Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật cơ điện tử: Nghiên cứu điều khiển máy tạo sóng nước

Sự tác động của những cơn địa chấn hoặc các công trình nhân tạo dưới đáy biển gây ra sóng, dựa vào lý thuyết sóng, người ta có thể ước lượng được đặc tính của những con sóng đó và xác đị

NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN MÁY TẠO SÓNG NƯỚC

Chuyên ngành: Kỹ thuật Cơ điện tử

Mã số: 605268

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2012

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS NGUYỄN TẤN TIẾN

Ký tên Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Ký tên

3 4 5 Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

PGS.TS TRẦN THIÊN PHÚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

I TÊN ĐỀ TÀI: Nghiên cứu điều khiển máy tạo sóng nước

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Thiết kế bộ điều khiển tạo sóng nước theo biên độ sóng yêu cầu

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/07/2012 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS NGUYỄN TẤN TIẾN

Tp HCM, ngày tháng năm 2012

TRƯỞNG KHOA CƠ KHÍ

PGS.TS TRẦN THIÊN PHÚC

Tôi xin cảm ơn quý thầy cô ở bộ môn Cơ điện tử, khoa Cơ khí, và toàn thể thầy cô ở trường Đại học Bách khoa TP.HCM, những người đã tận tình, ân cần dạy bảo tôi trong suốt những năm học vừa qua

Xin cảm ơn gia đình và những người bạn luôn động viên và ủng hộ tôi

Xin chân thành cảm ơn!

Abstract:

Thesis study on control of water waves’s amplitude using Fuzzy control techniques for the 2D tank model in the laboratory The actual waves’s amplitude is determined by signals received from the webcam The image processing algorithm is used for calculating the error between the actual wave’s amplitude and the desired wave’s amplitude This error is adjusted by fuzzy controller and the controller parameters are selected by based on experiment The controlling result for the error percent of actual waves’s amplitude is less than 10% compared with the desired waves’s amplitude in response time less than 25s

Tp.HCM, Ngày… tháng… năm 2012

Đặng Quang Vinh

1.4 Một số cơ cấu tạo sóng, bể chứa và bờ triệt sóng trong phòng thí nghiệm 4

1.5 Tồng quan về một số công trình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến đề tài 9

1.6 Các vấn đề cần tập trung giải quyết của đề tài 10

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 11

2.1 Nghiên Cứu Về Lý Thuyết Sóng Nước Biên Độ Nhỏ 11

1.1.1 Giới thiệu 11

1.1.2 Bài toán giá trị biên 11

1.1.3 Nghiệm bài toán tuyến tính hóa điều kiện biên cho sóng nước với trường hợp đáy phẳng ngang 14

2.2 Nghiên Cứu Về Lý Thuyết Tạo Sóng Nước Biên Độ Nhỏ 18

2.2.1 Lý thuyết sóng thứ nhất 18

2.2.2 Lý thuyết sóng thứ hai 23

CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG BỘ ĐIỀU KHIỂN 26

3.1 Sơ đồ khối hệ thống 26

3.2 Phương pháp nhận tín hiệu điều khiển bằng xử lý ảnh 28

3.3 Thiết kế giải thuật điều khiển cho hệ thống 34

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM VÀ KẾT QUẢ 39

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 53

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 54

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

PHẦN LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 56

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU

(Điều kiện biên động lực học mặt thoáng)

(Điều kiện biên động học mặt thoáng)

(Điều kiện biên bên có chu kỳ)

Ký hiệu

`

Giải thích

HÌNH 1-4: Máy tạo sóng bằng kiểu Piston 4

HÌNH 1-5: Máy tạo sóng kiểu Plunger 5

HÌNH 1-6: Máy tạo sóng kiểu Flap 5

HÌNH 2-1: Mô hình bài toán giá trị biên với sóng nước 2D [11] 11

HÌNH 2-2: Mô hình đơn giản máy tạo sóng kiểu flap trong bể chứa [11] 14

HÌNH 2-3: Nghiệm phương trình tán sắc của sóng dừng chóng tan [1] 20

HÌNH 2-4: Mô hình đơn giản của cơ cấu flap [4] 22

HÌNH 2-5: Đồ thị biểu diển mối quan hệ giữ tần số dao động và tỷ lệ H/S0 [4] 23

HÌNH 2-6: Dạng dao động cần lắc S và S1 24

HÌNH 2-7: Dạng sóng nước ngõ ra tương ứng  và 1 25

HÌNH 3-1:Sơ đồ khối hệ thống 26

HÌNH 3-2: Hàm liên thuộc Fuzzy 27

HÌNH 3-3: Hàm liên thuộc cho ngõ vào sai số e(cm) 27

HÌNH 3-4: Hàm liên thuộc cho ngõ vào de/dt (cm/s) 27

HÌNH 3-5: Hàm liên thuộc cho ngõ ra U (v/p) 28

HÌNH 3-6: Giải thuật chính xử lý ảnh 29

HÌNH 3-7: Sóng nước thực tế 29

HÌNH 3-8: sóng sau khi tách biên 29

HÌNH 3-9: Giải thuật chuyển từ tọa độ pixel thành tọa độ thực tế 30

HÌNH 3-10: Giải thuật tìm ma trận M 30

HÌNH 3-11: Giải thuật lấy mẫu 31

HÌNH 3-12: Giải thuật dời góc tọa độ tại mặt thoáng của nước 32

HÌNH 3-13:Giải thuật kiểm tra sai số 33

HÌNH 3-14: Hình bàn cờ trước và sau khi tìm được các góc 33

HÌNH 3-15: Giải thuật chương trình chính 35

HÌNH 3-16: Giải thuật tìm biên độ thực tế At 36

HÌNH 3-17: Giải thuật bộ điều khiển Fuzzy 37

HÌNH 3-18:Giải thuật bộ điều khiển PID 38

HÌNH 4-1: Mô hình thực nghiệm bể tạo sóng nước 2D 39

HÌNH 4-13: Đồ thị tín hiệu điều khiển Vtdk (v/p) 47

HÌNH 4-14: Đồ thị đường đáp ứng biên độ sóng nước thực tế và biên độ mong muốn 48

HÌNH 4-15: Hình dạng sóng nước lý thuyết và sóng nước thực tế lúc ổn định 48

HÌNH 4-16: Đường biên độ mong muốn và sóng nước thực tế lúc ổn định 49

HÌNH 4-17: Đồ thị sai số e (cm) 49

HÌNH 4-18: Đồ thị de/dt (cm/s) 50

HÌNH 4-19: Đồ thị tín hiệu điều khiển Vtdk (v/p) 50

HÌNH 4-20: Đồ thị đường đáp ứng biên độ sóng nước thực tế và biên độ mong muốn 51

HÌNH 4-21: Hình dạng sóng nước lý thuyết và sóng nước thực tế lúc ổn định 51

DANH MỤC BẢNG

BẢNG 2-1: Nghiệm của phương trình vi phân riêng phần 15

BẢNG 3-1: Luật điều khiển 28

BẢNG 3-2: Tọa độ pixel ứng với tọa độ thực tế 34

BẢNG 4-1: Bảng tính range 41

BẢNG 4-2: Bảng tính thời gian trễ 42

đá khi rơi vào khối chất lỏng, lực trọng trường và lực căng bề mặt có xu hướng bảo toàn hình dáng cho khối chất lỏng này và gây ra sóng Sóng có thể được tạo ra dưới nhiều hình dạng và kích thước khác nhau, phụ thuộc vào độ lớn của lực tác dụng vào khối chất lỏng Một ví dụ đơn giản thường gặp là hòn đá nhỏ và tảng đá lớn sẽ tạo ra các con sóng có kích thước khác nhau khi chúng cùng tác động vào bề mặt nước Theo sự hình thành có thể phân chia sóng thành hai loại chính là sóng hỗn hợp và sóng lừng Sóng hỗn hợp được hình thành tại vị trí có nguồn phát sinh (bão), hướng sóng, chiều cao sóng và chu kì sóng có dạng không đồng nhất Sóng lừng được lan truyền từ nguồn phát sinh sóng cách xa vị trí đang xét Sóng lừng có chiều dài sóng, chiều cao sóng và chu kì tương đối đồng đều.Trong các loại sóng nước thì loại sóng phổ biến và có ảnh hưởng lớn đến các hoạt động đời sống của con người (giao thương, khai thác, vận tải, du lịch…) chính là sóng biển

Sóng biển có nhiều dạng, hình dáng khác nhau nhiều, từ loại sóng lăn tăn trên bờ biển đến những loại sóng lớn cao như sóng thần, từ loại sóng nhấp nhô có chiều cao thấp cho đến loại sóng cuộn tròn vào bờ Với những hình dáng đa dạng và phong phú như thế, cho nên có nhiều nghiên cứu và ứng dụng khác nhau

Sự tác động của những cơn địa chấn hoặc các công trình nhân tạo dưới đáy biển gây ra sóng, dựa vào lý thuyết sóng, người ta có thể ước lượng được đặc tính của những con sóng đó và xác định khả năng phá hoại của chúng đối với các cấu trúc trên biển cũng như ở ven bờ Do dó, máy tạo sóng được sử dụng trong phòng thí nghiệm để đo đạt tác động do sóng gây nên đối với những loại tàu bè có kết cấu khác nhau cũng như cấu trúc nền ngoài khơi và các vật thể khác.Ở đề tài này, việc chọn sóng có biên độ nhỏ và có những điều kiện biên theo đó là mục đích cần nghiên cứu và ứng dụng nó vào trong phòng thí nghiệm

Những thông số quan trọng nhất để miêu tả sóng nước là bước sóng, biên độ sóng và chiều sâu mực nước tại vị trí sóng được tạo ra Các thông số khác như là vận tốc, gia tốc của sóng, về mặt lý thuyết có thể được xác định từ ba đại lượng trên Hình 1-1 miêu tả hình dạng của sóng được tạo ra theo phương x trong mặt phẳng Oxz

HÌNH 1-1: Các thông số của sóng [1]

Trong đó:

 L là bước sóng  H bằng hai lần biên độ sóng a  h là chiều sâu mực nước Với chu kỳ sóng T, tốc độ sóng được định nghĩa C = L/T, trong quá trình truyền sóng, các phần tử nước chỉ dao động theo phương z tại một vị trí x xác định Hệ trục tọa độ sử dụng để miêu tả chuyển động của sóng được đặt tại mặt thoáng của nước, khi đó, mặt đáy sẽ nằm tại vị trí z = – h Sóng trong tự nhiên rất hiếm khi xuất hiện theo tuần tự con sóng này đến con sóng khác hay được tạo ra theo cùng một hướng Người ta sử dụng một thiết bị để đo độ cao của bề mặt nước biển trong quá trình dao động và thu được đồ thị như sau:

HÌNH 1-2: Biên dạng sóng thực tế [1]

Do tổng của chúng đó là sự chồng chất của các hàm Sin cho phép sử dụng biến đổi Fourier và kỹ thuật quang phổ để miêu tả hình dạng mặt biển Thật không may, có quá nhiều sóng ngẫu nhiên được tạo ra trên mặt biển và không thể sử dụng phương pháp thống kê trong trường hợp này Nhưng sóng được tạo ra trong các vùng nước nông, nếu có thể bỏ qua một vài yếu tố nhiễu gây ra và miêu tả chúng chỉ bằng tổng của 2 hình sin được miêu ta như hình sau

HÌNH 1-3: Hình dạng sóng tạo thành từ vùng nước nông

Với sự phong phú và đa dạng của sóng, con người ngày nay đã có nhiều ứng dụng vào thực tiễn như tạo ra các hồ nhân tạo có sóng phục vụ giải trí, luyện tập xây dựng các mô hình thực nghiệm nhằm mục đích nguyên cứu các công trình thủy lợi hay còn biến năng lượng sóng thành điện phục vụ lợi ích cho con người Chế tạo mô hình phục vụ cho quá trình dạy học Ngoài ra, các tàu, thuyền, các công trình biển trước khi tiến hành sản xuất và đưa vào sử dụng đều được thử nghiệm trong phòng thí nghiệm với những mô hình và điều kiện mô phỏng gần giống với thực tế… Vì vậy, việc tạo ra một mô hình chuẩn tạo sóng trong phòng

thí nghiệm để phục vụ trong phòng thí nghiệm và các ứng dụng khác là hết sức cần thiết Cụ thể hơn là điều khiển máy tạo sóng

1.4 Một số cơ cấu tạo sóng, bể chứa và bờ triệt sóng trong phòng thí nghiệm

 Máy tạo sóng Máy tạo sóng là phần quan trọng nhất để tạo ra sóng Máy tạo sóng trong thực tế được ứng dụng rộng rãi Nhưng có nhiều loại máy tạo sóng khác nhau như hình vẽ dưới đây:

HÌNH 1-4: Máy tạo sóng bằng kiểu Piston

HÌNH 1-5: Máy tạo sóng kiểu Plunger

HÌNH 1-6: Máy tạo sóng kiểu Flap

 Bể tạo sóng

Có nhiều loại bể hình dạng khác nhau nhưng phổ biến nhất là loại có dạng hẹp, dài, một đầu là cơ cấu tạo sóng, đầu kia là bờ triệt sóng

HÌNH 1-7: Bể tạo sóng làm bằng gương

HÌNH 1-8: Bể tạo sóng làm bằng kết cấu xi măng

HÌNH 1-9: Bờ dốc làm bằng đá nhỏ và độ dóc lớn

HÌNH 1-10: Bờ dốc trơn và độ dóc nhỏ

HÌNH 1-11: Bờ dốc làm bằng đá lớn và độ dóc nhỏ

HÌNH 1-12: Bờ dốc có hình dạng bậc thang

kế có sóng biên độ nhỏ và thiết bị liên quan

Theo Tài liệu [3], [4] trình bày lý thuyết tạo sóng và đã so sánh sóng nước

thực tế trong bể so với lý thuyết sóng bằng cách sử dụng lý thuyết tạo sóng thứ nhất

Năm 2001, C.J Huang và C.M Dong [5] giải quyết vấn đề làm sóng trong

bể sóng 2D cho máy tạo sóng để sinh ra sóng tới khác nhau bao gồm sóng có biên độ nhỏ, biên độ có hạn hay sóng đơn Cụ thể là, để sinh ra sóng có biên độ nhỏ thì độ dịch chuyển của máy tạo sóng được xác định theo lý thuyết tạo sóng tuyến tính, còn để sinh ra sóng có hình dạng sóng điều hòa theo thời gian thì độ dịch chuyển của máy tạo sóng được xác định theo lý thuyết thứ hai của Madsen

Khi trình bày về vấn đề vấn đề điều khiển biên độ sóng nước có tác giả Sun

Qiang [6] nghiên cứu kỹ thuật điều khiển bằng Fuzzy trong máy tạo sóng nhưng chỉ mới dừng ở việc mô phỏng và tài liệu [7] trình bày bộ điều khiển vòng kín với thời

gian rời rạt của máy tạo sóng có bản lề còn về vấn đề điều khiển hình dạng sóng ổn

định có tài liệu [8] trình bày về lý thuyết thứ hai của máy tạo sóng kiểu Flap được

nghiên cứu và tiến hành dịch chuyển của tấm tạo sóng theo lý thuyết thứ 2 của Madsen sao cho loại bỏ được những sóng không cần thiết sinh ra.Từ đó sinh ra sóng nước ổn định và gần với hình sine

Tài liệu [9] trình bày hệ thống làm sóng biển không theo quy luật Hệ thống

thì được thiết kế cho mục đích kiểm tra sự tương tác của sóng biển tới các vịnh thực tế

Năm 2010, tác giả Quingwei Ma [10] đã tổng hợp các bài báo trình bày các

vấn đề liên quan về sóng nước 2D và 3D

Trong nước, cho đến thời điểm hiện tại vẫn chưa tìm thấy thông tin nào về các nghiên cứu điều khiển máy tạo sóng Chỉ tìm kiếm được một số tài liệu liên

quan nhưng tài liệu chỉ đưa ra việc tính toán thiết kế mô hình phần cứng gồm bể,

máy tạo sóng và một số công thức liên quan về việc tạo sóng [1]

1.6 Các vấn đề cần tập trung giải quyết của đề tài

Trên cơ sở của nghiên cứu [1] với mô hình thực nghiệm Nhóm đã kế thừa và

dựa trên bộ điều khiển Fuzzy cho máy tạo sóng nước để điều khiển biên độ của sóng nước sử dụng trong phòng thí nghiệm cho mô hình bể tạo sóng 2D Dưới đây liệt kê những vấn đề còn tồn tại liên quan của đề tài:

 Lắp đặt thêm bờ triệt sóng để hấp thụ hầu hết năng lượng sóng phản xạ  Dùng xử lý ảnh để đọc tín hiệu hồi tiếp cho bộ điều khiển

 Ứng dụng luật điều khiển Fuzzy để điều khiển biên độ sóng nước  Giám sát, điều khiển quá trình tạo sóng

dòng và hàm thế vận tốc để khảo sát những đặc tính của sóng được tạo ra Để đơn giản hóa về mặt phân tích toán học, nhiều giả thiết khác phải được đặt ra trong quá trình phát triển lý thuyết sóng

Dòng chất lỏng không nén được và không xoáy Phần nước bị dịch chuyển bởi máy tạo sóng thì bằng với thể tích phần đỉnh sóng

Mái giầm chuyển động với biên độ nhỏ và sóng có độ cao nhỏ Sóng lan truyền theo hướng x+ ra vô cực Ta có thể đạt được sự tương đương bằng cách dùng vật hấp thụ sóng ở đầu kia của bể

2.1.2 Bài toán giá trị biên 2.1.2.1 Điều kiện biên động học

Biểu thức toán học của điều kiện biên động học có thể dẫn ra từ phương trình mô tả vùng mặt cấu thành nên mặt biên Bất kỳ vùng mặt nào dù cố định hay chuyển động đều có thể được diễn tả bằng biểu thức toán học có dạng F(x, y, z, t) = 0 Nếu bề mặt đang xét biến đổi theo thời gian, như mặt nước, thì đạo hàm toàn phần của nó theo thời gian sẽ bằng không Nói cách khác, nếu ta di chuyển cùng với mặt thì ta thấy nó không thay đổi

HÌNH 2-1: Mô hình bài toán giá trị biên với sóng nước 2D [11]

u là vector trường vận tốc với ba thành phần u, v, w Điều kiện biên động học được sắp xếp thành:

 với F x y z( , , ) 0Trong đó:

2.1.2.2 Điều kiện biên đáy

Mặt biên phía dưới của vùng khảo sát ta mô tả bằng z = –h, trong đó góc tọa độ được đặt ở vị trí mặt thoáng và h là độ sâu của mực nước tĩnh Với mặt đáy không thấm nước và không chuyển động theo thời gian và phương trình mặt đáy F(x, z) = z + h(x) = 0 Ta có:

Với mặt đáy phẳng nằm ngang, w=0 khi z=-h

2.1.2.3 Điều kiện biên động học mặt thoáng

22

1

tu n

Tại z( , , )x y t

22

1

1

ijkxyn

2.1.2.4 Điều kiện biên động lực học mặt thoáng

Các bề mặt tự do không có được tính chất có thể chịu được sự thay đổi áp suất, do vậy phải có một cơ chế riêng biệt để duy trì áp suất đều khắp trên toàn bộ mặt thoáng Đó gọi là điều kiện biên động lực học để áp dụng cho bất kỳ mặt thoáng hay giao tuyến nào quy định về sự phân bố áp suất trên đó

Vì vậy ta áp dụng phương trình Bernoulli:

1

( )2

pgzC t

HÌNH 2-2: Mô hình đơn giản máy tạo sóng kiểu flap trong bể chứa [11]

Xét tấm ván thẳng đứng được truyền bởi cần lắc dao động đặt trong bể chứa hoạt động như một máy tạo sóng Nếu cần lắc dao động dịch chuyển theo phương trình x = S(z, t) thì điều kiện biên động học sẽ là:

2

( , )

1

S z ttu n

Sz



Trong đó:

2

1

1

Sik

zn

Sz









Tiến hành phép nhân vô hướng ta thu được:

SSu w

22

22

2

2

( )

( )( )

( )

d X xdxkX x

d Z zdzkZ z

  Giải nghiệm của phương trình 2.1 ta có bảng sau :

BẢNG 2-1: Nghiệm của phương trình vi phân riêng phần

2.1.3.2 Áp dụng với bài toán điều kiện biên

 Điều kiện biên có chu kỳ

Để phương trình có nghiệm tuần hoàn theo x, thì k phải là số thực và khác 0 Do đó, phương trình laplace được biến đổi về dạng sau :

( , , )x z t ( cosAkx Bsinkx C e)( kzD e kz)sin t

(2.1)

Theo tính chất tuần hoàn của hàm thế vận tốc, ta có:

(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin )

AkxBkxAk xLBk xL

AkxkLkxkLBkxkLkxkL



 (k được gọi là số sóng)

 Điều kiện biên mặt đáy trong trường hợp đáy phẳng nằm ngang

Thay giá trị hàm thế vận tốc vừa thu được vào điều kiện biên mặt đáy ta được:

wAcoskx kCe( kzkDekz)sin t 0

Hay : Ak.coskx Ce.( khDekh).sint0

CDe

Khi đó, hàm thế vận tốc trở thành:Gcos( )cos( (kxk h z ))sint

Trong đó : G2ADe2kh

 Tuyến tính hóa điều kiện biên động lực học mặt thoáng

Phương trình Bernoulli phải được thỏa mãn trên z( , )x t là mặt mà phương trình của nó là chưa xác định Một phương pháp thuận tiện được sử dụng để đánh giá là sử dụng chuỗi Taylor giản lược khai triển giá trị của điều kiện tại z = 0 (vị trí đã biết):



Thay hàm thế vận tốc vào ta được :

kh



Phương trình hàm thế vận tốc lúc này có dạng :





 Tuyến tính hóa điều kiện biên động học mặt thoáng

Sử dụng khai triển chuỗi Taylor để liên hệ điều kiện biên tại độ dâng chưa biết z( , )x t với z=0, ta có :





 

22

zzt



( )sin2

S zx t

Trong đó  là tần số của máy tạo sóng S(z) là biên độ cần lắc dao động của máy tạo sóng Phương trình mô tả bề mặt máy tạo sóng:

( )

2

S zF x z t  x t

vào,ta đƣợc :

( )

2

0

( )

2

S zuz t   t

Dựa vào Bảng 2.1 ta tìm ra đƣợc dạng biểu thức hàm thế vận tốc tổng quát thỏa mãn điều kiện biên đáy:

Khi sử dụng máy tạo sóng để tạo ra sóng nước, bên cạnh sóng tiến (progressive wave) mong muốn, còn có sự xuất hiện của nhiều sóng đứng (standing wave) chóng tan Những chỉ số p, s của k chỉ ra phần đó của  gắn với sóng tiến p hay sóng dừng s Đối với bài toán đặt ra, A phải bằng không bởi không thể có dòng chảy đồng nhất qua máy tạo sóng, đồng thời, ta có thể cho B bằng không mà không làm ảnh hưởng đến trường vận tốc Những số hạng còn lại phải thỏa mãn điều kiện biên mặt thoáng tuyến tính hóa (động lực học và động học), kết hợp cả hai điều kiện, khử độ dâng mặt thoáng từ ta có:

20,z 0

zg

  

Thế biểu thức nghiệm vừa nãy vào điều kiện này cho ta:

22





HÌNH 2-3: Nghiệm phương trình tán sắc của sóng dừng chóng tan [1]

Phương trình thứ nhất chỉ có nghiệm duy nhất k với p  và h cho trước, trong khi đó, phương trình thứ hai có vô số nghiệm có thể chấp nhận được Điều này có nghĩa là tồn tại một sóng tiến và vô số sóng dừng Mỗi nghiệm k sẽ được ký hiệu s

s

k (n) trong đó n là một số nguyên Dạng biểu thức cuối cùng của bài toán giá trị

biên được biểu diễn dưới dạng sau:

1

nnhững sóng dừng tan dần khi truyền ra xa máy tạo sóng

Để giải quyết bài toán một cách đầy đủ, ta phải xác định Ap và Cp dựa vào điều kiện biên tại máy tạo sóng:

coshk h zp(  ) ,cos k n h zs( )(  ) ,n 1, lập nên một chuỗi điều hòa hoàn toàn gồm những hàm trực giao và do đó bất kỳ hàm liên tục nào cũng có thể khai triển qua chúng Vì vậy, để tìm Ap, phương trình trên được nhân với coshk h zp(  ) và lấy tích phân từ -h đến 0 Do tính trực giao của những hàm này mà các số hạng của chuỗi không có đóng góp gì, ta có:

00

kk hz dz









Nhân phương trình (3.20) với cosk m h zs( )(  )và tích phân theo chiều sâu mực nước cho ta :