng triều

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Chương 1: Tổng quan Chương 2: Cơ sở lý thuyết mô hình toán số CE – QUAL – W2 Chương 3: Thuật giải mô hình

Chương 4: Áp dụng chương trình tính Chương 5: Thiết lập biểu thức tính toán hệ số ma sát ở đáy sông Chương 6: Kết luận và kiến nghị

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 03/07/2006 IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 15 – 07 - 2007 V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS HUỲNH THANH SƠN

LỜI CÁM ƠN

Tác giả xin chân thành cám ơn Bộ Môn Kỹ Thuật Tài Nguyên Nước cùng các thầy cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng như trong quá trình làm luận văn

Tác giả xin chân thành cám ơn tới Xí Nghiệp Tư Vấn 1 – Công Ty CP Tư Vấn Xây Dựng Thủy Lợi 2, nơi tác giả đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn Cám ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, khích lệ, giúp đỡ nhiều mặt để luận văn này được hoàn thành Do trình độ của bản thân còn hạn chế, luận văn này khó tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô, sự góp ý của các bạn bè đồng nghiệp

Tp HCM, tháng 07 năm 2007

Tác giả Nguyễn Viết Dương

ABSTRACT

Formerly, the practical survey was carried out by the small-scale experiment models which were the only researching methods Recently, with the great development of computer science, we can utilize digital algorithm methods to study the physical process happening in the specific area such as river mouth, coastal area and continental shelf Nowadays, it is very popular to adapt the digital algorithm model for calculating unstable current However, the changing rule of friction factor in unstable current hasn’t been much researched so the friction factor is a constant in most of calculations It impacts pretty much on the results of calculations, especially the calculations of erosion, build-up, and accumulation, etc

Therefore, the purpose of this thesis: “Study the friction factor at tidal bottom” is to set up an expression to calculate the friction factor at the bottom of tidal river where the unstable current exists This is basis of calculations for erosion, build-up, and accumulation at the tidal river-bottom

river-The main content of thesis is to set up a two-dimensional longitudinal/vertical model (2DV) to calculate velocity field of unstable current; utilizing computer programs for some practical tidal rivers then setting up an expression to calculate the friction factor at river-bottom

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN

Trước đây việc đo đạc thực tế và chỉ sử dụng các mô hình thí nghiệm quy mô nhỏ là phương tiện nghiên cứu duy nhất Ngày nay sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử là một công cụ đắc lực cho phép áp dụng các mô hình toán số để nghiên cứu các quá trình vật lý xảy ra trong môi trường cửa sông, ven biển và thềm lục địa Hiện nay, việc áp dụng các mô hình toán số để tính toán dòng chảy không ổn định đã trở nên rất phổ biến Tuy nhiên, quy luật thay đổi của hệ số ma sát trong dòng chảy không ổn định chưa được nghiên cứu nhiều nên hệ số ma sát thường là hằng số trong tất cả các trường hợp tính toán Điều này ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả tính toán, nhất là những bài toán tính toán xói lở, bồi lắng…

Vì vậy mục đích của đề tài “Nghiên cứu hệ số ma sát ở đáy sông vùng triều” là thiết lập biểu thức để tính toán hệ số ma sát ở đáy sông vùng triều do dòng chảy không ổn định gây ra Đây là cơ sở cho việc tính toán xói lở và bồi lắng ở đáy sông vùng triều

Nội dung chủ yếu của luận văn là thiết lập một mô hình toán số 2 thứ nguyên theo phương đứng (2DV) để tính trường vận tốc của dòng chảy không ổn định Áp dụng chương trính máy tính vào một số sông bị ảnh hưởng triều trong thực tế từ đó nghiên cứu thiết lập một biểu thức tính toán hệ số ma sát ở đáy sông

MỤC LỤC

Danh sách hình Danh sách bảng Chương 1

TỔNG QUAN 1 1.1 Đặt vấn đề 1 1.2 Các nghiên cứu trong và ngoài nước 2

1.3 Phạm vi nghiên cứu của luận văn 3 Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÔ HÌNH TOÁN CE-QUAL-W2 4 2.1 Giới Thiệu 4 2.2 Mô hình thủy lực 4

2.2.4 Tính toán hệ số nhớt rối theo phương dòng chảy 20

Chương 3

3.1 Giới thiệu chung 21 3.2 Rời rạc các hoá phương trình 22

3.2.1 Phương pháp sai phân dùng để giải các phương trình toán 22

Chương 4 ÁP DỤNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH 30 4.1 Giới thiệu chung 30 4.2 Các số liệu tính toán 30

4.2.1 Số liệu địa hình và lưới chia vùng sông gành Hào 30

4.4 Tính toán xác định hệ số nhám và mô hình rối 43 4.5 Kết quả tính toán 47 4.6 Nhận xét 55

Chương 5 THIẾT LẬP BIỂU THỨC TÍNH TOÁN HỆ SỐ MA SÁT Ở ĐÁY SÔNG 56 5.1 Cơ sở lý thuyết 56

5.2 Tính toán 58

5.3 Nhận xét 72 Chương 6

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 73 6.1 Kết luận 73 6.2 Kiến nghị 73

DANH SÁCH HÌNH

Hình 2.1: Hệ trục toạ độ tổng thể 5

Hình 2.2: Sơ đồ biểu diễn hướng của ứng suất nhớt rối trong hệ trục xyz 7

Hình 2.3: Hệ trục toạ độ thích hợp theo độ dốc đáy bất kỳ của sông 8

Hình 2.4: Các thành phần lưu tốc theo phương dọc sông 10

Hình 3.1 Vị trí các biến trong lưới tính toán 22

Hình 4.1: Bản đồ địa hình sông Gành Hào 32

Hình 4.2: Lưới chia từ địa hình vùng sông Gành Hào 33

Hình 4.3: Mặt cắt ngang sông Gành Hào tại biên thượng lưu 34

Hình 4.4: Mặt cắt ngang sông Gành Hào tại biên hạ lưu 34

Hình 4.5: Mặt cắt ngang sông Gành Hào tại vị trí đo đạc lưu tốc 35

Hình 4.6: Mặt bằng lưới chia theo phương dòng chảy 36

Hình 4.7: Cắt dọc lưới chia theo phương dòng chảy 37

Hình 4.8: Lưới chia theo phương đứng 38

Hình 4.9: Đường quá trình mực nước tại biên thượng lưu 40

Hình 4.10: Đường quá trình mực nước tại biên hạ lưu 40

Hình 4.11 Biểu đồ so sánh sai số vận tốc tính toán và thực đo tại đáy lúc t=2h 43

Hình 4.12 Biểu đồ so sánh sai số vận tốc tính toán và thực đo tại đáy lúc t=5h 44

Hình 4.13 Biểu đồ so sánh sai số vận tốc tính toán và thực đo tại đáy lúc t=7h 44

Hình 4.14 Biểu đồ so sánh sai số vận tốc tính toán và thực đo tại đáy lúc t=11h 45

Hình 4.15 Biểu đồ so sánh sai số vận tốc tính toán và thực đo tại đáy lúc t=15h 45

Hình 4.16 Biểu đồ so sánh sai số vận tốc tính toán và thực đo tại đáy lúc t=18h 46

Hình 4.17 Biểu đồ so sánh sai số vận tốc tính toán và thực đo tại đáy lúc t=21h 46

Hình 4.18: Profile vận tốc tính toán và thực đo theo phương z lúc t=2h 49

Hình 4.19: Profile vận tốc tính toán và thực đo theo phương z lúc t=5h 50

Hình 4.20: Profile vận tốc tính toán và thực đo theo phương z lúc t=7h 50

Hình 4.21: Profile vận tốc tính toán và thực đo theo phương z lúc t=11h 51

Hình 4.22: Profile vận tốc tính toán và thực đo theo phương z lúc t=15h 51

Hình 4.23: Profile vận tốc tính toán và thực đo theo phương z lúc t=18h 52

Hình 4.24: Profile vận tốc tính toán và thực đo theo phương z lúc t=21h 52

Hình 4.25 Trường lưu tốc dòng chảy tại thời điểm t = 2h 53

Hình 4.26 Trường lưu tốc dòng chảy tại thời điểm t = 6h 53

Hình 4.27 Trường lưu tốc dòng chảy tại thời điểm t = 12h 54

Hình 4.28 Trường lưu tốc dòng chảy tại thời điểm t = 18h 54

Hình 4.29 Trường lưu tốc dòng chảy tại thời điểm t = 24h 54

Hình 5.1: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ uthực đo tại đoạn 47 lúc 2h 59

Hình 5.2: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ uthực đo tại đoạn 47 lúc 5h 59

Hình 5.3: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ uthực đo tại đoạn 47 lúc 7h 60

Hình 5.4: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ uthực đo tại đoạn 47 lúc 11h 60

Hình 5.5: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ uthực đo tại đoạn 47 lúc 15h 61

Hình 5.6: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ uthực đo tại đoạn 47 lúc 18h 61

Hình 5.7: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ uthực đo tại đoạn 47 lúc 21h 62

Hình 5.8: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ utínhtoán tại đoạn 47 lúc 2h 63

Hình 5.9: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ utínhtoán tại đoạn 47 lúc 5h 63

Hình 5.10: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ utínhtoán tại đoạn 47 lúc 7h 64

Hình 5.11: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ utínhtoán tại đoạn 47 lúc 11h 64

Hình 5.12: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ utínhtoán tại đoạn 47 lúc 15h 65

Hình 5.13: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ utínhtoán tại đoạn 47 lúc 18h 65

Hình 5.14: Biểu đồ quan hệ ln(z) ~ utínhtoán tại đoạn 47 lúc 21h 66

Hình 5.15: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số ma sát f tính toán và thời gian 68

Hình 5.16: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số ma sát f đo đạc và thời gian 69

Hình 5.17: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số ma sát f tính toán, đo đạc và thời gian 69 Hình 5.18: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số ma sát f tính toán mực nước và thời gian 70 Hình 5.19: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số ma sát f thực đo, mực nước và thời gian 70

DANH SÁCH BẢNG

BẢNG Trang

Bảng 4.1 Bảng số liệu biên mực nước thượng lưu và hạ lưu 39

Bảng 4.2: Kết quả tính toán profile vận tốc theo phương z tại đoạn 47 lúc 1h 41

Bảng 4.3: Kết quả tính toán profile vận tốc theo phương z tại đoạn 47 lúc 8h 41

Bảng 4.4: Kết quả tính toán profile vận tốc theo phương z tại đoạn 47 lúc 14h 42

Bảng 4.5: Kết quả tính toán profile vận tốc theo phương z tại đoạn 47 lúc 20h 42

Bảng 4.6: Kết quả tính toán profile vận tốc theo phương z tại đoạn 47 lúc 25h 42

Bảng 4.7: Kết quả tính tốn sai số khi n = 0.020 tại thời điểm t = 2h 47

Bảng 4.8: Kết quả tính tốn sai số khi n = 0.020 tại thời điểm t = 5h 47

Bảng 4.9: Kết quả tính tốn sai số khi n = 0.020 tại thời điểm t = 7h 48

Bảng 4.10: Kết quả tính tốn sai số khi n = 0.020, tại thời điểm t = 11h 48

Bảng 4.11: Kết quả tính tốn sai số khi n = 0.020, tại thời điểm t = 15h 48

Bảng 4.12: Kết quả tính tốn sai số khi n = 0.020, tại thời điểm t = 18h 48

Bảng 5.1: Kết quả tính u*, U, f và sai số theo tính toán và đo đạc 67

CHƯƠNG 1:

TỔNG QUAN

1.1 ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong những thập niên gần đây, sự phát triển của khoa học kỹ thuật là một điều kiện thuận lợi trong khai thác các tài nguyên của tự nhiên, đặc biệt là các tài nguyên ở môi trường cửa sông, ven biển và thềm lục địa Vì vậy việc nghiên cứu những quá trình vật lý diễn ra trong môi trường đó là một nhu cầu rất thiết thực

Trước đây việc đo đạc thực tế và chỉ sử dụng các mô hình thí nghiệm quy mô nhỏ là phương tiện nghiên cứu duy nhất Ngày nay sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử là một công cụ đắc lực cho phép áp dụng các mô hình toán số để nghiên cứu các quá trình vật lý xảy ra trong môi trường cửa sông, ven biển và thềm lục địa Hiện nay, việc áp dụng các mô hình toán số để tính toán dòng chảy không ổn định đã trở nên rất phổ biến Tuy nhiên, quy luật thay đổi của hệ số ma sát trong dòng chảy không ổn định chưa được nghiên cứu nhiều nên hệ số ma sát thường là hằng số trong tất cả các trường hợp tính toán Điều này ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả tính toán, nhất là những bài toán tính toán xói lở, bồi lắng…

Vì vậy mục đích của đề tài “Nghiên cứu hệ số ma sát ở đáy sông vùng triều” là thiết lập biểu thức để tính toán hệ số ma sát ở đáy sông vùng triều do dòng chảy không ổn định gây ra Đây là cơ sở cho việc tính toán xói lở và bồi lắng ở đáy sông vùng triều

1.2 CÁC NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC:

Hệ số ma sát trong dòng chảy rối đã được Nikuradse nghiên cứu trong đường ống Trong thí nghiệm này độ nhám được tạo ra bằng cách dán đều những hạt cát quanh thành ống Sử dụng 5 rây sàng để phân loại cát, đường kính hạt cát từ 0.1 ÷ 1.6mm Cát được sử dụng để thí nghiệm trong 3 đường ống đường kính 2.474, 4.94 và 9.94cm Trong thí nghiệm này cho kết quả 6 giá trị của độ nhám tương đương và đường kính ống (ks/D)

Brownlie (1981) đã xem xét lại chuỗi kết quả thí nghiệm của Nikuradse và đã đưa ra được mối quan hệ giữa hệ số Reynold và hệ số ma sát f:

*

log2103.01

R

Dk

isi

i

kRAk

D

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

=

*6

0

log2

log2

DkRs

74.12log2

⎠⎞⎜⎜⎝⎛−

skD

DkRs

Trong đó:

R*: hệ số Reynolds D: đường kính ống, khi sử dụng cho kênh hở đường kính ống D được thay thế bằng 4R, với R là bán kính thủy lực

A0 = 1.3376, A1 = -4.3218 A2 = 19.454 A3 = -26.480 A4 = 16.509 A5 = -4.9407 A6 = 0.57864

ks: độ nhám tương đương Nikuradse, được ước tính như sau: - Theo Ackers – White (1973): ks = 1.25d35

- Theo Hey (1979): ks = 3.5d85

- Theo Engelund – Hansen (1967): ks = 2d65- Theo Kamphuis (1974): ks = 2.5d90

- Theo Mahmood (1971): ks = 5.1d84- Theo Van Rijn (1982): ks = 3d90

Theo biểu thức Darcy – Weisbach, hệ số ma sát là một đại lượng không thứ nguyên, có nguồn gốc từ nghiên cứu đường ống được xác định theo công thức:

20

214

Uf

ρτ=

8⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=

fgRS

2/1*

8⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=

fuU

1.3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN VĂN:

- Nghiên cứu mô hình toán số 2 thứ nguyên theo phương đứng (2DV) QUAL-W2 để tính trường vận tốc của dòng chảy không ổn định

CE Áp dụng mô hình tính vào một đoạn sông bị ảnh hưởng triều trong thực tế (Sông Gành Hào ở Bạc Liêu), từ đó thiết lập sơ bộ một biểu thức tính toán hệ số ma sát ở đáy sông

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÔ HÌNH TOÁN CE-QUAL-W2

2.1 GIỚI THIỆU:

Bài toán đặt ra trong luận văn này là xây dựng một mô hình toán tính toán xác định profile vận tốc dòng chảy trong sông, từ đó xác định hệ số ma sát f ở đáy sông Do đó mô hình dòng chảy 2DV là mô hình hợp lý nhất để nghiên cứu Hiện nay, trên thế giới có rất nhiều mô hình toán 2DV Trong luận văn này sử dụng mô hình toán CE-QUAL-W2 để xác định profile vận tốc dòng chảy trong sông Mô hình toán CE-QUAL-W2 là mô hình thủy động lực học và chất lượng nước 2 thứ nguyên theo phương dòng chảy và theo phương đứng Mô hình này được xây dựng từ năm 1975 và thích hợp cho dòng chảy tương đối dài

2.2 MÔ HÌNH THỦY LỰC:

Phương trình tổng quát diễn tả dòng chảy trong thể tích kiểm tra gồm phương trình liên tục và phương trình cân bằng động lượng của thể tích kiểm tra Các phương trình liên tục và phương trình cân bằng động lượng được lập dựa trên hệ trục toạ độ tổng thể (hình 2.1) Các giả thiết cơ bản đối với hệ phương trình được sử dụng trong mô hình này là:

- Chất lưu xem như là không nén được - Gia tốc hướng tâm trái đất trùng với gia tốc trọng trường - Sử dụng phép tính xấp xỉ của Boussinesq

ρρρρ

11

∆+

2.2.1 Hệ phương trình chủ đạo của dịng chảy:

Kinh tuyếnΩ

φ

xy

zg

Hình 2.1: Hệ trục toạ độ tổng thể

Từ hệ phương trình Navier – Stokes sau khi áp dụng phương pháp trung bình hoá theo thời gian của Reynolds ta được hệ phương trình sau:

Phương trình liên tục:

0=∂∂+∂∂+∂∂

zwyvx

Phương trình động lượng:

Theo phương x:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂++∂∂−=Ω+Ω−∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

222222

12

2

zuy

ux

ug

xpw

vz

uwyuvxuutu

xy

µρ

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂+

zyx

xzxy

τρ

Theo phương y:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂++∂∂−=Ω−Ω−∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

222222

12

2

zvy

vx

vg

ypw

uz

vwyvvxvutv

yx

µρ

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂+

zyx

yzyy

τρ

Theo phương z:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂++∂∂−=Ω+Ω−∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

222222

12

2

zwy

wx

wg

zpv

uz

wwywvxwutw

zx

µρ

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂+

zy

zy

τρ

Trong đó: - u, v, w: lưu tốc trung bình thời gian theo phương x, y, z - u’, v’, w’: Lưu tốc mạch động theo phương x, y, z

- t : thời gian - g: gia tốc trọng trường - ρ: khối lượng riêng của chất lưu - τxx: ứng suất nhớt rối theo phương x trên mặt phẳng vuông góc với trục x - τyy: ứng suất nhớt rối theo phương y trên mặt phẳng vuông góc với trục y - τzz: ứng suất nhớt rối theo phương z trên mặt phẳng vuông góc với trục z - τxy: ứng suất nhớt rối theo phương x trên mặt phẳng vuông góc với trục y - τxz: ứng suất nhớt rối theo phương x trên mặt phẳng vuông góc với trục z - τyx: ứng suất nhớt rối theo phương y trên mặt phẳng vuông góc với trục x - τyz: ứng suất nhớt rối theo phương y trên mặt phẳng vuông góc với trục z - τzx: ứng suất nhớt rối theo phương z trên mặt phẳng vuông góc với trục x - τzy: ứng suất nhớt rối theo phương z trên mặt phẳng vuông góc với trục y - µ: hệ số nhớt rối

- Ω: Lực Coriolis Ωz = ΩE sinφ Ωy = ΩE sinφ

Ωx = 0 φ: vĩ độ ΩE: Tốc độ quay của trái đất

xy

Hình 2.2: Sơ đồ biểu diễn hướng của ứng suất nhớt rối trong hệ trục xyz

Các ứng suất nhớt rối được định nghĩa như sau:

τ == , τyz =τzy =ρv'w', τxz =τzx =ρu'w'

Ta đưa các phương trình trên về hệ trục toạ độ được hiệu chỉnh cho dòng chảy thực tế, đó là trục x theo phương dòng chảy tương ứng với vận tốc u, trục y theo phương vuông góc với dòng chảy và nằm trong mặt phẳng nằm ngang, trục z theo phương vuông góc trục x

Hình 2.3: Hệ trục toạ độ thích hợp theo độ dốc đáy bất kỳ của sông

Véctơ gia tốc trọng trường được biểu diễn dưới dạng sau:

hg

Chiếu gia tốc trọng trường lên hệ trục được hiệu chỉnh cho dòng chảy thực tế ta có:

0=∂∂−=

xhg

0=∂∂−=

yhg

gyhg

∂∂−

zwyvx

Phương trình động lượng theo phương x:

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

zyxx

pz

uwyuvxuut

ρρ

1

Phương trình động lượng theo phương y:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

zyxy

pz

vwyvvxvut

ρρ

1

Phương trình động lượng theo phương z:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

zyxz

pg

zwwywvxwut

ρρ

1

Do chiều dài của sông lớn hơn rất nhiều so với chiều sâu, điều này dẫn đến vận tốc theo phương đứng nhỏ hơn nhiều so với vận tốc theo phương ngang Phương trình động lượng theo phương z có thể được đơn giản hóa và trở thành phương trình phân bố áp suất thủy tĩnh:

zpg

∂∂=

ρ

2.2.2 Thiết lập mô hình toán 2DV:

Các thành phần lưu tốc dọc (u), ngang (v), đứng (w) và áp suất (p) được phân ly thành một thành phần trung bình không gian và một thành phần mạch động không gian

Hình 2.4: Các thành phần lưu tốc theo phương dọc sông

''

vv

''

uu

''

ww

''

pp

dyuBu : lưu tốc trung bình không gian theo phương y của lưu tốc trung bình thời gian u

B: Bề rộng thể tích tính toán y1: Toạ độ bờ trái

y2: Toạ độ bờ phải Riêng phương trình động lượng theo phương ngang y được bỏ qua vì lưu tốc trung bình v=0 và các ứng suất liên quan đến sự xáo trộn rối theo phương z sẽ được xác định từ ứng suất do giĩ gây ra

Như vậy những phương trình cịn lại là phương trình liên tục và các phương trình động lượng theo phương x và theo phương z

Phương trình liên tục:

Thay các biểu thức (2.16), (2.17), (2.18) vào phương trình (2.10) rồi tính trung bình theo phương ngang y

0)''()''()''

∂+∂+∂

+∂+∂

+∂

zwwy

vvx

u

Ta có:

xuBBdyuxBdyxuBdyxuBdyx

uuBx

u

yy

y

y

yy

∂=∂

∂=∂∂+∂∂=∂

+∂=∂

+∂

∫

1)''

12

1

212

1

(2.21)

∂+∂=∂

+

1

2121

'')

''(1)''

y

y

yy

y

qBvB

vvdyy

vvBy

v

zwBBdywzBdyzwBdyzwBdyz

wwBz

w

yy

y

y

yy

∂=∂

∂=∂∂+∂∂=∂

+∂=∂

+∂

∫

1)''

12

1

212

1

(2.23) Thay (2.21), (2.22), (2.23) vào phương trình (2.20) ta được:

qBz

wBx

u

∂∂+∂

Trong đó:

q: lưu lượng đơn vị do các nhánh khác chảy vào thể tích kiểm tra

Phương trình động lượng theo phương x:

Thay các biểu thức (2.16), (2.17), (2.18), (2.19) vào phương trình (2.11) rồi trung bình hoá theo phương ngang y:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂+∂

+∂−

=∂

++

∂+∂

++

∂+∂

++

∂+∂

+∂

zyxx

pp

zuuwwy

uuvvx

uuuut

uu

xzxy

τρρ

1)''(1

)'')(''()'')(''()'')(''()''(

(2.25)

Ta có:

∫∫ + ∫∂∂

∂∂=∂

+∂=∂

+

1

212

1

''11

)''(1)''

y

y

yy

y

dytuBdytuBdyt

uuBt

uu

tuBBdyutBdyutB

y

yy

∂=∂

∂+∂

∂

212

1

(2.26)

∫∂ + ∂ +=

∂++

1

)'')(''(1)'')(''

y

dyx

uuuuBx

uuuu

∂∂+∂∂=

212

12

1

''''1''21

yy

yy

y

dyx

uuBdyx

uBdyx

uB

xuBBdyuuxBdyuxB

y

yy

∂=∂

∂+∂

∂

212

1

(2.27) Tương tự như như trên ta có:

zwuBBz

uuww

∂∂=∂

++

0'''''''')'')(''(

12−==

∂++

∂

y

vuy

uuvv

(2.29) Thành phần áp suất, giả thiết rằng đạo hàm trung bình theo phương y của thành phần áp suất theo phương x không phải là một hàm số của y:

∂∂=∂

+∂=∂

+

1

212

1

''11

)''(1)''

y

y

yy

y

dyxpBdyxpBdyx

ppBx

pp

xpdypxBBxpB

y

∂=∂

∂+∂∂

1

''1

∫∫

∂∂+∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂+∂∂+∂

12

12

1

11

yxzy

yxyy

yxxxz

xy

zBdyyBdyxBzyx

ττ

ττ

ττ

∂∂+∂

∂=

212

12

1

11

yxzy

yxyy

y

zBdyyBdyx

⎠⎞⎜

⎜⎝⎛

∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=

zx

BBzBByBBxBB

xzxxxz

xy

Thay các biểu thức (2.26), (2.27), (2.28), (2.29), (2.30), (2.31) vào phương trình (2.25) phương trình động lượng theo phương x trở thành:

⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛

∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂

zBxBx

pBz

wuBx

uBt

u

ρρ

Để tiện trong cách viết ta dùng ký hiệu U theo cho u, W thay cho w, P thay cho

p, phương trình liên tục và phương trình động lượng trở thành:

Phương trình liên tục:

qBzWBx

UB

=∂∂+∂

Phương trình động lượng theo phương x:

zBx

Bx

PBz

WUBx

UUBt

∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂+∂

ρτρρ

1

Phương trình động lượng theo phương z:

zpg

∂∂=

∫∂∂−∂∂+∂∂−=∂∂

xgxgxPx

P

η

ρρηρ

ρ

1

Bỏ qua thành phần áp suất không khí:

∫∂∂−∂∂=∂∂−

zdzxgxgxP

η

ρρηρ

Phương trình động lượng theo phương x trở thành:

∂∂+∂∂−∂∂=∂∂+∂∂+∂

xzxx

zBx

Bdz

xgBxgBz

WUBx

UUBt

UB

η

τρτρρρ

Kết quả thành phần áp suất bị khử trong phương trình động lượng theo phương x, biến mới xuất hiện là cao độ mặt nước η

Phương trình mặt nước:

Phương trình này là một dạng của phương trình liên tục, tích phân trên toàn bộ chiều sâu của phương trình liên tục ta được phương trình mặt nước

∫∫

∂∂+∂

h

qBdzdz

zWBdz

xUB

ηη

η

(2.40) Áp dụng quy tắc Leibnitz ta có:

ηη

η

η

UBxUB

xhUBdzxdzxUB

hh

h

∂∂+∂

∂−∂

∂=∂∂

∫

ηη

WBWB

dzzWB

hh

−=

∂∂

Trong đó:

Wh =

xhUth

∂+∂∂

Wη =

xU

∂+∂

η

Thay vào (2.40), ta có phương trình sau:

xhBUthBUUBxUBxhUBdzx

hh

∂∂+

∂∂+

∂∂+∂

∂−∂

∂

ηη

η

xUBtB

∂∂−

∂∂

ηη

qBdzUBdz

xtB

ηη

TÓM TẮT CÁC PHƯƠNG TRÌNH CỦA MÔ HÌNH 2DV

Phương trình động lượng theo phương x:

∂∂+∂∂−∂∂=∂∂+∂∂+∂

xzxx

zBx

Bdz

xgBxgBz

WUBx

UUBt

UB

η

τρτρρρ

Phương trình động lượng theo phương z:

zPg

∂∂=

ρ

Phương trình liên tục:

qBzBWx

∂∂+∂

qBdzUBdz

xtB

ηη

η: Cao trình mặt nước τxx: ứng suất rối theo phương x trên mặt phẳng vuông góc với trục x τxz: ứng suất rối theo phương x trên mặt phẳng vuông góc với trục z

2.2.3 Tính hệ số nhớt rối theo phương đứng:

Biểu thức để tính toán hệ số nhớt rối theo phương đứng:

zUAzU

zt

xz

∂∂=∂∂=νρ

Ta sử dụng các mô hình rối để tính toán hệ số nhớt rối theo phương đứng υt

2.2.3.1 Mô hình Nikuradse (Rodi 1993):

Mô hình này được gọi là mô hình chiều dài xáo trộn rối, chiều dài xáo trộn lm và hệ số nhớt rối υt được xác định theo công thức:

CRim

zu

∂∂=2

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−

=

42

106.01

08.014.0

HzH

zH

∂∂

∂∂

zUzg

ρρ

C: hằng số, C = 0.15

2.2.3.2 Mô hình Parabolic (Engelund 1978):

Theo Engelund (1978), hệ số nhớt rối được xác định theo công thức:

CRi

Hzz

⎠⎞⎜⎝⎛ −=κ * 1

Trong đó:

κ: hằng số Von Karman, κ = 0.4

u*: vận tốc ma sát tại đáy sông

2.2.3.3 Mô hình W2 (Cole và Buchak 1995):

Hệ số nhớt rối được xác định theo công thức:

CRit

wym

zU

−

⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛

∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

22

τκ

wgTk= π

Tw: chu kỳ sóng

2.2.3.4 Mô hình rối W2N:

Mô hình rối W2N giống như mô hình W2, tuy nhiên chiều dài xáo trộn được tính theo mô hình của Nickuradse, hệ phương trình của mô hình W2N là:

CRit

wym

zU

−

⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛

∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

22

τκ

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−

=

42

106.01

08.014.0

HzH

zH

2.2.3.5 Mô hình rối RNG (Simoes 1998):

Biểu thức xác định hệ số nhớt rối:

CRi

Hz

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=

3/1133

*13

1

νκψν

Trong đó:

u*: vận tốc ma sát C1 = 100

ψ(x) = max(0, x) ν: hệ số nhớt động học của chất lưu

2.2.3.6 Mô hình rối TKE:

Mô hình rối TKE là một dạng của mô hình rối k - ε Phương trình tính toán hệ số nhớt rối như sau:

ε

k, ε được xác định từ hệ phương trình sau:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

++

=⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂∂

∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂∂

∂−∂∂+∂∂+∂∂

εε

εε

ε

εε

εσ

νε

σνε

ε

kCPkCBxBxzBzzBWx

BUt

xkBxzkBzzkBWx

kBUt

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂∂

∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∂∂∂

∂−∂∂+∂∂+∂

σνσ

Trong đó:

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜⎝⎛

∂∂=

2

zUP νt

2

NG

tt

σν−=

BUC

5.010

BUCPε = f

σk, σε, Cµ, C1ε, C2ε là các hằng số kinh nghiệm có thể lấy như sau:

σk = 1.0

σε, = 1.3Cµ = 0.09 C1ε = 1.44C2ε = 1.92

2.2.4 Tính toán hệ số nhớt rối theo phương dòng chảy:

Hệ số nhớt rối theo phương dòng được định nghĩa như sau:

xUAxxx

∂∂=ρ

Trong đó:

Ax: hệ số nhớt rối theo phương dòng chảy, được lấy là hằng số trong mô hình tính toán

CHƯƠNG 3: THUẬT GIẢI MÔ HÌNH TOÁN

3.1 GIỚI THIỆU CHUNG:

Phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong mọi lĩnh vực của khoa học kỹ thuật Hầu hết các hiện tượng vật lý quan trọng trong thiên nhiên đều được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng Trong một số trường hợp, nhiều xấp xỉ đơn giản hoá được dùng để biến đổi các phương trình đạo hàm riêng thành phương trình vi phân hay các phương trình đại số Tuy nhiên do yêu cầu ngày càng tăng về việc mô phỏng chính xác hơn các hiện tượng vật lý, người ta ngày càng có nhiều yêu cầu giải phương trình đạo hàm riêng thực sự mô tả hiện tượng vật lý được quan tâm

Trong hầu hết các trường hợp, việc tích phân để tìm lời giải giải tích của phương trình đạo hàm riêng là không thể thực hiện được Vì vậy để giải các phương trình dạng này người ta dùng phương pháp số Hiện nay có rất nhiều phương pháp số khác nhau như: phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp thể tích hữu hạn, phương pháp phần tử biên…

Trong nghiên cứu này, phương pháp sai phân hữu hạn được sử dụng để giải các phương trình toán học Theo phương pháp sai phân hữu hạn, miền liên tục của vùng tính toán được rời rạc hoá sao cho các biến phụ thuộc được xem xét là tồn tại chỉ tại các điểm rời rạc Các đạo hàm được xấp xỉ bằng các sai phân, điều này dẫn đến một biểu thức đại số cho phương trình đạo hàm riêng Như vậy bài toán tích phân tìm lời giải của phương trình đạo hàm riêng đã được biến đổi thành bài toán đại số

3.2 RỜI RẠC CÁC HOÁ PHƯƠNG TRÌNH: 3.2.1 Phương pháp sai phân dùng để giải các phương trình toán:

Bước đầu tiên là xác định lưới tính toán Lưới là một không gian giao nhau từ đó một vài biến được xác định tại một vị trí và những biến còn lại cách vị trí đó bằng ∆x/2 hoặc ∆z/2 Lưới của một vùng tính toán được chia thành những phần tử mà vị trí của nó được xác định bởi số đoạn [I] và số lớp [K] Biến được đặt tại vị trí hoặc là tại tâm hoặc là tại biên của phần tử Biến được tính toán tại biên bao gồm vận tốc theo phương ngang U, vận tốc theo phương đứng W, hệ số nhớt rối theo phương dọc Ax, hệ số nhớt rối theo phương đứng Az Áp suất P, bề rộng trung bình của phần tử B được tính toán tại tâm phần tử

∆xLớp K+1

Lớp KLớp K-1Lớp KT

Đoạn I-1Đoạn IĐoạn I+1

3.2.3 Rời rạc hoá các phương trình toán học: 3.2.3.1 Phương trình động lượng theo phương x: Phương trình động lượng theo phương x được sai phân theo sơ đồ sai phân hiện

⎩⎨⎧

∂∂+∂∂−∂∂−∆+=

++

xgBz

WUBx

UUBt

BUB

n

ixxz

xxz

qBUz

Bx

Bdz

xpgB

⎪⎭⎪⎬⎫+

∂∂+∂∂+∂∂

kin

kin

kin

kin

kiiki

UUBUUBxx

UUB

,1,2/1,1,,2/1,,

1

−−−

∆≅∂

kin

kin

kin

kin

kikki

BUWB

UWzz

WUB

1,1,1,,

,,,

1

−−−

−∆

≅∂

Aùp lực thủy tĩnh:

nkikininiiniz

zx

gBx

gBdzxpgBx

∆−−∆

=∂∂−∂∂

++

ρηηρ

η

η

(3.4) Thành phần nhớt rối theo phương dọc x:

)(

)(

1

,1,2/12/1,

,12/12/

kin

kii

ixnin

kin

kii

ixnix

xx

ABU

Ux

xABxx

UBAx

B

−−

−+

+

⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∆∆−−⎟⎟

⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∆∆=∂ ∂

∂∂=∂∂ τ

Thành phần nhớt rối theo phương đứng z:

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

∂∂++=

zUAzbw

Trong đó:

τw: ứng suất do gió τb: ứng suất nhớt rối tại đáy

[ n

kibn

kiwk

kn

kiz

bwxz

zz

Bz

UAB

zzB

2/1,2/1,2/1

2/1,

1

++

++ ⎟⎟+

⎠⎞⎜

⎜⎝⎛

∆∆=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

∂∂++∂

∂=∂∂

ττ

ρτ

τρτ

ρ

⎦⎤⎢

⎣⎡

−∆

++

⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛

∆∆−−∆

−−−

−−

−+

+

kin

kik

kzin

kibn

kiwk

kn

kin

kin

kik

k

zAz

zBU

UzA

1,,2/1

2/1,2/1,2/1,2

/1

2/1,,

1,2/1

2/1

Thành phần do nhánh bên đổ vào:

nkix

3.2.3.2 Phương trình đường mặt nước:

Phương trình mặt nước:

∫

∂∂=∂

qBdzUBdz

xtB

ηη

Phương trình mặt nước được sai phân bằng cách sai phân từ phương trình động lượng theo phương x

∫∂∂−∂∂+⎢⎣

⎡

∂∂−∂∂−∆+=

in

xgBxgBz

WUBx

UUBt

UBUB

η

ρρη

1

n

ixxz

zBx

B

⎥⎦⎤+∂∂+∂∂

ρτρ

1

Để đơn giản ta đặt:

xxUBAz

WUBx

UUBx

Bz

WUBx

UUBF

xxx

∂⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂∂+∂∂−∂∂=∂∂+∂∂−∂∂=

ρτ

∫ ∫∫

∫

∂∂∂

∂∆+∂

∂∆+∂

∂=∂

nh

n

xgBxtdzxgBxtdzFxtdzUBxtB

ηηη

ηη

ρη

η

∂∂∆+∂

∂∂

∂∆

ηη

η

τρ1

Những số hạng sau có thể đơn giản như sau:

⎜⎝⎛

∂∂∂

∂=∂∂∂

∂

∫

xxgdzxgB

ηη

∫ ∫

∂∂∂

dzdzxBxgdzdzxgB

ρρ

∂∂

∂ h

nxzhxzn

xdz

zB

ρτ

∫

⎠⎞⎜

⎜⎝⎛

∂∂∂

∂∆+∂

∂∆+∂

∂=∂

nh

n

xBxgtBdzxxtgdzFxtdzUBxtB

ηηη

ηη

ρη

η

∂∂∆+−

∂∂∆

xn

xzh

xtB

Bxt

ηη

η

ττ

ρ

Tất cả các số hạng có chứa η được đưa về vế trái (3.16) trở thành:

∫ ∫∫

∫

∂∂∆+∂

∂=⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛

∂∂∂

∂∆−∂

nh

nih

dzdzxBxgtdzFxtdzUBxBdzxxtgtB

ηηη

ηη

ρη

η

∂∂∆+−

∂∂∆+

hh

nxn

xzh

xtB

Bxt

ηη

η

ττ

ρ

Ta có:

tBtB

nini

∆−≈

∂∂η η η −1

η

nh

hnh

xBdztgBdzxxtgBdz

xx

2

∂∂∆

−∂

∂∂∂∆−=⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝⎛

∂∂∂

∂∆

ηη

η

xBdz

tgBdzxxtg

nininihh

nini

∆+−∆

−∂

∂∆

−∆−

ηη

(3.20)

Với:

nh

ih

ih

BdzBdz

xBdz

⎞⎜

⎜⎝⎛

−∆

=∂

∂

∫∫

ηη

Nhân hai vế với ∆t∆x, vế trái trở thành:

⎢⎣⎡

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧

+∆

∆+∆+

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

∆∆−

∫∫

−

hih

in

ih

in

xtgxBBdz

xtg

ηη

ηη

η

Bdzx

t

in

ih

in

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

∆∆−

dzdzxBxgtdzFxtdzUBxVP

hh

nh

n

∂∂∆+∂

∂=

ηηη

η

ρρ

∂∂∆+−

∂∂∆+

hnh

nxn

xzh

xtB

Bxt

ηη

η

ττ

ρ

Mặc khác:

∑∫ = kt

kbrii

h

BHBdz

n

xdzUB

⎠⎞⎜

∂

ktrh

xtdzFxt

−

∑∑

1

ikb

ktri

kb

kt

FHx

t

kt

iri

FHx

t

∆∆

∑∫∫

∂∂∂

∂

kt

rh

h

dzHxBxgtdzdzxBxg

ρρ

∂∂∆∆

Hxxg

−∆

∆≈−

∂∂∆

ixzhxzi

xzhxzn

xzh

xtB

Bx

ρτ

τ

∂∂

kt

rxh

n

xtdzqBUxt

n

qBHBdz

q

η

(3.31) Sau khi sai phân và thay vào phương trình (3.22), ta được:

DC

X

Với :

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

∆∆−

hiBdzx

tgA

2

(3.33)

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧

+∆

∆+∆

hih

Bdzx

tgxBB

ηη

2

(3.34)

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

∆∆−= ∫hBdzi

xtgC

kt

irirn

ikb

kt

iri

UBHt

∂∂−

∆

kt

rxkb

ktrkb

kt

rkb

kt

iri

xtxqBHt

xHxBH

BHg

−∆

+

ixzhxzi

xzh

Bt

η

ττ

3.2.3.3 Phương trình liên tục:

Sai phân theo sơ đồ hiện:

kin

kin

kin

k

UxxUB

,1,1,,

1

−−

−∆

=∂

kin

kin

kin

k

WzzWB

1,1,,,

1

−−

−∆

=∂

Thay vào phương trình liên tục ta được: