Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật cơ khí: Nghiên cứu ứng xử bất ổn định của tấm composite lớp chịu tải nén trong mặt phẳng

Trong tiếp cận số, phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-DSG3 Cell-based Smoothed Discrete Shear Gap method dựa trên cơ sở lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất First-order Shear Deformatio

TỔNG QUAN

Giới thiệu chung

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các ngành công nghiệp và khoa học kỹ thuật là sự cạn dần các nguồn năng lượng tự nhiên Và hiển nhiên, vật liệu tự nhiên sẽ được thay thế dần bởi các vật liệu nhân tạo, và các sản phẩm tạo ra bởi các loại vật liệu này ngoài việc đảm bảo được các nhu cầu sử dụng còn phải đảm bảo các tiêu chí như: độ bền, nhẹ, có giá cả hợp lý, v.v Trước các yêu cầu như trên, việc nghiên cứu phát triển vật liệu tổ hợp hay còn gọi là vật liệu composite nhằm thay thế nguồn nguyên vật liệu truyền thống và đáp ứng được nhu cầu phát triển càng trở nên cấp thiết

Theo lịch sử phát triển, khoảng 5000 năm trước công nguyên con người đã biết trộn những viên đá nhỏ vào đất trước khi làm gạch để tránh bị cong vênh khi phơi nắng Người Hy Lạp cổ cũng sử dụng mật ong trộn với đất, đá, cát sỏi làm vật liệu xây dựng, v.v Đến những năm 1950, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của ngành công nghệ chế tạo tên lửa ở Mỹ, ngành khoa học composite được hình thành Từ đó đến nay, ngành khoa học công nghệ vật liệu composite đã phát triển trên toàn thế giới và được ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các ngành công nghiệp chế tạo Một số ứng dụng vật liệu composite có thể kể đến như: ứng dụng trong công nghiệp hàng không (Hình 1.1), ứng dụng trong ngành công nghiệp tàu thủy (Hình 1.2) và công nghiệp chế tạo ống tu-pe dùng cho sản xuất khung xe đạp (Hình 1.3) ,v.v

Hình 1.1 Máy bay huấn luyện L-15 Liệp Ưng (Falcon) của Trung Quốc

Hình 1.2 Tàu đánh cá VIJAS Research & Training Vessel và tàu khách SM-300P

Hình 1.3 Khung xe đạp và ống tu-pe dùng trong công nghiệp bằng composite

Trong nhiều loại kết cấu composite, tấm composite là một loại kết cấu rất phổ biến, được ứng dụng rộng rải trong nhiều lĩnh vực khác nhau Cùng với sự phát triển của ngành khoa học vật liệu này, các lý thuyết tính toán cho nó cũng được phát triển Đối với kết cấu tấm compsite, nhiều lý thuyết tấm khác nhau cũng đã được mở rộng và ứng dụng để phân tích ứng xử của nó Một vài lý thuyết được sử dụng phổ biến có thể được kể đến như: lý thuyết tấm Kirchoff [1], lý thuyết tấm của Reissner-Mindlin [1], lý thuyết Zigzag của Murakami [2] , lý thuyết tấm Layer-wise của Reddy [3], lý thuyết biến dạng bậc nhất (FSDT), biến dạng bậc cao (HSDT) [4], v.v Song song với việc phát triển các lý thuyết tấm, nhiều phương pháp tính toán số khác nhau cũng được nghiên cứu và áp dụng cho từng trường hợp cụ thể, phù hợp với nhu cầu đặt ra

Ví dụ như phương pháp giải tích, phương pháp số, v.v

Từ nhiều hướng tiếp cận khác nhau, hiện nay có rất nhiều nhà khoa học trong nước và thế giới nghiên cứu phân tích ứng xử cơ học của tấm vật liệu composite, trong đó phân tích ổn định là một hướng rất được quan tâm Một số phương pháp đã

3 được các nhà nghiên cứu đề xuất cho việc phân tích ổn định tấm composite như: FSDT [5], HSDT [5], MISQ20 [6], IGA [7], v.v Gần đây, Nguyễn Thời Trung và cộng sự đã đề xuất kỹ thuật trơn hóa biến dạng (Strain Smoothing Technique) cho phần tử tam giác ba nút, kết hợp với phương pháp rời rạc lệch trượt (DSG) được đề xuất bởi Bletzinger và Bischoff [8] tạo thành phương pháp phần tử hữu hạn trơn, phần tử CS-DSG3 (Cell-based smoothed discrete shear gap method) [9] Phương pháp này đã được ứng dụng rất hiệu quả cho việc phân tích tĩnh và dao động tự do của tấm Reissner – Mindlin [9] Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có công trình nào nghiên cứu ứng dụng phương pháp CS-DSG3 vào phân tích ổn định của tấm composite lớp Vì vậy, trong luận văn này, để thực hiện đề tài đặt ra là “Nghiên cứu ứng xử bất ổn định của tấm composite lớp chịu tải nén trong mặt phẳng”, tác giả chọn phương pháp phần tử hữu hạn trơn, phần tử CS-DSG3 được xây dựng trên cơ sở lý thuyết biến dạng bậc nhất (FSDT) để khảo sát sự ổn định của tấm composite lớp với các điều kiện vật liệu và điều kiện biên khác nhau Các kết quả số của luận văn được so sánh với các công trình nghiên cứu khác để đánh giá độ chính xác của thuật toán được xây dựng trong luận văn Thêm vào đó, dựa vào kết quả phân tích sự ổn định đạt được của kết cấu tấm composite lớp, tác giả tiến hành thành lập và giải bài toán tối ưu hóa cho tấm composite lớp nhằm tìm ra những phương án thiết kế phù hợp nhất cho góc hướng sợi để tăng độ ổn định cho tấm Để giải bài toán tối ưu hóa đặt ra, giải thuật tối ưu hóa, thuật toán tiến hóa DE (Differential Evolution) [10] được tác giả sử dụng.

Tình hình nghiên cứu hiện nay

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Nghiên cứu ổn định tấm composite lớp đã thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới Nhiều công cụ tính toán và cách tiếp cận khác nhau đã được đề xuất để phân tích ổn định cho tấm composite lớp Một số công trình tiêu biểu có thể kể đến như: nghiên cứu của Dongyao Tan [11] và cộng sự đã ứng dụng hàm Spline tổng quát để nghiên cứu ổn định của tấm và tấm vỏ composite lớp Trong nghiên cứu này, tác giả đã cho thấy sự linh hoạt của việc mô hình hóa bài toán so với phương pháp dãy hữu hạn Spline tổng quát Qing-Qing Ni và các cộng sự [12] đã ứng dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để khảo sát tải ổn định với các điều kiện biên khác nhau Trong

4 nghiên cứu này các ảnh hưởng của thuộc tính vật liệu, ảnh hưởng của sự phân bố các lớp trong kết cấu tấm, ảnh hưởng của tỷ lệ tham số kích thước tấm cũng được xem xét cụ thể A chakrabarti, A H Sheith [13] đã kết hợp lý thuyết biến dạng bậc cao của Reddy và phần tử tam giác với giả thuyết ứng suất biến dạng của lớp mặt trên và mặt dưới của tấm là zero Kết quả số thu được từ phương pháp của họ được so sánh và kiểm chứng với độ chính xác với các nghiên cứu khác M Darvize [14] và các cộng sự đã ứng dụng cả hai phương pháp GDQ (Generalized differential quadrature) và phương pháp Rayleight-Ritz (R-R) để nghiên cứu ổn định tấm composite lớp Hongzhi Zhong [15] và cộng sự đã ứng dụng lý thuyết biến dạng bậc một để nghiên cứu ổn định tấm composite lớp đối xứng Độ chính xác của phương pháp được so sánh với kết quả tính toán bằng phần mềm ABAQUS Rajan L và các cộng sự [16] đã ứng dụng lý thuyết biến dạng bậc cao kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn tám nút đẳng tham số để xác định ổn định của tấm copmposite lớp có chứa lớp áp điện (Piezolaminated plates) tựa tự do đối xứng lệch trục và không đối xứng

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Trong nước, cho đến nay việc nghiên cứu phân tích bất ổn định cho tấm composite cũng đã thực hiện bởi một vài nhóm tác giả như: nghiên cứu của H Nguyen-Van, và các cộng sự [6] đã ứng dụng kỹ thuật làm trơn phần tử tứ giác phẳng để nghiên cứu ổn định tấm và tấm vỏ composite Kết quả của thuật toán được so sánh với các kết quả hiện tại cho thấy mô hình xây dựng là phù hợp Tinh Quoc Bui [17] ứng dụng phương pháp Mesh-free Galerkin Kringing phân tích ổn định tấm composite lớp với lực nén bề mặt, biên tựa đơn, cơ sở cửa phương pháp được xây dựng theo lý thuyêt tấm mỏng của Kirchhoff Kết quả sau thực nghiệm cho thấy phương pháp được đề xuất là tương đồng so với các công trình nghiên cứu khác Tinh Quoc Bui và cộng sự [18] ứng dụng phương pháp phần tử đẳng tham số kết hợp hàm NURBS để nghiên cứu dao động tự do và ổn định tấm composite lớp, kết quả nghiên cứu được so sánh với các kết quả của công trình khác Kết quả cho thấy sự phù hợp của mô hình là rất tốt Luận văn tiến sĩ của Trần Thế Văn [19] đã khảo sát, đánh giá và định lượng sự ảnh hưởng của các yếu tố tải trọng, nhiệt độ, kích thước, vật liệu, điều kiện biên, v.v ảnh hưởng đến ổn định tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Nhận xét

Từ kết quả khảo sát tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng việc phân tích ổn định cho tấm compsoite lớp là khá quan trọng và là một chủ đề hấp dẫn Nó thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới cũng như trong nước Tuy nhiên, qua việc khảo sát, tác giả cũng nhận thấy rằng việc áp dụng các phẩn tử tấm tam giác 3-nút cho việc phân tích trên vẫn chưa được thực hiện nhiều mà đặc biệt là phần tử tấm được làm trơn CS-DSG3 vẫn chưa được ứng dụng Vì vậy trong luận văn này, tác giả lựa chọn phần tử tam giác 3-nút được làm trơn CS-DSG3 dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng bậc nhất (FSDT) để khảo sát ứng xử bất ổn định của tấm composite lớp chịu tải nén trong mặt phẳng Hơn nữa, mặc dù có rất nhiều nghiên cứu phân tích ứng xử cho tấm composite lớp đã được thực hiện, nhưng vẫn chưa có nhiều nghiên cứu thiết kế tối ưu nhằm tìm ra những phương án thiết kế tối ưu cho nó Vì vậy, trong luận văn này, bên cạnh việc phân tích ứng xử bất ổn định cho tấm sử dụng phần tử tam giác 3-nút được làm trơn, tác giả cũng cố gắng tìm hiểu giải thuật tối ưu DE để thành lập và giải bài toán tối ưu hóa nhằm tìm góc hướng sợi tối ưu cho tấm compsoite lớp để tăng khả năng chịu tải bất ổn định cho tấm.

Tính cấp thiết của đề tài, ý nghĩa thực tiễn

Việc nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu đóng một vai trò quan trọng trong việc thiết kế chế tạo các kết cấu vật liệu composite Trong thực tế, một số công trình khi thiết kế đã kiểm soát không chặt chẽ vấn đề ổn định của cấu trúc vật liệu nên đã có những sự cố xẩy ra Ví dụ như: sự sụp bồn chứa rượu của một nhà máy rượu ở California do động đất năm 1979 (Hình 1.4), sự biến dạng của hệ ống (Hình 1.5).v.v

Hình 1.4 Nhà máy rượu ở California

Hình 1.5 Sự bất ổn định của hệ ống

Vì vậy, để hạn chế đến mức tối đa các rủi ro có thể xảy ra, khi thiết kế các kết cấu ngoài việc phải đảm bảo điều kiện bền, người thiết kế cần phải xem xét đến điều kiện ổn định của kết cấu đó Thông qua kết quả nghiên cứu của luận văn, tác giả đề xuất thêm một cách tiếp cận mới như là một lựa chọn cho các kỹ sư thiết kế khi thiết kế chế tạo cũng như trong nghiên cứu ổn định của tấm composite lớp.

Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm 4 chương:

Giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu bất ổn định tấm composite lớp của các nhà khoa học trong nước và quốc tế Dựa trên tình hình hiện tại, đề xuất vấn đề nghiên cứu trong luận văn Ngoài ra, tác giả cũng trình bày mục tiêu cần đạt được, ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn của việc nghiên cứu

 Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Trình bày tổng quan về cơ học vật liệu composite, lý thuyết vật liệu composite và miêu tả hiện tượng bất ổn định của tấm composite lớp Qua đó, nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-DSG3 để phân tích ứng xử bất ổn định của tấm composite lớp chịu tải nén trong mặt phẳng Từ kết quả phân tích, đề xuất phương pháp thiết kế tối ưu hóa nhằm tăng khả năng chịu tải bất ổn định cho kết cấu tấm composite lớp

 Chương 3: Nghiên cứu các bài toán cụ thể

Một vài ví dụ số được tính toán dựa trên cơ sở thuật toán trình bày và được mô phỏng thông qua phần mềm Matlab Kết quả phân tích đạt được được sánh đánh giá với kết quả của các công trình nghiên cứu khác đã được thực hiện trước đó

 Chương 4: Kết luận và hướng phát triển

Dựa vào các kết quả đạt được, tác giả đưa ra nhận định về mức độ chính xác của thuật toán, xác định được những điểm mà luận văn làm được và chưa làm được, từ đó đề xuất vấn đề cần làm rõ và phát triển nhằm hoàn thiện thuật toán và có thể ứng dụng trong thực tế sản xuất composite lớp

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Vật liệu composite

Lý thuyết vật liệu composite đã được nghiên cứu khá nhiều trong những năm gần đây Trong luận văn này, tác giả chỉ trình bày những vấn đề cơ bản có liên quan đến nội dung của luận văn, các vấn đề cụ thể hơn được trình bày chi tiết trong các tài liệu [4], [20], [21]

Composite (Hình 2.1) là vật liệu được tổ hợp từ hai loại vật liệu có bản chất khác nhau, vật liệu tạo thành có đặc tính trội hơn đặc tính của từng loại vật liệu thành phần khi xét riêng lẻ Trong trường hợp tổng quát nhất, vật liệu composite gồm một hay nhiều pha gián đoạn được phân bố trong một pha liên tục (Hình 2.2) Khi vật liệu gồm nhiều pha gián đoạn ta gọi đó là composite hỗn tạp Pha gián đoạn có cơ tính trội hơn pha liên tục

 Pha gián đoạn gọi là nền (Matrix)

 Pha liên tục gọi là cốt hay vật liệu tăng cường (Reinforcement)

Hình 2.2 Phân bố pha trong vật liệu Composite Dựa vào tính chất cơ học, vật liệu composite được phân vào 3 nhóm chính gồm có:

 Composite đẳng hướng: sợi vụn phân bố ngẫu nhiên theo cả ba phương x, y và z

 Composite đẳng hướng ngang: composite gồm nhiều lớp “mat” hoặc composite nhiều lớp sợi đồng phương

 Composite trực hướng: composite gồm nhiều lớp đồng phương xếp vuông góc hoặc composite nhiều lớp cốt vải, v.v

Vật liệu composite gồm nhiều lớp liên tục gọi là composite nhiều lớp (Hình 2.3)

Hình 2.3 Cấu trúc composite nhiều lớp

Dựa vào sự phân bố của các lớp, composite lớp được phân ra thành các loại như sau:

 Vật liệu composite đối xứng: khi mặt trung bình của vật liệu là mặt đối xứng Để mô tả vật liệu đối xứng, ta chỉ cần một nữa số lớp liên tục Nếu số lớp là một số chẳn, thì người ta bắt đầu từ một mặt nào đó và kết thúc ở mặt trung bình Chỉ số “s” cho biết vật liệu đó đối xứng Đối xứng đúng trục 90 / 45 / 02  90 / 45 / 45 / 0 / 0 / 45 / 45 / 90 0 0 0 0 0 0 0 0  s  Đối xứng lệch trục  45  45 / 45 / 45 / 45 0 0 0 0 

 Vật liệu composite xen lớp: N là số lớp

Do vật liệu composite được tạo thành từ nhiều lớp liên tiếp, với phương của sợi hay phương cơ bản của mỗi lớp là khác nhau Vì vậy, trong tính toán cơ học vật liệu ta

9 cần phải chọn hệ qui chiếu chung cho cả hệ vật liệu và biến đổi ứng xử của mỗi lớp vật liệu được xác định theo hệ trục chung đã chọn Trong tính toán cơ học ứng xử vật liệu composite người ta qui ước như sau (Hình 2.4):

 Hệ trục chính của lớp vật liệu : (1,2,3)

 Hệ tọa độ qui chiếu chung: (x,y,z)

Hình 2.4 Hệ trục chính và hệ trục qui chiếu của vật liệu

Trong nghiên cứu cơ học vật liệu composite người ta xem vật liệu là đồng nhất và dị hướng, và nghiên cứu theo hai hướng sau:

 Theo hướng vi mô: là nghiên cứu ứng xử của từng lớp

 Theo hướng vĩ mô: là nghiên cứu ứng xử của cả vật liệu bao gồm nhiều lớp

Một khi hai vấn đề trên được giải quyết, ứng dụng các phương pháp tính toán kết cấu ta hoàn toàn có thể biết được ứng xử cơ học của toàn kết cấu cần khảo sát Cụ thể, ta có thể tính toán bằng phương pháp giải tích hay phương pháp số

 Phương pháp giải tích: các thông số cần khảo sát có thể xác định trực tiếp và cho kết quả có độ chính xác cao Tuy nhiên, rất khó để ứng dụng cho các kết cấu phức tạp

 Phương pháp số: là phương pháp giải gần đúng để xác định các giá trị của hệ các phương trình mô tả, phương pháp này còn được gọi là phương pháp số hóa Cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn hoặc là sai phân hữu hạn Phương pháp này cho phép ta xác định được các tham số ứng xử của các kết cấu có hình dạng, cấu trúc phức tạp Ngoài ra, độ chính xác của bài toán cũng phụ thuộc vào mô hình bài toán mà ta sử dụng Một số lý thuyết tấm áp dụng cho vật liệu này như là: lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin, lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển của Kirchoff, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, v.v

Trong luận văn này, tác giả sử dụng vật liệu composite nhiều lớp sợi thủy tinh nền nhựa Epoxy (Glass /Epoxy) với các hằng số kỹ thuật của vật liệu được xác định dựa trên những giả định sau:

 Liên kết giữa vật liệu nền và vật liệu cốt là liên kết bền

 Vật liệu nền là đồng nhất, không có vết nứt và ở trạng thái không ứng suất ban đầu

 Vật liệu cốt và vật liệu nền là vật liệu đẳng hướng tuân theo định luật Hooke

 Vật liệu cốt phân bổ song song hoặc phân bố đều trong kết cấu tấm

Mô đun đàn hồi và hệ số Poison của vật liệu composite nhiều lớp được tính toán dựa trên mô đun đàn hồi Young, hệ số Poison và khối lượng thể tích của vật liệu cốt và vật liệu nền được xác định như sau:

E E : là mô đun đàn hồi Young của vật liệu cốt và vật liệu nền f , m v v : là hệ số poison của vật liệu cốt và vật liệu nền f , m

  : là khối lượng thể tích của vật liệu cốt và vật liệu nền

E E : là mô đun đàn hồi Young theo phương dọc và phương ngang của vật liệu cốt và vật liệu nền v 12 : là hệ số poison

G 12 : là mô đun đàn hồi trượt, và

Lý thuyết tấm vật liệu composite

Trong lịch sử nghiên cứu ứng xử cơ học của các kết cấu tấm, các nhà nghiên cứu đã xây dựng được nhiều lý thuyết tấm và lý thuyết biến dạng (Hình 2.5): lý thuyết tấm cổ điển (Classical Lamina Plate Theory-CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First- order Shear Deformation plate Theory- FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Hight-order Shear Deformation plate Theory-HSDT),v.v, nhưng phổ biến hơn cả là lý thuyết tấm Kirchhoff và lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

Hình 2.5 Các lý thuyết biến dạng tấm

Tuy nhiên, trong lý thuyết tấm của Kirchhoff thì các thành phần biến dạng cắt không được kể đến, nên thường dùng để tính toán tấm mỏng Trong khi đó, lý thuyết tấm vỏ Reissner-Mindlin thường sử dụng phần tử tuyến tính đơn giản như các phần tử tam giác ba nút hay tứ giác bốn nút và có kể đến biến dạng cắt nên thường được sử dụng cho việc tính toán cho cả tấm dày và tấm mỏng Từ những lý do trên, trong luận văn này, tác giả ứng dụng lý thuyết tấm của Reissner-Mindlin, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) kết hợp phương pháp CS-DSG3 để phân tích ổn định của cấu trúc tấm composite lớp

2.2.1 Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin [1], [22] thường được dùng để tính cho cả tấm dày và tấm mõng chịu uốn, với một số giả thiết như sau:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm trước khi biến dạng vẫn còn thẳng nhưng không nhất thiết phải vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm sau khi biến dạng  yz 0,xz 0

 Độ dài của các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm không thay đổi trước và sau khi biến dạng z 0 

 Bỏ qua sự tương tác giữa các lớp song song với mặt phẳng trung bình của tấm

Xét một phần tử tấm có thể tích V trong hệ trục tọa độ địa phương Oxyz Mặt phẳng trung bình của tấm nằm trên mặt phẳng Oxy với chiều dương của góc xoay và chuyển vị được quy ước như Hình 2.6

Hình 2.6 Qui ước dấu trong tấm Reissner-Mindlin Dưới tác dụng của tải trọng, tấm bị biến dạng như Hình 2.7

Hình 2.7 Mô hình chuyển vị tấm theo lý thuyết cổ điển của Reissner – Mindlin

Theo lý thuyết biến dạng bậc nhất, trường chuyển vị của mỗi phần tử tấm Reissner – Mindlin được mô tả như sau:

0, 0, 0, , u e p  u v w   x y  (2 3) với u v 0 , 0 là các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng Oxy và w 0 là độ võng;   x , y lần lượt là góc xoay quanh trục Oy, Ox

Theo Hình 2.7 ta có biến dạng góc xoay  x quanh trục Oy là tổng của hai thành phần là biến dạng uốn (w/x) và biến dạng cắt ( xz ) Do đó, ta có mối quan hệ:

Tương tự, ta có góc xoay  y quanh trục Ox là tổng của hai thành phần là biến dạng uốn ( w y /  ) và biến dạng cắt ( yz ) và mối quan hệ:

Theo giả thiết, độ dài của các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm không thay đổi trước và sau khi biến dạng z 0 , như vậy chuyển vị theo phương z là w  w x y  , 

Trường chuyển vị trong lý thuyết tấm của Reissner-Mindlin được mô tả như sau:

+   w /  x  và   w /  y  là góc lệch tương ứng của pháp tuyến mặt phẳng của mặt trung bình trước và sau biến dạng

+  x và  y là góc xoay giữa phương pháp tuyến của mặt phẳng trung bình và đường trực giao của biến dạng giả thuyết

2.2.1.2 Quan hệ biến dạng chuyển vị

Theo [1] ta có phương trình biến dạng Cauchy:

Hệ phương trình (2.8) có thể viết lại dưới dạng véc tơ như sau:

Các thành phần biến dạng màng (ε m ), biến dạng uốn (κ b ) và biến dạng cắt (γ s ) của tấm được xác định như sau:

(2.12) trong đó, L L m , b và L s là các ma trận toán tử tương ứng với biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt

2.2.1.3 Quan hệ ứng suất biến dạng

Theo định luật Hooke [21] cho bài toán ứng suất phẳng, ta có mối quan hệ ứng suất và biến dạng là:

Kết hợp (2.9) và (2.15) ta có:

Tương tự, từ (2.14) ta có:

(2.17) Kết hợp (2.9) và (2.17), ta được:

Theo (2.16) và (2.18), các thành phần ứng suất tương ứng các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt được xác định như sau:

2.2.1.4 Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm

Theo [20], [21] biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử tấm có dạng tổng quát như sau:

U   V (2.22) trong đó, ứng suất và biến dạng tấm bao gồm ba thành phần như sau:

Lấy tích phân (2.23) theo chiều dày của tấm ta được:

 (2.24) với A là diện tích phần tử, D m ,D b và D s lần lượt là các ma trận vật liệu tương ứng với biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng trượt

   (2.27) trong đó, t là chiều dày của tấm, E là mô đun đàn hồi và  là hệ số Poison k là hệ số điều chỉnh biến dạng cắt (thường được chọn là 5/6) [20]

2.2.2 Lý thuyết tấm composite lớp dựa trên tấm Reissner-Mindlin

Trong luận văn này, ứng xử của tấm composite được phân tích dựa trên tấm Reissner – Mindlin Do đó, các thành phần như trường chuyển vị, trường biến dạng được xác định như các mục (2.3)~(2.12) Và các ma trận vật liệu được xác định theo lý thuyết composite [4], [20]

Xét một tấm composite như Hình 2.8, có hướng sợi cùng phương với trục (O1) của hệ tọa độ địa phương (O -1-2-3)

Hình 2.8 Tấm composite Khi đó, qua hệ giữa ứng suất và biến dạng được tính thông qua thông qua định luật Hooke:

0 0 0 0 x x y y xy xy yz yz xz xz

19 với các hằng số độ cứng Q ij là các hằng số độ cứng của lớp vật liệu, được xác định theo các mô đun kỹ thuật như sau:

Vật liệu composite lớp được tạo thành từ nhiều lớp liên tiếp, trong đó phương của sợi ở mỗi lớp là khác nhau (Hình 2.9) Do đó, để phân tích ứng xử đàn hồi của vật liệu này ta chọn hệ qui chiếu chung cho cả hệ như Hình 2.10 Thông thường, hệ tọa độ vật liệu không trùng với hệ tọa độ kết cấu mà chúng lệch nhau một góc 

Hình 2.10 Hệ trục chính và hệ trục qui chiếu của vật liệu vì vậy, định luật Hooke được viết lại như sau:

0 0 0 x x y y xy xy yz yz xz k k xz k

(2.30) trong đó [ ]Q k là ma trận độ cứng của lớp thứ k, phụ thuộc vào các tham số

( ,E E v G, , ) và góc  giữa hệ tọa vật liệu (O-1-2-3) và hệ tọa độ kết cấu (Oxyz)

Q ij được xác định thông qua độ cứng thành phần Q ij như sau:

( 4 )sin cos (sin cos ) sin 2( 2 )sin cos cos

( 2 2 )sin cos (sin cos ) cos sin

Khi đó, ứng suất tương ứng các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt được viết lại :

Thế các biểu thức (2.32)~(2.34) và (2.10)~ (2.12) vào biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi (2.23) ta được:

Lấy tích phân phương trình (2.35) theo chiều dày tấm ta được:

U       A (2.36) với D m , D mb ,D b và D s gọi là các ma trận độ cứng vật liệu và được tính như sau:

Hiện tượng bất ổn định tấm composite lớp [23]

Xét một tấm chịu tải ngang σ p   x 0  y 0  xy 0  T trong mặt phẳng trung bình của tấm như Hình 2.11

Hình 2.11 Phân bố ứng suất trong mặt phẳng trung bình tấm khi tải đạt tới một giá trị nhất định, tấm bị bất ổn định, đây cũng là lúc biến dạng hình học của tấm bắt đầu xuất hiện Như vậy ta có trường biến dạng của tấm (ε p ) sẽ bao gồm hai thành phần là biến dạng đàn hồi (ε E p ) và biến dạng hình học (ε G p ) và được biểu diễn như sau: ε p ε E p ε G p (2.38) trong đó, biến dạng đàn hồi được xác định như (2.9) và biến dạng hình học của tấm do tải trọng ngang (σ p ) gây ra được xác định bởi:

Khi đó, năng lượng biến dạng của tấm cũng bao gồm năng lượng biến dạng đàn hồi và năng lượng biến dạng hình học, được xác định như sau:

U U U (2.43) với, U p E là năng lượng biến dạng đàn hồi được tính như (2.36) và năng lượng biến dạng hình học được tính như sau: d σ ε T

Hoặc có thể viết dưới dạng ma trận:

U   A (2.46) với σ G p được xác định bởi:

Thay (2.36) và (2.46) vào (2.43), ta có năng lượng biến dạng của tấm là:

Phương pháp CS-DSG3 cho bài toán bất ổn định tấm composite

Giả sử miền liên tục của đại lượng cần khảo sát là  (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, ) được rời rạc thành N e miền con liên tục có kích thước và bậc tự do hữu hạn Nghiệm xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được xác định trên tập hợp các miền con N e Phương pháp xấp xỉ dựa vào các miền con được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp này có một số đặc điểm là:

 Xấp xỉ nút trên mỗi miền con N e chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào mút của N e và biên của nó

 Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con N e được xây dựng sao cho chúng liên tục trên N e và phải thoản mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau

 Các miền con N e được gọi là các phần tử

Trong luận văn này, tấm composite lớp sẽ được rời rạc thành các phần tử tam giác ba nút (Hình 2.12), mỗi nút có năm bậc tự do

2.4.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm composite lớp

Theo [20], [23]–[25], trường chuyển vị u e p  u v w 0 , 0 , 0 ,  x , y của mỗi phần tử tấm composite lớp được xấp xỉ phần tử tam giác ba nút như sau:

Hình 2.12 Phần tử tam giác 3 nút trong hê tọa độ Đề các

Ta có thể viết (2.49) dưới dạng ma trận như sau:

  (2.50) với  u v w i , , i i , xi , yi , N i lần lượt là các thành phần chuyển vị tại các nút phần tử tấm trong hệ tọa độ địa phương và ma trận đường chéo chính chứa các hàm dạng tuyến tính tại nút thứ i của phần tử tam giác ba nút, (i = 1,2,3)

Thay (2.50) vào các biểu thức (2.10), (2.11), (2.12) và (2.42) ta được:

    (2.54) trong đó B m , B b , B s và B G p lần lượt là các ma trận Gradient biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt và biến dạng hình học

Kết hợp các biểu thức (2.48)~(2.58) năng lượng biến dạng của phần tử tấm composite lớp được xác định như sau:

U   A (2.59) trong đó, K (e) pi là ma trận độ cứng phần tử, là tổng của hai thành phần: độ cứng đàn hồi

K pi và độ cứng hình học K (e) G pi

Mặt khác, ta có thể viết (2.47) dưới dạng như sau:

Khi đạt tới giới hạn ổn định, chuyển vị của tấm tăng trong khi tải tác dụng không tăng, nghĩa là:

Trừ vế theo vế hệ (2.68) ta được:

Phương trình (2.69) là phương trình trị riêng véc tơ riêng, có nghiệm thuần nhất khi và chỉ khi det  K (e) E pi  K G 0 Như vậy, từ bài toán xác định tải tới hạn, ta chuyển về bài toán xác định giá trị riêng  Tương ứng với mỗi giá trị  i tìm được ta thay vào và giải phương trình (2.69) từ đó nhận được giá trị chuyển vị d (e) pi Khi tấm ổn định biến dạng là ze-ro, ngược lại tấm được gọi là bất ổn định Giá trị của  khi tấm ổn định được ký hiệu là  cr và đây gọi là giá trị tới hạn của ổn định

2.4.2 Phương pháp CS-DSG3 cho tấm composite lớp

Theo [20] khi sử dụng lý thuyết FSDT để phân tích ứng xử của tấm Reissner-Mindlin có chiều dày của tấm rất nhỏ so với kích thước của hai phương còn lại (tấm mỏng), năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng uốn sẽ nhỏ hơn rất nhiều so với năng lượng của các thành phần biến dạng cắt gây ra Hiện tượng này gọi là

“nghẽn cắt” (Shear locking), khiến cho lời giải số của bài toán có độ chính xác thấp do độ cứng của tấm cao Để khắc phục hiện tượng này một số phương pháp được đề xuất như: phương pháp tích phân rút gọn (reduced integration), phương pháp tích phân lựa chọn (selective integration), v.v Trong đó, phương pháp rời rạc lệch trượt (Discrite Shear Gap - DSG) được đề xuất bởi Blatzinger và Bischoff [8], phương pháp làm trơn dựa trên phần tử tam giác Mindlin ba nút (CS-FEM-MIN3) [22] là những phương pháp thường được sử dụng Trong phương pháp DSG giả định biến dạng cắt là trường tuyến tính, phương pháp DSG có ưu điểm là tốc độ tính toán nhanh, khắc phục được hiện tượng “nghẽn cắt” Tuy nhiên, kết quả phân tích lại bị ảnh hưởng nhiều vào số lượng mắc lưới, để khắc phục nhược điểm này, Nguyễn Thời Trung và các cộng sự [9] đã đề xuất kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng phần tử (CS-FEM) kết hợp với phương pháp rời rạc lệch trượt cho phần tử tam giác Mindlin ba nút (DSG3) tạo thành phần tử CS-DSG3

2.4.2.1 Phương pháp DSG3 cho tấm composite lớp

Như đã trình bày ở mục (2.4.2), ứng xử cơ học của phần tử composite lớp được phân tích dựa trên cơ sở lý thuyết tấm Reissner-Mindlin, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và phần tử tam giác tuyến tính ba nút (Hình 2.13) Tuy nhiên, phương pháp này không khắc phục được hiện tượng “nghẽn cắt” vì vậy phương pháp DSG3 được đề xuất [8] Do hiện tượng “nghẽn cắt” chỉ xuất hiện khi xem xét các thành phần biến dạng cắt, nên các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn không bị ảnh hưởng, trong khi đó các thành phần biến dạng cắt được xác định lại như sau:

Hình 2.13 Phần tử tam giác ba nút trong hệ tọa độ vật liệu và hệ toạn độ kết cấu

Theo [24], hàm dạng của phần tử tam giác trong hệ toạ độ vật liệu được viết như sau:

(2.71) và ma trận chuyển đổi hệ tọa độ được xác định như sau: x y a b

 Ma trận biến dạng màng và biến dạng uốn được viết lại như sau:

 Ma trận biến dạng cắt:

Xét phần tử hai chiều ba điểm nút như Hình 2.14

Hình 2.14 Phần tử hai chiều (2D) Theo [8] ta có, độ lệch biến dạng cắt theo phương  được tính bởi:

(2.78) và độ lệch biến dạng cắt theo phương  được tính bởi:

Từ (2.78) và (2.79), ta xác định được độ lệch do biến dạng cắt tại các nút của phần tử như sau:

Xấp xỉ lại trường tuyến tính của độ lệch góc xoay do cắt gây ra:

Trong hệ tọa độ vật liệu (tọa độ địa phương), biến dạng cắt được tính từ trường độ lệch góc xoay như sau:

(2.84) và trong hệ tọa độ kết cấu (tọa độ đề các):

2 2 2 2 2 xz yz x x y x y y x y x y w x x w y y ac bd ac bc bd bc w cw bw b c ac bd ad bd ad ac

2.4.2.2 Phương pháp CS-DSG3 cho tấm composite lớp

Theo [9] phần tử tam giác  e được chia thành ba phần tử con    1 , 2 , 3 thông qua ba điểm nút và tọa độ trọng tâm của phần tử như Hình 2.15 sao cho 3 e i 1 i

      Khi đó, tọa độ trọng tâm của phần tử là O(x o, y o ) được xác định như sau:

(2.90) trong đó,  x y i , i , i=1,2,3 là tọa độ các điểm nút của phần tử tam giác

Hình 2.15 Các phần tử tam giác con được chia từ phần tử tam giác ba nút (1-2-3) trong phương pháp CS-DSG3

Trong phương pháp CS-DSG3, Nguyễn Thời Trung và cộng sự giả thuyết rằng véc tơ chuyển vị d eO tại trọng tâm là trung bình cộng của ba véc tơ chuyển vị của ba nút (1-2-3)

 Xét phần tử tam giác con  1 (O-1-2)

Trường chuyển vị của phần tử tam giác con  1 được xác định như sau:

1 1 2 2 u e   N eO  d eO  N e  d e  N e  d e  N d   (2.92) với d  1 d eO  1 d e  1 1 d e  1 2 ;N  1 N eO  1 N e  1 1 N e  2 1  lần lượt là trường chuyển vị và hàm dạng các nút (O-1-2)

Biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt và biến dạng hình học trong phần tử con  1 được xác định như sau:

     (2.96) trong đó, b i m  1 ,b b i  1 ,b s i  1 ,b G i  1 được tính tương tự như B m ,B B B b , s , G p trong phương pháp DSG3

Thay (2.91) vào các biểu thức (2.93) ~ (2.96) ta được:

Tương tự cho phần tử tam giác con   2 , 3

Theo [9], [26] ta có, trường biến dạng trơn trên phần tử tam giác được xác định như sau:

(2.112) trong đó,  e là hàm trơn thỏa mãn thuộc tính đơn vị d 1 e e

 Trong luận văn này sẽ sử dụng hàm trơn dạng Heaviside hằng  e như sau:

   (2.113) với A e là diện tích của phần tử tam giác  e

Khi đó, các hàm biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt và biến dạng hình học được viết lại như sau:

  (2.118) với B m là ma trận gradient biến dạng màng của phần tử trơn hóa

 (2.120) với B b là ma trận gradient biến dạng uốn của phần tử trơn hóa

 (2.122) với B s là ma trận gradient biến dạng trượt của phần tử trơn hóa

  (2.124) với B G là ma trận gradient biến dạng hình học của phần tử trơn hóa

Các ma trận độ cứng của tấm trong phương pháp CS-DSG3 là tổng các ma trận phần tử

Suy ra, phương trình cân bằng ổn định của tấm được xác định như sau:

Tối ưu hóa và giải thuật tiến hóa DE

2.5.1 Sơ lược về tối ưu hóa

Tối ưu hóa là một ngành khoa học được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật Trong thiết kế và chế tạo các sản phẩm, tối ưu hóa được ứng dụng trong việc đánh giá và so sánh các chỉ tiêu thiết kế của kết cấu nhằm lựa chọn các thông số tối ưu của thiết kế để sản phẩm được tạo thành làm việc bền vững và tiết kiệm chi phí sản xuất Hiện nay, có rất nhiều phương pháp để giải bài toán tối ưu hóa, và tập hợp các phương pháp này được các nhà khoa học phân thành hai nhóm phương pháp chính như sau:

+ Nhóm các phương pháp tìm kiếm trực tiếp: là nhóm các phương pháp tìm kiếm giá trị tối ưu dựa trên các quy luật tự nhiên như: quy luật di truyền, quy luật bầy đàn, quy luật sinh tồn, v.v Nhóm này bao gồm các phương pháp như: giải thuật di truyền GA (Genetic Algorithm), giải thuật tiến hóa khác biệt DE, giải thuật đàn kiến ACO (Ant Colony Optimization), giải thuật bầy đàn PSO (Particle Swarm optimization), v.v Với nhóm phương pháp này, do quá trình tìm kiếm không dựa trên thông tin giá trị của hàm mục tiêu và hàm ràng buộc nên có thể dùng được cho nhiều bài toán khác nhau bao gồm cả các bài toán có hàm mục tiêu là hàm phi tuyến hay hàm không liên tục và biến thiết kế là một tập hợp hoặc là các giá trị rời rạc Nhóm các phương pháp này cho phép ta xác định được nghiệm tối ưu toàn cục trên toàn bộ không gian thiết kế Tuy

41 nhiên, chi phi tính toán là khá lớn vì quá trình tìm kiếm phải được thực hiện trên toàn không gian thiết kế

+ Nhóm các phương pháp tìm kiếm gián tiếp: là nhóm các phương pháp tìm kiếm giá trị tối ưu dựa trên các khai triển toán học như: tính đạo hàm, xấp xỉ, giải phương trình, v.v Nhóm này bao gồm các phương pháp như: phương pháp Newton, phương pháp đường dốc nhất, giải thuật bình phương tuần tự SQP, v.v Với nhóm phương pháp này, do quá trình tìm kiếm là dựa trên thông tin đạo hàm của hàm mục tiêu và hàm ràng buộc nên quá trình tìm kiếm sẽ diễn ra nhanh hơn so với nhóm các phương pháp tìm kiếm trực tiếp Tuy nhiên, khi bài toán có độ phi tuyến cao và điểm xuất phát ban đầu không tốt thì nghiệm thu được có thể sẽ bị kẹt ở giá trị cực trị địa phương Hơn nữa, việc sử dụng các phương pháp này sẽ gặp nhiều khó khăn khi bài toán tối ưu có hàm mục tiêu hay hàm ràng buộc là các hàm không liên tục, và biến thiết kế là tập các giá trị rời rạc

Ngày nay, với sự phát triển không ngừng của khoa học, nhiều hệ thống máy tính có tốc độ xử lý cao đã ra đời và việc giải các bài toán có khối lượng tính toán nhiều trở nên dễ dàng hơn Với ưu điểm nổi trội của mình, gần đây nhóm các phương pháp tối ưu hóa tìm kiếm trực tiếp được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học trên thế giới và được phát triển rất mạnh Theo xu hướng đó, luận văn đề xuất và sử dụng giải thuật tiến hóa DE để giải bài toán tối ưu hóa cho tấm composite lớp với biến thiết kế là góc hướng sợi nhằm cực đại tải bất ổn định tới hạn mà tấm có thể chịu được

2.5.2 Giải thuật tiến hóa DE

Giải thuật tiến hóa DE là một giải thuật thuộc nhóm các phương pháp tìm kiếm trực tiếp, được đề xuất bởi Storn và Price vào năm 1996 [10] Ngày nay, giải thuật tiến hóa

DE được nhiều nhà khoa học nghiên cứu và ứng dụng cho nhiều loại bài toán tối ưu hóa ở nhiều lĩnh vực khác nhau [27], [28], v.v.Thuật toán giải thuật tiến hóa DE bao gồm 4 bước: tạo dân số ban đầu, đột biến, lai tạo, lựa chọn và được mô hình hóa như Hình 2.16

Hình 2.16 Sơ đồ giải thuật DE

 Bước 1: Tạo bộ dân số ban đầu

Dân số ban đầu trong DE là một tập hợp bao gồm N cá thể x i được được chọn ngẫu nhiên và được phân bố trên toàn không gian thiết kế Gọi x ij là thành phần thứ j của cá thể x i với j = 1,2,…D i = 1,2,…,N Trong đó, D được gọi là số biến thiết kế của bài toán tối ưu N là kích thước dân số Khi đó, bộ dân số được xác định là:

, 1, 2, , ; 1, 2, , 1, 2, , x i g  x x x j x D i N j  D (2.131) trong đó, g là số thế hệ (ở thế hệ đầu tiên g = 0)

Dựa vào không gian thiết kế, các cá thể trong một dân số được tạo ngẫu nhiên trong khoảng ràng buộc cận trên và cận dưới của không gian thiết kế bởi công thức sau

43 với, x j ,lb ,x j ,ub lần lượt là giá trị cận dưới và giá trị cận trên của biến thiết kế thứ j, hàm rand[0,1] là một hàm tạo số ngẫu nhiên trong đoạn [0,1]

Sau khi có được bộ dân số ban đầu, quá trình đột biến diễn ra Nó tạo ra những cá thể đột biến mới dựa trên bộ dân số đã được tạo ra ở bước 1 Trong DE, quá trình tạo ra cá thể đột biến có thể được thực hiện theo nhiều toán tử khác nhau Trong luận văn này, tác giả trình bày một số toán tử thường sử dụng phổ biến như: DE/rand/1, DE/ best/1, DE/ rand/2, DE/ best/2

+ DE/rand/1: ý tưởng của phương pháp này được thể hiện như sau (Hình 2.17)

 Chọn ngẫu nhiên hai cá thể

 Mỗi cá thể được biểu diễn như 1 véc tơ trong không gian biến thiết kế

 Khoảng cách giữa hai véc tơ được xác định là  x r g 2 , x r g 3 , 

 Véc tơ đột biến v i g , được xác định như sau: v i g , x r g 1 , F x r g 2 , x r g 3 ,  (2.133) trong đó,

 x r g 1 , là véc tơ được chọn ngẫu nhiên

 F là hệ số đột biến và thuộc khoảng [0,1]

 r r r 1 , , 2 3 là các số ngẫu nhiên, r r r 1, ,2 3 i1, 2, N  và r 1 r 2 r 3 i

Hình 2.17 Cơ chế tạo cá thể đột biến của giải thuật DE khi sử dụng toán tử đột biến

+ DE/best/1: ý tưởng của phương pháp là tương tự như DE/rand/1 Tuy nhiên, cá thể được chọn ngẫu nhiên

1 , x r g được thay thế bằng cá thể tốt nhất x best, g Khi đó, Véc tơ đột biến v i g , được xác định như sau: v i g , x best, g F x r g 1 , x r g 2 ,  (2.134) + DE/ rand/2: là phương pháp tạo ra các véc tơ đột biến từ hai cặp véc tơ khác biệt

 Chọn ngẫu nhiên bốn cá thể

 Mỗi cá thể được được biểu diễn như 1 véc tơ trong không gian biến thiết kế

 Khoảng cách giữa hai véc tơ được xác định là  x r g 2 , x r g 3 , ,  x r g 4 , x r g 5 , 

 Véc tơ đột biến v i g , được xác định như sau: v i g , x r g 1 , F x r g 2 , x r g 3 , F x r g 4 , x r g 5 ,  (2.135) trong đó,

 x r g 1 , là véc tơ được chọ ngẫu nhiên

 F là hệ số đột biến và thuộc khoảng [0,1]

 r r r r r 1 , , , , 2 3 4 5 là các số ngẫu nhiên, r r r 1, , ,, ,2 3 r r 4 5 i1, 2, N  và

+ DE/best/2: ý tưởng của phương pháp là tương tự như DE/rand/2 Tuy nhiên, cá thể được chọn ngẫu nhiên

1 , x r g được thay thế bằng cá thể tốt nhất x best, g Khi đó, Véc tơ đột biến v i g , được xác định như sau: v i g , x best, g F x r g 2 , x r g 3 , F x r g 3 , x r g 4 ,  (2.136)

Từ hình 2.17 , ta có nhận xét như sau:

 Khi F = 0: véctơ đột biến v i,g sẽ bằng một véctơ khác trong dân số là vé-tơ x r1,g

 Khi F = 1 thì véctơ đột biến v i,g sẽ bằng tổng của véctơ v r1,g với hiệu của hai véctơ x r2,g và x r3,g bất kỳ trong dân số

Như vậy, tham số F sẽ quyết định sự ảnh hưởng của 3 véc-tơ ngẫu nhiên x r1,g , x r2,g , x r3,g lên véc-tơ đột biến v i,g Hay nói cách khác, tham số F đóng vai trò kiểm soát

“độ dài của bước đột biến” và thường được chọn nằm trong khoảng [0.4, 0.95]

Quá trình lai tạo là sự kết hợp giữa các phần tử của véc tơ đột biến v và cá thể x Lai tạo cho phép ta tạo ra sự khác biệt lớn hơn cho mỗi cá thể trong không gian thiết kế nhằm tăng độ chính xác của lời giải tối ưu Véc tơ mới được tạo ra từ sự kết hợp giữa véc tơ đột biến v và cá thể x được gọi là véc tơ khử u và được xác định theo nguyên tắc sau:

, if [0,1] or , [1, ] otherwise ij g j rand rand ij g ij g v rand CR j j j D u x

 CR  [0, 1] là tham số điều khiển chéo hóa

 j rand là một số nguyên dương được tạo ngẫu nhiên trong khoảng [1, D] để đảm bảo rằng u ij g , không phải là bản sao của x ij g ,

Quá trình lai tạo được thể hiện chi tiết trong Hình 2.18

Hình 2.18 Quá trình lai tạo

Theo Hình 2.18, ta thấy rằng khi Rand(3)  CR, Rand(5)  CR, Rand(7)  CR thì phần tử thứ 3, 5 và 7 của véctơ ban đầu sẽ được thay thế bởi phần tử thứ 3, 5 và 7 của véctơ đột biến Với cách lai tạo này, DE sẽ đảm bảo véc-tơ mới được tạo luôn khác biệt so với véc-tơ ban đầu Quá trình này còn được gọi là quá trình tiến hóa của mỗi cá thể

Quá trình lựa chọn dân số cho thế hệ tiếp theo sẽ được thực hiện dựa vào giá trị hàm mục tiêu của cá thể đó trước khi lai tạo là f(x i g , ) và sau khi lai tạo là f(u i g , ) Nếu véc-tơ thử nghiệm u i g , cho giá trị hàm mục tiêu tốt hơn (nhỏ hơn) thì nó sẽ được lựa chọn, ngược lại, véc-tơ x i g , sẽ được chọn

 Sơ đồ giải thuật của DE

Dựa vào các bước xử lý ở trên, phương pháp DE có thể được trình bày ngắn gọn theo sơ đồ giải thuật như Hình 2.19:

Hình 2.19 Sơ đồ giải thuật DE.

Kết luận chương 2

Trên cơ sở lý thuyết phần tử tam giác 3-nút được làm trơn CS-DSG3 dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng bậc nhất (FSDT), luận văn đã xây dựng được thuật toán phân tích bất ổn định của tấm composite lớp chịu tải nén trong mặt phẳng (Mục 2.4) Ngoài ra, luận văn cũng tìm hiểu và đề xuất giải thuật cải tiến DE cho việc tối ưu hóa góc hướng sợi để tăng khả năng chịu tải bất ổn định cho tấm (Mục 2.5)

NGHIÊN CỨU CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ

Phân tích ứng xử bất ổn định của tấm composite lớp chịu tải nén trong mặt phẳng sử dụng phương pháp CS-DSG3

3.1.1 Khảo sát sự hội tụ của tải bất ổn định Để đánh giá tốc độ hội tụ cũng như độ ổn định của phương pháp CS-DSG3 cho bài toán phân tích bất ổn định của tấm composite, trong phần này, luận văn khảo sát sự hội tụ của giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm composite vuông 4 lớp [0/90/90/0] có biên tựa đơn, chịu tải nén đơn trục như Hình 3.1a Mô hình tấm được rời rạc bằng hệ lưới chia đều theo hai phương bao gồm (n×n×2) phần tử với 5 trường hợp: (6×6×2), (10×10×2), (12×12×2), (16×16×2) và (20×20×2) Giá trị tải bất ổn định tới hạn thu được bằng phương pháp CS-DSG3 tại từng điều kiện mức lưới, được so sánh với giá trị thu được bằng phương pháp MISQ24 của H Nguyen-Van và cộng sự [6] với mức lưới tương ứng Giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên cho các mức lưới khác nhau được thể hiện trong Bảng 1

Bảng 1 Giá trị tải bất ổn định không thứ nguyên của tấm composite vuông 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải nén đơn trục, a/h , E 1 /E 2 với hệ lưới chia đều

Từ kết quả ở bảng ta thấy, kết quả đạt được bởi phương pháp CS-DSG3 khá tương đồng với kết quả của tác giả H Nguyen-Van và cộng sự khi sử dụng MISQ24 Kết quả cũng cho thấy rằng, khi mức lưới càng tăng thì kết quả dần hội tụ và ổn định

Cụ thể là, sai lệch tương đối lớn nhất giữa hai phương pháp là 1.1359% khi hệ lưới (6x6) và sai lệch giảm dần đến mức 0.4129% khi hệ lưới là (20x20)

Hình 3.2 so sánh tốc độ hội tụ của phương pháp CS-DSG3 và phương pháp MISQ24 Kết quả so sánh cho thấy, khi số nút tăng lên tải tới hạn dần hội tụ và tốc độ hội tụ của CS-DSG3 nhanh hơn phương pháp MISQ24

Hình 3.2 Biểu đồ so sánh độ hội tụ tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên tấm composite vuông 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải nén đơn trục, a/h, E 1 /E 2 =20, hệ lưới rời rạc đều

Như vậy, dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích sự hội tụ của tải bất ổn định, có thể kết luận rằng phương pháp CS-DSG3 cho kết quả ổn định và đáng tin cậy

3.1.2 Phân tích ảnh hưởng của hệ số mô đun E 1 /E 2 Để đánh giá sự ảnh hưởng của hệ số mô đun vật liệu (E 1 /E 2 ) đến giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm composite, trong phần này luận văn khảo sát giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm composite vuông 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải nén đơn trục và tấm composite vuông 3 lớp [0/90/0] chịu tải hai trục, có biên tựa đơn như Hình 3.1 Mô hình tấm được rời rạc bằng hệ lưới chia đều theo hai phương bao gồm (n×n×2) phần tử với 5 trường hợp: (6×6×2), (10×10×2), (12×12×2), (16×16×2) và (20×20×2) Giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên thu được bằng phương pháp CS-DSG3 tại từng điều kiện mức lưới được so sánh với các kết quả của các phương pháp khác đã được công bố trước đó như MISQ20 của H Nguyen-Van và cộng sự [6], phương pháp phần tử hữu hạn của N D Phan và cộng sự [31], phương pháp lý thuyết đàn hồi 3D (3D-elasticity) của A K Noor [32], phương pháp tìm nghiệm chính xác của A A Khdeir và cộng sự [33], phương pháp không lưới của L Liu và cộng sự [34], phương pháp NS-DSG3 của C

H Thai và cộng sự [35] và phương pháp tìm nghiệm chính xác của M E Fares và cộng sự [36] Các giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên được thể hiện trong Bảng 2 và Bảng 3

Bảng 2 Ảnh hưởng của hệ số E 1 /E 2 đến giá trị tải tới hạn không thứ nguyên của tấm

Composite 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải đơn trục, có hệ số a/h =10

Bảng 3 Ảnh hưởng của hệ số E 1 /E 2 đến giá trị tải tới hạn không thứ nguyên của tấm

Composite 3 lớp [0/90/0] chịu tải hai trục , có hệ số a/h =10

Từ kết quả Bảng 2 và Bảng 3, ta có thể nhận thấy rằng kết quả thu được từ phương pháp CS-DSG3 là khá tương đồng so với các kết quả của các công bố [6], [31]–[36] và có sự sai lệch khá lớn so với kết quả CLPT [31] (Bảng 2) Điều này cho thấy lý thuyết tấm cổ điển CLPT [31] sẽ không còn phù hợp khi sử dụng để phân tích cho tấm dày Kết quả khảo sát ở bảng cũng chỉ ra rằng tỉ lệ mô đun đàn hồi E 1/ E 2 có ảnh hưởng lớn đến khả năng chịu tải bất ổn định của tấm composite lớp Cụ thể, khi tỉ lệ mô đun đàn hồi E 1 / E 2 càng tăng thì giá trị tải tới hạn không thứ nguyên càng tăng

Hình 3.3 và Hình 3.4 so sánh sự tương thích về kết quả của bài toán thu được từ phương pháp CS-DSG3 và các kết quả đã được công bố Ta thấy rằng phương pháp CS-DSG3 cho kết quả khá tương đồng với các nghiệm tham khảo

Hình 3.3 Biểu đồ so sánh sự tương thích của giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải đơn trục theo hệ số E 1 /E 2

Hình 3.4 Biểu đồ so sánh sự tương thích của giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm 3 lớp [0/90/0] chịu tải hai trục theo hệ số E 1 /E 2

Như vậy, dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích, ta có thể kết luận rằng tỉ lệ mô đun đàn hồi E 1/E 2 có ảnh hưởng lớn đến khả năng chịu tải bất ổn định của tấm

53 composite lớp Và từ sự so sánh các kết quả đạt được, ta cũng thấy rằng phương pháp CS-DSG3 cho kết quả phân tích đáng tin cậy

3.1.3 Phân tích ảnh hưởng của hệ số a/h Để đánh giá sự ảnh hưởng của hệ số chiều dài cạnh trên chiều dày tấm (a/h) đến giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm composite, trong phần này luận văn khảo sát giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm composite vuông 2 lớp [0/90], tấm composite vuông 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải nén đơn trục và tấm composite vuông 3 lớp [0/90/0] chịu tải hai trục, biên tựa đơn như Hình 3.1 Với điều kiện hệ số a/h thay đổi theo các mức 2, 5, 10,15, 20, 50 và 100, mô hình tấm được rời rạc bằng hệ lưới chia đều theo hai phương bao gồm (n×n×2) phần tử theo 5 trường hợp như mục 3.1.2 là (6×6×2), (8×8×2), (12×12×2), (16×16×2) và (20×20×2) Giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên thu được bằng phương pháp CS-DSG3 tại từng điều kiện mức lưới được so sánh với các kết quả của các phương pháp đã được công bố trước đó như: MISQ20 của H Nguyen-Van [6], phương pháp đẳng hình học trên cơ sở hàm NURBS, phương pháp NS-DSG3 của C

H Thai và cộng sự [7],[35], lý thuyết biến dạng của A A Khdeir và cộng sự [33] và phương pháp không lưới của L Liu và cộng sự [34] Các giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên được thể hiện trong Bảng 4 và Bảng 5

Bảng 4 Ảnh hưởng của hệ số a /h đến giá trị tải tới hạn không thứ nguyên của tấm tấm composite vuông 2 lớp [0  /90  ] và tấm composite vuông 4 lớp [0  /90  /90  /0  ] chịu tải nén đơn trục có hệ số E 1 /E 2@ với các biên tựa đơn

Số lớp Phương pháp Mức lưới a/h

Cubic 11.097 12.4301 12.8724 12.9415 Quartic 11.0966 12.4294 12.8631 12.9389 MISQ20 [6] 11.169 12.520 12.967 13.033 FSDT(NS-

Cubic 23.1328 31.5511 35.3288 35.9566 Quartic 23.1322 31.5498 35.3258 35.9499 MISQ20 [6] 23.236 31.747 35.561 36.190 FSDT(NS-

Tối ưu góc hướng sợi nhằm cực đại tải bất ổn định cho tấm composite

Trong phần này, luận văn sử dụng giải thuật tiến hóa DE để xác định góc hướng sợi tối ưu của các tấm composite vuông 2 lớp, 4 lớp, 10 lớp chịu tải đơn trục như Hình 3.1a và tấm composite 3 lớp chịu tải hai trục có biên tựa đơn như Hình 3.1b, nhằm xác định giá trị cực đại tải tới hạn bất ổn định không thứ nguyên cho tấm Các thông số vật liệu được cho như sau: E 1 = 40, E 2 = 1; G 12=0.6, G 13=0.6, G 23=0.5,  12 0.25 ,

  , a/h = 10 Kết quả thu được sau khi phân tích tối ưu bằng giải thuật

DE được so sánh với kết quả trước tối ưu của mô hình tấm 2 lớp [0/90], 4 lớp

10-lop [0/  ]5SSSSSSFSSSCCSSFFSSFC

[0/90/90/0] và 10 lớp [0/]5 chịu tải đơn trục và tấp composite 3 lớp [0/90/0] chịu tải 2 trục Kết quả thu được của các bài toán này được trình bày ở Bảng 9

Bảng 9 Tối ưu hóa góc hướng sợi tấm composite vuông tựa đơn, chịu tải đơn trục và 2 trục (E 1 /E 2 @, a/h = 10), 20×20

Thiết kế truyền thống Thiết kế tối ưu

Góc ( o ) Tải tới hạn Góc ( o ) Tải tới hạn

Thời gian tính toán (giây)

Các kết quả thu được ở Bảng 9 cho thấy, giá trị tải bất ổn định tới hạn không thứ nguyên của tấm sau khi tối ưu là tốt hơn so với trước khi tối ưu Cụ thể là:

+ Với tấm 2 lớp [0/90] giá trị tải bất ổn định thu được bằng phương pháp CS-DSG3 là 11.1932 (Bảng 4), sau khi phân tích tối ưu bằng giải thuật DE giá trị thu được là 22.5539 tăng 101.5% so với thiết kế ban đầu

+ Với tấm 3 lớp [0/90/0] giá trị tải bất ổn định thu được bằng phương pháp CS- DSG3 là 9.9569 (Bảng 5), sau khi phân tích tối ưu bằng giải thuật DE giá trị thu được là 12.0735 tăng 21.2% so với thiết kế ban đầu

+ Với tấm 4 lớp [0/90/90/0] giá trị tải bất ổn định thu được bằng phương pháp CS- DSG3 là 23.1455 (Bảng 2), sau khi phân tích tối ưu bằng giải thuật DE giá trị thu được là 30.1211 tăng 30% so với thiết kế ban đầu

+ Và với tấm 10 lớp [0/90]5 giá trị tải bất ổn định thu được bằng phương pháp CS- DSG3 là 25.1742 (Bảng 4), sau khi phân tích tối ưu bằng giải thuật DE giá trị thu được là 37.5271 tăng 49% so với thiết kế ban đầu

Như vậy, dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích tối ưu góc hướng sợi bằng giải thuật DE nhằm cực đại giá trị tải bất ổn định thông qua việc khảo sát tấm composite vuông 2 lớp, 4 lớp, 10 lớp chịu tải đơn trục và tấm composite 3 lớp chịu tải

2 trục có biên tựa đơn Ta có thể kết luận rằng, việc tối ưu các góc hướng sợi là cần thiết trong quá trình tính toán, thiết kế và chế tạo Kết quả này giúp các kỹ sư thiết kế có thể lựa chọn cho mình những phương án thiết kế tối ưu nhất để tăng khả năng chịu tải cho tấm composite lớp trong quá trình sử dụng

Kết luận chương 3

Trên cơ sở thuật toán được luận văn xây dựng ở chương 2, một số bài toán cụ thể được khảo sát và so sánh đánh giá kết quả nhằm kiểm chứng độ tin cậy của thuật toán Các kết quả chính đạt được trong chương này là:

+ Dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích sự hội tụ của tải bất ổn định, có thể kết luận rằng thuật toán mà luận văn đang sử dụng cho kết quả ổn định và đáng tin cậy (Mục 3.1.1)

+ Dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích sự ảnh hưởng của tỉ lệ mô đun đàn hồi

E 1/E 2 đến khả năng chịu tải bất ổn định, có thể kết luận rằng hệ số E 1/E 2 có sự ảnh hưởng lớn đến giá trị tải bất ổn định của tấm, cần được xem xét trong quá trình thiết kế và chế tạo các kết cấu composite (Mục 3.1.2)

+ Dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích sự ảnh hưởng của hệ số chiều dài cạnh trên chiều dày vật liệu (a/h) đến tải bất ổn định, có thể kết luận rằng hệ cố a/h có sự ảnh hưởng lớn đến giá trị tải bất ổn định của tấm, cần được xem xét trong quá trình thiết kế và chế tạo các kết cấu composite (Mục 3.1.3)

+ Dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích sự ảnh hưởng của các điều kiện biên khác nhau đến giá trị tải bất ổn định, có thể kết luận rằng điều kiện biên của kết cấu tấm composite có ảnh hưởng lớn đến giá trị tải bất ổn định, cần được xem xét trong quá trình thiết kế và chế tạo các kết cấu composite (Mục 3.1.4)

+ Dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích sự ảnh hưởng của hệ số giữa chiều rộng và chiều dài tấm đến giá trị tải bất ổn định, ta có thể kết luận rằng, hệ số giữa chiều rộng và chiều dài tấm có ảnh hưởng lớn đến đến giá trị tải bất ổn định tấm và cần được xem xét trong quá trình thiết kế chế tạo (Mục 3.1.5)

+ Dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích sự ảnh hưởng của góc hướng sợi đến giá trị tải bất ổn định, ta có thể kết luận rằng, sự thay đổi góc hướng sợi cũng có ảnh hưởng nhất định đến đến giá trị tải bất ổn định của tấm và cần được xem xét trong quá trình nghiên cứu, thiết kế chế tạo (Mục 3.1.6)

+ Dựa vào kết quả đạt được từ việc phân tích tối ưu góc hướng sợi bằng giải thuật

DE, ta có thể kết luận rằng, việc tối ưu các góc hướng sợi là cần thiết trong quá trình tính toán, thiết kế và chế tạo (Mục 3.2)