tư duy sáng tạo trong các bài toán về phương trình mặt phẳng

L@ do chọn đC tDi Các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” là một trong những nội dungquan trọng của chương trình hình học lớp 12, trong những năm gần đây nộidung này thường xuất hiện tr

PP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT TÂY THẠNH

******************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG CÁC BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Lĩnh vực : Toán

Cấp học : THPT

Tên tác giả:

Đơn vị công tác:

NĂM HỌC:2021– 2022

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 L@ do chọn đC tDi 1

2 ĐEi tưGng nghiên cHu 1

3 MKc đ@ch nghiên cHu 1

4 Nhiê M m vK nghiên cHu 1

5 Phương pháp nghiên cHu 1

6 Giả thuyRt khoa học 1

7 Cấu trWc cXa sáng kiRn 1

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 2

1.1 Tư duy sáng tạo, các thDnh phần cXa tư duy sáng tạo 2

1.1.1 Tư duy sáng tạo 2

1.1.2 Các thDnh phần cXa tư duy sáng tạo 2

1.2 Định hướng phát triển tư duy sáng tạo 3

1.3 Thực tiễn vC phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi dạy học các bDi toán vC “Phương trình mặt phẳng” trong chương trình hình học lớp 12 (chương trình cơ bản) 4

1.3.1 Những điểm cần chW ý khi dạy học các bDi toán “Phương trình mặt phẳng” cho học sinh trong chương trình hình học lớp 12 (chương trình cơ bản) 4

1.3.2 Khảo sát thực tiễn vC vấn đC phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 5 CHƯƠNG II 7

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ “PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG” 7

CHƯƠNG III 13

THỰC NGHIÊMM SƯ PHẠM 13

3.1 MKc đ@ch thực nghiệm 13

3.2 Nội dung thực nghiệm 13

KẾT LUẬN 14

TÀI LIÊMU THAM KHqO 15

MỞ ĐẦU

1 L@ do chọn đC tDi

Các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” là một trong những nội dung quan trọng của chương trình hình học lớp 12, trong những năm gần đây nội dung này thường xuất hiện trong các đề thi Trung học ph: thông Quốc gia Khi giải các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” học sinh thường tư duy máy móc, rập khuôn, suy luận không có căn cứ, yếu về khả năng phân tích t:ng hợp, lúng túng khi vận dụng các thao tác tư duy để tìm đường lối giải bài toán và hạn chế ở trí tưởng tượng không gian Hơn nữa các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” trong chương trình hình học lớp 12 có nhiều tiềm năng để khai thác việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Với những lí do trên, đề

tài nghiên cứu của sáng kiến được chọn là: “ tư duy sáng tạo trong các bài toán

về phương trình mặt phẳng”.

2 ĐEi tưGng nghiên cHu

Quá trình dạy học các bài toán về phương trình mặt phẳng cho học sinh lớp 12 Trung học ph: thông (chương trình cơ bản)

3 MKc đ@ch nghiên cHu

Xây dựng và sV dụng hê W thống bài toán góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học ph: thông trong việc dạy học các bài toán về phương trình mặt phẳng

4 Nhiê M m vK nghiên cHu

+ Nghiên cứu lí luận về tư duy, tư duy toán học, tư duy sáng tạo.

+ Tìm hiểu, nghiên cứu một số yếu tố của tư duy sáng tạo qua đó đề xuất một

số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học các bài toán

về phương trình mặt phẳng

T: chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính thực+

tiễn của phương án dạy học đã đề xuất

5 Phương pháp nghiên cHu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp điều tra, khảo sát

+ Thực nghiệm sư phạm

6 Giả thuyRt khoa học

Nếu giáo viên biết khai thác và t: chức dạy học một số bài toán về

“Phương trình mặt phẳng” thì có thể nâng cao hiê Wu quả dạy học nô Wi dung này, giúp kh`c phục được mô Wt số khó khăn và sai lầm của học sinh, góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 Trung học ph: thông

7 Cấu trWc cXa sáng kiRn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục sáng kiến gồm

ba chương:

Chương 1: Cơ ss l@ luâ M n vD thực tiễn

Chương 2: Một sE bDi toán vC phương trình mă M t phvng

Chương 3: Thực nghiê M m sư phạm

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy sáng tạo, các thDnh phần cXa tư duy sáng tạo

1.1.1 Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo

và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thề hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất

Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình: Tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi sau

Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau:

Như vậy có thể hiểu tư duy sáng tạo là sự kết hợp cao nhất của tư duy độc lập và tư duy tích cực, tạo ra cái mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

1.1.2 Các thDnh phần cXa tư duy sáng tạo

Nhiều nhà nghiên cứu về tâm lý học, giáo dục học đã đưa ra các cấu trúc khác nhau của tư duy sáng tạo có những thành phần cơ bản sau đây

+ T@nh mCm dẻo:

Đó là năng lực thay đ:i dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối quan hệ mới hoặc chuyển đ:i quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật

và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đ:i một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người

+ T@nh nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự t: hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

+ T@nh độc đáo

Tư duy sáng tạo

tạo tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực

Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lí, tính tối ưu của giải pháp

Ba yếu tố nói trên là ba yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo, là thành phần cốt lõi của tư duy sáng tạo Tuy nhiên tư duy sáng tạo còn có các yếu tố khác như:

+ T@nh hoDn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

+ T@nh nhạy cảm vấn đC: Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự

mâu thuẫn, những sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu, và từ đó đưa ra những đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới

Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan

hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ b: sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được phương án lạ, đặc s`c (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người Hoạt động giải toán là một hoạt động đặc biệt kích thích học sinh tìm tòi, khám phá, giải những bài toán khó thông qua việc huy động các tri thức của mình đã có với mong muốn tiếp thu tri thức mới, qua đó giúp HS rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, bởi mỗi dạng bài tập đều có tác dụng nhất định đối với từng thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

Để thực hiện tốt các biện pháp trên, mỗi giáo viên cần thường xuyên trau dồi kiến thức toán học ph: thông, trên cơ sở kiến thức toán học hiện đại có liên quan và đầu tư phương pháp dạy học tốt

1.2 Định hướng phát triển tư duy sáng tạo

Phát triển tư duy sáng tạo cho HS là một quá trình lâu dài được thực hiện trong toàn quá trình dạy học Để làm được điều này đòi hỏi người GV cần chú ý rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS theo các thành phần như: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm, tính chính xác trên

cơ sở trang bị kiến thức cho học sình và rèn luyện các hoạt động trí tuệ

Việc trang bị kiến thức cơ bản cho HS đại trà, đặc biệt bồi dưỡng tư duy nói chung, tư duy sáng tạo nói riêng cho HS là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khác nhau Điều quan trọng nhất trong việc phát triển tư duy sáng tạo là giải phóng hoạt động tư duy của HS để các em có cách nghĩ, cách nhìn, cách giải quyết vấn đề không gò bó, không nhàm chán Việc dự đoán, mò mẫm kết quả không chỉ tập cho HS phong cách nghiên cứu khoa học, tập cho các em thao tác tư duy tiền logic cần thiết, mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của HS khi học Khi ta đưa ra dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lới

giải, chứng minh cho kết quả dự đoán của mình Như Nguyễn Cảnh Toàn đã nói: “Đừng nghĩ rằng “mò mẫm” thì có gì “sáng tạo” nhiều nhà khoa học lớn

đã phải dùng đến nó Không dạy mò mẫm thì người thông minh nhiều khi phải

bó tay vì không nghĩ đến hoặc không biết mò mẫm”

Rèn luyện cho học sinh biết nhìn tình huống bài toán đặt ra hoặc biết đặt bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để có hướng giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng xảy ra và đưa ra lời giải chuẩn cho bài toán

HS biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác nhau rồi từ đó tìm ra cách giải quyết tối ưu Người thầy có vai trò định hướng giúp HS thực hiện điều này nhằm tập luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy

1.3 Thực tiễn vC phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi dạy học các bDi toán vC “Phương trình mặt phẳng” trong chương trình hình học lớp 12 (chương trình cơ bản)

1.3.1 Những điểm cần chW ý khi dạy học các bDi toán “Phương trình mặt phẳng”

cho học sinh trong chương trình hình học lớp 12 (chương trình cơ bản)

Khi dạy học các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” cho học sinh trước hết cần tập trung đạt được kiến thức trọng tâm sau:

+ Học sinh phải biết thêm cách khác để tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng nhờ tính tích có hướng của hai véctơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng

+ Học sinh phải được tiếp cận với các cách lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp: Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ; mặt phẳng song song hoặc chứa các trục Ox (hoặc Oy hoặc Oz); Mặt phẳng song song hoặc trùng với một phẳng phẳng tọa độ (Oxy) (hoặc (Oyx) hoặc (Ozx)); mặt phẳng đi qua cả ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C( 0; 0; c) với

+ Học sinh phải thành thạo hai thao tác “đọc” và “viết” sau đây:

- Thao tác “đọc”: Khi cho trước phương trình của một mặt phẳng, học sinh phải “đọc” được các yếu tố liên quan

Ví dụ 1: Phương trình cho ta một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và

có một véctơ pháp tuyến

- Thao tác “viết”: Khi đã biết các yếu tố xác định cho một mặt phẳng, học sinh phải viết được phương trình biểu thị cho mặt phẳng đó

Ví dụ : 2 Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và có một véctơ pháp tuyến có

+ Học sinh còn được tiếp cận với các bài toán lập phương trình mặt phẳng liên quan đến góc, khoảng cách, vị trí tương đối giữa mặt phẳng với đường thẳng và mặt cầu

Trong chương trình hình học lớp 12, hệ thống bài tập dạng toán về “Phương trình mặt phẳng” có nhiều loại bài tập có thể dùng để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Chẳng hạn như để bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy, giáo viên có thể tận dụng các loại bài tập: Loại bài tập có nhiều cách giải, bài tập có nội dung biến đ:i, …Để bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy, giáo viên có thể tận dụng loại bài tập có nhiều kết quả Để bồi dưỡng tính độc đáo của tư duy, giáo viên có thể tận

dụng loại bài tập không theo mẫu,…Tất cả những điều trên sẽ được cụ thể hóa trong chương 2 của sáng kiến này

1.3.2 Khảo sát thực tiễn vC vấn đC phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Qua kinh nghiê Wm nhiều năm giảng dạy tại trường Trung học ph: thông, cũng như dạy chương trình lớp 12; qua trao đ:i, thảo luâ Wn với các đồng nghiê Wp trong các bu:i sinh hoạt chuyên môn, bồi dưỡng chuyên đề; cùng với kết quả điều tra bằng phiếu đối với giáo viên t: Toán và các em học sinh lớp 12 trường Trung học ph: thông Trần Phú Tôi nhâ Wn định thực tiễn về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong các trường ph: thông hiê Wn nay như sau:

Phương pháp dạy học hiện nay đã có nhiều thay đ:i so với trước Các phương pháp dạy học tích cực đã dần thay thế cho cách dạy học thầy đọc, trò chép, học sinh đã dần thay đ:i cách học bớt thụ động, tự mình chủ động khám phá và chiếm lĩnh tri thức Tuy nhiên, hiện nay trong các nhà trường ph: thông vẫn còn có một bộ phận các giáo viên vẫn dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức, trò tiếp nhận và ghi nhớ Đôi khi vẫn còn xuất hiện kiểu dạy nhồi nhét, dạy chay, dạy một cách hình thức và xa rời thực tiễn Với cách dạy học đó đã làm cho học sinh thụ động tiếp thu bài giảng, hạn chế lớn đến nhận thức và tư duy sáng tạo của học sinh, không phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Nhìn chung giáo viên mới chỉ quan tâm dạy sao cho đúng, đủ nội dung quy định trong chương trình, sách giáo khoa chứ chưa khuyến khích phát triển tối đa khả năng sáng tạo của người học Trong dạy học môn Toán ở đa số các trường ph: thông hiê Wn nay đă Wc biê Wt

là dạy các chuyên đề bài tâ Wp, giáo viên thường chữa và luyê Wn cho học sinh theo bài tâ Wp mẫu Chính vì thế học sinh thường quen với viê Wc giải bài tâ Wp theo cách giải mẫu đã có mô Wt cách máy móc mà không có sự sáng tạo, tìm tòi lời giải Mô Wt thực tiễn nữa là thông thường học sinh thường thỏa mãn khi tìm ra mô Wt cách giải

mà không chú trọng viê Wc tìm hiểu xem bài toán có còn cách giải nào khác nữa hay không? Cách giải của mình đã tối ưu chưa? Bài toán còn được khai thác theo các cách khác theo hướng nào?

Qua nghiên cứu sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 12 (cơ bản)

có thể thấy được một số đặc điểm nội dung chương trình các bài toán về

“Phương trình mặt phẳng” như sau:

+ So với sách giáo khoa trước đây, có nhiều vấn đề đã được lược bỏ, chẳng hạn như: cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng, phương trình t:ng quát của mặt phẳng, phương trình chùm mặt phẳng

+ Về phương trình mặt phẳng, sách giáo khoa chỉ giới thiệu dạng phương trình t:ng quát của mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và có véctơ pháp tuyến cho trước Tuy nhiên, bài tập về phương trình mặt phẳng trong phần bài tập và đặc biệt trong các đề thi đòi hỏi ở mức độ cao hơn nhiều Do đó cần xây dựng một hệ thống bài toán về phương trình mặt phẳng và các phương pháp giải nhằm phát huy khả năng sáng tạo của học sinh

Qua trao đ:i với một số giáo viên toán ở một số trường trung học ph: thông, và tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội dung “Phương trình mặt phẳng” trong chương trình hình học lớp 12 có một vài nhận xét như sau:

+ Đa số giáo viên đều đồng ý với quan điểm các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” có khả năng to lớn trong việc phát triền năng lực sáng tạo cho học sinh

+ Đa số các giáo viên đều cho rằng đây là nội dung trọng tâm, cơ bản luôn

có trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học

+ Những bài toán về “Phương trình mặt phẳng” trong sách giáo khoa không có hệ thống bài tập theo dạng, các bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích, t:ng hợp nhiều kiến thức liên quan trong việc giải bài tập, do đó

kỹ năng giải toán dạng này còn nhiều hạn chế khi học sinh gặp những bài tập nâng cao

+ Hầu hết các giáo viên cho rằng nếu có một hệ thống bài toán và có một phương pháp truyền đạt phù hợp thì không những có thể nâng cao hiệu quả việc giảng dạy nội dung này mà còn giúp cho học sinh nhanh chóng giải quyết được dạng toán về “Phương trình mặt phẳng” trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học, đồng thời từ đó học có kỹ năng và phương pháp học các chủ đề khác như phương trình đường thẳng, phương trình mă Wt cầu mô Wt cách dễ dàng hơn Qua tìm hiểu các em học sinh ở trường trung học ph: thông Trần Phú, thấy rằng:

+ Hầu hết các em học sinh đều giải được bài tập dạng đơn giản bằng cách nhớ dạng t:ng quát của phương trình mặt, dễ dàng xác định được điểm mà mặt phẳng đi qua và một véctơ pháp tuyến

+ Các em học sinh hầu như chưa được trang bị đầy đủ các phương pháp tiếp cận, chưa có mô Wt hê W thống bài tâ Wp dạng toán về “Phương trình mặt phẳng” Một số học sinh khá, giỏi ở các trường THPT tuy đã làm quen với một số bài toán dạng này nhưng vẫn còn lúng túng khi gặp các bài toán khó, các bài toán không quen thuô Wc hoă Wc không theo mẫu

Nguyên nhân:

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên, chẳng hạn như:

+ Về phía học sinh:

- }p lực thi cV cao, bê Wnh thành tích trong học tâ Wp, nhiều học sinh chỉ học

ôn theo đúng chương trình kiểm tra thi cV

- Nhiều học sinh mang nă Wng tâm lí ngại học phân môn hình học từ các lớp dưới, trí tưởng tượng không gian kém, chưa tích cực suy nghĩ, dễ nản khi gă Wp các bài toán khó

+ Về phía giáo viên:

- Giáo viên chưa có đầy đủ kiến thức về phát triển tư duy sáng tạo, hoă Wc không đủ khả năng sáng tạo để dạy học theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Trong quá trình dạy học, nhiều giáo viên thường chỉ dừng lại ở bước trình bày lời giải mà chưa quan tâm đến việc nghiên cứu sâu lời giải Giáo viên dạy học sinh còn thiên về các kỹ năng giải toán, áp dụng những công thức, những dạng toán có s~n Chính vì vâ Wy mà tư duy sáng tạo của học sinh bị kìm hãm, không được phát triển

Từ những vấn đề tìm hiểu được ở trên có thể thấy được việc dạy và học các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” ở các trường THPT chưa được quan

tâm đúng mức, mới chỉ đạt được ở mức độ dạng bài tập cơ bản Chính vì vậy việc khai thác các bài toán về “Phương trình mặt phẳng” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là rất cần thiết để phục vụ cho học sinh khi ôn thi tốt nghiê Wp, ôn thi vào các trường cao đẳng, đại học

CHƯƠNG II CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ “PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG”

Bài toán 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng

và điểm Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, đồng thời song song với cả hai đường thẳng và

Giải

Cách 1: Đường thẳng có vectơ chỉ phương , đường thẳng

có vectơ chỉ phương

Mă Wt phẳng song song với cả hai đường thẳng và nên vectơ pháp tuyến của mă Wt phẳng là

Mă Wt phẳng đi qua nên có phương trình:

Vâ Wy phương trình mă Wt phẳng cần tìm là

Tuy nhiên với cách nhìn khác về bài toán, học sinh có thể sV dụng quan

hệ song song của đường thẳng và mặt phẳng để tìm lời giải khác cho bài toán như sau:

Cách 2: Giả sV phương trình mặt phẳng có dạng

mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến

Đường thẳng và lần lượt có các vectơ chỉ phương là và

Theo giả thiết của bài toán ta có và nên suy ra

Từ kết quả trên ta chọn thỏa mãn hệ phương trình Vậy phương trình mặt phẳng lập được là:

Nhận xét: Cách giải trên tuy dài dòng, lời giải phức tạp hơn cách giải 1

nhưng thể hiện được năng lực chuyển hóa trong tư duy, học sinh có khả năng nhìn bài toán theo các cách khác nhau, lựa chọn những giải pháp khác nhau, vận dụng được kiến thức và kỹ năng giải hệ phương trình đã biết vào bài toán mới

Từ đó lựa chọn được phương pháp, cách giải tối ưu cho các bài toán khác và vận dụng được cách giải trên cho một lớp các bài toán rộng hơn

Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng

và hai điểm Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Cách 1: Gọi là điểm cần tìm, ta có:

Mặt khác nên ta có:

Theo bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki, có:

Từ đó suy ra được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Kết hợp với điều kiện ta có hệ phương trình

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2: Xét điểm tùy ý, áp dụng qui t`c phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương ta có:

Không mất tính t:ng quát, giả sV Khi đó