bài toán josephus

NGÆ VN ÀNHTh¡i Nguy¶n, th¡ng 01 n«m 2021Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan

Biºu diạn số nguyản theo cỡ số b

Nhữ ta Â biát, mồi số tỹ nhiản n = a k a k−1 ã ã ã a 1 a 0 ãu cõ thº ữủc biºu diạn dữợi dÔng n = a k 10 k + a k−1 10 k−1 + ã ã ã + a 1 10 + a 0 , trong õ 1 ≤ a k ≤ 9, 0 ≤ a j ≤ 9 , vợi k > j ≥ 0 Biºu diạn n y ữủc gồi l biºu diạn thêp phƠn hay biºu diạn cỡ số 10 cừa số tỹ nhiản n M°c dũ hƯu hát mồi ngữới quen thuởc vợi cĂch biºu diạn số nhữ n y, những tờng quĂt hỡn, ta cõ thº biºu diạn số theo cỡ số b nguyản dữỡng bĐt ký nhữ sau. ành lỵ 1.1.1 ([2]) GiÊ sỷ b l mởt số nguyản lợn hỡn 1 Vợi bĐt ký số nguyản n ≥ 1 tỗn tÔi duy nhĐt bở số nguyản (k, a 0 , a 1 , , a k ) sao cho

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus 51Wednesday, June 12, 20244:38:16 PM4:38:16 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:16 PM4:38:16 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:16 PM4:38:16 PM

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Chựng minh º chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa ( ∗ ) ta Ăp dửng liản tiáp thuêt to¡n chia: n = q 1 b + r 1 , 0 ≤ r 1 ≤ b − 1, q 1 = q 2 b + r 2 , 0 ≤ r 2 ≤ b − 1, q k−1 = q k b + r k , 0 ≤ r k ≤ b − 1, trong õ q k l thữỡng khĂc khổng cuối cũng °t q 0 = n, a 0 = n − q 1 b, a 1 = q 1 − q 2 b, , a k−1 = q k−1 − q k b, a k = q k

X i=1 q i b i = q 0 = n. º chựng minh tẵnh duy nhĐt, giÊ sỷ n = c 0 + c 1 b + ã ã ã c h b h l mởt biºu diạn khĂc cừa n.

Náu h 6= k , vẵ dử h > k thẳ n ≥ b k ≥ b k+1 Những n = a 0 + a 1 b + ã ã ã + a k b k

Náu h = k thẳ a 0 + a 1 b + ã ã ã + a k b k = c 0 + c 1 b + ã ã ã c k b k , nản b | (a 0 − c 0 ) M°t khĂc, |a 0 − c 0 | < b , do õ a 0 = c 0 Do õ a 1 + a 2 b + ã ã ã + a k b k−1 = c 1 + c 2 b + ã ã ã c k b k−1

Bơng cĂch l°p lÔi thừ tửc trản, ta suy ra a 1 = c 1 , a 2 = c 2 , v a k = c k

Hằ thực ( ∗ ) ữủc gồi l biºu diạn cỡ số b cừa n v kỵ hiằu l n = (a k a k−1 ã ã ã a 0 ) b

Ta gồi a 0 , a 1 , tữỡng ựng l kẵ tỹ thự nhĐt, thự hai, cừa n trong cỡ số b Khi b = 10 thẳ biºu diạn cỡ số 10 ữủc gồi l biºu diạn thêp phƠn, ta kỵ hiằu gồn lÔi th nh n = a k a k−1 ã ã ã a 0

Quy tưc chuyºn ời mởt số tứ hằ thêp phƠn sang hằ cõ cỡ số b ( b 6= 10 ):

LĐy số thêp chia cho cỡ số b cho án khi phƯn thữỡng cừa ph²p chia bơng

0, số ời chẵnh l cĂc phƯn dữ cừa ph²p chia theo thự tỹ ngữủc lÔi.

Vẵ dử 1.1.2 Viát 1211 trong cỡ số 3 , viát 6 trong cỡ số 2

GiÊi Thỹc hiằn liản tiáp ph²p chia 1211 cho 3, cĂc phƯn dữ thu ữủc l cĂc kẵ tỹ trong biºu diạn cỡ số 3 theo thự tỹ ngữủc lÔi Ta thỹc hiằn cĂc ph²p chia nh÷ sau:

Thỹc hiằn liản tiáp ph²p chia 6 cho 2, cĂc phƯn dữ thu ữủc l cĂc kẵ tỹ trong biºu diạn cỡ số 2 theo thự tỹ ngữủc lÔi.

Quy tưc chuyºn ời mởt số tứ hằ cỡ số b bĐt ký vã hằ thêp phƠn: Ta sỷ dửng cổng thực ( ∗ )

Vẵ dử 1.1.3 Chuyºn cĂc số sau sang số thêp phƠn:

Vẵ dử 1.1.4 XĂc ành tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡng n sao cho 11111 n l số chẵnh phữỡng.

2 + 1 l hai số nguyản liản tiáp Ta cõ n 2 + n 2

Do õBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus11111 n khổng l số chẵnh phữỡng.

Hằ nhà phƠn

Hằ nhà phƠn l hằ ữủc sỷ dửng nhiãu ối vợi mĂy tẵnh iằn tỷ Hằ nhà phƠn l mởt hằ ám dũng cỡ số b = 2 , tực hai kỵ tỹ 0 v 1 º biºu Ôt mởt giĂ trà số Theo ( ∗ ) ta cõ n = a k ã 2 k + a k−1 ã 2 k−1 + ã ã ã + a 1 ã 2 + a 0 ( ∗∗ ) trong õ a k = 1 , a i ∈ {0, 1}, i = 0, 1, , k − 1 Kỵ hiằu n = (a k a k−1 ã ã ã a 0 ) 2 Vẵ dử

BÊng dữợi liằt kả biºu diạn nhà phƠn cừa mởt số tỹ nhiản

Quy tưc chuyºn ời mởt số tứ hằ thêp phƠn sang hằ nhà phƠn: LĐy số thêp chia cho 2 cho án khi phƯn thữỡng cừa ph²p chia bơng 0, số ời chẵnh l cĂc phƯn dữ cừa ph²p chia theo thự tỹ ngữủc lÔi.

Vẵ dử 1.2.1 Chuyºn cĂc số 21, 32 sang hằ nhà phƠn.

GiÊi LĐy 21 chia cho 2 , sau õ lĐy tiáp phƯn thữỡng chia cho 2 , số nhà phƠn thu ữủc l têp hủp cĂc số dữ cừa cĂc ph²p chia theo thự tỹ ngữủc l¤i.

Do õ 21 = 10101 2 Tiáp tửc vợi 32 ta cõ

Quy tưc chuyºn ời mởt số tứ hằ nhà phƠn vã hằ thêp phƠn: Ta sỷ dửng cổng thực ( ∗∗ )

Vẵ dử 1.2.2 Chuyºn cĂc số sau sang số thêp phƠn:

110011 2 , 10011001 2 GiÊi p dửng cổng thực ( ∗∗ ) ta cõ

Ph²p tẵnh dũng trong hằ nhà phƠn cụng tữỡng tỹ nhữ cĂc ph²p tẵnh ữủc Ăp dửng trong cĂc hằ khĂc Tẵnh cởng, tẵnh trứ, tẵnh nhƠn v tẵnh chia cụng cõ thº ữủc Ăp dửng vợi cĂc giĂ trà số nhà phƠn.

Ph²p cởng: Ph²p tẵnh ỡn giÊn nhĐt trong hằ nhà phƠn l tẵnh cởng.

Cởng hai ỡn và trong hằ nhà phƠn ữủc l m nhữ sau:

Cởng hai số 1 2 vợi nhau tÔo nản giĂ trà 10 2 Hiằn tữủng n y ữủc gồi l nhợ Khi tờng số vữủt lản trản gốc cừa hằ số, phữỡng thực l m l nhợ mởt sang và trẵ bản trĂi, thảm mởt h ng Khi cởng ta cởng tứ phÊi qua trĂi giống nhữ vợi hằ thêp phƠn.

Vẵ dử 1.2.3 Thỹc hiằn ph²p cởng 01101 2 + 10111 2 GiÊi Ta thỹc hiằn ph²p tẵnh nhữ sau

Bưt Ưu bơng cởt ngo i cũng bản phÊi, 1 2 + 1 2 = 10 2 1 ữủc mang sang bản trĂi, v 0 ữủc viát v o h ng tờng phẵa dữợi, cởt ngo i cũng bản phÊi.

Cởt thự hai bản phÊi ữủc cởng tiáp theo: 1 2 + 0 2 + 1 2 = 10 2 , số 1 lÔi ữủc nhợ lÔi v mang sang bản trĂi v số 0 ữủc viát xuống h ng tờng Cởt thự ba: 1 2 + 1 2 + 1 2 = 11 2 LƯn n y 1 ữủc nhợ v mang sang h ng bản cÔnh, v 1 ữủc viát xuống h ng tờng Tiáp tửc khai triºn theo quy luêt trản cho chóng ta ¡p ¡n cuèi còng l 100100 2

Ph²p trứ: Ph²p tẵnh trứ theo quy chá tữỡng tỹ:

Ph²p toĂn ỗng dữ

ành nghắa 1.3.1 ([2]) Cho a, b, m ∈ Z vợi m > 0 Khi õ, a ữủc gồi l ỗng dữ vợi b modul m , kỵ hiằu a ≡ b mod (m) , náu m | a − b Vẵ dử 1.3.2.

(a) Vẳ 4 | 17 − 1, ta cõ 17 ≡ 1 mod 4 (b) Vẳ 6 | 4 − 10 , ta cõ 4 ≡ 10 mod 6 (c) Vẳ 7 | 10 − (−4) , ta cõ 10 ≡ −4 mod 7

(d) Vẳ 1 | a − b vợi mồi số nguyản a v b , ta cõ a ≡ b mod 1 vợi mồi số nguyản a v b

Tẵnh chĐt 1.3.3 ([2]) Ph²p ỗng dữ cõ cĂc tẵnh chĐt tữỡng tỹ ph²p ¯ng thực Quan hằ ỗng dữ l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản Z, tực l nõ cõ tẵnh chĐt phÊn xÔ, ối xựng v bưc cƯu, cử thº, vợi mồi số nguyản a, b, c v mBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus, ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau:

(a) a ≡ a mod m , (b) náu a ≡ b mod m thẳ b ≡ a mod m , (c) náu a ≡ b mod m v b ≡ c mod m thẳ a ≡ c mod m Vợi cĂc ph²p toĂn thổng thữớng cừa số nguyản, náu a ≡ b mod m thẳ (d) a + c ≡ b + c mod m ,

(g) Náu a ≡ b mod m thẳ ac ≡ bc mod mc

Ta cõ thº Êo ngữủc tẵnh chĐt (g):

(h) Náu ac ≡ bc mod mc v c 6= 0 thẳ a ≡ b mod m (i) Náu ac ≡ bc mod mc v (c, m) = 1 thẳ a ≡ b mod m

Ngo i ra, ph²p cởng, trứ, nhƠn cĂc số ỗng dữ vợi cũng số chia thẳ văn ỗng dữ Nõi cĂch khĂc, náu a ≡ b mod m v c ≡ d mod m thẳ

(j) a + c ≡ b + d mod m, (k) a − c ≡ b − d mod m, (l) ac ≡ bd mod m

Ta cụng cõ thº mð rởng cĂc tẵnh chĐt trản trong trữớng hủp cõ nhiãu số ỗng dữ; bơng cĂch l°p liản tiáp tẵnh chĐt (l) cũng cũng ỗng dữ, ta thu ữủc

(m) Náu a ≡ b mod m v n l số nguyản dữỡng thẳ a n ≡ b n mod m (n) Náu f (x) l a thực hằ số nguyản v a ≡ b mod m thẳ f (a) ≡ f (b) mod m.

Vẵ dử 1.3.4 Tẳm phƯn dữ khi chia 6 cho 37

Vẵ dử 1.3.5 Chựng minh 7 l ữợc cừa 3 2n+1 + 2 n+2 vợi mồi số tỹ nhiản n

GiÊi Trữợc hát ta cõ nhên x²t 3 2n+1 ≡ 3ã9 n ≡ 3ã2 n mod 7 v 2 n+2 ≡ 4ã2 n mod 7 Do â

3 2n+1 + 2 n+2 ≡ 7 ã 2 n ≡ 0 mod 7 vợi mồi số tỹ nhiản n.

Vẵ dử 1.3.6 Tẳm h ng ỡn và cừa 7 7 7

Chựng minh Ta cƯn tẳm 7 7 7 mod 10 Ta cõ 7 2 ≡ −1 mod 10, nản 7 3 ≡

7 2 ã 7 ≡ −7 ≡ 3 mod 10 v 7 4 ≡ (7 2 ) 2 ≡ 1 mod 10 Ngo i ra 7 2 ≡ 1 mod 4 nản 7 7 ≡ (7 2 ) 3 ã 7 ≡ 3 mod 4, nghắa l tỗn tÔi số nguyản t sao cho

7 7 = 3 + 4t Kát hủp lÔi ta ữủc

Do â, h ng ìn và cõa 7 7 7 l 3.

H m s n, h m tr¦n

Cho số thỹc x , khi õ tỗn tÔi duy nhĐt số nguyản n sao cho n ≤ x < n + 1 Tứ õ, ta cõ khĂi niằm sau. ành nghắa 1.4.1 ([1]) Cho số thỹc x , số nguyản lợn nhĐt nhọ hỡn ho°c bơng x ữủc gồi l s n cừa x , kỵ hiằu bxc

Khi õ, hiằu x − bxc chẵnh l phƯn phƠn số cừa x v ữủc kỵ hiằu bði {x}

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024 ành nghắa 1.4.2 ([1]) Cho số thỹc x , số nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn ho°c bơng x ữủc gồi l trƯn cừa x , kỵ hiằu dxe

Khi x l số nguyản thẳ bxc = dxe v {x} = 0 Náu x khổng l số nguyản thẳ ta cõ dxe = bxc + 1

Vẵ dử, vợi x = 34.73 thẳ bxc = 34, dxe = 35, {x} = 0.73 ; vợi y = 12.05 thẳ byc = 12, dye = 13, {y } = 0.05

Vẵ dử 1.4.3 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau: x + byc + {z} = 200.0, {x} + y + bzc = 190.0, bxc + {y} + z = 178.8

GiÊi Bði vẳ x = bxc + {x} vợi mồi số thỹc x , cởng ba phữỡng trẳnh ta ữủc

LĐy phữỡng trẳnh trản trứ cho lƯn lữủt ba phữỡng trẳnh ban Ưu ta ữủc

Do â 84 = b84.45c = bbzc+{y}c = bzc , v do â bzc = 84 v {y} = 0.45 Tữỡng tỹ, ta thu ữủc byc = 105, v do õ y = 105.45 , x = 94.65 v z = 84.35.

Trong chữỡng n y, chúng tổi s³ trẳnh b y phĂt biºu cừa b i toĂn Jose- phus j(n, k, j) , mổ hẳnh hõa v tẳm cổng thực nghiằm cho b i toĂn trong trữớng hủp riảng k = 2, k = 3, k = 4 , cên trản cừa j(n, k, i) trong trữớng hủp k ≥ 5

CƠu chuyằn làch sỷ vã b i toĂn Josephus

B i toĂn Josephus l mởt b i toĂn ữủc gồi theo tản cừa mởt sỷ gia ngữới Do ThĂi Flavius Josephus, sinh sống v o thá k¿ thự nhĐt sau cổng nguyản B i toĂn xuĐt phĂt tứ sỹ tữớng trẳnh cừa Josephus vã mởt cƠu chuyằn trong cuởc xung ởt giỳa ngữới La MÂ v ngữới Do ThĂi nôm 67 sau cổng nguyản.

Khi ngữới La MÂ chiám ữủc th nh phố Jotapata, Josephus cũng 40 ngữới lẵnh bà quƠn La MÂ vƠy hÂm trong mởt hang ởng Nhỳng ngữới lẵnh n y th tỹ sĂt chự khổng chàu Ưu h ng Josephus v mởt ngữới bÔn cừa ổng khổng ỗng tẳnh vợi suy nghắ n y những sủ phÊi nõi ra sỹ phÊn ối cừa hồ v cụng khổng muốn sỹ hy sinh cừa mồi ngữới l vổ nghắa.

Vẳ vêy, hồ Â b y ra mởt trỏ chỡi: tĐt cÊ bồn hồ ựng vỏng quanh th nh mởt vỏng trỏn v ám tứ 1 án 3 liản tửc, ai l ngữới thự ba phÊi tỹ sĂt, liản tửc l m nhữ vêy cho án khi ch¿ cỏn 2 ngữới cỏn sống s³ phÊi tỹ sĂt Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024 cuối cũng Bơng cĂch chồn cĂc và trẵ 31 v 16 trong vỏng trỏn, Josephus v ngữới bÔn cừa ổng Đy Â thoĂt chát.

Ta quy ữợc mởt số kẵ hiằu º miảu tÊ b i toĂn n y mởt cĂch tờng quĂt.

Ta Ănh số n và trẵ xung quanh hẳnh trỏn bði cĂc số 0, 1, 2, , n − 1 v bưt Ưu ám tứ số 0 Sau õ, cự phƯn tỷ thự k s³ bà xõa °t j(n, k, i), (n ≥ 1, k ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n), l và trẵ cừa phƯn tỷ bà xõa thự i

Vẵ dử 2.1.1 Vợi n = 5 ngữới ữủc ựng th nh vỏng trỏn ữủc Ănh số và trẵ 0, 1, 2, 3, 4 v vợi k = 3 ta cõ j(5, 3, 1) = 2, j (5, 3, 2) = 0, j (5, 3, 3) =

4, j (5, 3, 4) = 1, j(5, 3, 5) = 3 , xem Hẳnh 2.1 Vêy số cuối cũng bà xõa l số 3 (ta Ănh số bưt Ưu tứ số 0 )

Vẵ dử 2.1.2 Vợi n = 8 ngữới ữủc ựng th nh vỏng trỏn ữủc Ănh số và trẵ 0, 1, 2, , 7 v vợi k = 3 ta cõ (xem Hẳnh 2.2). j(8, 3, 1) = 2, j(8, 3, 2) = 5, j(8, 3, 3) = 0, j(8, 3, 4) = 4, j(8, 3, 5) = 1, j(8, 3, 6) = 7, j(8, 3, 7) = 3, j(8, 3, 8) = 6.

Vêy số bà xõa cuối cũng l số 6 (ta Ănh số bưt Ưu tứ số 0 )

Vẵ dử 2.1.3 Kiºm tra lÔi kát quÊ b i toĂn trong cƠu chuyằn cừa Josephus.

Vợi n = 41 ngữới ựng th nh vỏng ữủc Ănh số và trẵ tứ 0 tợi 40 v vợi k = 3 , bơng cĂch ám thổng thữớng ta thu ữủc dÂy kát quÊ sau. i j(41,3, i) i j(41,3, i) i j(41,3, i)

Hai số cỏn thiáu trong BÊng 2.1 l j(41, 3, 40) = 15 v j(41, 3, 41) = 30

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024 tữỡng ựng vợi và trẵ số 16 v 31 trong hẳnh trỏn cừa Josephus v bÔn cừa ổng.

Trữớng hủp k = 2

Trữợc tiản, chúng tổi trẳnh b y cổng thực cử thº cừa h m j(n, k, i) trong trữớng hủp k = 2 vẳ Ơy l trữớng hủp ỡn giÊn nhĐt, dạ khÊo sĂt v Â tẳm ữủc cổng thực hiºn cừa h m j Cử thº, ta x²t b i toĂn sau.

B i toĂn 2.2.1 ([4]) GiÊ sỷ cõ n ngữới ữủc Ănh số tứ 1 án n quanh mởt vỏng trỏn v ám tứ 1 án 2 liản tửc, ai l ngữới thự hai phÊi tỹ sĂt, liản tửc l m nhữ vêy cho án khi ch¿ cỏn mởt ngữới sống sõt XĂc ành và trẵ J(n) cừa ngữới sống sõt.

Vẵ dử 2.2.2 Vợi n = 10 , thự tỹ khỷ l 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9 Vêy ngữới thù 5 cán sèng hay J (10) = 5

Theo vẵ dử trản, ta cõ J (10) = 5 Ta cõ thº dỹ oĂn rơng náu n chđn thẳ J (n) = n/2 , mởt vẵ dử ỡn giÊn l khi n = 2 thẳ J (2) = 1 Những x²t thảm mởt số trữớng hủp nhọ khĂc, vẵ dử vợi n = 4 v n = 6 ta thĐy dỹ oĂn sai BÊng sau liằt kả mởt số giĂ trà cừa J(n) n 1 2 3 4 5 6

Tứ bÊng trản, ta dỹ oĂn J(n) luổn luổn l´.

Tẵnh chĐt 2.2.3 ([4]) J(n) luổn nhên giĂ trà l´.

Chựng minh Lữủt Ưu tiản quanh vỏng trỏn ta xõa hát nhỳng và trẵ chđn nản ch¿ cỏn lÔi nhỳng và trẵ l´ º J(n) cõ thº nhên giĂ trà Do õ, J (n) luổn nhên giĂ trà l´.

Ngo i ra, náu n l mởt số chđn, ta thĐy sau lữủt Ưu tiản quanh vỏng trỏn viằc khỷ tữỡng tỹ nhữ khi ta bưt Ưu ngoÔi trứ ch¿ cỏn bơng mởt nỷa số ngữới, v số cừa hồ Â thay ời Do õ, ta thu ữủc tẵnh chĐt sau.

Chựng minh GiÊ sỷ cõ 2n ngữới Sau lữủt khỷ vỏng Ưu tiản, ta khỷ hát và trẵ chđn v cỏn lÔi vợi cĂc và trẵ l´ l 1, 3, 5, 7, , 2n − 3, 2n − 1

Lúc n y, 3 l ngữới bà khỷ tiáp theo Viằc n y tữỡng ữỡng vợi bưt Ưu vợi n ngữới, ngoÔi trứ số cừa mội ngữới ữủc gĐp ổi lản rỗi giÊm i 1.

Tứ cổng thực n y ta cõ thº tẳm giĂ trà J (n) mởt cĂch nhanh chõng vợi n lợn Vẵ dử, ta biát rơng J(10) = 5 nản

Tữỡng tỹ, J (40) = 17 , v bơng quy nÔp ta chựng minh ữủc J (5 ã 2 m ) =

Những cỏn trữớng hủp n l´ thẳ sao? Vợi 2n + 1 ngữới, ta thĐy sau lữủt Ưu tiản quanh vỏng trỏn, ngữới ð và trẵ số 1 s³ bà khỷ ngay sau khi ngữới ð và trẵ thự 2n bà khỷ v cỏn lÔi n ngữới Viằc khỷ tữỡng tỹ nhữ khi ta bưt Ưu ngoÔi trứ ch¿ cỏn n ngữới v số cừa hồ Â thay ời Do õ, ta thu ữủc tẵnh chĐt sau.

Chựng minh Vợi 2n + 1 ngữới, ngữới ð và trẵ số 1 s³ bà khỷ ngay sau khi ngữới ð và trẵ thự 2n bà khỷ, v ta cỏn lÔi cĂc và trẵ 3, 5, 7, 9, , 2n −

1, 2n + 1 nhữ minh hồa trong hẳnh v³ bản dữợi.

Lúc n y, 5 l ngữới bà khỷ tiáp theo Viằc n y tữỡng ữỡng vợi bưt Ưu vợi n ngữới, ngoÔi trứ số cừa mội ngữới ữủc gĐp ổi lản rỗi tông thảm 1.

Kát hủp Tẵnh chĐt 2.2.4 v 2.2.5 vợi J(1) = 1 ta thu ữủc cổng thực ằ quy cừa J úng vợi mồi trữớng hủp:

Trữớng hủp tờng quĂt

Cổng thực ằ quy cừa j(n, k, i)

Ta x²t mởt trữớng hủp °c biằt cừa cổng thực j(n, k, i) nhữ sau Ơy ữủc lĐy trong [7] Tuy nhiản chúng tổi ữa ra mởt chựng minh ỡn giÊn hỡn so vợi chựng minh trong t i liằu [7]. ành lỵ 2.3.1.1 ([3]) Ta cõ cổng thực ằ quy cừa h m Josephus j(n, k, i) nh÷ sau j(n + 1, k, i + 1) = (k + j(n, k, i)) mod (n + 1), (2.11) trong õ n ≥ 1, k ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n , vợi giĂ trà khði Ưu j(n, k, 1) = (k − 1) mod (n), (n ≥ 1, k ≥ 1) (2.12)

Chựng minh Cổng thực (2.12) ữủc suy ra trỹc tiáp tứ ành nghắa (theo ành nghắa cừa j(n, k, i) v cĂch Ănh số và trẵ, số bà xõa Ưu tiản nơm ð và trẵ k − 1 ) º chựng minh (2.11), ta chựng minh bơng ph²p quy nÔp.

GiÊ sỷ ta biát giĂ trà cừa j(n, k, i) =: g Do õ, náu ta bưt Ưu ám tÔi và trẵ 0 thẳ số bà xõa thự i l và trẵ g Tiáp theo x²t j(n + 1, k, i + 1) Bði vẳ j(n + 1, k, 1) = (k − 1) mod (n + 1) , trong bữợc Ưu tiản số (k − 1) mod (n + 1) bà xõa v ð bữợc thự hai ta bưt Ưu ám tứ và trẵ k Do õ, b i toĂn trð th nh tẳm phƯn tỷ bà xõa thự i (sau khi xõa số (k − 1) mod (n + 1) ) khi ta bưt Ưu ám tÔi k Những Ơy chẵnh l (g + k) mod (n + 1) Do õ, ta thu ữủc (2.11).

Sè collapsing c m

trong â j(n, k, 1) = (k − 1) mod n. ành nghắa 2.3.2.1 ([3]) Số tỹ nhiản n ữủc gồi l số collapsing náu j(n, k, n − l) ≤ k − 2 Náu ngữủc lÔi, n ữủc gồi l số chẵnh quy.

Nguỗn gốc cừa thuêt ngỳ n y l vẳ số chẵnh quy n ữủc °c trững bði tẵnh chĐt j(n, k, n − l) = j(n − 1, k, n − l − 1) + k khi vá phÊi tỗn tÔi.

Vẵ dử 2.3.2.2 Vợi k = 3 cố ành, vợi l = 5 , bián n = 8 > 5 , theo Vẵ dử 2.1.2, ta th§y j(8, 3, 3) = j(8, 3, 8 − 5) = j(n, k, n − l) = 0 < k − 2 = 1.

Vợi k = 3 cố ành, vợi l = 6 , bián n = 8 > 6 , theo Vẵ dử 2.1.2, ta thĐy j(8, 3, 2) = j(8, 3, 8 − 6) = j(n, k, n − l) = 5 > k − 2 = 1.

Do õ, n = 8 l mởt số chẵnh quy.

Vẵ dử 2.3.2.3 Vợi k = 3 cố ành, vợi l = 40 , bián n = 41 > 40 , theo Vẵ dử 2.1.3, ta thĐy j(41, 3, 1) = j(41, 3, 41 − 40) = j(n, k, n − l) = 2 > k − 2 = 1.

Do õ, n = 41 l mởt số chẵnh quy.

Vợi k = 3 cố ành, vợi l = 5 , bián n = 41 > 5 , theo Vẵ dử 2.1.3, ta thĐy j(41, 3, 36) = j(41, 3, 41 − 5) = j(n, k, n − l) = 1 = k − 2.

Vợi k = 3 cố ành, vợi l = 27 , bián n = 41 > 27 , theo Vẵ dử 2.1.3, ta th§y j(41, 3, 14) = j(41, 3, 41 − 27) = j(n, k, n − l) = 0 < k − 2 = 1.

Do õ, n = 41 l mởt số collapsing. é vẵ dử n y, vợi k = 3 ch¿ cõ hai trữớng hủp l = 27, l = 5 thẳ n = 41 l mởt số collapsing, cỏn lÔi vợi 0 ≤ l < 41, l 6= 27, l 6= 5 thẳ n = 41 l số chẵnh quy.

Nhữ vêy, mởt số º l số collapsing thẳ nõ phử thuởc v o giĂ trà cừa bián số l v giĂ trà cố ành cừa k

Tiáp theo, ta xĂc ành cĂc số collapsing.

Bờ ã 2.3.2.4 ([3]) Số collapsing Ưu tiản c 1 thọa mÂn c 1 = l + l + 1 k − 1

, (2.13) trong õ dγe kỵ hiằu số nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn ho°c bơng số thỹc γ.

Chựng minh Ta chia chựng minh cổng thực (2.13) th nh hai trữớng hủp.

Trữớng hủp 1: l +1 l số collapsing iãu n y cõ nghắa j(l +1, k, 1) ≤ k −2, tữỡng ữỡng vợi l + 1 ≤ k − 1 Do õ, l + l + 1 k − 1

Trữớng hủp 2: l + 1 khổng l số collapsing Trong trữớng hủp n y, j(l +

1, k, 1) = k − 1 Do õ, số collapsing Ưu tiản l số nguyản c 1 nhọ nhĐt thọa mÂn k − 1 + k(c 1 − (l + 1)) ≥ c 1

GiÊi theo c 1 ta thu ữủc c 1 = l + l + 1 k − 1

Vẵ dử 2.3.2.5 Quay trð lÔi Vẵ dử 2.3.2.2, vợi k = 3, l = 5 ta thĐy l + l + 1 k − 1

Nản theo bờ ã trản, số collapsing Ưu tiản l c 1 = 8 Vẵ dử 2.3.2.6 Quay trð lÔi Vẵ dử 2.3.2.3, vợi k = 3, l = 27 ta thĐy l + l + 1 k − 1

Nản theo bờ ã trản, vợi l = 27 thẳ n = 41 l số collapsing Ưu tiản.

Nản theo bờ ã trản, vợi l = 5 thẳ n = 41 khổng l số collapsing Ưu tiản.

Tiáp theo, kẵ hiằu c m l số collapsing thự m v °t d m := j(c m , k, c m −l) Vợi d 1 ta cõ cổng thực

(2.14) Chựng minh º chựng minh cổng thực n y, ta x²t hai trữớng hủp.

Trữớng hủp 1: l + 1 l số collapsing Khi õ, d 1 = j(l + 1, k, 1) = (k − 1) mod (l + 1)

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024 bði vẳ k − 1 ≥ l + 1.

Trữớng hủp 2: l + 1 khổng l số collapsing Trong trữớng hủp n y, k − 1 < l + 1, v d 1 = k − 1 + k(c 1 − (l + 1)) − c 1

= l + 1 k − 1 ã k − 1 mod l + l + 1 k − 1 theo ành nghắa cừa c 1 v (2.13)

Hằ quÊ 2.3.2.8 ([3]) GiÊ sỷ c m ≤ n < c m+1 thẳ theo cổng thực ằ quy cừa ành lỵ 2.3.1.1 ta thu ữủc j(n, k, n − l) = (n − c m )k + d m (2.15)

Do õ, º tẵnh j(n, k, n − l) ta ch¿ cƯn biát dÂy c m v d m

Ta bưt Ưu vợi cổng thực ằ quy cừa c m v d m (vợi k v l cố ành)

Bờ ã 2.3.2.9 ([3]) Ta cõ cổng thực ằ quy cừa dÂy c m v d m nhữ sau c m+1 = kc m − d m k − 1

Chựng minh Náu ta biát c m v d m vợi m n o õ thẳ c m+1 = c m + s trong õ s l số nguyản nhọ nhĐt sao cho s ã k + d m ≥ c m + s v d m+1 = s(k − 1) + d m − c m Do õ, ta thu ữủc s = c m − d m k − 1 v o dâ c m+1 = kc m − d m k − 1

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024 º cho ỡn giÊn, ta viát c m+1 dữợi dÔng c m+1 = kc m − d m k − 1

=: kc m + σ m k − 1 (2.18) trong õ σ m ∈ {−(k − 2), , k − 3, k − 2} Bián ời (2.18) theo σ m ta ữủc σ m = (d m − c m ) mod (k − 1) − d m = d m+1 − d m (2.19)

BÊng sau liằt kả cĂc giĂ trà cừa d m+1 v σ m khi biát c m mod (k − 1) v d m c m mod (k − 1) d m σ m d m+1

Tốc ở tông cừa c m

Trong mửc n y, ta cố ành số k > 1 v số l Cho số thỹc γ , ành nghắa round(γ) := γ + ε trong â − 1

2 thọa mÂn γ + ε l số nguyản Ta bưt Ưu bơng bờ ã sau:

Bờ ã 2.3.3.1 ([3]) GiÊ sỷ σ 0 , σ 1 , l dÂy số thỹc v vợi i = 0, 1, , °t p i (x) := P i j=0 σ j x j Khi õ, hai têp

M − := {(x, y) : y ≤ min{p 0 (x), p 1 (x), , p m (x)}} l têp lỗi vợi mồi m.

Chựng minh Ta chựng minh bơng phữỡng phĂp quy nÔp Vợi m = 0 , kh¯ng ành l tƯm thữớng GiÊ sỷ hai têp trản lỗi vợi m < m 0 Ta cƯn chựng minh hai têp n y lỗi vợi m = m 0 GiÊ sỷ phÊn chựng rơng têp M + khổng lỗi vợi ch¿ số m = m 0 v dÂy {σ j } Ta cõ thº giÊ sỷ rơng σ 0 = 0 v tỗn tÔi x 0 > 0 sao cho p 00 i (x 0 ) < 0 v p 0 i (x 0 ) > p i (x 0 )/x 0 , trong õ (x 0 , p i (x 0 )) ∈ ∂M + Bơng cĂch chồn σ 1 mởt cĂch thẵch hủp, ta cõ thº giÊ sỷ thảm rơng p 0 i (x 0 ) > 0 BƠy giớ, x²t hồ a thực q j (x) := p j (x)/x (j =

1, , m 0 ) Vợi giĂ trà x 0 n y ta cõ q i 00 (x 0 ) = p 00 i (x 0 ) x 0 − 2p 0 i (x 0 ) x 2 0 + 2p i (x 0 ) x 3 0 < p 00 i (x 0 ) x 0 < 0 mƠu thuăn vợi tẵnh lỗi cừa M + tÔi ch¿ số m 0 − 1. ành lỵ 2.3.3.2 ([3]) Tỗn tÔi giợi hÔn α := lim m→∞ c m 1 − 1 k m

(phử thuởc v o k v l ) v vợi mồi m ∈ N ta cõ c m − α ã k k − 1 m

< 1 − 2 k , (2.20) vợi k > 2 v c m = α ã 2 m vợi k = 2 Do õ, vợi k ∈ {2, 3, 4} thẳ c m = round α ã k k − 1 m

Chựng minh Bữợc 1: Theo quy nÔp, tứ (2.18) ta cõ c m+1 = kc m k − 1 + σ m k − 1 = k k − 1 kc m−1 k − 1 + σ m−1 k − 1

X i=1 σ i k − 1 z i+1 l h m giÊi tẵch v bĂn kẵnh hởi tử cừa chuội lụy thứa trản l ≥ 1 Do õ, ta thu ữủc α = lim m→∞ c m 1 − 1 k m

Bữợc 2: Cố ành h ∈ N, ành nghắa α h := c h 1 − 1 k h v vợi m ∈ {1, 2, , h}, ành nghắa e m := α h k−1 k m , tực l e h = c h 1 − 1 k h k−1 k h = c h Tiáp theo, ta s³ chựng minh e m l ph²p xĐp x¿ ừ tốt cừa c m vợi

1 ≤ m ≤ h º cho ìn gi£n, °t q k := k−1 k Ta câ e m+1 − c m+1 = α h k k − 1 m+1

Chú ỵ rơng theo (2.19) ta cõ j 1

= |d j 1 +1 − d j 0 | ≤ k − 2 (2.25) vợi bĐt ký j 0 , j 1 X²t a thực p i (x) = P i j=0 σ j+m+1 x j Ta cõ p i (0) = σ m+1 ∈ {−k +2, , k +2} v p i (1) = P i j=0 σ j+m+1 ∈ {−k +2, , k −2}

Do õ, theo Bờ ã 2.3.3.1 ta thu ữủc p i 1 − 1 k

∈ [−k + 2, k − 2] v do õ vá phÊi cừa (2.24) cõ giĂ trà thuởc

Theo bữợc 1, ta cõ thº lĐy giợi hÔn bĐt ¯ng thực (2.26) khi h → ∞ v thu ữủc c m − α ã k k − 1 m

Tiáp theo giÊ sỷ tỗn tÔi m sao cho

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024 v do â k − 2 = lim h→∞ p h

(ời dĐu náu cƯn thiát) Chú ỵ rơng p h (0) = σ m+1 ∈ {−k + 2, −k + 3, , k − 2}, (2.28) p i (1) = i

Mởt số trữớng hủp °c biằt

Chựng minh Khi k = 2 thẳ phữỡng trẳnh (2.21) trð th nh c m = round(α ã 2 m ) v do õ c 1 = l +(l +1) = 2l +1 , ta thu ữủc 2l +1 = 2α, do õ α = 2l + 1 v 2 c m = (2l + 1) ã 2 m−1 (2.31) Bði vẳ σ m = d m = 0 vợi mồi m, j(n, 2, n − l) = 2 ã (n − c m ) trong õ c m ≤ n < c m+1 Do â, theo (2.31), ta câ m − 1 = log 2 n

2l + 1 v cuèi còng j(n, 2, n − l) = 2(n − (2l + 1) ã 2 blog 2 n−log 2 (2l+1)c ) (2.32) °c biằt, khi l = 0 thẳ theo (2.32), j(n, 2, n) = 2(n − 2 blog 2 nc ) Do õ, ta thu ữủc mÂ nhà phƠn cừa j(n, 2, n) náu ta viát n trong cỡ số nhà phƠn, xõa số 1 ð Ưu (chú ỵ rơng Ơy chẵnh l n − 2 blog 2 nc ) v thảm số 0 v o cuèi d¢y nhà ph¥n n y.

Trữợc khi tiáp tửc vợi giĂ trà k lợn hỡn, ta cƯn bờ ã sau:

( α x¡c ành nh÷ trong ành lþ 2.3.3.2) Khi â, (i) náu e m − c m < 0 thẳ d m 6= 0, (ii) náu e m − c m > 0 thẳ d m 6= k − 2.

Chựng minh Theo Mửc 2.3.3 ta suy ra e m − c m = 1 k

(i) GiÊ sỷ d m = 0 p dửng Bờ ã 2.3.3.1 nhữ trong chựng minh cừa ành lỵ 2.3.3.2 ta kát luên ngay e m − c m ≥ 0.

c m = round(e m ) (2.33) vợi e m = α ã 3 2 m º tẵnh j(n, 3, n − l) , theo (2.15) ta ch¿ cƯn biát giĂ trà c m thọa mÂn c m ≤ n < c m+1 v d m tữỡng ựng Viằc tẳm c m l ỡn giÊn:

Vợi n ≥ 5 giĂ trà m thẵch hủp l m ˜ − 1 ho°c m ˜ trong õ ˜ m = round log n α log 3 2

(cƯn sỷ dửng (2.33) º xĂc ành giĂ trà n o l lỹa chồn thẵch hủp.) BƠy giớ, theo Bờ ã 2.4.1.2, ta tẳm d m ∈ {0, 1} nhữ sau:

Vẵ dử 2.4.2.1 Ta Ăp dửng phữỡng phĂp n y cho b i toĂn Josephus ban Ưu ữủc trẳnh b y ð phƯn giợi thiằu, tực l ta tẵnh j(41, 3, 41) GiĂ trà cừa α vợi k = 3 v l = 0 l α = 0.8111 (xem ành lỵ 2.3.3.2).

Bữợc 1: Tứ (2.34), ta cõ m ˜ = 10 v theo (2.33), c m ˜ = 47 > 41 Do õ, mởt lƯn nỳa theo (2.33) m = 9 v c 9 = 31

Bữợc 3: j(41, 3, 41) = 3 ã (41 − c 9 ) + d 9 = 30 (tực l và trẵ 31 náu ta bưt Ưu Ănh số tÔi 1 thay vẳ tÔi 0 ) Ơy chẵnh l và trẵ cừa Josephus.

c m = round(e m ) (2.35) vợi e m = α ã 4 3 m º tẵnh j(n, 4, n − l) , mởt lƯn nỳa theo (2.15) ta cƯn biát giĂ trà c m thọa mÂn c m ≤ n < c m+1 v giĂ trà d m tữỡng ựng Ta tẳm c m nhữ trữớng hủp k = 3 Vợi n ≥ 7 giĂ trà m thẵch hủp l m ˜ − 1 ho°c m ˜ trong â ˜ m = round log n α log 4 3

(cƯn sỷ dửng (2.35) º xĂc ành giĂ trà n o l lỹa chồn thẵch hủp.) Tuy nhiản, dữớng nhữ khổng cõ cĂch ỡn giÊn n o º tẵnh d m ∈ {0, 1, 2} Tuy nhiản theo nhữ Bờ ã 2.4.1.2, ta biát rơng:

BƠy giớ, náu ta chồn d ˜ m = 1 trong trữớng hủp Ưu tiản v d ˜ m = 0 trong trữớng hủp thự hai v °t ˜ j(n, 4, n − l) = 4(n − c m ) + ˜ d m thẳ theo (2.15) ta câ j(n, 4, n − l) ∈ { ˜ j(n, 4, n − l), ˜ j(n, 4, n − l) + 1}.

Ta cƯn nhĐn mÔnh rơng trong nhiãu trữớng hủp ta văn cõ thº quyát ành khÊ nông n o l lỹa chồn úng Vợi mửc tiảu n y, ta ữa ra mởt số bờ ã.

Bờ ã 2.4.3.1 ([3]) GiÊ sỷ σ m = 3c m+1 − 4c m Khi õ (i) náu σ m = 2 thẳ d m = 0,

(ii) náu σ m = −2 thẳ d m = 2, (iii) náu σ m = 1 thẳ d m 6= 2, (iv) náu σ m = −1 thẳ d m 6= 0.

Chựng minh Cổng thực cừa σ m ữủc suy ra tứ ành nghắa (2.18) Khi õ, (i)-(iv) ữủc suy ra tứ BÊng 2.2.

Bờ ã 2.4.3.2 ([3]) Vợi mồi l tỗn tÔi số n l ≥ k sao cho vợi mồi n ≥ n l ta câ s = n mod k ⇒ j(n, k, n − l) 6= k − 1 − s.

Chựng minh Náu s = 0 thẳ tĐt nhiản (k − 1) mod n l số Ưu tiản bà xõa Náu s > 0 thẳ số Ưu tiản thuởc têp {n − 1, 0, 1, , k − 2} bà xoĂn l k − 1 − s Trong cÊ hai trữớng hủp náu ta chồn n l ừ lợn thẳ số k − 1 − s bà xõa tứ sợm.

Tứ bờ ã ta cõ hằ quÊ sau:

Hằ quÊ 2.4.3.3 ([3]) Vợi l v k cố ành, tỗn tÔi m 0 sao cho vợi mồi m ≥ m 0 ta câ s = c m mod k ⇒ d m 6= k − 1 − s.

Bờ ã 2.4.3.4 ([3]) Vợi mồi l tỗn tÔi n l ≥ k sao cho vợi mồi n ≥ n l ta câ

Chựng minh Tữỡng tỹ nhữ chựng minh cừa Bờ ã 2.4.3.2.Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Trữớng hủp k ≥ 5

é Ơy ta khổng cỏn cõ thº tẵnh dÂy {c j } mởt cĂch tữớng minh nỳa.

Nh÷ng theo ành lþ 2.3.3.2, ta v¨n câ c m ∈ {bα k−1 k m c, dα k−1 k m e} Ð Ơy ta khổng thº kát luên gẳ vã d m những náu ta °t ˜ c m := bα k−1 k m c, d ˜ m :=

Do õ, náu n > 2k − 2 thẳ ẵt nhĐt ta cõ thº biát số n o khổng nơm ð và trẵ bà xõa thự i.

Luên vôn vợi ã t i B i toĂn Josephus Â trẳnh b y ữủc nhỳng kát qu£ sau:

1 Trẳnh b y sỡ lữủc vã biºu diạn cỡ số b cừa số tỹ nhiản, biºu diạn hằ nhà phƠn, ph²p toĂn ỗng dữ, khĂi niằm vã h m s n v h m trƯn trong số hồc.

2 Giợi thiằu b i toĂn Josephus Mổ hẳnh hõa b i toĂn Josephus tờng quĂt trong trữớng hủp tờng quĂt Trẳnh b y lới giÊi cho b i toĂn Josephus trong trữớng hủp k = 2

3 Trẳnh b y mởt số kát quÊ liản quan án b i toĂn Josephus nhữ cổng thực tờng quĂt cừa và trà nhỳng ngữới bà giát; số collapsing v tẵnh ch§t cõa nâ.

Tiêu đề	Bài toán Josephus
Tác giả	Lê Thị Kim
Người hướng dẫn	TS. Ngô Văn Anh
Trường học	Trường Đại học Khoa học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	1,19 MB

bài toán josephus

Biºu diạn số nguyản theo cỡ số b

Hằ nhà phƠn

Ph²p toĂn ỗng dữ

H m s n, h m tr¦n

CƠu chuyằn làch sỷ vã b i toĂn Josephus

Trữớng hủp k = 2

Trữớng hủp tờng quĂt

Cổng thực ằ quy cừa j(n, k, i)

Sè collapsing c m

Tốc ở tông cừa c m

Mởt số trữớng hủp °c biằt

Trữớng hủp k = 2

Trữớng hủp k = 3

Trữớng hủp k = 4

Trữớng hủp k ≥ 5