chủ đề 23 bí quyết tìm tập hợp biểu diễn số phức

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đườngthẳng có phương trình nào sau đây?. Để điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độOxy nằm hẳn bên trong hình trò

CHỦ ĐỀ 23 BÍ QUYẾT TÌM TẬP HỢP BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Hệ trục tọa độ thực ảo

Hệ trục thực ảo gồm có 2 trục vuông góc với nhau: Trục nằm ngang là trục thực, trục đứng dọc là trục ảo

Số phức z a bi  khi biểu diễn trên hệ trục thực ảo là điểm M a b ; 

Môđun của số phức z a bi  là độ lớn của vecto OM

2 Phương pháp tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

Bài toán quỹ tích luôn đi lên từ định nghĩa Ta luôn đặt z a bi  , biểu diễn số phức theo yêu cầu đề bài,

từ đó khử i và thu về một hệ thức mới:

Nếu hệ thức có dạng Ax By C  0 thì tập hợp điểm là đường thẳng

Nếu hệ thức có dạng x a 2y b 2 R2 thì tập hợp điểm là đường tròn tâm I a b bán kính R ;  Nếu hệ thức có dạng

2 2

2 2 1

x y

a b  thì tập hợp điểm có dạng một Elip

Nếu hệ thức có dạng

2 2

2 2 1

x y

a  b  thì tập hợp điểm là một Hyperbol

Nếu hệ thức có dạng 2

yAx Bx C thì tập hợp điểm là một Parabol

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – Lần 3 – Năm 2017): Tìm tập hợp điểm biểu diễn số

phức z thỏa mãn z 2 i 3

A Đường tròn tâm I2; 1 , bán kính R 1 B Đường tròn tâm I  2;1, bán kính R  3.

C Đường tròn tâm I1; 2 , bán kính R 3 D Đường tròn tâm I  2;1, bán kính R 3.

Giải

Gọi z x yi x y R  ,   Trên hệ trục tọa độ thực ảo, điểm biểu diễn số phức z là M x y Thế vào hệ ;  thức điều kiện ta có: x 2 y1i 3

x 22 y 12 3 x 22 y 12 32

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I2; 1  bán kính R 3

=> Chọn D

Mở rộng

x22y12 3 thì tập hợp điểm M là miền trong của hình tròn I R ; 

Ví dụ 2 (Sở GD–ĐT TP Hồ Chí Minh – Cụm 5 – Năm 2017): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

3 z 3 1 5i  Tập hợp điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng Tính diện tích S của hình

phẳng đó

Gọi số phức z x yi x y R  ,   và có điểm biểu diễn là M

Khi đó 3 z 3 1 5i   3  x 1 y 3i 5

 2  2  2  2

     



 



Vậy tập hợp các điểm M giữa 2 đường tròn  I và  II (*)

Đường tròn  I có tâm I  1;3 và bán kính R1 3 S19

Đường tròn  II có tâm I  1;3 và bán kính R2  5 S2 25

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S2 S125 9 16

=> Chọn D

Phân tích

 2  2

2

3  x1  y 3  M nằm ở miền ngoài đường tròn  I

x12y 32 25 M nằm ở miền trong đường tròn  II

 *

M

Ví dụ 3 (Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội – Lần 1 – Năm 2017): w z 2 3 i 5 i là số thuần ảo

A Đường tròn 2 2

5

x y  B Đường thẳng 2x 3y 5 0

C Đường tròn x 32y 22 5 D Đường thẳng 3x2y1 0

Giải

Gọi số phức z x yi x y R  ,   Thế vào hệ thức điều kiện

w x yi  i   i x yi xi yi   i

2a 3b 5 2b 3a 1 i

Để số phức w thuần ảo thì w có phần thực 0  2x 3y 5 0

Đây là dạng phương trình đường thẳng Ax By C  0

=> Chọn B

Ví dụ 4 (Chuyên Lê Khiết – Quãng Ngãi – Lần 1 – Năm 2017): Cho số phức z thỏa mãn

2 z 2 3 i 2 1 2i  z Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường

thẳng có phương trình nào sau đây?

A 20x16y 47 0 B 20x16y 47 0

C 20x16y47 0 D 20x16y47 0

Giải

Gọi số phức z x yi x y R  ,   Thế vào hệ thức ta có:

2 x 2 y3 i 2 1 2i  x yi

2 x 2 y 3 i 2x 1 2y 2 i

 2  2  2  2

Bình phương 2 vế để khử căn ta được:

4 x  4x 4 y 6y9 4x 4x 1 4y 8y4

16x 24y 52 4x 8y 5 20x 16y 47 0

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 20 x16y 47 0

=> Chọn A

Ví dụ 5 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – Lần 2 – Năm 2017) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp

các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z2| 1 0

A Đường tròn x 22y22 100 B Elip

2 2

1

25 4

x y

 

C Đường tròn x 22y22 10 D Elip

2 2

1

25 21

x y

Giải

Gọi số phức z x yi x y R  ,  

Biến đổi hệ thức:

z  z   x yi  x yi 

x 22 y2 x 22 y2 10 1 

Vì các dạng quỹ tích (tập hợp điểm) đều không chứa căn nên ta tiến hành bình phương để khử căn từ hệ thức (1)

 1  x 22y2 10 x22y2

x 22 y2 100 x 22 y2 20 x 22 y2

 2 2

4x 100 4x 20 x 2 y

 2 2 20

 22 2 

25 2x 5 x y 2

Bình phương 2 vế lần thứ 2 là sẽ mất hết căn

  2  2 2

2  625 100 x4x 25 x 4x 4 y

2 2

25 21

x y

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một Eclip

=> Chọn D

Mở rộng

Elip

2 2

2 2 1

x y

a b  có độ dài trực lớn 2a, độ dài trục bé 2b có tiêu cự

c e a

 với c2 a2 b2

Ví dụ 6 (THPT Lê Lợi – Thanh Hóa – Lần 3 – Năm 2017) Xác định tập hợp các điểm M trong mặt

phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z2  z 2 4

A Là đường Hyperbol  2

1 :

x

 B Là đường Hyperbol  1

1 :

H y

x



C Là đường tròn tâm O0;0 bán kính R 4 D Là đường Hyperbol  1  2

Giải

Gọi số phức z x yi x y R  ,  

Khi đó z2 z2  4 x yi 2 x yi 2 4

 2 2

1

xy

TH 1: xy 1 y 1

x

TH 2: xy 1 y 1

x

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc 2 đường cong y 1

x



=> Chọn D

Phân tích

Phương trình Hyperbol đều có dạng đặc biệt là y m

x

 hơi khác so với dạng chính tắc

2 2

2 2 1

x y

a  b  trong

sách giáo khoa

Ví dụ 7 (THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – Lần 1 – Năm 2017) Tập hợp các điểm trong mặt

phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z i  z z2i là hình gì

C Một đường Elip D Một đường tròn.

Giải

Gọi z x yi với ,x y R

Từ điều kiện 2 z i  z z 2i

ta có 2 x yi i   x yi x yi 2i

2 x y 1 i 2 y 1 i x y 1 i y 1 i

 2  2

2

Bình phương 2 vế ta được: 2  2  2 1 2

4

x  y  y  y x

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là parabol có dạng 1 2

4

y x

=> Chọn B

Mở rộng

Parabol có phương trình là yAx2Bx C A  0 có đỉnh ;

B I



Ví dụ 8 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – Lần 3 – Năm 2017) Cho ABCD là hình bình hành với

A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 1 , 2 3 ,3 i  i i Tìm số phức z có điểm biểu diễn là D

A z 2 3i B z 4 5i C z 4 3i D z 2 5i

=> Chọn A

Ví dụ 9 (THPT TH Cao Nguyên – Lần 2 – Năm 2017) Trong mặt phẳng phức gọi A, B, C lần lượt là

các điểm biểu diễn của các số phức z1 1 i 2i, z2  1 3 ,i z3  1 3i Tam giác ABC là

A Một tam giác vuông (không cân) B Một tam giác cân (không đều, không vuông)

C Một tam giác vuông cân D Một tam giác đều

=> Chọn C

Ví dụ 10 (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 4 – Năm 2017) Cho số

phức z có điểm biểu diễn là M Biết rằng số phức w 1

z

 được

biểu diễn bởi một trong bốn điểm P, Q, R, S như hình vẽ bên Hỏi

điểm biểu diễn của w là điểm nào?

=> Chọn B

Ví dụ 11 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần 1 – năm 2017) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy M là

điểm biểu diễn số phức z2 i 1  i và gọi  là góc tạo bởi chiều dương của trục hoành với véc

tơ OM Tính sin  2

A 3

3 5

3 10



=> Chọn B

Ví dụ 12 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – Lần 1 – Năm 2017) Gọi M là điểm biểu

diễn số phức z 3 4i và điểm M  là điểm biểu diễn số phức 1

2

i

z   z Tính diện tích tam giác

A 15

25

25

31 4

=> Chọn B

Ví dụ 13 (Sở GD & ĐT Bắc Giang – Lần 1 – Năm 2017) Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z

trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2 z z 3, và số phức z có phần ảo không âm Tính diện tích hình H.

4



C.3

2



=> Chọn C

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Sở GD–ĐT Tp Hồ Chí Minh – cụm 5 – năm 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức

z thỏa mãn z i  z 3i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một hyperbol D Một elip

Câu 2 (Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh – 2018) Cho số phức z a bi  ,

với a và b là hai số thực Để điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ

Oxy nằm hẳn bên trong hình tròn tâm O bán kính R 2 như hình bên thì

điều kiện cần và đủ của a và b là

A a2b2  2 B a2b2 4

C a b 2 D a b 4

Câu 3 (THPT Chuyên Lam Sơn – Lần 3 – 2018) Cho hai điểm M, N

trong mặt phẳng phức như hình vẽ, gọi P là điểm sao cho OMNP là hình

bình hành Điểm P biểu thị cho số phức nào trong các số phức sau?

A z4  4 3i B z2  4 3i

C z3  2 i D z1 2 i

Câu 4 (Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 8 – 2018) Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu

diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện z2  i z là đường thẳng  có phương trình

A 2x4y13 0 B 4x2y 3 0 C 2 x4y13 0 D 4x 2y 3 0

Câu 5 (Đề Minh Họa – lần 3 – BGD) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức

z (như hình vẽ bên) Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z?

Câu 6 (Sở GD&ĐT Bình Dương – Lần 1 – 2018) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong

mặt phẳng phức thoả mãn điều kiện 2 z  iz là số thực

A Đường thẳng x y  2 0 B Đường tròn tâm 1; 1

2

I   

 , bán kính 5

2

R 

C Đường tròn x2y2 2x y 0 D Đường thẳng x2y 2 0

Câu 7 (Sở GD&ĐT Bình Dương – Lần 1 – 2018) Cho số phức z x yi x y   ,   thỏa điều kiện

nào của x, y sau đây để tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn

  C1 , C kể cả hai đường tròn 2   C1 , C ?2

A 1x2y2 2 B

2 2

2 2

1 2

x y

x y





C 1x2y2 4 D 1x2y2 4

Câu 8 (Sở GD–ĐT Bình Phước – 2018) Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn

của các số phức z1  3 2 , i z2  3 2 , i z3  3 2i Khẳng định nào sau đây là sai?

A B và C đối xứng nhau qua trục tung

B Trọng tâm của tam giác ABC là điểm 1;2

3

G  

C A và B đối xứng nhau qua trục hoành

D A, B, C nằm trên đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 13

Câu 9 (THPT Thanh Thủy – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tập hợp những điểm biểu diễn số

phức z thỏa mãn z i 1i z là

A Đường tròn có phương trình x2 y12 2

B Hai đường thẳng có phương trình x1,x2

C Đường thẳng có phương trình x y  1 0

D Đường tròn có phương trình x12y2 2

Câu 10 (THPT Nguyên Huệ – Lần 1 – 2018) Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z a bi a b   ,   thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm trong hình vẽ (kể cả biên)?

A a   3; 2  2;3 z 3 B a   3; 2  2;3 z 3

C a   3; 2  2;3 z 3 D a    3; 2  2;3 z 3

Câu 11 (THPT Kim Liên – Lần 2 – 2018) Cho hai số thực b và c c 0 Kí hiệu A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z22bz c  trong mặt phẳng phức Tìm điều kiện của0

b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ)

A 2

2

2

b  c

Câu 12 (THPT Chuyên Thái Nguyên – Lần 2 – 2018) Tập hợp các số phức w 1 i z 1 với z là số

phức thỏa mãn z   là hình tròn Tính diện tích hình tròn đó.1 1

Câu 13 (THPT Chuyên Thái Nguyên – Lần 2 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  Biết3 rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức w 3 2i2 i z là một đường tròn Hãy tính bán kính của đường tròn đó

Câu 14 (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Lần 1 – 2018) Cho số phức 2 thỏa mãn z1 z 2i

là một số thuần ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng

4



C 5

2



D 25

Câu 15 (Chuyên ĐH Vinh – Lần 3 – 2018) Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z ,1 2

z như hình vẽ bên Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A z1 z2 MN B z1 OM

C z2 ON D z1z2 MN

Câu 16 (Chuyên ĐH Vinh – Lần 3 – 2018) Cho số

phức z thay đổi luôn có z  Khi đó tập hợp điểm biểu2

diễn số phức w 1 2i z 3i là

A Đường tròn x2y 32 20

B Đường tròn x2y 32 2 5

C Đường tròn x2y32 20

D Đường tròn x 32y3 2 5

Câu 17 (THPT Thanh Chương – Lần 1 – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm M

biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i 2  2 i là đường nào trong các đường dưới đây?

A Đường tròn B Đường thẳng C Đường parabol D Đường elip

Câu 18 (THPT Chuyên Thái Bình – Lần 4 – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z thỏa mãn z1i là số thực là

A Đường tròn bán kính bằng 1

B Trục Ox

C Đường thẳng yx

D Đường thẳng y x

Câu 19 (THPT Chuyên Lê Khiết – Lần 1 – 2018) Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số

phức z1 1 3 , i z2  3 2 , i z3  4 i trong hệ tọa độ Oxy Hãy chọn kết luận đúng nhất

C Tam giác ABC vuông D Tam giác ABC đều

Câu 20 (THPT Chuyên Lê Khiết – Lần 1 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn 2 z 2 3 i 2 1 2i  z

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình nào

sau đây?

A 20x16y 47 0 B 20x 16y 47 0   C 20x 6y 47 0   D 20x16y47 0

Câu 21 (THPT Chuyên Biên Hòa – Lần 2 – 2018) Cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho các số

phức z , 1 z , 2 z Biết 3 z1 z2 z3 và z1z2 0 Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

C Tam giác ABC cân tại C D Tam giác ABC vuông cân tại C

Câu 22 (Sở GD&ĐT Nam Định – Lần 1 – 2018) Cho các số phức z1 1 3 , i z2  5 3i Tìm điểm

 ; 

M x y biểu diễn số phức z , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng3

x y  và mô đun số phức w3z3 z2 2z1 đạt giá trị nhỏ nhất

A 3; 1

5 5

M   

M   

5 5

M  

5 5

M  

Câu 23 (THPT Quốc Học Huế – Lần 2 – 2018) Gọi  H là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z a bi a b   ,  thỏa mãn a2b2   1 a b

A 3 1



4



C 1

4 2



Câu 24 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Lần 1 – 2018) Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức

z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2 z z 3 và số phức z có phần ảo không âm Tính diện tích hình

H

4



C 3

2



D 6

Câu 25 (THPT Chuyên Sơn La – Lần 2 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

2 3  1 9

z  i z   i Số phức w 5

iz

 có điểm biểu diễn là

điểm nào trong các điểm A, B, C, D ở hình bên?

Câu 26 (THTT SỐ 478 – 2018) Tập hợp các điểm biểu diễn

số phức z thỏa mãn z2  z 2 5 trên mặt phẳng tọa độ

là một

A đuờng thẳng B đường tròn C elip

D hypebol

Câu 27 (THPT Chuyên KHTN – Lần 2 – 2018) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

phần thực của z 1

z i



 bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm).

A 1; 1 , 1

I   R

I   R

C 1 1; , 1

I  R

I  R

Câu 28 (THPT Chuyên KHTN – Lần 2 – 2018) Cho các số phức z thỏa mãn z i   z 1 2i Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w2 i z 1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng Viết phương trình đường thẳng đó

A x7y 9 0 B x7y 9 0 C x7y 9 0 D x 7y 9 0

Câu 29 (THPT Chuyên Lào Cai – Lần 1 – 2018) Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện z 1i  z 2i là đường nào sau đây:

Câu 30 (THPT Chuyên Lào Cai – Lần 1 – 2018) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm

biểu diễn là M, M  Số phức z4 3 i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N Biết rằng MM N N  là một hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z4i 5

A 5

2

1

4 13

Câu 31 (THPT Chuyên Lào Cai – Lần 1 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn iz  2 i 0 Khoảng cách

từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M3; 4  là

Câu 32 (Sở GD&ĐT Bắc Giang – Lần 1 – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn

các số phức z thỏa mãn z i 1i z là đường tròn có phương trình

A x2y12 2 B x12y2 2 C x2y12 2 D x12y2 2

Câu 33 (Sở GD&ĐT Bắc Giang – Lần 1 – 2018) Gọi M là điểm biểu diễn số phức z 3 4i và điểm

M  là điểm biểu diễn số phức 1

2

i

z   z

Tính diện tích tam giác OMM  (O là gốc tọa độ)

A 15

25

25

31 4

Câu 34 (THPT Gia Lộc 2 – Hải Dương – Lần 1 – 2018) Cho số phức z m m 3 ,i m  Tìm m

để điểm biểu diễn của số phức z nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư

2

2

3

m  D m 0

Câu 35 (TT Diệu Hiền – Cần Thơ – 2018) Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

1 , 2 3i  i Số phức z biểu diễn bởi điểm Q sao cho MN  3MQ 0

là

A 2 1

3 3

3 3

3 3

3 3

z  i