Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Ổn định tấm mỏng chịu tải trọng phức tạp bằng phương pháp biến phân Vlasov

2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN : - Đưa ra công thức tính tải trọng tới hạn cho trường hợp tấm chịu nén đều theo mộtphương và chịu nén với tải trọng bậc nhất theo phương còn lại.. - Đưa ra công thứ

TỔNG QUAN

Các bài toán ổn định tấm mỏng đã đ ược nghi ên c ứu

Trong quá trình thiết kế công trình, bên cạnh việc tính toán nội lực, kiểm tra tính ổn định của kết cấu đóng vai trò quan trọng Yêu cầu phát triển kinh tế thúc đẩy xây dựng các công trình lớn, nhẹ sử dụng các thanh, tấm chịu nén có chiều dài lớn Trên thực tế, nhiều công trình bị hư hỏng không phải do ứng suất vượt quá cường độ vật liệu mà do mất ổn định.

- Cầu dàn Quebec, Canada (1907), cầu Mojur ở Nga (1925).

- Bể chứa khí ở Hamburg – Đức (1907).

- 24 cầu ở Pháp (1955-1965). Ổn định là tính chất của công trình có khả năng giữ được vị trí ban đầu hoặc giữ được dạng cân bằng ban đầu khi trạng thái biến dạng tương ứng với các tải trọng tác dụng Chính vì vậy lý thuyết ổn định chiếm một vị trí rất quan trọng, đang trở th ành m ột lĩnh vực rộng lớn thu hút s ự quan tâm của các nh à khoa học trên thế giới, với rất nhiều công trình, hướng nghiên cứu, phương pháp và cách tiếp cận khác nhau. Để giải các bài toán ổn định, chúng ta dựa vào ba tiêu chuẩn ổn định cơ bản:

+) Tiêu chuẩn tĩnh học: Tạo cho hệ một dạng cân bằng mới lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu, rồi xác định lực tới hạn từ phương tr ình biểu thị điều kiện tồn tại dạng cân bằng mới Người đặt nền móng cho b ài toán ổn định tĩnh học là Leonhard Euler (1744) với bài toán tính lực tới hạn của thanh thẳng chịu nén.

Tiêu chuẩn động học liên quan đến việc tìm nghiệm chuyển động riêng của hệ thống cơ học đang chịu tác động của lực, rồi từ đó xác định lực tới hạn dựa vào tính chất của nghiệm chuyển động Đây là vấn đề đã được các nhà khoa học nổi tiếng như Lagrange (1788) và Poincaré (1881) nghiên cứu.

+) Tiêu chuẩn năng lượng: Xác định thế năng biến dạng đàn hồi và công của ngo ại lực của hệ rồi thiết lập các điều kiện giới hạn của hệ dưới dạng năng lượng để xác định lực tới hạn Ti êu chuẩn này được Kirchhoff (1859) đưa vào áp dụng đầu tiên Sau đó có Rayleigh (1873), Brian (1888),Timoshenko (1908), Ritz (1909).

Tiêu chuẩn năng lượng được áp dụng trong rất nhiều bài toán và bài toán ổn định tấm mỏng là một trường hợp trong số đó.

Bài toán ổn định tấm mỏng được Euler nghiên cứu lần đầu ti ên (1767) khi xem xét sự uốn của tấm mỏng ph ù hợp với dạng dao động của nó Đến năm 1811 Lagrange đã thiết lập phương trình dao động ngang của tấm Và tới năm 1907, Timoshenko đã nghiên cứu bài toán ổn định tấm mỏng chữ nhật Ông đã thi ết lập phương trình ổn định và đã đưa ra lực nén tới hạn cho một số trường hợp của bài toán ổn định tấm chữ nhật: y b a

Hình 1.1 Bốn biên tựa, chịu nén đều theo một phương

Hình 1.2 Một biên tự do chịu tải trọng tam giác theo một phương

Năm 1967, Volmir đã tiếp tục nghiên cứu bài toán ổn định tấm chữ nhật bốn biên tựa bị nén bởi lực tập trung.

Hình 1.5 Bốn biên tựa với tải trọng nén theo hai phương

Hình 1.3 Hai biên tựa, hai biên ngàm

Hình 1.4 Bốn biên tựa với tải trọng tiếp tuyến y N y

Hình 1.6 Bốn bi ên tựa với tải trọng tập trung y P

Khi giải những b ài toán tấm, vỏ, và nh ững kết cấu không gian khác, chúng ta thường nhận được lời giải l à những phiếm h àm với những h àm tích phân hai lớp, ba lớp Giáo sư Vlasov đ ã chỉ ra rằng có thể đưa bài toán tích phân hai lớp, ba lớp về bài toán tích phân đơn giản Phương pháp áp dụng được gọi là phương pháp biến phân Vlasov.

Tiếp sau đó cũng có rất nhiều các tác giả nghiên cứu về phương pháp biến phân Vlasov áp d ụng cho bài toán t ấm, vỏ: V.P Ilin, B.B Karpop, B.A Bagenov, V.F Orobey…

Bài toán ổn định tấm mỏng chữ nhật bằng phương pháp biến phân Vlasov được giáo sư Orobey nghiên cứu Năm 2006, ông đưa ra được lời giải khi tấm mỏng chịu nén bởi lực tập trung theo một phương với các tổ hợp điều kiện biên khác nhau [11] đó là ưu điểm vượt trội so với các phương pháp khác.

Bert C.W [2], đã đưa ra công trình nghiêm cứu về sự mất ổn định của tấm chữ nh ật khi chịu tải trọng bậc hai (parabol) theo một phương Tác giả đã dùng phương pháp chồng chất dựa trên sự phân bố ứng suất gần thực tế hơn và cuối cùng đã đưa ra được lực tới hạn cho một số trường hợp khác nhau.

Trong thực tế, ổn định tấm mỏng chịu nén bới các tải trọng khác nhau như: tải trọng tập trung, tải trọng phân bố bậc nhất, bậc hai có thể tìm thấy trong các b ài toán như bộ phận ép của t ên lửa, cánh máy bay, các tấm cứng trong kết cấu tàu, y x N x

Hình 1.7 Tấm có bốn bi ên tựa với tải trọng parabol

Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Với lý thuyết biến phân Vlasov v à những ứng dụng thực tế của ổn định tấm mỏng chịu tải trọng phức tạp, luận văn sẽ ngh iên cứu bài toán ổn định tấm mỏng chịu tải trọng phức tạp bằng phương pháp biến phân Vlasov Trong luận văn sẽ tính toán các trường hợp phức tạp hơn so với những nghi ên c ứu trước: ngoài tải trọng bậc hai (parabol) v à tải trọng bậc nhất nén theo một phương của tấm c òn có tải trọng phân bố đều theo phương còn lại Và hơn thế nữa, bài toán sẽ được nghiên cứu với các tổ hợp điều kiện bi ên khác nhau.

Sau khi tính toán sẽ so sánh kết quả của một số trường hợp đặc biệt của bài toán với kết quả của các tác giả khác đã thực hiện Cuối c ùng là k ết luận và hướng phát triển tiếp theo của luận văn.

Tóm tắt luận văn

Luận văn được chia làm 2 phần:

Phần 1: Thuyết minh gồm 5 chương:

Chương 1: Tổng quan Chương 2: Cơ sở lý thuyết – Phương pháp biến phân Vlasov Chương 3: Tấm chịu tải trọng bậc nhất với các điều kiện bi ên.

Chương 4: Tấm chịu tải trọng bậc hai với các điều kiện bi ên. y x N y

Hình 1.8 Tấm chịu tải trọng bậc hai và tải trọng phân bố đều x y

Hình 1.9 Tấm chịu tải trọng bậc nhất và tải trọng phân bố đều

Chương 5: Kết luận và hướng phát triển tiếp theo của luận văn

Ph ần 2 : Ph ần phụ lục, gồm mã ngu ồn của chương trình tính toán được vi ết bằng ngôn ngữ Matlab.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT –PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VLASOV

Phương pháp biến phân Vlasov

Theo nguyên lý dịch chuyển khả dĩ, tổng công ngoại lực và nội lực cho chuyển vị cho trước bằng 0 Áp dụng phương trình v ới tấm mỏng chữ nhật chịu uốn của

  x y q , - lực phân bố tác dụng l ên tấm.

D  Eh   - độ cứng trụ c ủa tấm.

Phân tích độ võng    x, y theo dãy:

W y i i   - hàm cần t ìm với biến у.

Trong thực tế rất ít khi sử dụng lớn hơn hoặc bằng hai số hạng của dãy (2.2), thông thường chỉ giới hạn sử dụng số hạng đầu tiên.

Lấy số hạng đầu tiên của d ãy rồi lấy biến phân độ v õng theo phương biến y, ta có:

Thay vào phương trình (2.1), với a,b là chiều dài hai cạnh của tấm:

Phương trình (2.5) ch ỉ ra cách thức cơ bản của phương pháp biến phân Vlasov.

Từ phương tr ình lý thuyết tấm đàn hồi của tấm , nhân cả hai vế với h àm X(x) r ồi lấy tích phân trong giới hạn kích thước a của tấm (bề rộng tấm).

Từ phương trình trên (2.5) Vlasov cũng chỉ ra rằng đối với bài toán tấm chữ nhật thì chỉ cần dùng điều kiện bi ên d ọc theo phương y, còn điều kiện biên theo phương x được áp dụng khi chọn hàm X(x).

L ựa chọn hàm phân bố độ võng ngang c ủa tấm X(x)

Hàm X(x) sẽ được chọn sao cho h àm mô tả chính xác nhất hình dạng mặt uốn của tấm theo phương x Vì vậy ta chọn hàm X(x) mô tả dạng dao động ri êng của

THANH DẦM chịu uốn với các điều kiện biên giống với điều kiện biên theo phương x c ủa tấm.

Theo Timoshenko[6] hàm dao động ri êng của thanh dầm X(x) được mô tả bằng nghiệm tổng quát sau:

- tần số dao độ ng riêng của dầm a - Chiều dài của tấm theo phương x

Dựa vào điều kiện biên của từng bài toán cụ thể , ta sẽ xác định được các hằng số

B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , và từ đó xác định được 

B ảng 2.1 Xác định t ần số dao động ri êng của dầm

Hàm phân bố độ võng ngang X(x) đối với từng điều kiện bi ên cụ thể được cho trong b ảng 2.2[7].

Bảng 2.2 Xác định h àm phân bố độ võng ngang X(x)

Sơ đồ thanh Dạng hàm dao dộng riêng

Phương pháp biến phân Vlasov áp dụng cho bài toán ổn định tấm mỏng chữ nhật ….11 2.4 Cách xác định lực tới hạn cho bài toán ổn định tấm mỏng

Xét một tấm mỏng chữ nhật, chịu nén theo hai phương như hình v ẽ: Áp dụng phương tr ình vi phân chủ đạo của tấm mỏng chịu tác dụng đồng thời của tải trọng ngang v à tải trọng trong mặt phẳng tấm của Timoshenko[4] ta có:

Trong giới hạn của bài toán, ta không xét tải trọng nga ng q và tải trọng N xy nên phương trình (2.7) được rút gọn như sau(với N x và N y là lực nén) :

Với phương pháp biến phân Vlasov bằng cách chọn hàm ω(x,y) = X(x).W(y), thay vào phương trình (2.8) ta có:

     y x N(x) N(y) b a Hình 2.1 Tấm chịu tải trọng đều theo phương x và tải trọng bất kỳ theo phương y

Tương tự theo phương pháp biến phân Vlasov ở phương tr ình (2.5), nhân cả 2 vế của phương tr ình (2.9) v ới h àm X(x) r ồi lấy tích phân trên đoạn [0- a] – chi ều dài theo phương x của tấm, ta có:

Trong đó A, B, C là các hệ số của phương trình được tính theo công thức:

Thay (2.12) vào phương trình (2.10), ta có:

Để giải phương trình (2.13) đơn giản, hệ số r và s phải là hằng số Theo (2.11) và (2.12), điều này có nghĩa là A, B và C cũng phải là hằng số Bằng cách biến đổi các biểu thức này thành hằng số, chúng ta có thể giải quyết phương trình (2.13) một cách hiệu quả hơn.

+) A là tích phân theo x của h àm chỉ phụ thuộc v ào biến x nên A là hằng số.

+) N y (x) - L ực phân bố theo phương y phụ thuộc vào biến tọa độ x, nên các biểu thức trong tích phân B cũng là hàm chỉ phụ thuộc vào biến x → B cũng l à hằng số.

+) N x (y)- L ực phân bố theo phương x phụ thuộc vào biến tọa độ y Để C là hằng số thì N x (y) = const

Khi A, B, C là hằng số thì phương trình (2.13) là ph ương trình vi phân thuần

Tùy thuộc vào nghiệm của phương tr ình (2.14) ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình vi phân (2.13).

Nghiệm của phương tr ình vi phân (2.13) có dạng tổng quát:

Trong đó C 1 , C 2 , C 3 , C 4 là các hằng số  1 ,  2 ,  3 ,  4 là các nghiệm riêng ph ụ thu ộc vào nghiệm của phương trình (2.14)  1 ,  3 là hàm lẻ,  2 ,  4 là hàm chẵn.

Phương trình (2.15) có thể biểu diễn dưới dạng ma trận [8]

III III III III III

Trong đó W(0), W’(0), W”(0), W III (0) là các giá trị theo điều kiện ban đầu y  0 Trên mặt cắt có pháp tuyến l à trục y, ta có thành phần nội lực l à mômen uốn và lực cắt qui đổi [14]:

Mômen suy rộng được hiểu là công của mômen uốn với sự chuyển vị tương ứng:

Với A là h ằng số được xác định như tro ng phương trình (2.11). Đặt :

Suy ra phương trình (2.18) nh ận được:

Lực cắt suy rộng là công của lực cắt qui đổi và chuyển vị tương ứ ng, nên ta có:

Nếu độ võng W y    1 thì thay công thức (2.20) vào (2.17) ta có:

Vậy 4 đại lượng W,θ , M, Q là bốn tham số động học và tĩnh học của tấm Giả sử ta có điều kiện ban đầu: W(0), θ(0), M(0), Q(0) Ta sẽ biểu diễn bốn đại lượng W(y), θ(y), M(y), Q(y) tại một mặt cắt tại tọa độ y bất kỳ theo bốn giá trị điều kiện ban đầu W(0), θ(0), M(0), Q(0)

Ngoài ra ta lại có θ(y) = W’(y)

Thay θ(y) = W’(y) và công thức (2.19), (2.21) vào phương trình (2.16) ta có:

      Xét các trường hợp nghiệm của phương trình trên ta có:

Phương trình có b ốn nghiệm phức :

Suy ra bốn nghiệm riêng của phương trình (2.13) có dạng:

1 sin ; 2 cos ; 3 cos ; 4 sin ; Ф  ch y   y Ф  ch y   y Ф  sh y   y Ф  sh y   y

Với các h àm  1 ,  2 ,  3 ,  4 như trên, ta đạo h àm hàm số W(y) ở phương trình(2.15), rồi thay vào các hàm θ(y), M(y), Q(y)

Tại vị trí ban đầu y  0 thì Ф 1  Ф 3  Ф 4  0, Ф 2  1 và W  W 0 ;    0 ; M  M 0

Q  Q 0 Các hệ số trong ma trận (2.22) sẽ nhận được [7]:

2 Trường hợp 2  s 4  0; r 2  0  Phương trình có 2 nghiệm thực và 2 nghi ệm phức :

3 Trường hợp 3  s 4  0; s 4  r r 4 ; 2  0  Phương trình có 4 nghi ệm phức :

4 Trường hợp 4  s 4  0; s 4  r r 4 ; 2  0 Phương trình có 4 nghiệm thực :

2.4 Cách xác định lực tới hạn cho bài toán ổn định tấm mỏng

Thay tọa độ y = b vào phương trình và ký hi ệu phương trình như sau:

Trong đó vectơ Y (b) ch ứa các tham số đặc trưng tại vị trí y  b ; vectơ Z (0) ch ứ a các tham số đặc trưng tại y  0 Ma trận A ch ứa các giá trị của hàm phụ thuộc tại vị trí y  b

Bằng phép biến đổi, các tham số của vectơ Y sẽ được chuyển tới vị trí các tham số bằng không của vectơ Z, khi đó các giá trị của ma trận A cũng được biến đổi tương ứng với phép chuyển này Khi đó vectơ Z → Z *; A → A *

Xét phương trình (2.28), ta có vectơ tham số đặc trưng Z *(0,b) ≠ 0 nên

Từ phương trình (2.29) ta sẽ tìm được lực tới hạn của bài toán ổn đị nh.

TẤM CHỊU TẢI TRỌNG BẬC NHẤT VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN

T ấm với bốn cạnh tựa đơn giản

Xét một tấm mỏng hình chữ nhật, với bốn bi ên tựa, có hai cạnh l à a và b, ch ịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc nhất theo phương c òn lại. m, n là hai hằng số cho trước.

Ta có D  Eh 3 / 12 1    2  - độ cứng trụ c ủa tấm (đơn vị - l ực.chiều dài)

 - hệ số Poisson. b - chiều rộng của tấm (đơn vị - chiều dài) Để thuận lợi trong việc tính toán ta biểu diễn lực phân bố theo hai phương qua đại lượng

  trong đó K là hằng số tỉ lệ.

Hình 3.1 Tấm có bốn biên tựa chịu tải trọng bậc nhất v à tải trọng phân bố đều

Vì hai c ạnh bi ên t ại x  0 và x  a là biên t ựa nên ch ọn hàm phân bố độ võng ngang của tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là X x ( )  sin(  x a / )

Theo công thức (2.11), (2.12) ta có:

(3.2) Đặt a l a b l b    thay vào phương trình (3.2) ta có:

Vì tấm có bốn biên tựa nên tại y  b và y  0 ta có:

Phương trình trên bằng không khi và chỉ khi

(3.4) Để giải phương trình vi phân (2.13) thì cần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để giải phương tr ình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị cụ thể của m và n để có thể đưa ra 4 trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.2 7).

Công việc tính toán được biểu diễn theo sơ đồ sau:

Kết thúc Đúng Đúng Đúng

3.1.1 Trường hợp thứ nhất: m=1 và n=0

Khi đó tấm sẽ chịu nén đều theo 2 phương.

Các giá trị tham số theo phương trình (3.3) nhận được:

(3.5) Để giải phương trình (3.4) tìm giá trị tới hạn K sẽ rất phức tạp vì các giá trị A ij trong các công thức (2.24-2.27) là các hàm phức tạp [11] Chính vì vậy ta có thể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp khác [11]. y b a

Hình 3.2 Tấm có bốn biên tựa chịu tải trọng phân b ố đều theo hai phương (m=1 và n=0)

Cho giá trị K chạy từ 0,01 với bước nhảy K=0,01 Thay vào công thức (3.5) rồi biện luận từng trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27), rồi tính giá trị A* Ta vẽ đồ thị K và A* Trên biểu đồ ta hoàn toàn xác định được điểm có giá trị A*=0 và từ đó xác định được K Phương pháp xác định K của Orobey như trên đã làm bài toán đơn giản đi nhiều và t oàn bộ công việc được thực hiện bằng chương trình Matlab ( Phụ lục).

Kết quả bài toán nh ận được với giá trị tỉ lệ hai cạnh l a

 b khác nhau được thể hiện trong bảng sau:

Bảng 3.1 Hệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m=1 và n=0 l Đồ thị K-A* K

3.1.2 Trường hợp thứ hai: m =1 và n=1

Các giá trị tham số theo phương tr ình (3.3) nhận được:

Hình 3.3 T ấm có bốn biên tựa chịu tải trọng bậc nhất và tải trọng phân bố đều ( m=1 và n=1)

Cũng tương tự như trên để giải phương trình (3.4) với các tham số thỏa mãn (3.6) , ta có thể tìm giá trị K để A* = 0 bằng phương pháp của Orobey.

Bảng 3.2 Hệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m=1 và n=1 l Đồ thị K-A* K

T ấm với hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm d ọc trục x

Xét m ột tấm mỏng hình chữ nhật có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm d ọc trục x Tấm chịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc nhất theo phương y m, n là hai hằng số cho trước.

Hình 3.4 Tấm có hai biên tựa phương y và hai biên ngàm

Tương tự như trên, để thuận lợi trọng việc tính toán ta biểu diễn lực phân bố theo hai phương qua đại lượng

  K là hằng số tỉ lệ.

Phương trình ổn định theo phương pháp biến phân Vlasov theo công thức (2.13):

Vì 2 cạnh biên tại x  0 và x  a là biên tựa nên chọn hàm phân bố độ võng ngang của tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là X x ( )  sin(  x a / )

Vì hai cạnh biên của tấm theo phương y là ngàm nên tại y  0 và y  b ta có:

Phương trình trên b ằng không khi và chỉ khi

(3.9) Để giải phương trình vi phân (2.13) thì cần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để giải phương trình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị c ụ thể của m và n để có thể đưa ra 4 trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27).

3.2.1 Trường hợp thứ nhất: m =1 và n=0 Khi đó tấm sẽ chịu nén đều theo 2 phương.

Hình 3.5 Tấm có hai biên tựa phương y và hai biên ngàm phương x chịu tải trọng phân bố đều theo hai phương (m=1 và n=0) y b a

(3.10) Để giải phương trình (3.9) tìm giá tr ị tới hạn K sẽ rất phức tạp Chính vì v ậy ta có thể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trên.

Bảng 3.3 Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm d ọc tr ục x v ới hệ số m=1 và n=0 l Đồ thị K-A* K

Ta có th ể tìm giá trị K để thỏa m ãn phương trình (3.9) b ằng phương pháp của Orobey như trên.

Kết quả b ài toán nh ận được với giá trị tỉ lệ hai cạnh l a

Bảng 3.4 Hệ số ổn định K với tấm có hai bi ên tựa dọc trục y và hai biên ngàm d ọc trục x với hệ số m=1 và n=1 l Đồ thị K-A* K

T ấm với hai biên tựa dọc trục x v à hai biên ngàm dọc t rục y

Xét một tấm mỏng hình chữ nhật có hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc trục y Tấm chịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc nhất theo phương y, với và là hai hằng số cho trước Để thuận tiện cho việc tính toán, lực phân bố theo hai phương được biểu diễn qua đại lượng

Vì 2 c ạnh bi ên tại x  0 và x  a là biên ngàm nên chọn hàm phân bố độ võng ngang c ủa tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là:

Với   4, 730 và * sin cos sh ch

 Theo công thức (2.11), (2.12) ta có:

  (3.12) Đặt a l a b l b    thay vào phương trình (3.12) ta có:

Vì tấm có hai bi ên tựa dọc theo trục x nên tại y  b và y  0 ta có:

(3.14) Để giải phương trình vi phân (2.13) thì cần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để giải phương tr ình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị cụ thể của m và n để có thể đưa ra 4 trường hợp nghiệm ở công thức (2 23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27).

3.3.1 Trường hợp thứ nhất: m =1 và n=0 Khi đó tấm sẽ chịu nén đều theo 2 phương.

Các giá trị tham số theo phươ ng trình (3.13) nhận được:

(3.15) Để giải phương tr ình (3.14) tìm giá trị tới hạn K sẽ rất phức tạp Chính v ì vậy ta có thể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 b ằng phương pháp của Orobey như trên.

 b khác nhau được thể hiện trong bảng sau: y x a b

Hình 3.8 Tấm có hai biên tựa phương x và hai biên ngàm phương y chịu tải trọng phân bố đều theo hai phương (m=1, n=0)

Bảng 3.5 Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục x v à ha i biên ngàm d ọc trục y với hệ số m=1 v à n=0 l Đồ thị K-A* K

Các giá trị tham số theo phương trình (3.13) nh ận được:

(3.16) Để giải phương trình (3.14) tìm giá trị tới hạn K ta áp dụng phương pháp của Orobey như trên. y x a b

Hình 3.9 T ấm có hai bi ên tựa phương x và hai biên ngàm phương y ch ịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc nhất ( m=1, n=1)

Bảng 3.6 Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục x v à hai biên ngàm d ọc trục y với hệ số m=1 v à n=1 l Đồ thị K-A* K

3.4 Tấm chữ nhật với bốn biên ngàm

Xét một tấm mỏng h ình chữ nhật có bốn biên ngàm Tấm chịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc nhất theo phương y m, n là hai hằng số cho trước. Để thuận lợi trọng việc tính toán ta biểu diễn lực phân bố theo hai phương qua đại lượng

Vì 2 cạnh biên tại x  0 và x  a là biên ngàm nên chọn hàm phân bố độ võng ngang c ủa tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là:

Hình 3.10 T ấm có bốn biên ngàm ch ịu tải trọng phân b ố đều và tải trọng bậc nhất

 Theo công thức (2.11), (2.12) ta có:

(3.19) Để giải phương trình vi phân (2.13) thì cần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để giải phương trình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị cụ thể của m và n để có thể đưa ra bốn trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26),(2.27).

3.4.1 Trường hợp thứ nhất: m =1 và n=0 Khi đó tấm sẽ chịu nén đều theo hai phương.

(3.20) Để giải phương trình (3 19) ta có thể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trên.

Hình 3.11 Tấm có bốn bi ên ngàm chịu tải trọng phân bố đều theo hai phương (m=1, n=0)

B ảng 3.7 Hệ số ổn định K với tấm bốn bi ên ngàm và h ệ số m=1 và n=0 l Đồ thị K-A* K

Các giá trị tham số theo phương trì nh (3.18) nhận được:

Cũng tương tự như trên để giải phương trình (3.19) ta có thể t ìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trên. y x a b 2 x 2

Hình 3.12 Tấm có bốn biên ngàm chịu tải trọng phân b ố đều và tải trọng bậc nhất ( m=1, n=1)

B ảng 3.8 Hệ số ổn định K với tấm bốn biên ngàm và hệ số m=1 và n=1 l Đồ thị K-A* K

Kết quả của các trường hợp được tính toán trong chương III thể hiện qua bảng sau:

Bảng 3.9 Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu nén đều theo hai phương l a

Hai biên tựa phương y hai biên ngàm phương x

Hai biên tựa phương x hai biên ngàm phương y

Bảng 3.10 Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu tải trọng bậc nhất t heo một phương và tải trọng đều theo phương c òn lại l a

Ta so sánh kết quả của trường hợp tấm với bốn biên tựa chịu tải trọng đều theo hai phương với kết quả của Timoshenko[4]: l a

Từ kết quả số trong bảng 3.9 và 3.10 ta nh ận thấy rằng hệ số ổn định K đối với tấm có bốn biên tựa là nhỏ nhất, tấm có bốn bi ên n gàm là l ớn nhất. x y b a

TẤM CHỊU TẢI TRỌNG BẬC HAI VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BI ÊN

T ấm bốn cạnh tựa đơn giản

Xét một tấm mỏng hình chữ nhật với bốn biên tựa, có hai cạnh l à a và b, ch ịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc nhất theo phương còn lại. m là h ằng số cho trước.

Ta có D  Eh 3 / 12 1    2  - độ cứng trụ của tấm (đơn vị - lực.chiều dài)

Hệ số Poisson là một đại lượng vô hướng đặc trưng cho tính đàn hồi của vật liệu, liên quan đến tỷ số giữa ứng suất và biến dạng theo các hướng vuông góc với nhau Nó được biểu thị bằng ký tự ν và thường nằm trong khoảng từ 0 đến 0,5.

Hình 4.1 Tấm có bốn biên tựa chịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc hai

Vì hai c ạnh bi ên t ại x  0 và x  a là biên t ựa nên ch ọn hàm phân bố độ v õng ngang của tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là X x ( )  sin(  x a / )

Vì tấm có bốn biên tựa nên tại y  b và y  0 ta có:

Với phép biến đổi ta nhận được tương tự như phương trình (3.4)

A  A A  A A  Để giải phương trình vi phân (2.13) thì cần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để giải phương trình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị cụ thể của m để có thể đưa ra 4 trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27).

Công việc tính toán được biểu diễn theo sơ đồ sau:

Vẽ đồ thị K- A * Đúng Đúng Đúng

4.1.1 Trường hợp thứ nhất: m =0 Khi đó tấm sẽ chịu nén theo một phương:

(4.4) Để giải phương tr ình (3.4) ta có th ể tìm giá tr ị K để thỏa mãn A* = 0 b ằng phương pháp của Orobey như trên.

 b khác nhau được thể hiện trong bảng sau: y b a

Hình 4.2 Tấm có bốn biên tựa chịu tải trọng bậc hai theo phương y (m=0)

B ảng 4.1 H ệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m= 0 l Đồ thị K-A* K

Khi đó tấm sẽ chịu nén theo hai phương:

Các giá trị tham số theo phương trình (4 3) nhận được:

(4.5) Để giải phương tr ình (3.4 ) ta có thể tìm giá tr ị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trên.

 b khác nhau được thể hiện trong bảng sau: y b a

Hình 4.3 Tấm có bốn biên tựa chịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc hai ( m=1)

B ảng 4.2 H ệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m=1 l Đồ thị K-A* K

T ấm với hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm dọc trục x

Xét một tấm mỏng hình chữ nhật có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm dọc trục x Tấm chịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc hai theo phương y m là hằng số cho trước. Để thuận lợi trong việc tính toán ta biểu diễn lực phân bố theo hai phương qua đại lượng

Vì 2 cạnh biên tại x  0 và x  a là biên tựa nên chọn hàm phân bố độ võng ngang của tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là X x ( )  sin(  x a / )

Theo công thức (2.11), (2.12) ta có: y x a b N x =m.N 0

Hình 4.4 Tấm có hai biên tựa phương y và hai biên ngàm phương x chịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc hai

A  A A  A A  Để giải phương trình vi phân (2.13) thì cần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để giải phương trình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị cụ thể của m để có thể đưa ra 4 trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27).

(4.8) Để giải phương tr ình (3.9 ) ta có thể t ìm giá tr ị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trên y x a b

Hình 4.5 T ấm có hai biên tựa phương y và hai biên ngàm phương x chịu tải trọng bậc hai (m=0)

Bảng 4.3 Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm d ọc trục x với hệ số m=0 l Đồ thị K-A* K

4.2.2 Trường hợp thứ hai: m =1 Khi đó tấm sẽ chịu nén theo hai phương:

(4.9) Để giải phương tr ình (3.9 ) ta có thể t ìm giá tr ị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trên.

 b khác nhau được thể hiện trong bảng sau: y x a b N x = N 0

Hình 4.6 Tấm có hai bi ên tựa phương y và hai biên ngàm phương x ch ịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc hai ( m=1)

Bảng 4.4 Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm d ọc trục x với hệ số m=1 l Đồ thị K-A* K

T ấm với hai biên tựa dọc trục x v à hai biên ngàm dọc trục y

Xét một tấm mỏng hình ch ữ nhật có hai biên t ựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc trục y Tấm chịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc hai theo phương y m là hai h ằng số cho trước. Để thuận lợi trọng việc tính toán ta biểu diễn lực phân bố theo hai phương qua đại lượng

Vì 2 c ạnh bi ên tại x  0 và x  a là biên ngàm nên chọn hàm p hân bố độ v õng ngang c ủa tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là:

Hình 4.7 Tấm có hai bi ên t ự a phương x và hai biên ngàm phương y ch ịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc hai

Vì tấm có hai bi ên tựa dọc theo trục x nên tại y  b và y  0 ta có:

Bằng phép biến đổi ta nhận được tương tự phương trình (3.14)

A  A A  A A  Để giải phương t rình vi phân (2.13) thì cần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để giải phương trình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị cụ thể của m để có thể đưa ra bốn trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27).

(4.12) Để giải phương trình (3.14 ) ta có thể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trên. y x a b

Hình 4.8 T ấm có hai biên tựa phương x và hai biên ngàm phương y chịu tải trọng bậc hai(m=0)

Bảng 4.5 Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc trục y với hệ số m=0 l Đồ thị K-A* K

4.3.2 Trường hợp thứ hai: m =1 Khi đó tấm sẽ chịu nén theo hai phương:

Các giá tr ị tham số theo phương trình (4.11) nh ận được:

(4.13) Để giải phương trình (3.14 ) ta có th ể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 b ằng phương pháp của Orobey như trên.

 b khác nhau được thể hiện trong bảng sau: y x a b N x = N 0

Hình 4.9 Tấm có hai bi ên tựa phương x và hai biên ngàm phương y chịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc hai ( m=1)

B ảng 4.6 Hệ số ổn định K với tấm có hai bi ên tựa dọc trục x và hai biên ngàm d ọc trục y với hệ số m=1 l Đồ thị K-A* K

T ấm chữ nhật với bốn biên ngàm

Xét một tấm mỏng hình chữ nhật có bốn biên ngàm Tấm chịu tải trọng phân bố đều theo phương x và tải trọng phân bố bậc hai theo phương y m là hai hằng số cho trước. Để thuận lợi trọng việc tính toán ta biểu diễn lực phân bố theo hai phương qua đại lượng

  K là h ằng số tỉ lệ.

Vì 2 c ạnh bi ên tại x  0 và x  a là biên ngàm nên chọn hàm phân bố độ võng ngang c ủa tấm theo bảng 2.1 và 2.2 là:

 Theo công thức (2.11), (2.12) ta có: y x a b N x =m.N 0

Hình 4.10 T ấm có bốn biên ngàm ch ịu tải trọng phân bố đều và tải trọng bậc hai

    Để giải phương tr ình vi phân (2.13) thì c ần xác định mối quan hệ giữa r 2 và s 4 để gi ải phương trình đặc trưng (2.14) Vì vậy ta chọn các giá trị cụ thể của m để có thể đưa ra bốn trường hợp nghiệm ở công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27).

Các giá trị tham số theo phương tr ình (4.15) nh ận được:

(4.16) Để giải phương trình (3.19 ) ta có th ể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 b ằng phương pháp của Orobey như trên.

Hình 4.11 Tấm có bốn biên ngàm chịu tải trọng bậc hai (m=0)

B ản g 4.7 H ệ số ổn định K với tấm có b ốn biên ngàm và h ệ số m= 0 l Đồ thị K-A* K

Các giá tr ị tham số theo phương trình (4.15) nh ận được:

(4.17) Để giải phương trình (3.19) ta có thể tìm giá trị K để thỏa mãn A* = 0 bằng phương pháp của Orobey như trê n.

 b khác nhau được thể hiện trong bảng sau: y x a b N x =N 0

Hình 4.12 Tấm có bốn biên ngàm ch ịu tải trọng phân bố đều và tả i trọng bậc hai (m=1)

Bảng 4.8 Hệ số ổn định K với tấm có bốn biên ngàm và hệ số m=1 l Đồ thị K-A* K

Kết quả của các trường hợp được tính toán trong chương IV thể hiện qua bảng sau:

Bảng 4.9 Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu tải trọng bậc hai theo một phương l a

Bảng 4.10 Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu tải trọng bậc hai theo một phương và t ải trọng đều theo phương còn lại l a

Ta so sánh kết quả của trường hợp tấm với bốn biên tựa chỉ chịu tải trọng bậc hai theo m ột phương với kết quả của Bert C.W [2] và Benoy[1]

Tấm chịu nén đều theo hai phương l a

Bằng phương pháp biến phân Vlasov, hệ số ổn định K tìm được khi tấm có bốn biên t ựa chịu tải trọng parabol theo một phương hoàn toàn phù hợp với kết quả của Benoy và Bert.

Kết quả trong bảng 4.9 và 4.10 cũng chỉ ra rằng hệ số ổn định K đối với tấm có bốn bi ên tựa là nhỏ nhất và tấm có bốn biên ngàm là lớn nhất.

Khi tấm chịu tải trọng theo cả hai phương x và y thì hệ số ổn định K giảm đi nhiều so v ới tấm chỉ chịu tải trọng theo phương y Ví dụ với tấm bốn biên tựa khi a/b=0.5 thì hệ số ổn định K khi tấm chịu tải trọng theo một phương y là 18,24 trong khi tấm chịu tải trọng theo hai phương là 5,13. x b a

Tiêu đề	Ổn định tấm mỏng chịu tải trọng phức tạp bằng phương pháp biến phân Vlasov
Tác giả	Nguyễn Thị Ngân
Người hướng dẫn	PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền Lương
Trường học	Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Kỹ Thuật Xây Dựng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	133
Dung lượng	2,17 MB