Lược Đồ young

Là một lược đồ được dùng nhiều trong các bài bất đẳng thức đồng bậc đối xứng trong phương pháp muirhead để đánh giá trội hơn, phương pháp được đánh giá là thể hiện tốt trong các bất đẳng thức đối xứng hơn những phương pháp mạnh khác như SOS; dồn biến, EV,...

Lược đồ Young

Trương Phước Nhân, 13/02/2018

Một phân hoạch λ của số nguyên n0 là một dãy λλ λ1, 2,  các số nguyên λi 0 thỏa λ1λ2  và

 , do đóλi bằng không hầu khắp nơi Mỗi số hạng λi 0 được gọi là một phần của λ Nếu λ là

một phân hoạch của n thì ta kí hiệu λn hoặc λ n

Cho trước các số nguyên dương m và n , đặt L m n ,  là tập tất cả các phân hoạch với tối đa m phần và có phần lớn nhất tối đa là n Nếu λλ λ1, 2,  và μμ μ1, 2,  là các phân hoạch thì ta kí hiệu λ μ nếu

λ μ với mọi i , điều này sẽ làm cho tập các phần hoạch trở thành một poset mà ta kí hiệu là Y và ta

thường gọi là lưới Young Quan hệ thứ tự trên Y khi thu hẹp trên L m n ,  sẽ làm cho poset này có một số tính chất rất thú vị Có một cách hình dung rất độc đáo các phân hoạch và poset L m n ,  như sau :

Lược đồ Young của một phân hoạch λ là một mảng ô vuông, với λi ô vuông ở hàng thứ i

Ví dụ: Lược đồ Young của 4,3,1,1là :

Kết quả 1: L m n ,  có hạng đối xứng và hạng mn Hạng của phân hoạch λ là λ ( tổng tất cả các phần của phân hoạch λ hay nói cách khác là số các ô vuông của lược đồ Young)

Chứng minh: Nhận thấy rằng tất cả các khẳng định đều có thể được kiểm tra một cách khá dễ dàng ngoại

trừ việc L m n ,  có hạng đối xứng Để chỉ ra tính chất hạng đối xứng, ta xem xét phân bù λ của λ trong hình chữ nhật R kích thước m n , nghĩa là tất cả các ô vuông của bảng R ngoại trừ các ô vuông của phân hoạch λ, chú ý rằng λ không chỉ phụ thuộc vào λ mà còn phụ thuộc vào m và n

Ví dụ trong poset L 4,5 , phần bù của 4,3,1,1 có dạng :

Nếu ta xoay λ một góc 0

180 thì ta thu được lược đồ của một phân hoạch λ L m n  ,  thỏa mãn

λ  λmn Sự tương ứng giữa λ và λ mà ta vừa xây dựng chỉ ra rằng L m n ,  có hạng đối xứng

Kết quả 2:  , 

m nL m n

chữ nhật R kích thước m n với một dãy kí hiệu như đã nêu như sau: Bắt đầu ở góc dưới bên tay trái của

R, đi dọc trên biên ở hướng đông nam của lược đồ Young cho đến, kết thúc ở góc trên bên tay phải của R Điều này được thực hiện bằng một dãy các bước đi đơn vị và tại mỗi bước ta bước đi về phía bắc hoặc phía đông Ta ghi lại dãy các bước đi, sử dụng kí hiệu N để chỉ bước đi theo hướng bắc và E để chỉ bước đi theo hướng đông

Ví dụ : Cho m5,n6,λ4,3,1,1, thì R và D cho bởi :

Khi đó dãy tương ứng của chúng ta là NENNEENENEE

Dễ dàng nhận thấy rằng phép xây dựng mà ta vừa chỉ ra là một song ánh giữa lược đồ Young D đặt trong

hình chữ nhật R kích thước m n với dãy m n kí hiệu N và E sao cho có chính xác m kí hiệu N Như vậy, tổng số lược đồ Young phân biệt là mmn

rằng j là một đa thức theo q có giá trị tại qq1 bằng j ,  jq1  j Tiếp theo, ta đặt        jq! 1q 2 qjq

với j1 và ta quy ước  0 ! 1q  Sau cùng với k  j 0, ta đặt    

 

  

  được

gọi là q - hệ số nhị thức ( hay còn được gọi là hệ số Gauss) (trong bài viết “Dàn các không gian con và q –

analogue” ta có giải thích một cách sơ lược các ý nghĩa tổ hợp của các biểu thức trên khi q là số nguyên tố)

Ta cần bổ đề sau về các mối liên hệ của

  

  để phục vụ cho các phép chứng minh, trong bài viết “Dàn các

không gian con và q – analogue” ta đã dùng các lập luận tổ hợp để chỉ ra tính đúng đắn của các hệ thức

trên , bằng phương pháp biến đổi đại số

Bổ đề: 1 1

1

    

Gọi p L m ni  ,  , hay ngắn gọn hơn chỉ là p m ni , , là số các phần tử của poset L m n , có hạng i Một

cách tương đương, p m ni ,  là số các phân hoạch của i với phần lớn nhất tối đa là n và có tối đa m phần, hoặc nếu ta diễn đạt một cách khác đi là số các lược đồ Young phân biệt với i ô vuông trong hình chữ nhật kích thước m n

m np m n q

 Ta sẽ chỉ ra rằng : P 0, 0 1 và P m n , 0 nếu m0 hoặc n0 (*) P m n , P m n ,  1 q P mn  1,n (**)

Chú ý rằng các hệ thức (*) và (**) hoàn toàn xác định P m n ,  Mặt khác, bằng cách đặt k m n và

jm vào các hệ thức trong bổ đề , ta nhận thấy rằng

m nm

 ; đồng thời L m n ,  rỗng nếu như m0 hoặc n0

Đối với hệ thức (**) ta nhận ra ngay rằng mấu chốt của vấn đề ở đây là chỉ ra tính đúng đắn của hệ thức, bằng cách đồng nhất hệ số của q ở hai vế, ip m ni ,  p m ni ,  1 pi n m1,n

Thật vậy, xét một phân hoạch λi có lược đồ Young D đặt trong một hình chữ nhật R kích thước m n Nếu D không chứa ô trên cùng bên phải của R thì D được đặt vào một hình chữ nhật kích thước

 1

m n , do đó ta có p m ni , 1 phân hoạch λ Mặt khác, nếu D chứa ô trên cùng bên phải của hình chữ nhật R thì D sẽ chứa hàng đầu tiên của R Khi ta xóa đi hàng đầu tiên của R ta sẽ thu được một lược đồ Young có kích thước in được đặt trong một hình chữ nhật kích thước m 1 n, trong trường hợp này ta có p m1,n phân hoạch λ Từ hai phân tích trên ta suy ra : p m n ,  p m n ,  1 p m1,n

Lưu ý: Bằng cách đặt q1 trong kết quả vừa chứng minh ta suy ra rằng  , 

m nL m n

Tài liệu tham khảo:

[1] Richard P Stanley, Topics in algebraic combinatorics, ??/02/2013

[2] Trương Phước Nhân, Dàn các không gian con và q – analogue, 26/08/2017

[3] Trương Phước Nhân, Chứng minh định lý Sperncer bằng công cụ đại số tuyến tính, 14/02/2018