Một số tính chất tô pô của hệ Động lực

Một số tính chất tô pô của hệ động lực được tổng hợp khái quát chi tiết giúp rẽ hiểu được đặc điểm chất của tô pô của hệ động lực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI KH&CN

CẤP ĐẠI HỌC QUỐC GIA

Đề tài: MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔ PÔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

Mã số đề tài: QG.15.01

Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Huy Tiễn

Hà Nội, 2020

PHẦN I THÔNG TIN CHUNG 1.1 Tên đề tài: Một số tính chất tô pô của hệ động lực 1.2 Mã số: QG.15.01

1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực hiện đề tài TT Chức danh, học vị, họ và tên Đơn vị công tác Vai trò thực hiện đề tài

1 TS Lê Huy Tiễn Trường ĐHKHTN Chủ nhiệm đề tài

1.4 Đơn vị chủ trì: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên 1.5 Thời gian thực hiện:

1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 02 năm 2015 đến tháng 02 năm 2017 1.5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng 10 năm 2019

1.5.3 Thực hiện thực tế: từ tháng 02 năm 2015 đến tháng 03 năm 2020

1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có):

(Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết quả nghiên cứu và tổ chức thực hiện; Nguyên nhân;

Ý kiến của Cơ quan quản lý)

1.7 Tổng kinh phí được phê duyệt của đề tài: 200 triệu đồng PHẦN II TỔNG QUAN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Viết theo cấu trúc một bài báo khoa học tổng quan từ 6-15 trang (báo cáo này sẽ được đăng trên tạp chí khoa học ĐHQGHN sau khi đề tài được nghiệm thu), nội dung gồm các phần:

1 Đặt vấn đề

Nhiều tính chất quan trọng của hệ động lực trên đa tạp compact có thể được đặc trưng thông qua các tính chất tô pô, chẳng hạn tập các hệ hypebolic trên toàn cục chính là phần trong của tập các hệ có tính co giãn

Chúng ta đã biết rằng nhiều kết quả của hệ động lực trên đa tạp compact không còn đúng với các hệ động lực sinh bởi phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình động lực trên thang thời gian trong không gian Euclide hữu hạn chiều Điều này phần lớn do tính compact và tính tuyến tính của không gian pha

Các kết quả đã biết trong hệ động lực tổng quát hầu hết đề cập đến hệ ô – tô – nôm Khi làm việc với các hệ động lực trên thang thời gian, do tính không thuần nhất của thang thời gian nên dù hệ số có không phụ thuộc thời gian thì động lực của hệ vẫn mang tính chất của hệ không ô – tô – nôm

2 Mục tiêu

Chúng tôi làm rõ những tính chất tô pô nào (trong các tính chất sau đây: tính bóng, tính co dãn, tính ổn định tô pô, tính tách tích phân, …) có thể đặc trưng cho tính hyperbolic, tính khả quy, tính chính quy, tính ổn định cấu trúc, …

3 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết bài toán, chúng tôi sử dụng phương pháp hợp nhất hệ động lực rời rạc và liên tục Theo cách này, nhiều ý tưởng của động lực thang thời gian sẽ hữu ích cho bài toán đang xét

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng dùng các kĩ thuật của phương trình vi phân/ sai phân không ô – tô – nôm, kết hợp với các kỹ thuật của hệ ô – tô – nôm trên đa tạp compact

4 Tổng kết kết quả nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã đứng minh được phiên bản suy rộng của định lí Perron, cái mà dùng để chứng minh sự tương đương giữa tính chất Fredholm của toán tử liên kết và tính nhị phân mũ Trong trường hợp đặc biệt, kết quả về tính nhị phân mũ của phương trình vi phân với ma trận hệ số là tam giác trên được chúng tôi đặc trưng thông qua hệ đường chéo

Bên cạnh đó, chúng tôi định nghĩ tính dãn suy rộng của hệ động lực tô pô (được gọi là tính dãn yếu – mild expansive) Kết quả thu được với tính chất dãn yếu là phiên bản tô pô cho định lí phân tích phổ của Smale và Bowen Hơn nữa, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định tô pô của đồng phôi dãn yếu và đặc trưng các đồng phôi dãn yếu trên đa tạp trơn compact bằng việc sử dụng tính chất -ổn định

Cuối cùng, chúng tôi đưa ra ví dụ về đồng phôi thỏa mãn tính chất n-dãn nhưng không là (n-1) dãn, và các đồng phôi đó không là dãn yếu

5 Đánh giá về các kết quả đã đạt được và kết luận

Định lí kiểu Perron và tính dãn của hệ động lực là tính chất quan trong trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của quỹ đạo Việc nghiên cứu chúng có vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu tính chất nghiệm của phương trình vi phân thường và cho các hệ động lực trừu tượng khác Đề tài đã thu được một số kết quả hay và hấp dẫn về tính chất suy rộng của các khái niệm trên Những kết quả đó là mới và đã được đăng trên các tạp chí uy tín quốc tế

6 Tóm tắt kết quả (tiếng Việt và tiếng Anh) Tiếng việt

Xét phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian cùng với graininess bị chặn, chúng tôi giới thiệu khái niệm toán tử liên kết với hệ tuyến tính trên thang thời gian Mục đích của nghiên cứu này là đặc trưng tính nhị phân mũ theo tính chất Fredholm của toán tử liên kết Cụ thể, chúng tôi sử dụng phương pháp Perron, cái mà là suy rộng trên thang thang thời gian bởi J Zhang, M Fan, H Zhu, để chỉ ra rằng nếu toán tử liên kết là nửa Fredholm thì phương trình không ô – tô – nôm tuyến tính có nhị phân mũ trên cả  và



 Hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra chiều ngược lại của định lí rằng nếu hệ tuyến tính có nhị phân mũ trên cả  và  thì toán tử liên kết là Fredholm on  Cụ thể, ta có kết quả chính dưới đây

Cho hệ

( )

x A t x (1) Với A t( ) là rd – liên tục, bị chặn và regressive trên thang thời gian  Giả sử rằng toán tử liên kết L của phương trình là nửa Fredholm Khi đó

(i) Khi J   hoặc  thì phương trình có nhị phân mũ trên J, (ii) Khi J  thì phương trình có nhị phân mũ trên cả  ,

Chiều ngược lại, ta giả sử rằng (1) có nhị phân mũ trên cả  và  Khi đó,

(i) fR L( ) nếu và chỉ nếu

*

* *eA( ( ), 0) ( )f 0, F,

     



(ii) Toán tử liên kết L là Fredholm trên  Tiếp theo, chúng tôi định nghĩa kiểu khác của tính dãn, gọi là tính dãn yếu cho đồng phôi trên không gian metric compact Ý tưởng của tính dãn trong hệ động lực được đề xuất vào giữa thế kỉ thứ 20 và đống vai trò quan trọng trong nghiên cứu định tính của hệ động lực Nói nôm na, hệ động lực được gọi là dãn nếu hai quỹ đạo bất kì của chúng không thể gần nhau dưới tác động của hệ động lực Câu hỏi đặt ra là thế nào là tính chất dãn yếu? Đồng phôi f trên không gian metric compact X được gọi là dãn yếu nếu tồn tại  0 sao cho

Ta nhắc lại rằng đồng phôi f là n-dãn (n ) [tương ứng với dãn đếm được] nếu tồn tại số  0 sao cho với bất kì x X , hình cầu động lực ( )x chứa nhiều nhất n phần tử [tương ứng với đếm được các phần tử] của X Chúng ta quan sát rằng tính dãn yếu thì không dẫn đến tính n-dãn, dãn đếm được hay continuum-wise dãn

Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra rằng đồng phôi north pole-south pole trên đường tròn đơn vị không là n-dãn, dãn đếm được hay continuum-wise dãn với bất kì n Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng đồng phôi n-dãn, cái mà không phải dãn yếu như ví dụ dưới đây

Ví dụ Cho 2 là không gian các dãy ( )xi i trên 2 kí tự 0và 1 cùng với metric

0

1ifmax{: for all | |},( , ) 2

Trong đó, x( ) , ( )xi i y yi i 2 Lấy  là ánh xạ dịch chuyển trên 2 được cho bởi

( ( )) xi xi, x ( )xi i .Được biết rằng  là đồng phôi dãn trên 2 Với mỗi n , ta chọn điểm pn2 với chu kì n, và cho ( )n



xf xq

Định lí 1 Cho f là đồng phôi trên đa tạp compact M cùng dimM 2 Nếu f là ổn định tô pô yếu, thì nó có tính chất bóng

Định lí 2 Cho f là đồng phôi trên không gian metric compact X Giả sử rằng f là dãn yếu trên tập chain recurrent CR f( ) và có tính chất bóng trên CR f( ) Khi đó, tồn tại phân tích của ( )f thành các tập đóng rời nhay, ( )f     1  n, sao cho

(a) Mỗi i là bất biến và f hạn chế trên i là topologically transitive, (b) Có phân tích của i thành các tập đóng rời nhau 1, ,

Định lí 3 Bất kì đồng phôi dãn yếu, C1 ổn định f của đa tạp trơn, compact là -ổn định

Cuối cùng, để đưa ra ví dụ về hệ động lực cùng tính chất tính chất dãn, chúng tôi thảo luận về hệ động lực là đồng phôi n dãn cùng tính chất bóng xác định trên không gian metric compact trong trường hợp liên tục Với mọi n , chúng tôi đưa ra đồng phôi n dãn nhưng không là n-1 dãn Hơn nữa, dòng như thế có tính chất bóng và thừa nhận vô hạn lớp chain-recurrent

Tiếng anh:

For time-varying non-regressive linear dynamic equations on a time scale with bounded graininess, we introduce the concept of the associative operator with linear systems on time

scales The purpose of this research is the characterizations of the exponential dichotomy is obtained in terms of Fredholm property of that associative operator Particularly, we use Perron's method, which was generalized on time scales by J Zhang, M Fan, H Zhu, to show that if the associative operator is semi - Fredholm then the corresponding linear nonautonomous equation has an exponential dichotomy on both  and  Moreover, we also give the converse result that the linear systems has an exponential dichotomy on both

(i) When J  or  then equation has exponential dichotomy on J , (ii) When J   then equation has exponential dichotomy on both  ,

Conversely, we assume that the system (1) has an exponential dichotomy on both 

and  Then (i) fR L( ) if and only if

*

* *eA( ( ), 0) ( )f 0, F,

     



(ii) The associative operator L is Fredholm on  Next, we introduce another type of expansiveness, called mild expansiveness, for homeomorphisms on compact metric spaces The idea of expansivity in dynamical systems was introduced in the middle of the twenty century, and has played an important role in the qualitative study of dynamical systems Roughly speaking, a system is expansive if two orbits cannot remain close to each other under the action of the system How about the mild expansive property? A homeomorphism f on a compact metric space X is said to be mild expansive if there is  0 such that

lim diam( n( )) 0,,

Where diamA sup{ ( , ) : , d x y x y A } Here   0 is called a mild expansive constant of

f Note that (f xn( )) fn(( ))x for any x X and n We can easily see that the notion of mild expansiveness for homeomorphisms on a compact metric space X does not depend on the choice of metrics on X Moreover we know that the notion of mild expansiveness is strictly weaker than that of expansiveness In fact, the north pole-south pole homeomorphism on the unit circle is mild expansive, but it is not expansive

We recall that a homeomorphism f is n-expansive} (n ) [resp countably expansive] if there is  0 such that for any x X , the dynamical ball ( )x contains at most n elements [resp countable elements] of X A homeomorphism f is continuum-wise expansive if there is  0 such that if A is a continuum contained in ( )x for some x X ,

then A is a singleton We observe that mild expansiveness does not imply n-expansiveness, countable expansiveness or continuum-wise expansiveness

Indeed, it is easy to check that the north pole-south pole homeomorphism on the unit circle is not n-expansive, countably expansive, continuum-wise expansive for any n However we can construct n-expansive homeomorphisms which are not mild expansive as we can see in the following example

Example Let 2 be the space of sequences ( )xi i on two symbols 0and $1$ with the metric

0

1ifmax{: for all | |},( , )2

Where x( ) , ( )xi i y yi i 2 Let  be the shift map on 2 given by

( ( )) xi xi, x ( )xi i .It is well known that  is an expansive homeomorphism on 2 For each n , choose a point pn2 with the period n, and let ( )n





xf xq

smooth manifolds using the notion of Ω-stability More particular, we have the following theorems

Theorem 1 Let f be a homeomorphism of a compact manifold M with dimM 2 If

f is mild topologically stable, then it has the shadowing property Theorem 2 Let f be a homeomorphism on a compact metric space X Suppose that f

is mild expansive on its chain recurrent set CR f( ) and has the shadowing property on

Theorem 3 Any C1 stably mild expansive diffeomorphism f of a compact smooth manifold is -stable

Finally, in order to show the example about the dynamical system with expansive property, we discuss the dynamics of n-expansive homeomorphisms with the shadowing property defined on compact metric spaces in continuous case For every n , we exhibit an n-expansive homeomorphism but not (n-1)-expansive Furthermore, that flow has the shadowing property and admits an infinite number of chain-recurrent classes

PHẦN III SẢN PHẨM, CÔNG BỐ VÀ KẾT QUẢ ĐÀO TẠO CỦA ĐỀ TÀI 3.1 Kết quả nghiên cứu

TT Tên sản phẩm Yêu cầu khoa học hoặc/và chỉ tiêu kinh tế - kỹ thuật

Mathematics, 10, 39-50, 2019.

2 Tính co giãn suy rộng của hệ động lực và quan hẹ với tính nhị phân mũ

Nghiên cứu được quan hệ tính co giãn, co giãn suy rộng và nhị phân mũ

Kết quả được thể hiện trong bài báo:

Le Huy Tien, Keonhee Lee, Nguyen Ngọc Thach, Spectral decomposition and Stability of Mild expansive system, Topological Methods in Nonlinear Analysis, đã nhận đăng 3 Xây dựng ví dụ và thử nghiệm

số bài toán

Xây dựng được ví dụ và thử nghiệm số bài toán

Kết quả được thể hiện trong bài báo:

Le Huy Tien and Le Duc Nhien, N-expansive property for flows, Journal of Applied Mathematics and Physics, 7, 410-417, 2019

3.2 Hình thức, cấp độ công bố kết quả

TT Sản phẩm

Tình trạng

(Đã in/ chấp nhận in/ đã nộp đơn/ đã được chấp nhận đơn hợp lệ/ đã được cấp giấy xác

nhận SHTT/ xác nhận sử dụng sản phẩm)

Ghi địa chỉ và cảm ơn sự tài trợ

của ĐHQGHN

đúng quy định

Đánh giá chung

(Đạt, không

2.1 2.2 3 Đăng ký sở hữu trí tuệ 3.1

3.1 4 Bài báo quốc tế không thuộc hệ thống ISI/Scopus 4.1 Le Huy Tien, Le Duc Nhien,

Exponential Dichotomies and Fredholm Operators of Dynamic Equations on Time Scales, Applied Mathematics, 10, 39-50, 2019.

4.2 Le Huy Tien and Le Duc Nhien, N-expansive property for flows, Journal of Applied Mathematics and Physics, 7, 410-417, 2019.

5 Báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc tế 5.1 Vietnam-Korea Joint Workshop on

Dynamical Systems and Related Topic, Korea, 2016

5.2 Workshop on Mathematics and Related Topics, Da nang, Viet Nam, 2017

6 Báo cáo khoa học kiến nghị, tư vấn chính sách theo đặt hàng của đơn vị sử dụng 6.1

6.2 7 Kết quả dự kiến được ứng dụng tại các cơ quan hoạch định chính sách hoặc cơ sở

ứng dụng KH&CN 7.1

7.2

Ghi chú:

- Cột sản phẩm khoa học công nghệ: Liệt kê các thông tin các sản phẩm KHCN theo thứ tự <tên tác giả, tên công trình, tên tạp chí/nhà xuất bản, số phát hành, năm phát hành, trang đăng công trình, mã công trình đăng tạp chí/sách chuyên khảo (DOI), loại tạp chí ISI/Scopus>

- Các ấn phẩm khoa học (bài báo, báo cáo KH, sách chuyên khảo…) chỉ được chấp nhận nếu có ghi nhận địa chỉ và cảm ơn tài trợ của ĐHQGHN theo đúng quy định

- Bản phô tô toàn văn các ấn phẩm này phải đưa vào phụ lục các minh chứng của báo cáo Riêng sách chuyên khảo cần có bản phô tô bìa, trang đầu và trang cuối có ghi thông tin mã số xuất bản

3.3 Kết quả đào tạo

TT Họ và tên

Thời gian và kinh phí tham

nhận bằng ThS Cử nhân

- Cột công trình công bố ghi như mục III.1

PHẦN IV TỔNG HỢP KẾT QUẢ CÁC SẢN PHẨM KH&CN VÀ ĐÀO TẠO CỦA ĐỀ TÀI TT Sản phẩm Số lượng

đăng ký Số lượng đã hoàn thành

1 Bài báo công bố trên tạp chí khoa học quốc tế theo hệ thống ISI/Scopus

01 01 2 Sách chuyên khảo được xuất bản hoặc ký hợp đồng xuất

4 Bài báo quốc tế không thuộc hệ thống ISI/Scopus 00 02 5 Số lượng bài báo trên các tạp chí khoa học của ĐHQGHN,

tạp chí khoa học chuyên ngành quốc gia hoặc báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc tế

6 Báo cáo khoa học kiến nghị, tư vấn chính sách theo đặt hàng của đơn vị sử dụng

00 00 7 Kết quả dự kiến được ứng dụng tại các cơ quan hoạch định

(triệu đồng)

Kinh phí thực hiện

(triệu đồng) Ghi chú