ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1

ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1 Ngày thi: 07-01-2019 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA 1 Bộ môn Toán Ứng Dụng . . Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng Dụng.

ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1

Ngày thi: 07-01-2019 Thời gian: 90 phút

Ca thi : CA 1

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin



1 − 1 x

 Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √

2x − x2, y = √

2x, 0 ≤ x ≤ 1 Tính diện tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy) Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I =

Z 1 0

1 (x + 1)√

x arctan xαdx

Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1

2. Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y00= 2e−2x− 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4y

với điều kiện đầu: y(0) = 5

4, y

0(0) = 9

2. Câu 6 : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối Người ta bơm vào bể chứa dung dịch

nước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch được đưa ra ngoài với tốc độ 12 lít/phút

a/ Hãy xác định thể tích dung dịch trong bể chứa sau t phút

b/ Gọi y(t) là số kilogram muối còn lại trong thùng sau t phút, hãy xác định nồng

độ muối trong bể sau t phút theo t và y(t)

c/ Chứng minh lượng muối trong bể sau t phút là nghiệm của phương trình vi phân: y0 = 0.05 − 12y

2000 − 2t với điều kiện đầu y(0) = 50.

d/ Tìm y(t), từ đó tính lượng muối còn lại trong thùng sau 10 phút

Chủ nhiệm bộ môn duyệt

TS Nguyễn Tiến Dũng

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Bộ môn Toán Ứng Dụng

Phụ lục đề kiểm tra/thi PHỤ LỤC CHUẨN ĐẦU RA MÔN HỌC

TƯƠNG ỨNG VỚI ĐỀ THI

Môn thi: Giải tích 1 - MT1003: Đề gồm 6 câu

Ngày thi 07 tháng 01 năm 2019 Thời gian 90 phút

Đề thi cuối kì 181 (CA 1)

(Sinh viên không được sử dụng tài liệu)

Nội dung câu hỏi trên đề thi Nội dung chuẩn đầu ra môn học

C1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số L.O.1.1 - Nắm được cách khảo sát

và vẽ đồ thị hàm số

y = x − arcsin



1 − 1 x



C2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : L.O.1.1 - Nắm vững cách tính

y =√

2x − x2, y =√

2x, 0 ≤ x ≤ 1 các tích phân thông dụng

Tính diện tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D L.O.2.1 - Ứng dụng tích phân để tính

quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy) thể tích, diện tích, chiều dài

C3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau L.O.1.1 - Nắm vững cách khảo sát được sự

hội tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng

I =

Z 1 0

1 (x + 1)√

x arctan xαdx hội tụ

L.O.1.1 - Nắm vững cách tính C4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1

2. tích phân suy rộng.

C5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân L.O.1.1 - Nắm được cách giải các ptvp cấp 1,2

hệ phương trình vi phân

y00 = 2e−2x− 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4y

với điều kiện đầu : y(0) = 5

4, y

0(0) = 9

2. C6 : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối L.O.1.1 - Hiểu được một số mô hình

Người ta bơm vào bể chứa dung dịch nước muối kĩ thuật đưa về bài toán ptvp

nồng độ 0.005kg / lít với tốc độ 10 lít / phút, đồng thời

dung dịch được đưa ra ngoài với tốc độ 12 lít / phút

a Hãy xác định thể tích dung dịch L.O.2.1 - Tự xây dựng

trong bể chứa sau t phút và trả lời các câu hỏi thực tế tương ứng

b Gọi y(t) là số kilogram muối còn lại trong thùng sau

t phút, hãy xác định nồng độ muối

trong bể sau t phút theo t và y(t)

c Chứng minh lượng muối trong bể sau t phút là

nghiệm của phương trình vi phân : y0 = 0.05 − 12y

2000 − 2t với điều kiện đầu y(0) = 50

d Tìm y(t), từ đó tính lượng muối còn lại

trong thùng sau 10 phút

ĐÁP ÁN CA 1 Câu 1 MXĐ : −1 ≤ 1 − 1

x ≤ 1 ⇔ x ≥ 1

2

f0(x) = 1 − 1

x√ 2x − 1, f

0(x) = 0 ⇔ x = 1 (0.25đ) TCX : y = x − π/2 (0.25đ)

BBT (0.5đ)

y 12 + π2 & 1 % +∞

Đồ thị (0.5đ)

Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểm

Kết luận đúng về cực trị và TCX nhưng sai BBT hoặc không có hay sai TCX: cả bài tối đa 0.75đ

Câu 2 S1 = 2π

Z 1 0

√ 2x

r

1 + 1 2xdx = 2π

√

3 − 1 3



= 8.8874(0.25đ+0.25đ)

S2 = 2π

Z 1 0

√ 2x − x2

s

1 + (1 − x)

2

2x − x2dx = 2π = 6.2832 (0.25đ+0.25đ)(Có thể dùng công thức hình học để tính)

S3 = 2π − π = π(diện tích hình vành khăn, R1 = 1, R2 =√

2)(0.5đ)

S = 2π

√

3 + 7 6



= 18.2132(0.5đ)

Câu 3 TH1 : α ≤ 0, 0 ≤ f (x) ∼ √a

x, x → 0

+ : Hội tụ (0.5đ)

TH2 : α > 0, 0 ≤ f (x) ∼ 1

x1+α2

, I hội tụ ⇔ 1 + α

2 < 1, α > 0 ⇔ 0 ≤ α ≤ 1 (0.5đ) Câu 4 I = I =

Z 1 0

1 (x + 1)px arctan√

xdx.

Đặt t = arctan√

x ⇒ dx = dt

2√ x(1 + x) (0.5đ)

I = 2

Z π4

0

dt

√

t(0.5đ)= 4

√ t|π/40 = 2√

π (0.5đ) Chú ý: Có thể đổi biến khác nhau, nhưng ra đến tpxđ cuối cùng ĐÚNG:(tối đa 1đ)

Câu 5 ptđt k2+ 4 = 0 ⇔ k = ±2i; y0 = C1cos 2x + C2sin 2x (0.5đ)

yr = Ae−2x + x(B cos 2x + C sin 2x) (0.5đ) A = 1

4, B = 1, C = 2

→ yT Q = C1cos 2x + C2sin 2x + 1

4e

−2x+ x cos 2x + 2x sin 2x (0.5đ) Thay điều kiện đầu: C1 = 1, C2 = 2 (0.5đ)

Câu 6 a/ V (t) = 2000 + 10t − 12t = 2000 − 2t (0.25đ)

b/ Nồng độ muối sau t phút là : y(t)

V (t)(kg/lít) (0.25đ) c/ Tốc độ thay đổi của lượng muối trong bể là y0(t) = Tốc độ muối vào - tốc độ muối

ra (0.25đ)

d/ y(t) = 10−2(1000 − t) + C ∗ (1000 − t)6 (0.5đ)

C = 4 ∗ 10−17 (0.25đ)

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng Dụng.

ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1

Ngày thi: 07-01-2019 Thời gian: 90 phút

Ca thi : CA 2

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =







xex1, x > 0

x2

x3− 1, x ≤ 0

Câu 2 : Cho miền D giới hạn bởi y ≥ 0, x2+ y2 ≤ 2, x2+ y2 ≥ 2y Tính thể tích vật thể

tạo tròn xoay tạo ra khi quay miền D quanh trục Oy Câu 3 : Tính tích phân I =

Z +∞

1

1 x

q

4 − x2

dx

Câu 4 : Tìm tất cả số thực α > 0 để tích phân I =

Z +∞

0

xα− lnα(1 + x) (x3+ arctan x2)αdx HỘI TỤ. Câu 5 : Giải hệ phương trình

(

x0(t) = −2x + 5y + e3t

y0(t) = 2x + y + 8e3t .

Câu 6 : Khi pha 300 lít dung dịch trong thùng để sản xuất, 1 người đã cho nhầm cả bao

10kg hóa chất Do đó, người ta phải pha loãng dung dịch bằng cách cho nước tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy ra với cùng tốc độ 5 lít / phút liên tục đến khi lượng hóa chất trong thùng chỉ còn 5 kg

1/ Nếu gọi y(t) là số kilogram hóa chất có trong thùng sau t phút thì tỉ lệ hóa chất trong thùng sau t phút là bao nhiêu? y(0) bằng bao nhiêu?

2/ Tốc độ thay đổi của tỉ lệ hóa chất trong thùng tại thời điểm t0 là y0(t0) được tính bằng công thức nào?

3/ Chứng minh hàm y(t) là nghiệm của phương trình vi phân y0(t) = − y

60 với điều kiện đầu y(0) = 10 Tìm y(t)?

4/ Sau bao nhiêu phút thì lượng hóa chất trong thùng đạt yêu cầu là 5kg?

Chủ nhiệm bộ môn duyệt

TS Nguyễn Tiến Dũng

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Bộ môn Toán Ứng Dụng

Phụ lục đề kiểm tra/thi PHỤ LỤC CHUẨN ĐẦU RA MÔN HỌC

TƯƠNG ỨNG VỚI ĐỀ THI

Môn thi: Giải tích 1 - MT1003: Đề gồm 6 câu

Ngày thi 07 tháng 01 năm 2019 Thời gian 90 phút

Đề thi cuối kì 181 (CA 2)

(Sinh viên không được sử dụng tài liệu)

Nội dung câu hỏi trên đề thi Nội dung chuẩn đầu ra môn học

C1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số L.O.1.1 - Nắm được cách khảo sát

y =







xe1x, x > 0

x2

x3− 1, x ≤ 0

và vẽ đồ thị hàm số

C2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : L.O.1.1 - Nắm vững cách tính

y ≥ 0, x2+ y2 ≤ 2, x2+ y2 ≥ 2y các tích phân thông dụng

Tính thể tích vật thể tạo tròn xoay tạo ra L.O.2.1 - Ứng dụng tích phân để tính

khi quay miền D quanh trục Oy thể tích, diện tích, chiều dài

C3 : Tính tích phân I =

Z +∞

1

1 x

q

4 − x2

dx L.O.1.1 - Nắm vững cách tính tp suy rộng C4 : Tìm tất cả số thực α > 0 để tích phân L.O.1.1 -Nắm vững cách khảo sát sự

I =

Z +∞

0

xα− lnα(1 + x) (x3+ arctan x2)αdx HỘI TỤ. hội tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng. C5 : Giải hệ phương trình L.O.1.1 - Nắm được cách giải các ptvp cấp 1,2

hệ phương trình vi phân

(

x0(t) = −2x + 5y + e3t

y0(t) = 2x + y + 8e3t

C6 : Khi pha 300 lít dung dịch trong thùng để sản xuất, L.O.1.1 - Hiểu được một số mô hình

1 người đã cho nhầm cả bao 10kg hóa chất Do đó, kĩ thuật đưa về bài toán ptvp

người ta phải pha loãng dung dịch bằng cách cho nước

tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch

chảy ra với cùng tốc độ 5 lít / phút liên tục

đến khi lượng hóa chất trong thùng chỉ còn 5 kg

a Nếu gọi y(t) là số kilogram hóa chất có trong thùng L.O.2.1 - Tự xây dựng

sau t phút thì tỉ lệ hóa chất trong thùng sau t phút và trả lời các câu hỏi thực tế tương ứng

là bao nhiêu? y(0) bằng bao nhiêu?

b Tốc độ thay đổi của tỉ lệ hóa chất trong thùng tại

thời điểm t0 là y0(t0) được tính bằng công thức nào?

c Chứng minh hàm y(t) là nghiệm của pt vi phân

y0(t) = −y

60 với điều kiện đầu y(0) = 10.Tìm y(t)?.

d Sau bao nhiêu phút thì lượng hóa chất

trong thùng đạt yêu cầu là 5kg?

ĐÁP ÁN CA 2 Câu 1: MXĐ : (−∞, +∞), gpt y0 = 0 : x = −√

2, x = 1(0.25đ)

TC: x = 0, y = 0, y = x + 1(0.25d)

BBT (0.5đ)

y 0 & −3

√ 4

3 % 0| + ∞ & e % +∞

Đồ thị (0.5đ)

Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểm

Kết luận đúng về cực trị và TC nhưng sai BBT: cả bài tối đa 0.75đ

Câu 2: Miền D đối xứng qua trục quay Oy do các pt chẵn với x nên chỉ cần tính nửa bên

phải, giao điểm:(0, 0), (1, 1), (√

2, 0) hoặc vẽ hình đúng (0.5d)

Vy = 2π

Z 1 0

x1 −√

1 − x2dx + 2π

Z

√ 2 1

x√

2 − x2dx(0.5d) = π(0.5d)

Câu 3: I =

Z 2

1

1

x√

4 − x2dx+

Z +∞

2

1

x√

x2− 4dx (0.5d)=

Z 12

1

−dt

√ 4t2− 1+

Z 0

1

−dt

√

1 − 4t2(0.5đ)

I = 1

2ln 2t +

√ 4t2− 1
|1

1+1

2arcsin 2t|

1

0 (0.5d)=1

2ln 2 +

√ 3
+π

4 ≈ 1, 444 (0.5d) Câu 4: I =

Z 1

0

f (x)dx +

Z +∞

1

f (x)dx = I1+ I2

Khi x → 0+ : f ∼

α

2xα+1

x2α = 2

α.

1

xα−1 > 0 nên tp I1 HT ↔ α < 2(0.5d) Khi x → +∞ : f ∼ x

α

x3α = 1

x2α > 0 nên tp I2 HT ↔> 1

2 Vậy tp đã HT ↔ 1

2 < α < 2(0.5d)

Câu 5: Khử 1 hàm:  x00+ x0− 12x = 42e3t

y00+ y0− 12y = 42e3t

 (0.5d) →  x = C1e3t+ C2e−4t+ ate3t

y = C1e3t+ C2e−4t+ ate3t



(0.5d) →  x = C1e3t+ C2e−4t+ 6te3t

y = C1e3t+ C2e−4t+ 6te3t

 (0.5d)

Nghiệm pt







x = C1e3t+ C2e−4t+ 6te3t

y = C1e3t− 2

5C2e

−4t+ 6te3t+ e3t hoặc







x = C1e3t−5

2C2e

−4t+ 6te3t− e3t

y = C1e3t+ C2e−4t+ 6te3t

(0.5d)

Câu 6: 1/Tỉ lệ: y(t)

300, y(0) = 10 (0.5d) 2/y0(t) = 0 − y

300.5 (0.5d) 3/y = 10e−t60 (0.5d)

4/y = 5 ↔ t = 60 ln 2 ≈ 42 (phút) (0.5d)