Ly Thuyet Tap Hop-3.Pdf

1.2.2Những nghịch lý phát sinh Nghịch lý RussellGiả sử S là một tập hợp chứa tất cả các "tập hợp mà không phải là phần tửcủa chính nó"có nghĩa là mỗi phần tử A thuộc tập S chỉ là tập hợp

GIỚI THIỆU VỀ LÝTHUYẾT TẬP HỢP

NGUYỄN KHÁNH TOÀN

1.3.3 Đơn ánh, toàn ánh và song ánh: 15

1.3.4 Phép toán hai ngôi trên tập hợp (Binary Operation) [1]: 161.3.5 Quan hệ giữa hai phần tử trong tập hợp: 17

1.4 Xây dựng tập số tự nhiên bằng lý thuyết tập hợp(*): 19

1.5 Giải một bài toán như thế nào? 22

1

Chương 1

Tập hợp

[2]

Từ thời xa xưa, các nhà toán học luôn muốn xây dựng toàn bộ hệ thống toánhọc dựa trên một số lượng nhỏ các nguyên lý cơ bản ban đầu Có nhiều hướngđể xây dựng nền toán học, vd như dựa trên hình học phẳng (Euclid), dựa trênsố học (dựa vào các tính chất của số tự nhiên, số hữu tỉ, số thực, ) Tuy nhiênmột số khái niệm rất khó được mô tả một cách rõ ràng trong toán học cổ điển,ví dụ như khái niệm về sự vô hạn Ta xét ví dụ sau:

Có một đoạn thẳng có độ dài d hữu hạn, ta chia đôi đoạn thẳng đó, và tiếptục chia đôi các đoạn thẳng nhỏ, cứ chia đôi mãi như thế, chúng ta sẽ có vôhạn các đoạn thẳng nhỏ, tổng của vô hạn các đoạn này lại là hữu hạn! Đâyđược gọi là nghịch lý Zeno

2

d/2d/4d/8 d/16d = d/2 + d/4 + d/8 + d/16 +

Ngoài ra, để xây dựng một "nền móng" tốt cho toán học, thì các nguyênlý nền tảng của nó phải đủ nhưng không được quá nhiều Tuy nhiên các kháiniệm như số tự nhiên 1,2,3, lại có vô hạn, chúng ta không thể định nghĩa cụthể từng khái niệm đối với số lượng vô hạn khái niệm như thế này Vì thế cầnphải có một nền tảng chung để xây dựng toàn bộ các khái niệm này, cả số học,hình học, cũng như các nhánh khác của toán học

Để giải quyết các vấn đề đó, từ thế kỷ XIX, nhà toán học Cantor đã đưa ranhững khái niệm về tập hợp, và dựa vào tập hợp, người ta có thể xây dựng nênrất nhiều các khái niệm toán học khác nhau Gần như toàn bộ nền toán họchiện đại đều được xây dựng trên nền tảng lý thuyết tập hợp!

1.2.1Các khái niệm ban đầu

Ban đầu lý thuyết tập hợp chỉ đưa ra khái niệm cơ bản là phần tử, tập hợpvà ký hiệu ∈ (đọc là thuộc) Đây là những khái niệm cơ bản nhất, không đượcđịnh nghĩa bằng khái niệm cơ bản hơn, có nghĩa là những viên gạch đầu tiêncủa lý thuyết, ta chấp nhận nó Để hình dung một cách cụ thể thì ta có thể coimột tập hợp là một cái hộp Những thứ bên trong hộp ví dụ như là viên bi,hòn đá, viên kẹo, hoặc cũng có thể là một tập hợp khác được gọi là nhữngphần tử Một phần tử a nằm trong tập hợp X sẽ được ký hiệu là a ∈ X Nếu

X không chứa phần tử nào (coi như là một cái hộp rỗng, chỉ có cái vỏ chứ bêntrong không có gì), thì ta gọi X là tập hợp rỗng, ký hiệu ∅.

aa ∈ X X = ∅

Ví dụ về tập hợp:

X là tập hợp các học sinh trong lớp A, ta ký hiệu như sau:

X = {x| x là học sinh trong lớp A },

(dấu | có thể thay bằng dấu ":") Vậy nếu y là một học sinh trong lớp A, thì

y ∈ X Ký hiệu x chỉ là ký hiệu đại diện, không quan trọng, ta có thể thaybằng ký hiệu khác bất kỳ Cái quan trọng là tính chất của phần tử "là học sinhlớp A", nếu thoả điều kiện này thì phần tử thuộc tập hợp X

1.2.2Những nghịch lý phát sinh

Nghịch lý RussellGiả sử S là một tập hợp chứa tất cả các "tập hợp mà không phải là phần tửcủa chính nó"(có nghĩa là mỗi phần tử A thuộc tập S chỉ là tập hợp chứa cácphần tử nào đó nhưng không chứa chính A) Vậy S có phải phần tử của chínhnó hay không?

Giả sử S là phần tử của S, vậy theo định nghĩa của S, ta suy ra S không phảilà phần tử của S (do chỉ chứa các tập hợp không chứa chính nó), điều này mâuthuẫn vì S không thể vừa thuộc S vừa không thuộc S

Giả sử S không phải phần tử của S, vậy theo định nghĩa của S (có phần tử làcác tập hợp không chứa chính bản thân tập đó) thì S lại thuộc tập hợp S, điềunày lại mâu thuẫn.

Vậy lý thuyết tập hợp với các khái niệm cơ bản là "phần tử", "tập hợp", "thuộc"như ở trên không thể giải quyết được mâu thuẫn này Do đó cần bổ sung thêmmột số khái niệm cơ bản khác

Nghịch lý BerryChúng ta thường xác định một tập hợp nào đó bằng cách mô tả các tính chấtcủa các phần tử của nó Ví dụ như tập hợp các bạn nữ trong lớp học, tập hợpcác học sinh trong trường,

Gọi T là tập hợp chứa tất cả các số tự nhiên có thể mô tả bằng cách sử dụngít hơn hai mươi từ trong tiếng Việt, ví dụ số một, số một trăm lẻ một, số mộtnghìn không trăm lẻ một, Do số từ trong tiếng Việt là hữu hạn, nên tập hợp

T là hữu hạn Ta gọi tlà "số nhỏ nhất không thể mô tả bằng hai mươi từ trongtiếng Việt", ta suy ra t không thuộc T Số t được xác định bởi 14 từ, do đó

t ∈ T Điều này mâu thuẫn.Vậy dùng ngôn ngữ thông thường để mô tả các khái niệm trong lý thuyết tậphợp sẽ dẫn đến mâu thuẫn, do đó cần phải tìm một cách mô tả khác để giảiquyết vấn đề này

1.2.3Xây dựng lý thuyết tập hợp như thế nào để tránh

các mâu thuẫn?

Các khái niệm cơ bảnTa sẽ đưa ra hai khái niệm cơ bản sau: class (lớp) và thuộc (ký hiệu ∈) Ta giữlại khái niệm ∈, nhưng thay cho khái niệm tập hợp thì ta sẽ dùng khái niệmkhác làm nền tảng, đó là class Tất cả các đối tượng trong toán học đều có thểđược gọi là một class Nếu một class x thuộc class A (ký hiệu x ∈ A), ta gọi x

là một phần tử Tất nhiên tập hợp cũng là class, và những class không phải làtập hợp thì ta sẽ gọi là proper class (lớp riêng) Vậy tập hợp là gì? Ta sẽ địnhnghĩa tập hợp như sau: một class A được gọi là một tập hợp A nếu như tồn tạimột class B nào đó sao cho A ∈ B, hay có thể nói rằng A là một phần tử củamột class nào đó

Qua định nghĩa này ta thấy rằng đối tượng toán học mà ta gọi là "tập hợp"chứa tất cả các "tập hợp không chứa bản thân nó" trong nghịch lý Russell ởtrên không phải là một tập hợp, vì không tồn tại tập hợp nào như vậy cả Nóiđúng hơn nó chính là một proper class (lớp riêng)

Một lý thuyết toán học tốt là một lý thuyết mà trong đó không có các nghịchlý Nếu tồn tại nghịch lý thì lý thuyết toán học sẽ sụp đổ Tất nhiên con ngườikhông thể tạo ra một lý thuyết toán học hoàn hảo về mọi mặt có thể mô tả mọithứ trên đời được, do đó chúng ta sẽ cố "tránh" các nghịch lý bằng cách khôngdùng những khái niệm cơ bản có nguy cơ dẫn tới nghịch lý

Dùng khái niệm class chúng ta vẫn chưa loại bỏ hoàn toàn được nghịch lýRussell, nhưng ít nhất chúng ta có thể tránh được nó bằng cách chỉ sử dụng"tập hợp" chứ không dùng "proper class" để xây dựng lý thuyết Khái niệm"proper class" đưa ra chỉ để "tránh" các nghịch lý chứ hầu như hiếm khi đượcsử dụng trong toán học Như vậy chúng ta sẽ tập trung chủ yếu vào khái niệm"tập hợp", hạn chế dùng khái niệm "proper class" trừ khi bắt buộc phải dùng.

Các khái niệm logicTrong toán học, chúng ta thường gặp phải nhiều mệnh đề như: số một là số tựnhiên, số pi là số thực, Trong lý thuyết tập hợp, tính chất của các phần tửtrong tập hợp cũng được mô tả bằng mệnh đề Để xây dựng các mệnh đề cũngnhư tạo mối liên kết giữa chúng, ngoài các khái niệm cơ bản, thì chúng ta cũngsẽ đưa thêm những khái niệm logic như sau:

• Đúng (true), sai (false):Một mệnh đề trong toán học chỉ có thể đúng hoặc sai, không được phépvừa đúng vừa sai (nếu không nó sẽ trở thành một nghịch lý) Nếu một tậphợp X được mô tả bằng một mệnh đề A nào đó, thì phần tử x nào đóthoả mãn mệnh đề A đúng đối với x, thì x ∈ X

Ví dụ:

X = {x| x là học sinh nam lớp 12}

Bạn Tuấn là học sinh nam lớp 12, vậy bạn Tuấn thuộc tập hợp X BạnHằng là học sinh nữ, vậy mệnh đề "là học sinh nam lớp 12" là sai đối vớibạn Hằng, vậy bạn Hằng không thuộc tập hợp X

Tất nhiên có thể có những mệnh đề mà ta không thể chứng minh được nóđúng hay sai Ta có thể giả sử nó đúng, và gọi đó là một tiên đề (ví dụ

như tiên đề Euclid về đường thẳng song song trong mặt phẳng).Một lý thuyết toán học luôn có một vài tiên đề cơ bản, từ đó dùng đểchứng minh các mệnh đề toán học khác (gọi là các định lý).

• Phủ định (ký hiệu ¬):Nếu một mệnh đề A là đúng, thì phủ định của nó (ký hiệu là ¬A) sẽ làsai, và ngược lại

A¬A• Và (ký hiệu ∧):

Nếu ta có mệnh đề A và mệnh đề B, ta có thể xây dựng mệnh đề A ∧ B.Mệnh đề A ∧ B chỉ đúng nếu như cả hai mệnh đề A và B đều đúng, cónghĩa là chỉ cần một trong hai mệnh đề A hay B sai thì A ∧ B sẽ sai

A ∧ B

Ta có thể hình dung một phần tử thoả mệnh đề A ∧ B là nó nằm trongphần giao giữa tập hợp xây dựng bởi mệnh đề A và tập hợp xây dựng bởimệnh đề B

• Hoặc (ký hiệu ∨):Ta cũng dùng "và" để kết hợp hai mệnh đềA vàB nào đó, để cho ra mệnhđề A ∨ B Tuy nhiên mệnh đề A ∨ B đúng khi chỉ cần mệnh đề A đúnghoặc mệnh đề B đúng là đủ, không bắt buộc cả hai đều đúng Tất nhiênlà nếu A đúng và B đúng thì mệnh đềA ∨ B cũng đúng Mệnh đề A ∨ B

chỉ sai khi cả mệnh đề A và mệnh đề B đều sai

là đúng Ta thường ứng dụng điều này trong các bài toán chứng minh mộtmệnh đề B nào đó Ví dụ:

Trường hợp B đúng thì đương nhiên A =⇒ B cũng đúng, không cần quantâm A đúng hay sai Ta có thể gặp khi yêu cầu chứng minh một mệnh đềmà mệnh đề đó hiển nhiên đúng

Tuy nhiên nhiều trường hợp ta không thể chứng minh trực tiếp được mệnhđềB là đúng khi mệnh đề Alà đúng, ta chỉ có thể chứng minh được trườnghợp nếu mệnh đề B sai (tức là phủ định của mệnh đề B là đúng) thì suyra mệnh đề A cũng sai, điều đó tạo thành nghịch lý vì mệnh đề A vừađúng vừa sai, từ đó suy ra mệnh đề B là đúng

Một số định nghĩa trên tập hợp

• Bằng (ký hiệu =):Ta định nghĩa hai class (hoặc tập hợp)Avà B bằng nhau (ký hiệuA = B)nếu như tất cả class (bao gồm cả tập hợp và proper class) chứaAđều chứacả B, có nghĩa là

∀X, [A ∈ X =⇒ B ∈ X]và[B ∈ X =⇒ A ∈ X],

(ký hiệu ∀ có nghĩa là với mọi class) Định nghĩa này khá phức tạp nênchúng ta thường không dùng trực tiếp định nghĩa này để chứng minh haitập hợp bằng nhau, chúng ta sẽ dùng cách khác, trình bày ở phần sau.

• Tập con (ký hiệu ⊆):Ta định nghĩa A là tập con của B (ký hiệu A ⊆ B) nếu như mọi phần tửcủa A đều là phần tử của B:

x ∈ A =⇒ x ∈ B.A B

• Hợp của hai tập hợp:Ta định nghĩa hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp ký hiệu bởi

A ∪ B với phần tử là phần tử thuộc A hoặc thuộc B

A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}.• Giao của hai tập hợp: tương tự như trên nhưng ta thay "hoặc" bởi "và",

A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}.• Tập hợp rỗng (ký hiệu ∅): là tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào

• Phần bù của tập hợp: là class chứa tất cả các phần tử không thuộc A

A′ = {x| x /∈ A}

Thông thường chúng ta chỉ xét trong một tập hợp X nào đó mà A là tậpcon của X, khi đó phần bù củaA trong X sẽ là tập hợp chứa các phần tử

thuộc X nhưng không thuộc A.

A′X = {x ∈ X| x /∈ A}

A

AXX

Một số tiên đề của lý thuyết tập hợpTiên đề là các mệnh đề ta coi như nó đúng, và không thể chứng minh được nóđúng hay sai

• Tiên đề thứ nhất: Hai tập hợp (hoặc class) A và B bằng nhau khi và chỉkhi A là tập con của B và B là tập con của A

A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A,

có nghĩa là (x ∈ A =⇒ x ∈ B) và (y ∈ B =⇒ y ∈ A).Vì vậy, để chứng minh hai tập hợp bằng nhau, ta không dùng định nghĩanhư ở trên mà dùng tiên đề này, có nghĩa là ta xét một phần tử x bất kỳthuộc tập A, chứng minh x ∈ B, sau đó xét một phần tử y bất kỳ thuộc

B và chứng minh y ∈ A

• Tiên đề thứ hai: Giả sử P (x) là một mệnh đề bao gồm các ký hiệu logicnhư ∈, ∨, ∧, ¬, =⇒, ∀, ∃ (tồn tại), {}, và các chữ cái đại diện cho các biếnsố như a, b, c, X, Y, Z, , khi đó tồn tại một class (tập hợp hoặc properclass) chứa tất cả các phần tử x thoả mãn P (x)

Tiên đề này dùng để xây dựng các tập hợp bằng ngôn ngữ ký hiệu, tránhđược nghịch lý Berry khi dùng ngôn ngữ thông thường Tuy nhiên việc

dùng ngôn ngữ ký hiệu quá nhiều sẽ khiến cho người đọc bị rối trí, khó màhiểu được văn bản toán học Vì vậy nên chúng ta vẫn dùng lời văn thôngthường, và chỉ dùng ký hiệu khi cần thiết.

1.3.1Tích Đề- các (Cartesian products):

Cặp sắp theo thứ tự (ordered pair):

y

x0 1

1

2 32

3(1, 1) (3, 2)

(2, 3)

Khi ta biểu diễn tọa độ của một điểm trong mặt phẳng Oxy, ta sẽ ký hiệutọa độ đó dưới dạng (x, y), trong đó x ứng với tọa độ tại trục hoành và y ứngvới tọa độ tại trục tung Tuy nhiên ta nhận thấy rằng nếu x ̸= y thì tọa độ

(x, y) sẽ khác với tọa độ (y, x) Nếu ta coi mỗi tọa độ x là một phần tử thuộctập hợp X là trục hoành, và mỗi tọa độ y là một phần tử thuộc tập Y là trụctung Vậy làm thế nào để ta biểu diễn tọa độ (x, y) trong lý thuyết tập hợp?Chắc chắn chúng ta không thể ký hiệu (x, y) = {x, y} vì tập hợp {x, y} và tậphợp {y, x} bằng nhau (do có phần tử giống nhau)

Chúng ta sẽ định nghĩa cặp sắp theo thứ tự (x, y) như sau:

(x, y) = {{x}, {x, y}}.

Có nghĩa là (x, y) chính là tập hợp chứa hai phần tử, phần tử thứ nhất là {x},phần tử thứ hai là tập hợp {x, y} Như vậy (y, x) = {{y}, {x, y}} ̸= (x, y).Để cho ngắn gọn thì ta vẫn dùng ký hiệu (x, y) thay vì {{x}, {x, y}}

Tích Đề-các giữa hai tập hợp:Tích Đề-các (Cartesian product) của hai tập hợp X và Y là tập hợp ký hiệubởi X × Y, bao gồm tất cả các cặp sắp theo thứ tự (x, y), trong đó x ∈ X và

y ∈ Y

X × Y = {(x, y)| x ∈ X ∧ y ∈ Y }

Nếu biểu diễn tậpX là trục hoành và Y là trục tung thìX × Y có thể biểu diễnbởi mặt phẳng Oxy gồm tất cả các điểm (x, y) Một đồ thị trên mặt phẳng nàybao gồm nhiều điểm trên mặt phẳng Như vậy, một tập con bất kỳ G ⊆ X × Y

sẽ được gọi là một đồ thị (graph)

y

x0 1

1

2 32

3

G

x0 x1

y1y2y3

Ta có thể biểu diễn tập X và tập Y là các vòng tròn với những điểm bêntrong là các phần tử, mỗi ánh xạ có thể biểu diễn bằng một mũi tên đi từ

X đến Y, từ mỗi điểm x ∈ X chỉ được vẽ một mũi tên, đến bất kỳ điểmnào thuộc Y (kể cả trường hợp hai mũi tên cùng hướng về một điểm) Vàtất cả các điểm x ∈ X đều có mũi tên hướng đến một điểm y ∈ Y (tuynhiên có thể có những điểmy0 ∈ Y mà không có bất cứ mũi tên nào hướngvào)

X Y

x1 y1

x2

1.3.3Đơn ánh, toàn ánh và song ánh:

Đơn ánh (Injective functions):Một ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu như nó có tính chất sau:Nếu (x1, y) ∈ f và (x2, y) ∈ f thì x1 = x2

(Hoặc có thể hiểu là nếu f (x1) = f (x2) thì x1 = x1) Biểu diễn ánh xạ dướidạng mũi tên, ta sẽ thấy trong trường hợp đơn ánh thì mỗi mũi tên chỉ đượchướng vào một điểm, không có hai mũi tên nào trùng điểm đến (vẫn có thể cónhững điểm y0 "lẻ loi" không có mũi tên nào):

Điều này có nghĩa là tất cả các điểm y ∈ Y đều có mũi tên từ X hướng đến,không có điểm y0 "lẻ loi" nào mà không có mũi tên Tuy nhiên một số mũi têncó thể hướng đến cùng một điểm:

X Y

x1 y1x2

Song ánh (Bijective functions):Nếu một ánh xạ f : X → Y vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh thì nó là song ánh.Lúc này ta sẽ có một mũi tên nối mỗi phần tử của X với một phần tử của Y,tương ứng một-một, có nghĩa là tất cả các điểm trong X hoặc Y đều có mũitên, không có điểm y0 "lẻ loi" nào hết và không có mũi tên nào trùng điểm đến.Khi đó ta có thể nói rằng số phần tử của hai tập hợp X và Y là giống nhau(chỉ khác đặc điểm mỗi phần tử)

x1 y1x2 y2

1.3.4Phép toán hai ngôi trên tập hợp (Binary

Opera-tion) [1]:

Khi mô tả một tập hợp, nếu chỉ nói đến các phần tử của nó, chúng ta sẽ khôngthu được thông tin gì về mối quan hệ giữa các phần tử với nhau Để mô tả mốiquan hệ ta sẽ dùng khái niệm "phép toán hai ngôi" Ví dụ: các phép tính nhưphép cộng, phép nhân trên tập số thực cũng là các phép toán hai ngôi

Khái niệm phép toán hai ngôi rất quan trọng trong việc xây dựng các cấu

trúc toán học từ tập hợp như là nhóm, vành, trường,

Một phép toán hai ngôi ⋆ trên tập hợp X là một ánh xạ ⋆ : X × X → X,thỏa điều kiện với mọi phần tử x1, x2 ∈ X, tồn tại phần tử x ∈ X sao cho

⋆(x1, x2) = x Ta ký hiệu

x1⋆ x2 = x.• Phép toán hai ngôi ⋆ được gọi là có tính giao hoán nếu

x1⋆ x2 = x2 ⋆ x1, ∀x1, x2 ∈ X.• Phép toán hai ngôi ⋆ được gọi là có tính kết hợp nếu

x1⋆ (x2⋆ x3) = (x1⋆ x2) ⋆ x3

1.3.5Quan hệ giữa hai phần tử trong tập hợp:

Ngoài phép toán hai ngôi, đôi khi ta cần xét quan hệ giữa hai phần tử bất kỳtrong tập hợp, ví dụ như là so sánh hai số x và y xem số nào lớn hơn, và sauđó sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần

Trong lý thuyết tập hợp, ta định nghĩa một mối quan hệ G trong một tập

A là một tập con (hay graph) của tập A × A

G ⊆ A × A.• G được gọi là có tính phản xạ nếu như

(x, x) ∈ G, ∀x ∈ A