Qua phương trình toán học của bề mặt răng, tác giả sử dụng phần mềm PoE 5.0 để mô hình hóa bề mặt, từ đó thấy được sự biến đổi của đường tác động trong quá trình ăn khớp.. 1.1.2 Bài báo
Nhận xét 6
Bộ truyền bánh răng bị rung động, gây ra tiếng ồn là do sự thay đổi của lực tác động
Hình 1.3.1 Các yếu tố kích thích gây rung động - Độ lớn của lực tiếp xúc: Là nguyên nhân chủ yếu gây ra rung động
- Hướng của lực tiếp xúc: Thay đổi đối với bánh răng Cycloidal và bánh răng
Hypocycloidal [20] Đối với bánh răng thân khai hướng biến đổi là do ảnh hưởng
Sự thay đổi của lực
- Vị trí lực tiếp xúc: Do vết tiếp xúc di chuyển trong quá trình ăn khớp
- Nguồn gốc của sự biến đổi lực trong bánh răng thân khai là do sự truyền động không được êm, biên dạng thân khai không đúng, sự biến dạng đàn hồi của bề mặt bánh răng
NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN TỒN TẠI
Giải quyết bài toán hai bề mặt bánh răng tiếp xúc xét cùng lúc lực ma sát, điều kiện bôi trơn và nhiệt độ
VẤN ĐỀ TẬP TRUNG NGHIÊN CỨU
Xác định diện tích vết tiếp xúc trong quá trình ăn khớp Xác định hướng của vết tiếp xúc thay đổi như thế nào trong quá trình ăn khớp
- Sử dụng phần mềm ProE 5.0 mô hình hóa bề mặt tác động, đường ăn khớp, bề mặt bánh răng trụ răng nghiêng với dữ liệu thu được từ phương trình toán học
- Áp dụng lý thuyết tính toán vết tiếp xúc giữa hai bề mặt bánh răng trong quá trình ăn khớp
- Áp dụng công thức Hertz và phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán ứng suất tiếp xúc và vùng biến dạng tại điểm tiếp xúc của cặp bánh răng trụ răng thẳng, răng nghiêng với sự hỗ trợ của phầm mềm Ansys workbench 12.0
- Sử dụng phần mềm Inventor.11 thiết kế mô hình thực nghiệm để đối chiếu vết tiếp xúc thực tế với lý thuyết.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT 8
Thông số hình học bánh răng nghiêng 8
- 1 , 2 : Bán kính mặt trụ chia của bánh răng 1,2 - ( 1 ) , ( 2 ) : Vận tốc góc của bánh răng 1, 2 - u 12 : Tỷ số truyền của cặp bánh răng
Bề mặt bánh răng trụ răng nghiêng là một bề mặt xoắn ốc được thể hiện bằng công thức vectơ:
Với - (u,)Tham số bề mặt ( tọa độ Gaussian ) - p: Tham số xoắn trong chuyển động xoắn ốc quanh trục z 1
Pháp tuyến của bề mặt là: u r N r
N là pháp tuyến bề mặt Điều kiện để (2.1.2) trở thành mặt xoắn được biểu diễn bằng công thức:
Tham số xoắn p trong công thức được xem như giá trị đại số
1 N n N là pháp tuyến bề mặt đơn vị, p > 0 chỉ bánh răng bên phải
Hình 2.1.1a, b) Thể hiện mặt thân khai xoắn ốc được hình thành bằng chuyển động xoắn ốc của đường thân khai
- r b : Bán kính của hình trụ cơ sở - : Bán kính vòng chia
- b :Góc nâng trên hình trụ bán kính r b
Hình 2.1.2 Thể hiện bán kính hình trụ r b và góc xoắn đã được phát triển trên mặt phẳng
2 là tham số xoắn, nó là sự di động theo trục trong chyển động xoắn ốc tương ứng với chuyển động quay qua một góc đơn vị r b tan b p
Hình 2.1.3 Biên dạng thân khai theo đường xoắn ốc Vectơ vị trí O 1 N O 1 K KM MN (2.1.8) - O 1 N: Bán kính từ tâm O 1 của bánh răng tới điểm N trên bề mặt răng
- O 1 K : Bán kính hình trụ cơ sở của bánh răng nghiêng - KM :Đường sinh mặt trụ cơ sở, có chiều cao tính từ điểm K tới đường xoắn ốc
- MN :Đoạn thẳng trên mặt thân khai, hợp với mặt phẳng z 1 0 một góc b
Từ công thức (2.1.8) tới công thức (2.1.12 ) ta suy ra vectơ O 1 N
sin cos cos sin sin cos cos
b b b T n 1 sin sin sin cos cos
Phương trình bề mặt bánh răng trụ răng nghiêng 11
Công thức bề mặt răng được thể hiện riêng biệt theo hai trục 1 và 2 trong hệ tọa độ S 1 ,S 2 Bánh răng nghiêng phải 1 được thể hiện trong hình
Hình 2.2.2 Thể hiện mặt cắt ngang của bề mặt răng 1 nhận được khi giao nhau với mặt phẳng Z 1 0 Trục x 1 là trục đối xứng Trục x 1 và vecto vị trí
O k hợp với nhau một góc 1 Theo tính chất đường thân khai ta có AG cungB 1 ( I) G
Với - w t 1 : Chiều rộng rãnh giữa hai răng trên đường kính vòng chia
Công thức bề mặt răng trong điều kiện tham số bề mặt (u 1 , 1 ) Tham số
1được đo từ vecto vị trí O 1 B 1 ( k ) , ( k = I, II) theo hướng được thể hiện trong hình (2.2.2) Hướng đo của 1 và 1 theo chiều kim đồng hồ với bề mặt I, ngược chiều kim đồng hồ với bề mặt II khi ta quan sát ngược chiều z 1
Bề mặt răng được thể hiện trong S i bởi hàm vectơ r i (u i , i ), (i=1,2) Pháp tuyến đợn vị bề mặt răng 1 được thể hiện bởi:
Ký hiệu: dấu “-” tương ứng với bề mặt bên phải và dấu “+” tương ứng với bề mặt răng bên trái của bánh răng số 1 Hướng chọn bên dưới của bề mặt pháp tuyến đơn vị n 2 có thể dẫn đến sự trùng của n 1 ,n 2 khi hai bề mặt bánh răng 1 và 2 tiếp xúc với nhau
Tọa độ đường u i trên bề mặt răng là đường thẳng ( i được cố định ) nó hình thành bề mặt răng trong khi thực hiện chuyển động xoắn ốc Đường i là đường xoắn trên bề mặt răng Tham số xoắn p 1 , p 2 trong công thức bên dưới luôn luôn được xem như giá trị vị trí cho răng bên phải và bên trái Từ đây suy ra công thức bề mặt răng và pháp tuyến đơn vị bề mặt
1) Bánh răng 1 nghiêng phải, mặt bên I (Hình 2.2.2a)
b b b T n 1 sin 1 sin( 1 1 ) sin 1 cos( 1 1 ) cos 1
Góc 1 và 1 được đo cùng chiều kim đồng hồ
2) Bánh răng 1 nghiêng phải, mặt bên II (Hình 2.2.2b)
b b b T n 1 sin 1 sin( 1 1 ) sin 1 cos( 1 1 ) cos 1
Góc 1 và 1 được đo ngược chiều kim đồng hồ
3) Bánh răng 1 nghiêng trái, mặt bên II:
b b b T n 1 sin 1 sin( 1 1 ) sin 1 cos( 1 1 ) cos 1
Góc 1 và 1 được đo ngược chiều kim đồng hồ
4) Bánh răng 1 nghiêng trái, mặt bên I:
Góc 1 và 1 được đo cùng chiều kim đồng hồ.
Mối quan hệ vận tốc 15
Hình 2.3.1 Mối quan hệ vận tốc của điểm tiếp xúc Điều kiện tiếp xúc của hai bề mặt tác dụng với nhau phải thỏa mãn mối quan hệ vận tốc của điểm tiếp xúc
- v tr ( i ) (i 1,2) :Thành phần truyền chuyển động với bề mặt răng - v ( r i ) (i 1,2) :Thành phần chuyển động tương đối trên toàn bộ bề mặt răng - v ( 12 ) : Vận tốc trượt tại điểm tiếp xúc
) ( i n r : Vận tốc của đầu mút pháp tuyến đơn vị bề mặt trong khi nó di chuyển qua bề mặt
- n: Pháp tuyến đơn vị bề mặt
- ( 1 ) , ( 2 ) : Vecto vận tốc góc của trục bánh răng 1 và 2 Điểm M là điểm tiếp xúc chung của hai bề mặt Vận tốc tương đối của điểm
M ( thuộc bề mặt 1 đối với điểm M ( 2 ) thuộc bề mặt 2 được xác định bởi biểu thức
- r ( 1 ) ,r ( 2 ) : Vectơ vị trí vẽ từ một điểm thuộc đường tác dụng của vectơ
Ta thay thế vecto ( 2 ) trên đường O 2 O 2 ' bằng một vecto đi qua O f và một moment m R ( 2 )
- R : Vectơ vị trí được vẽ từ một điểm thuộc đường tác dụng của vecto ( 1 ) đến đường tác dụng của vecto ( 2 ) tương ứng từ O f đến O 2 ' Ta chọn O 2 ' O 2 suy ra R = a
Điều kiện ăn khớp của bề mặt bánh răng 17
Sự hình thành bề mặt bánh răng bởi bề mặt dụng cụ và sự liên hợp của bề mặt răng trong đường tiếp xúc dựa trên khái niệm đường bao họ bề mặt 1 , 2 tương ứng với bề mặt tạo hình và bề mặt được sinh ra
Hệ tọa độ S 1 , S 2 , S f tương ứng gắn với bề mặt 1 , 2 và khung máy
Hình 2.4.1 Bề mặt răng tiếp xúc Bề mặt 1 được thể hiện bởi công thức
- (u,)là tham số bề mặt
Sử dụng phép biến đổi tọa độ từ S 1 tới S 2 Ta nhận được họ bề mặt 1 trong
Khi cố định tham số ta sẽ nhận được bề mặt 1 trong S 2 Đường bao
2tiếp xúc với tất cả những bề mặt thuộc họ bề mặt 1 trong S 2 Bề mặt 2 có thể được xác định nếu hàm vecto r 2 (u,,) được bổ sung bởi hàm f(u,,) 0 ( công thức ăn khớp ) Bề mặt 2 có thể được biểu diễn bằng biểu thức
2( u r và tiếp tuyến tới 2 có thể được biểu diễn
Pháp tuyến N 2 ( 1 ) của bề mặt 1 được thể hiện trong hệ tọa độ S 2 được xác định bằng biểu thức
Nếu đường bao 2 tồn tại, nó sẽ tiếp xúc với 1 Bề mặt 1 , 2 phải có mặt phẳng tiếp tuyến chung Mặt phẳng tiếp xúc ( 2 2 ) tới 2 được xác định bởi cặp vecto T 2 và T 2 * Mặt phẳng tiếp xúc ( 2 1 ) tới 1 được xác định bởi cặp vecto
2 2 , r u r Vectơ T 2 nằm trên mặt phẳng ( 2 1 ) Mặt phẳng 1 , 2 sẽ có mặt phẳng tiếp tuyến chung nếu vecto
r 2 cũng nằm trên ( 2 1 ) Do đó các vecto
, r r u r nằm trên ( 2 1 ) được thể hiện bởi công thức
r 2 cộng tuyến với vecto vận tốc tương đối v 2 ( 12 ) do đó ta viết lại
Trong trường hợp bánh răng phẳng công thức ăn khớp được biểu diễn
- T i ( 1 ) : Tiếp tuyến đến đường sinh - v i ( 12 ) : Vận tốc trượt
- k i : Vecto đơn vị của trục z i
Trường hợp răng phẳng và sự ăn khớp có trục giao nhau Pháp tuyến đường sinh ( bề mặt ) tại điểm tiếp xúc tức thời của đường cong đi qua tâm quay tức thời đối với răng phẳng
Trục quay tức thời đối với bộ truyền bánh răng có trục quay cắt nhau
Công thức ăn khớp của bộ truyền bánh răng được xác định theo công thức
Hình 2.4.2 Hình 2.4.2 Biểu diễn mối quan hệ vận tốc và pháp tuyến tại điểm tiếp xúc
- (X i , ,Y i ,Z i ) là tọa độ của điểm hiện tại của trục quay tức thời
- (x i , , y i ,z i ) là tọa độ của điểm thuộc bề mặt phát động
- (N x ( 1 i ) ,N ( y 1 i ) ,N z ( 1 i ) ) là hình chiếu của pháp tuyến đến bề mặt 1
Độ cong chính và hướng chính bề mặt 20
Bề mặt răng được định nghĩa bởi vecto r u, a) b) Hình 2.5.1 Thể hiện tọa độ bề mặt trong không gian Pháp tuyến của tại điểm M được định nghĩa là N r u r
Mặt phẳng P tiếp xúc với tại điểm M được xác định bằng công thức
- N x ,N y ,N z : Pháp tuyến của bề mặt tại điểm M(x 0 , y 0 ,z 0 ) - ( X * ,Y * ,Z * ) : Tọa độ của điểm M * thuộc mặt phẳng P
Tiếp tuyến của tại điểm M được định nghĩa là T r u du r d
( T phụ thuộc vào tỷ số du d
) Độ cong pháp tuyến của là độ cong của đường cong phẳng L n tại điểm M của bề mặt nhận được bởi giao mặt phẳng và mặt phẳng pháp tuyến (Hình thành bởi N và T ) Gọi k n là độ cong pháp tuyến của đường cong L n
Hình 2.5.2 Đường cong phẳng L n tại điểm M Giá trị lớn nhất của độ cong pháp tuyến k n được gọi là độ cong chính Hướng của vecto đơn vị t ( của tiếp tuyến T ) là hướng chính
Trình tự tính toán độ cong chính
Hình 2.5.3 Hình 2.5.3a) Thể hiện vecto r u ,r là tiếp tuyến theo hướng đường tọa độ trên mặt phẳng, T là hướng của một chuyển vị nhỏ của điểm trên bề mặt
Hình 2.5.3b) Thể hiện mối quan hệ giữa độ lớn a và b của vecto đơn vị e u ,e ,
, là tham số biến đổi nhưng v là hằng số
Bước 1: (Biểu thức tiếp tuyến đơn vị t) Tiếp tuyến T có thể được thể hiện bởi (2.5.3b ): T ae u be Với :
Với: v , Sử dụng công thức (2.5.5) và (2.5.7) ta suy ra v v e t e u sin
Bước 2: Biểu thức cho v và v t v v dt r d dt r du t dt r d dt r du v u u
Bước 3: Biểu thức dt d dt du
, , Từ công thức (2.5.8) và công thức (2.5.11)
Công thức (2.5.12) phải thõa mãn với bất kỳ giá trị r u ,r do đó
r v v v dt d r v v v dt d r v v dt du r v v dt du u u
Bước 4: Biểu thức gia tốc a r
( dt r d dt u r d dt r d dt d dt r du dt r du a r uu u u
Bước 5: Công thức xác định độ cong pháp tuyến
( 2 ) ( [ v dt N d dt d dt M du dt
Bước 6: Xác định giá trị lớn nhất của k n
Công thức (2.5.20) cho ta được 2 hai nghiệm :
I II I ( Điều này có nghĩa hai hướng chính vuông góc với nhau) Bước 7: Xác định độ cong chính
Sử dụng nghiệm và công thức (2.5.17) ta sẽ tìm được độ cong chính Bước 8: ( Biểu diễn hướng chính )
Bước trước cho hai nghiệm và công thức (2.5.8) cho phép ta thể hiện hướng chính của vecto đơn vị Hai hướng chính vuông góc với nhau tồn tại tại mỗi điểm của bề mặt với giá trị khác nhau của độ cong chính.
Mối quan hệ giữa độ cong chính của bề mặt liên hợp ăn khớp 23
Điểm M là điểm tiếp xúc của bề mặt 1 , 2 - e f ,e h : Vectơ đơn vị của hướng chính trên 1 tại điểm M - k f ,k h : Độ cong chính của 1
- e s ,e q : Vecto đơn vị của hướng chính trên 2 tại điểm M
- k s ,k q : Độ cong chính của 2 - : Góc đo giữa e f ,e s được đo ngược chiều kim đồng hồ từ e f tới e s
Chúng ta xem xét trong không gian 2D hệ tọa độ S a (e f ,e h ) và S b (e s ,e q ) được nối cứng với bánh răng số 1 và số 2 tương ứng với bề mặt 1 , 2 Tọa độ chuyển đổi hệ thống tọa độ dựa theo việc áp dụng ma trận sau
Hình 2.6.1 Vecto đơn vị trong mặt phẳng tiếp xúc Vecto v r ( 1 ) ,
) 1 ( n r được biểu diễn trong hệ tọa độ S a ( e f , e h ) được nối cứng với bề mặt 1
) ( i n r : Vận tốc của đầu mút vecto pháp tuyến đơn vị của bề mặt
) 1 ( n r trong hệ tọa độ S b ( e s , e q ) được nối cứng với bề mặt 2
Số mũ “1” dùng để chỉ sự dịch chuyển trên toàn bộ bề mặt 1
“f”, “h”, “s”, “q” dùng đề chỉ vecto được xem xét trong hệ tọa độ S a ( e f , e h ),
Tương tự ta có vecto v r ( 2 ) ,
) 2 ( n r được biểu diễn trong hệ tọa độ S b (e s ,e q ) được nối cứng với bề mặt 2
Tương tự ta suy ra trong hệ tọa độ S b (e s ,e q )
) ( ) ( , i i r r n v liên hệ với nhau bởi công thức Rodrigues
II I i r k v n (i=1,2) - k I ( , i ) II là độ cong chính của bề mặt i
K i (i=1,2) là ma trận độ cong của bề mặt i
Xác định mối quan hệ giữa thành phần vecto ( 1 )
, r r v n được biểu diễn trong hệ tọa độ S b ( e s , e q )và ( 2 )
, r r v n được biểu diễn trong hệ tọa độ S a ( e f , e h )
Phương trình tuyến tính 4 công thức tuyến tính
Bước 1: Từ công thức (2.6.9) và (2.6.16)
Bước 2: Sử dụng công thức (2.6.8) và (2.6.13)
Bước 3: Sử dụng công thức (2.6.20) và công thức (2.6.21)
Từ đây ta suy ra cho ( v ( s 1 ) ,v q ( 1 ) ) Bước 1: Từ công thức (2.6.11) và (2.6.15)
Bước 2: Từ công thức (2.6.10) và (2.6.14)
Bước 3: Từ ông thức (2.6.23) và (2.6.24)
Ma trận A đối xứng thể hiện độ cong chính của bề mặt tiếp xúc 1 , 2 Góc hình thành giữa hướng chính trên 1 , 2
Do bề mặt 1 và 2 tiếp xúc với nhau theo đường thẳng tại mỗi thời điểm bất kỳ Công thức xác định độ cong chính và hướng chính của bề mặt
Bước 1: Thể hiện tích vô hướng của hai vecto ( 12 )
Bước 2: Sử dụng công thức (2.6.13), chúng ta được
Bước 4: Thể hiện tích vecto trong hệ tọa độ S a (e f ,e h )
Bước 5: Từ công thức (2.6.42) và (2.6.8)
Bước 6: Dùng công thức (2.6.41) và (2.6.43), ta thể hiện công thức (2.6.38)
Ta dùng công thức (2.6.44) và hai công thức đầu tiên (2.6.17)
Ellipse tiếp xúc 30
Bởi vì tính đàn hồi của bề mặt răng, bề mặt tiếp xúc tức thời tại điểm lan truyền ra toàn bộ vùng ellipse Tâm đối xứng của elllipe tiếp xúc trùng với điểm tiếp xúc lý thuyết Áp lực tiếp xúc của bề mặt răng được hình thành ở ellipse tiếp xúc
Hình 2.7.1 Thể hiện bề mặt 1 , 2 tiếp xúc với nhau tại điểm M Vectơ pháp tuyến đơn vị và mặt phẳng tiếp xúc được ký hiệu là n, Diện tích vùng bề mặt biến dạng được thể hiện bằng đường nét khuất và được xây dựng bởi K 1 M 1 L 1 ,
K cho bề mặt 1 , 2 Biến dạng đàn hồi của bề mặt tiếp xúc tại điểm M được ký hiệu là 1 , 2 và đàn hồi tiệm cận của bề mặt tại M là 1 2
Ký hiệu N và N ' chỉ bề mặt điểm, ứng với bề mặt tiếp xúc sau khi biến dạng đàn hồi Khe hở giữa bề mặt tại điểm N và N ' được thể hiện trong Hình 2.7.1 Xem xét điểm N và N ' của bề mặt tiếp xúc 1 , 2 Vị trí của N, N ' đối với điểm M được xác định với hệ tọa độ ( , l ( ) i ), (i1, 2) Ở đây l (1) ,l (2) là độ lệch của điểm N (i ) từ điểm M, nó phụ thuộc vào độ cong của đường cong K ML i i (i=1, 2)
Xem bề mặt 1 , 2 biến dạng dưới tác dụng của lực tiếp xúc Sự biến dạng của bề mặt 1 , 2 là độc lập Điểm M, N của bề mặt 1 sẽ có vị trí M N 1 , 1 Ở đây
MM , NN 1 f 1 Với 1 ,f 1 là biến dạng đàn hồi của bề mặt 1 tại M, N 1 ,f 1 được đo dọc theo vecto pháp tuyến n Tương tự, xem biến dạng đàn hồi của bề mặt
2, điểm M, N ' sẽ có vị trí M N 2 , 2 Độ lệch của điểm M 1 ,M 2 ,N 1 ,N 2 từ bề mặt tiếp xúc được xác định như sau:
Hình 2.7.2 Độ lệch cơ bản của biến dạng đàn hồi Khe hở giữa bề mặt tại điểm M M 1 , 2
Bề mặt 1 , 2 tiếp tục tiếp xúc khi hai bánh răng chuyển động quay Khe hở tưởng tượng giữa bề mặt tại điểm M M 1 , 2 sẽ không xuất hiện khi bánh răng ăn khớp Bánh răng 2 quay một góc 2 Theo điều kiện tiếp xúc của bề mặt 1 , 2 tại điểm M M 1 , 2
( 2 xr 2 ) n = 1 2 - r 2 là vecto vị trí của điểm M 2 được vẽ từ một điểm bất kỳ thuộc trục quay bánh răng 2 tới điểm M 2 Bánh răng 2 quay một góc 2 tương đương khoảng dịch chuyển 1 2 n của điểm M 2 dọc theo vecto pháp tuyến n. nhỏ đối với r 2 , chúng ta có thể xem xét sự dịch chuyển của N 2 bởi chuyển động quay của răng tương tự như M 2 Bề mặt tiếp xúc 1 , 2 tại N N 1 , 2 sẽ xuất hiện một cách đồng thời với sự tiếp xúc tại điểm M M 1 , 2
Vế bên phải của công thức (2.7.9) luôn luôn dương từ đó 1 f 1 và 2 f 2
Công thức (2.7.9) thõa mãn tất cả các điểm ăn khớp của bề mặt tiếp xúc bên trong vùng biến dạng và tại cạnh của vùng đó Tuy nhiên tại cạnh của vùng f 1 0 và
2 0 f và công thức (2.7.9) trở thành:
Bên ngoài vùng biến dạng:
( l l Bên trong vùng biến dạng: l ( 1 ) l ( 2 )
* Định nghĩa ellip tiếp xúc Chúng ta có thể liên hệ l ( ) i ( i=1,2) với độ cong bề mặt Xem bề mặt như:
(u C 2 r r u r 0 (u,) E Ở đây ( , ) u thể hiện tọa độ bề mặt Đường cong MM ' trên bề mặt có thể được thể hiện bằng công thức: r r u s [ ( ), ( )] s
Hình 2.7.3 Xác định độ lệch l
S: là chiều dài cung, slà độ dài cung
MM ' Độ lớn của véctơ vị trí r được xác định bởi r, rMM ' Khai triển r với công thức taylor
Do đó : dr r du r d ds u ds ds
2 2 ( ) 2 2 , d r r du r du d r d ds u ds u ds ds ds
Mặt phẳng tiếp xúc với bề mặt tại điểm M, P là hình chiếu của M ' lên mặt phẳng Véctơ PM ' l n là đường vuông góc với mặt phẳng tại điểm P, và l thể hiện độ lệch của điểm congM ' đối với mặt phẳng tiếp xúc Độ lệch l là dương nếu PM ' và n cùng hướng với nhau Công thức MM ' rvà l MP
Vecto MP và n vuông góc với nhau Nhân n vào hai vế của phương trình, giới hạn biểu thức l tới số hạng thứ 3
Độ cong pháp tuyến của bề mặt được thể hiện bằng công thức
Hình 2.7.4 Nguồn gốc ellipse tiếp xúc Xem xét hệ tọa độ với các trục tọa độ n, , và gốc tọa độ trùng với điểm M và trục , nằm trong mặt phẳng tiếp xúc Nó dễ dàng được xác định :
và , là tọa độ của điểm P Do đó :
Độ cong pháp tuyến và độ cong chính của bề mặt có quan hệ với nhau bởi công thức Euler
) (i k n : là độ cong pháp tuyến bề mặt ( i ) theo hướng chính
2 1,q q : là góc được hình thành bởi vecto e f ,e s với MP
Chúng ta ký hiệu điểm N và N ' của bề mặt tiếp xúc như là điểm tiếp xúc của bề mặt sau khi biến dạng đàn hồi Điểm P là hình chiếu của điểm N, N ' lên mặt phẳng tiếp xúc Độ lệch của điểm N, N ' đến mặt phẳng tiếp xúc trước khi biến dạng đàn hồi được xác định theo công thức sau:
Hướng của vecto MP trong mặt phẳng ( , ) được xác định với góc Tại cạnh của vùng tiếp xúc theo công thức (2.7.9) ta có: l ( 1 ) l ( 2 ) Để xác định kích thước và hướng của ellip chúng ta dựa vào e f ,e s Với q 1 ( 1 ) q 2 ( 2 )
Sau khi biến đổi chúng ta có
Với q s h f k g k k k g 1 , 2 Góc (1) thì xác định hướng của trục tọa độ và đối với e f có thể chọn tùy ý Chẳng hạn như (1) có thể được chọn thỏa mãn công thức :
(2.7.32) Cung cấp hai cách giải quyết cho 2 ( 1 ) Ta sẽ chọn cách giải quyết bằng công thức :
Công thức (2.7.32), ( 2.7.33), (2.7.34) xác định hướng của trục và đối với hướng chính của bề mặt tiếp xúc Các phương trình sau:
Theo công thức (2.7.29) và (2.7.31) Hình chiếu của vùng biến dạng đàn hồi lên mặt phẳng tiếp xúc là hình ellipse có trục trùng với trục , Trục của ellipse là :
Hướng của ellipse trong mặt phẳng tiếp xúc được xác định bởi công thức (2.7.33) và (2.7.34)
Hình 2.7.6 Hướng Ellipse tiếp xúc thay đổi trong quá trình ăn khớp
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN CHO CẶP BÁNH RĂNG TRỤ RĂNG NGHIÊNG 40
Khảo sát quá trình ăn khớp của cặp bánh răng trụ răng nghiêng với hai trục song
- Xác định bề mặt 2 là bề mặt liên hợp từ bề mặt 1 - Xác định đường tiếp xúc giữa hai bề mặt 1 , 2 - Xác định bề mặt tác động của hai bánh răng
Hình 3.1.1 Mô hình cặp bánh răng nghiêng ăn khớp
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai trục bánh răng là a Trục quay tức thời P-P song song với trục quay của bánh răng Và nó quay trong hệ tọa độ S f được định nghĩa như
- (X f ,Y f ,l): Xác định điểm hiện tại của trục quay tức thời P – P - l: Tham số biến đổi (10 l 10)
Trục quay tức thời được thể hiện trong hệ tọa độ S 1
Hình 3.1.4 Chuyển tọa độ từ S f sang S 1
Áp dụng công thức (2.4.8) Pháp tuyến bề mặt 1 tại điểm tiếp xúc tức thời giữa 1 , 2 phải đi qua trục quay tức thời P-P do đó:
- x 1 (u 1 , 1 ),y 1 (u 1 , 1 ),z 1 (u 1 , 1 )là tọa độ của điểm nằm trên mặt phẳng 1 - n x 1 ( 1 ),n y 1 ( 1 ),n y 1 ( 1 )là pháp tuyến của bề mặt 1 tại điểm đó
Thế công thức (2.2.6), (2.2.7), (3.1.6) vào công thức (3.1.7) ta được biểu thức
- 0 : Góc áp lực của bánh răng nghiêng
Công thức ăn khớp là một hàm theo hai biến 1 , 1
Bề mặt 2 được định nghĩa với công thức
[M 21 thể hiện tọa độ dịch chuyển từ S 1 tới S 2
[M 2 f thể hiện tọa độ dịch chuyển từ tọa độ cố định S f sang tọa độ S 2
(3.1.13) Hình 3.1.5 Chuyển tọa độ từ S f sang
0 0 sin 0 cos sin cos 0 sin cos
Từ công thức (3.1.10), (3.1.11), (3.1.16) và (2.2.6) suy ra
Công thức bề mặt 2 theo hai biến (u 1 , 2 )
) cos( cos )) cos( sin sin cos (
) sin( cos )) sin( sin cos cos (
Bề mặt tác động Bề mặt tác động trong hệ tọa độ S f được xác định bởi công thức
M r f f , f( 1 , 1 ) 1 1 1 0 0 (2.2.6) và (3.1.15) suy ra công thức bề mặt tác động
) ( sin cos cos sin sin cos cos
Bề mặt tác động tiếp xúc với hình trụ cơ sở bán kính r b 1 ,r b 2 và đi qua trục quay tức thời P-P
Mô hình hóa bề mặt bánh răng 46
Sử dụng phần mềm inventor 11 thiết kế mô hình cặp bánh răng nghiêng ăn khớp
Hình 3.2.1 Thiết kế cặp bánh răng nghiêng ăn khớp
Hình 3.2.2 Thông số hình học bánh răng 1
Hình 3.2.3 Thông số hình học bánh răng 2
Tóm tắt thông số cặp bánh răng nghiêng - Mô đun: m = 5( mm )
- Tỷ số truyền: u 12 0,8 - Số răng Z 1 = 25 răng, Z 2 = 20 răng - Bề rộng bánh răng : b 1 = 30 ( mm ) , b 2 = 25 ( mm )
- Góc ăn khớp: 0 20 0 ,cos(20 0 ) 0,9397, sin(20 0 ) 0,342
- Răng bánh 1 nghiêng phải 1 10 0 ,cos(10 0 ) 0,9848;sin(10 0 ) 0,1736
- Răng bánh 2 nghiêng trái 2 10 0 , cos(10 0 ) 0,9848;
1736 , 0 ) 10 sin( 0 - Bán kính vòng tròn cơ sở: r b 1 59,5285 ( mm ), r b 2 47,623 ( mm ) - Bán kính vòng chia: r 1 63,464( mm ) , r 2 50,7715( mm ) Áp dụng công thức (2.2.1) tính A , (2.2.3) tính inv A
Áp dụng công thức (2.2.4) tính 1
Áp dụng công thức theo hình (2.1.2) tính b 1
b Áp dụng công thức (2.1.7) tính p 1
Áp dụng công thức ( 2.2.6 ) mô hình hóa bề mặt I bánh răng 1 nghiêng phải Tương ứng với mỗi giá trị 1 , thế vào công thức ăn khớp ta tìm được giá trị 1 Cho z 1 chạy từ -15 tới 15 ta sẽ tìm được u 1 Thế vào phương trình bề mặt răng 1 ta tìm được tọa độ điểm tiếp xúc (x ,y ) tương ứng.
Theo hình (2.2.2 a) ta tính được góc sinh mặt răng - 1 0 0 tương ứng với góc sinh mặt trên vòng tròn cơ sở - 1 21,176 0 tương ứng với góc sinh mặt răng tại đường kính vòng chia
- 1 32,5 0 tương ứng với góc sinh mặt răng tại đường kính đỉnh răng
Bảng 3.2.1 Tọa độ bề mặt bánh răng nghiêng phải nhánh 1
1 r b 59,5285 59,5285 59,5285 59,5285 59,5285 59,5285 59,5285 Ta thay đổi giá trị 1 , tương ứng mỗi giá trị 1 ta được một đường cong bề mặt răng
- 15,2315 x 1 59,587 59,5455 59,5039 59,4624 59,4209 59,3794 59,3379 y 1 0,1629 1,0433 1,9238 2,8042 3,6846 4,565 5,4454 Điểm tiếp xúc T1 T2 T3 Đường tiếp xúc
Qua ba điểm tiếp xúc T1, T2, T3 ta vẽ được đường tiếp xúc L 1 12 trên bề mặt răng
111,405 1 x 1 64,4028 64,046 63,6893 63,3325 62,9758 62,619 62,2623 y 1 1,574 2,3799 3,1859 3,9919 4,7979 5,6038 6,4098 Điểm tiếp xúc T4 T5 T6 Đường tiếp xúc
Qua ba điểm tiếp xúc T4, T5, T6 ta vẽ được đường tiếp xúc L 2 12 trên bề mặt răng
179,124 8 x 1 69,6166 69,1085 68,6005 68,0924 67,5843 67,0763 66,5682 y 1 4,5828 5,303 6,0232 6,7435 7,4637 8,1839 8,9042 Điểm tiếp xúc T7 T8 T9 Đường tiếp xúc
Qua ba điểm tiếp xúc T7, T8, T9 ta vẽ được đường tiếp xúc L 3 12 trên bề mặt răng
Từ những đường tiếp xúc L 1 12 , 12
L 3 ta xây dựng được bề mặt bánh răng Sử dụng phần mềm ProE 5.0 mô hình hóa bề mặt tiếp xúc
Hình 3.2.4 Bề mặt 1 trong hệ toạ độ S 1
Tương tự áp dụng công thức (2.2.8) ta xây dựng được mặt bên 2 Đường tiếp xúc
Hình 3.2.5 Bề mặt I, II bánh răng nghiêng phải Sử dụng lệnh pattern trong phần mềm ProE 5.0 ta tạo được 24 bề mặt bánh răng còn lại
Sử dụng lệnh Merge ta nối các bề mặt lại với nhau Sử dụng lệnh Solidify để tạo khối đặc từ những bề mặt Ta xây dựng được mô hình bánh răng 1
Hình 3.2.6 Bánh răng nghiêng phải Tương ứng với mỗi giá trị 1 thế vào công thức (3.1.1) ta sẽ tìm được một giá trị
2 Thế vào công thức (3.1.18) ta vẽ được bề mặt 2 sinh ra từ bề mặt 1
Bảng 3.2.2 Tọa độ bề mặt 2 sinh ra từ bề mặt 1
Hình 3.2.7 Bề mặt 2 sinh ra từ bề mặt 1
Hình 3.2.8 Bề mặt 2 sinh ra từ bề mặt 1 Áp dụng công thức (2.2.10) và (2.2.12) mô hình hóa bánh răng 2 nghiêng trái và tiến hành lắp ráp hai bánh răng
Hình 3.2.9 Mô hình cặp bánh răng nghiêng ăn khớp
Bảng 3.2.3 Tọa độ đường tác động trong hệ tọa độ S f
Hình 3.2.10 Bề mặt tác động
Tính toán độ cong chính và ellipse tiếp xúc 57 CHƯƠNG 4: THIẾT KẾ MÔ HÌNH KIỂM NGHIỆM VẾT TIẾP XÚC 65
3.3.1 Trình tự tính toán độ cong chính và hướng chính của bề mặt bánh răng chủ động ( bánh răng 1)
Phương trình bề mặt bánh răng số 1nghiêng phải, bề mặt I (2.2.6)
b b b T n 1 sin 1 sin( 1 1 ) sin 1 cos( 1 1 ) cos 1
1 sin cos cos sin cos
1 cos cos sin cos cos sin
0 cos cos sin sin cos cos
Áp dụng công thức (2.5.16) tính L 1 ,M 1 ,N 1
0 cos sin sin cos sin sin cos cos
Áp dụng công thức (2.5.9) tính sinv 1 ,cosv 1
* Thời điểm bánh răng 1 và 2 ăn khớp với nhau tương ứng với
Tương ứng với 1 3,876 0 ,z 1 0,u 1 126,6366 Thế số vào công thức ta được
Từ sinv 1 ,cosv 1 ta suy ra v 1 176,38 0
v v v v v Áp dụng công thức (2.5.17) và (2.5.18)
Thế vào công thức ta tính được các giá trị A, B, C
Thế vào công thức (2.5.17) ta tìm được độ cong chính
3.3.2 Tính góc và độ cong chính, hướng chính của bề mặt bánh răng bị động ( bánh răng số 2 ) và ellipse tiếp xúc trên bánh răng 2
Vị trí của điểm tiếp xúc trong hệ tọa độ cố định S f
u u Độ lớn của v ( f 12 ) trong hệ tọa độ S a
174 , 0 9 , 0 3986 , 0 cos ) cos( sin ) sin( sin 1 1 1 1 1 1 1
) cos( sin cos ) sin( sin sin
) cos( sin sin ) sin( sin cos cos
Xác định hướng của ellipse Áp dụng công thức (2.7.33) ta tính được góc hợp bởi trục và vecto e f
- Bề mặt 1 , 2 tiếp xúc tức thời với nhau theo đường L 12 Đường tiếp xúc này quét từ chân răng tới đỉnh răng
- Điểm M tiếp xúc tức thời chạy trên đường tiếp xúc L 12
CHƯƠNG 4: THIẾT KẾ MÔ HÌNH KIỂM NGHIỆM
Sử dụng phần mềm inventor 11 thiết kế, lắp ráp mô hình kiểm nghiệm vết tiếp xúc 65
Hình 4.1.1 Mô hình lắp ráp hoàn chỉnh trong môi trường lắp ráp inventor 11
Vai trò của từng chi tiết Tay quay (1): Dùng để tạo moment quay
Trục (3): Dùng để truyền chuyển động quay cho bánh răng thép (10) Bulong (4): Dùng để lắp ổ đỡ
Khung trượt (5), Visme (6), Gối đỡ (7), Sóng trượt bi (8): Phối hợp với nhau để làm cho trục (3) chuyển động tịnh tiến theo phương sóng trượt bi (8)
Khung chân (9): Dùng để đỡ kết cấu bên trên Bánh răng thép (10): Dùng làm bề mặt tác động lên bánh răng nhôm (14) Tấm kẹp (11): Dùng để cố định trục bánh răng nhôm (13) không quay Gối đỡ + ổ đỡ (12): Nhờ đó trục (13) mới quay được
Trục (13): Dùng để truyền chuyển động quay cho bánh răng nhôm (14) Bánh răng nhôm (14): Dùng để đo vết tiếp xúc
Hình 4.1.2 Hướng nhìn từ bên hông của mô hình
Quá trình chế tạo mô hình 67
Hình 4.2.1 Bộ khung B1: Ta đặt bề mặt 1, 2, 3 sau khi đã được phay tinh lên mặt phẳng chuẩn, rồi tiến hành hàn khung chân
B2: Nhiệt độ sinh ra trong quá trình hàn làm bộ khung bị cong vênh Để đảm bảo hai trục lắp bánh răng song song với nhau ta ốp bề mặt 4 xuống bàn từ rồi tiến hành mài bề mặt 1, 2, 3 Sau đó ốp bề mặt 1,2, 3 xuống bàn từ rồi tiến hành mài bề mặt 4 B3: Ta tiến hành lắp ráp mô hình
Hình 4.2.2 Mô hình chế tạo thực tế ( Mô hình được gia công tại xí nghiệp Z751)
CHƯƠNG 5: SỬ DỤNG PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH TOÁN
Quá trình truyền lực giữa hai răng xãy ra ở điểm tiếp xúc của bề mặt răng Ứng suất tại điểm tiếp xúc được tính theo lý thuyết Hertz Tài liệu [19] cho ta biểu thức toán học của ứng suất và sự biến dạng của thân cong Theo lý thuyết độ biến dạng a bằng
- F: Lực tác dụng lên bề mặt tiếp xúc - E 1 ,E 2 : Mođun đàn hồi của vật 1 và 2 - v 1 ,v 2 : Hệ số poison của vật 1 và 2 - R 1 ,R 2 : Bán kính cong của vật 1 và 2 tại điểm tiếp xúc - b: Bề rộng bánh răng
Lý thuyết Hertz giả sử ứng suất phân bố theo vùng ellipse Giá trị ứng suất lớn nhất tại vị trí giữa bằng:
Hình 5.1.1 Sự phân bố ứng suất tiếp xúc tại vị trí tiếp xúc
Bài toán tiếp xúc có hai dạng a) Cứng và đàn hồi: Một bề mặt được cố định, bề mặt còn lại biến dạng b) Đàn hồi và đàn hồi: Cả hai bề mặt đều biến dạng trong quá trình tiếp xúc
Điểm tiếp xúc điểm: vị trí của điểm tiếp xúc đã được biết trước, độ trượt nhỏ được chấp nhận
Điểm tới bề mặt: Diện tích tiếp xúc chính xác không được biết trước Cho phép độ trượt nhỏ và lớn
Bề mặt tiếp xúc bề mặt: Bề mặt tiếp xúc với bề mặt mục tiêu Bề mặt tiếp xúc là những điểm rời rạc ( Điểm GAUSS ) Những phần tử tiếp xúc không được phép đi qua bề mặt mục tiêu Trong khi bề mặt mục tiêu được phép đi qua bề mặt tiếp xúc
Hình 5.1.2 Mô hình bề mặt tiếp xúc
Tính toán vết tiếp xúc cho cặp bánh răng trụ răng thẳng 71
Để tính ứng suất tiếp xúc tại điểm tiếp xúc ta có hai vấn đề cần giải quyết - Trước hết ta phải tính hệ số trùng khớp (Hệ số trùng khớp là số đôi răng trung bình đồng thời ăn khớp trên đoạn ăn khớp thực ) để biết có bao nhiêu cặp bánh răng tiếp xúc tại thời điểm chia sẽ tải trọng
- Sau đó tính ứng suất tiếp xúc
* Tính hệ số trùng khớp ( Theo [2])
Với AB: Đoạn ăn khớp thực n : t Bước trên phương pháp tuyến a : r Bán kính vòng đỉnh
Do đó, ta giả s ử ch ỉ có m ộ t c ặp bánh răng tiế p xúc
A Áp dụng lý thuyết Hertz Giả sử R 1 và R 2 tương ứng là bán kính của đường thân khai tại điểm tiếp xúc
Gọi M là điểm tiếp xúc, ta có R 1 1 sin , R 2 2 sin
Do đó, công thức Hertz tính ứng suất tiếp xúc trong răng trở thành
Hình 5.2.1 Cặp bánh răng ăn khớp Cặp bánh răng trụ răng thẳng, Môđun m = 3.175, Góc áp lực 20 0 Số răng Z 1 Z 2 20 răng, b = 25,4 (mm)
Bán kính vòng chia 1 2 63.5 (mm)
Trọng vật nặng 5,5 (kg) Cánh tay đòn 110 (mm) , gây ra moment T = 5929 (Nmm) Môđun đàn hồi thép: E 1 200000 (Mpa), Hệ số Poison: v 1 0,3 Mô đun đàn hồi của nhôm: E 2 71000 (Mpa), Hệ số Poison: v 2 0,33 Lực vòng F t 1 F t 2
Thế vào công thức (5.2.2) ta tính ứng suất tiếp xúc
P o 18,88 (Mpa) Thế vào công thức (5.1.1) ta tính độ biến dạng a
Chiều dài độ biến dạng a tại điểm tiếp xúc là 0,06 (mm)
B Kiểm nghiệm bằng phần mềm
Sử dụng phần mềm Ansys workBend 12.0 để phân tích ứng suất cho cặp bánh răng trụ răng thẳng tiếp xúc với nhau trong quá trình ăn khớp, với các giả thuyết sau đây:
Mô hình trong suốt quá trình phân tích những phần tử thuộc bề mặt bị động không thể di chuyển xuyên qua bề mặt chủ động Nhưng những phần tử thuộc bề mặt chủ động có thể di chuyển xuyên qua bề mặt bị động Thêm vào những phần tử tiếp xúc được tạo ra tự động trong suốt quá trình phân tích
Ta cố định bánh răng nhôm
Đặt một môment vào bánh răng thép
Ràng buộc điều kiện tiếp xúc giữa hai bề mặt
Bánh răng được bôi trơn tốt, hệ số ma sát bằng không
Ứng suất nằm trong miền đàn hồi của vật liệu
Vật liệu được xem là đẳng hướng
Nhiệt độ hình thành và ứng suất nhiệt được bỏ qua
Hình 5.2.2 Ứng suất tại điểm tiếp xúc
Hình 5.2.3 Độ biến dạng tại điểm tiếp xúc
Bảng 5.2.1 so sánh kết quả tính toán
Lý thuyết Hertz Ansys WorkBend 12.0 Sai lệch Ứng suất tiếp xúc 18,88 Mpa 19,67 0,04 % Độ biến dạng tại điểm tiếp xúc
- Tính toán ứng suất bằng mô hình 2D cho ta kết quả đúng với lý thuyết Hertz - Từ đó ta áp dụng để tính toán vết tiếp xúc cho cặp bánh răng trụ răng nghiêng.
Tính toán vết tiếp xúc cho cặp bánh răng trụ răng nghiêng 76
A Áp dụng lý thuyết Hertz
Cặp bánh răng trụ răng nghiêng, Môđun m = 5, Góc áp lực 20 0 Số răng Z 1 25,Z 2 20 răng, b = 25 (mm)
Bán kính vòng chia 1 63.464, 2 50,7715 (mm)
Trọng vật nặng 5,5 (kg) Cánh tay đòn 110 (mm) , gây ra moment T = 5929 (Nmm) Môđun đàn hồi thép: E 1 200000 (Mpa), Hệ số Poison: v 1 0,3 Mô đun đàn hồi của nhôm: E 2 71000 (Mpa), Hệ số Poison: v 2 0,33 Lực vòng F t 1 F t 2
Thế vào công thức (5.2.2) ta tính ứng suất tiếp xúc
= 87,6 (Mpa) Thế vào công thức (5.1.1) ta tính độ biến dạng a
Chiều dài độ biến dạng a tại điểm tiếp xúc là 0,059 (mm)
B ) Sử dụng phần mềm inventor mô phỏng vết tiếp xúc (3D)
Hình 5.3.1 Vết tiếp xúc cặp bánh răng nghiêng
Hình 5.3.2 Vết tiếp xúc cặp bánh răng nghiêng
Hình 5.3.3 Vết tiếp xúc cặp bánh răng nghiêng
C) Kiểm nghiệm vết tiếp xúc bằng phần mềm Wolfram
- Cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau - Áp dụng lý thuyết Hertz để tính vết tiếp xúc giữa hai mặt cầu
Hình 5.3.4 Vết tiếp xúc giữa hai mặt cầu
D) Kiểm nghiệm kết quả bằng mô hình thực nghiệm
Cách đo vết tiếp xúc bằng mô hình - Cố định bánh răng nhôm
- Treo vật nặng vào trục bánh răng thép, để tạo ra lực tác dụng vào bề mặt bánh răng nhôm
- Dán miếng giấy mỏng vào bề mặt bánh răng nhôm - Bôi mực đỏ vào bề mặt bánh răng thép
- Cho cặp bánh răng ăn khớp với nhau
- Vết mực đỏ in trên miếng giấy gián trên bề mặt bánh răng nhôm thể hiện đường tiếp xúc của cặp bánh răng
Hình 5.3.5 Cách tiến hành thí nghiệm đo vết tiếp xúc
Hình 5.3.6 Hướng nhìn từ trên xuống
Hình 5.3.7 Đường tiếp xúc đo bằng mô hình thực nghiệm
- Độ cứng ăn khớp là tỷ số giữa lực tác động dọc theo đường tác động và sự dịch chuyển của bánh răng dọc theo đường tác động đó
- Độ cứng ăn khớp của bánh răng được chia làm hai loại chính:
Thành phần biến dạng do tiếp xúc Thành phần biến do lực uốn ( Do làm thay đổi bán kính cong ) Biến dạng tại vị trí tiếp xúc sẽ nhỏ hơn biến dạng do uốn
- Diện tích vết tiếp xúc tỷ lệ với lực tác dụng - Khi bánh răng quay, số lượng răng tiếp xúc thay đổi , chiều dài đường tiếp xúc thay đổi gây ra sự biến đổi độ cứng ăn khớp
- Đối với bánh răng thẳng tỷ số tiếp xúc thấp ( hệ số trùng khớp ), những biến
- Đối với bánh răng nghiêng sự thay đổi tổng chiều dài tiếp xúc là nhỏ cho nên tỷ số tiếp xúc là lớn Do đó độ cứng ăn khớp của bánh răng nghiêng nhỏ hơn bánh răng thẳng.
