Đề tài thiết kế bộ điều khiển và bộ quan sát bền vững cho hệ thống con lắc ngược với sự ảnh hưởng của thành phần bất định dựa trên cách tiếp cận lmis

Māc tiêu: Đà xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá quan sát bÃn vāng đÅ °ãc l°ÿng chính xác các biÁn tr¿ng thái căa há tháng con lÃc ng°ÿc khi há tháng có să tãn t¿i thành phÅn bÃt đánh.. Đà xuÃt

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

S 0 9

CÔNG TRÌNH NCKH CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN VÀ BỘ QUAN SÁT BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG CON LẮC NGƯỢC VỚI SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA THÀNH PHẦN BẤT ĐỊNH DỰA TRÊN CÁCH TIẾP CẬN LMIs

MÃ SỐ: T2020-42TĐ

S KC 0 0 7 3 3 0

Tp Hồ Chí Minh, tháng 4/2021

TR¯âNG Đ¾I HàC S¯ PH¾M KỸ THU¾T

TR¯äNG Đ¾I HâC S¯ PH¾M KĀ THUÀT

THÀNH PHà Hâ CHÍ MINH

KHOA ĐIàN – ĐIàN TỬ

BÁO CÁO TÞNG K¾T

ĐÀ TÀI NCKH CÂP TR¯âNG TRàNG ĐIÂM

THI¾T K¾ BÞ ĐIÀU KHIÂN VÀ BÞ QUAN SÁT BÀN VþNG CHO Hà THäNG CON LÀC NG¯þC VàI SĀ ÀNH H¯äNG CĂA THÀNH PHÄN BÂT ĐÞNH DĀA TRÊN CÁCH TI¾P C¾N LMIs

Mã så: T2020-42TĐ

Chă nhiám đÁ tài: TS Vũ Văn Phong

Thành viên đÁ tài: PGS TS Nguyßn Minh Tâm

TS TrÅn Vi Đô

TP HCM, 04/2021

ii

DANH MĀC HÌNH

HÌNH 2.1: Hà TRĀC TâA Đà CHO Hà XE CON LÂC NG¯þC 10HÌNH 2.2: CÁC Và TRÍ LÀM VIàC T)NH CĂA Hà XE CON LÂC NG¯þC 15HÌNH 3.1:CÂU TRÚC Hà THàNG CON LÂC NG¯þC VâI Bà QUAN SÁT 17HÌNH 3 2: CÂU TRÚC Hà THàNG CON LÂC NG¯þC VâI Bà ĐIÂU KHIÄN KÀT HþP VâI Bà QUAN SÁT 20HÌNH 3.3: CÂU TRÚC Hà THàNG ĐIÂU KHIÄN CON LÂC NG¯þC VâI SĂ TâN T¾I CĂA

THÀNH PHÄN BÂT ĐàNH 24HÌNH 4.1: Và TRÍ ý1(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG Và TRÍ ý1(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒1(ý) 33HÌNH 4.2: VÀN ý2(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG VÀN TàC ý2(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒2(ý) 34HÌNH 4.3: GÓC ý3(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG GÓC ý3(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒3(ý) 34HÌNH 4 4: VÀN TÓC GÓC ý4(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG VÀN TàC GÓC ý4(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒4(ý) 35HÌNH 4.5: Và TRÍ ý1(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG Và TRÍ ý1(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒1(ý) 36HÌNH 4.6: VÀN ý2(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG VÀN TàC ý2(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒2(ý) 36HÌNH 4.7:GÓC ý3(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG GÓC ý3(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒3(ý) 37HÌNH 4.8: VÀN TÓC GÓC ý4(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG VÀN TàC GÓC ý4(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒4(ý) 37HÌNH 4.10: VÀN ý2(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG VÀN TàC ý2(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒2(ý) 39HÌNH 4.11: GÓC ý3(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG GÓC ý3(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒3(ý) 40HÌNH 4.12VÀN TÓC GÓC ý4(ý), TÍN HIàU ¯âC L¯þNG VÀN TàC GÓC ý4(ý), VÀ SAI Sà ¯âC L¯þNG �㕒4(ý) 40

iv

BÀNG CÁC CHþ VI¾T TÀT

Chÿ vi¿t tÁt Ý ngh*a ti¿ng Anh Ý ngh*a ti¿ng Viát

LMI Linear Matrix Inequality BÃt ph°¢ng trình ma trÁn

tuyÁn tính BMI Bilinear Matrix Inequality BÃt ph°¢ng trình ma trÁn

phi tuyÁn

v

M ĀC LĀC

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐÀ TÀI VÀ Đ¡N VÞ PHäI HþP CHÍNH I DANH M ĀC HÌNH II DANH M ĀC BÀNG III

B ÀNG CÁC CHþ VI¾T TÀT IV

M ĀC LĀC V

THÔNG TIN K ¾T QUÀ NGHIÊN CĄU 1

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 3

CH¯¡NG 1: Mä ĐÄU 5

1.1 Đ ¾T VÂN ĐÀ 5

1.2 M ĀC ĐÍCH NGHIÊN CĄU 7

1.3 Đ äI T¯þNG NGHIÊN CĄU 7

1.4 G IàI H¾N NGHIÊN CĄU 7

N GHIÊN CĄU GIÀI THU¾T Đ THI¾T K¾ BÞ ĐIÀU KHIÂN VÀ BÞ QUAN SÁT CHO Hà CON LÀC NG¯þC Đ ¯àC L¯þNG BI¾N TR¾NG THÁI VÀ ĐIÀU KHIÂN CON LÀC NG¯þC ÞN ĐÞNH T¾I GäC K ¾T QUÀ NGHIÊN C ĄU CHâ THĀC HIàN MÔ PHâNG Đ CHĄNG MINH SĀ THÀNH CÔNG CĂA PH¯¡NG PHÁP 7

1.5 T ÌNH HÌNH NGHIÊN C ĄU TRONG VÀ NGOÀI N¯àC 7

CH¯¡NG 2: C¡ Sä LÝ THUY¾T 10

2.1 Đ ¾T Hà TRĀC TàA ĐÞ CHO Hà CON LÀC NG¯þC XE 10

2.2 M Ô HÌNH HOÁ Hà THäNG 10

T UY¾N TÍNH HÓA QUANH CÁC ĐIÂM LÀM VIàC T)NH : 13

CH¯¡NG 3: THI¾T K¾ BÞ ĐIÀU KHIÂN VÀ BÞ QUAN SÁT CHO Hà THäNG CON LÀC NG¯þC 17

CH¯¡NG 4: K¾T QUÀ Đ¾T Đ¯þC 33

T RONG CH¯¡NG NÀY NHÓM TÁC GIÀ SẼ THĀC TÍNH TOÁN CÁC THAM Sä CĂA BÞ ĐIÀU KHIÂN VÀ BÞ QUAN SÁT CHO Hà THäNG CON LÀC NG¯þC CHO CÀ 2 TR¯âNG HþP CÓ VÀ KHÔNG CÓ SĀ ÀNH H¯äNG CĂA THÀNH PHÄN BÂT ĐÞNH 33

4.1 K ¾T QUÀ MÔ PHâNG CHO BÞ QUAN SÁT 33

4.2 K ¾T QUÀ MÔ PHâNG CHO TR¯âNG HþP KHÔNG CÓ THÀNH PHÄN BÂT ĐÞNH 35

4.3 K ¾T QUÀ MÔ PHâNG CHO TR¯âNG HþP CÓ THÀNH PHÄN BÂT ĐÞNH 38

CH¯¡NG 5: K¾T LU¾N 42

5.1 K ¾T QUÀ Đ¾T Đ¯þC 42

5.2 H ¯àNG PHÁT TRIÂN ĐÀ TÀI 42

TÀI LI àU THAM KHÀO 43

1

TR¯äNG ĐH S¯ PH¾M KĀ THUÀT

THÀNH PHà Hâ CHÍ MINH

KHOA ĐIàN – ĐIàN TỬ

Đßc l¿p - Tā do - H¿nh phúc

Tp HCM, ngày tháng năm 2021

THÔNG TIN K¾T QUÀ NGHIÊN CĄU

1 Thông tin chung:

- Tên đà tài: THIÀT KÀ Bà ĐIÂU KHIÄN VÀ Bà QUAN SÁT BÂN VĀNG CHO Hà THàNG CON LÂC NG¯þC VâI SĂ ÀNH H¯æNG CĂA THÀNH

PH ÄN BÂT ĐàNH DĂA TRÊN CÁCH TIÀP CÀN LMIs

- Mã sá: T2020-42TĐ

- Chă nhiám: TS Vũ Văn Phong

- C¢ quan chă trì: Tr°ång Đ¿i hãc S° ph¿m Kā thuÁt TP HCM

- Thåi gian thăc hián: 12 tháng

2 M āc tiêu:

Đà xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá quan sát bÃn vāng đÅ °ãc l°ÿng chính xác các biÁn tr¿ng thái căa há tháng con lÃc ng°ÿc khi há tháng có să tãn t¿i thành phÅn bÃt đánh

ĐÃ xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn bÃn vāng tích hÿp vãi bá quan sát nhằm māc đích điÃu khiÅn há tháng con lÃc ng°ÿc cân bằng và lo¿i bß nhāng Ánh h°çng do các thành phÅn bÃt đánh gây ra

3 Tính mái và sáng t¿o:

Trong đà tài này bá quan sát đ°ÿc thiÁt kÁ nhằm māc đích °ãc l°ÿng các tham sá căa há tháng con lÃc ng°ÿc mà không cÅn sÿ dāng cÁm biÁn Viác sÿ dāng bá quan sát đÅ °ãc l°ÿng các tham sá căa há tháng giúp cho biác giÁm kinh phí đÅ mua cÁm biÁn Bên c¿nh đó nh° chúng ta đã biÁt cÁm biÁn rÃt nh¿y vãi nhāng Ánh h°çng căa nhißu, viác sÿ dāng bá quan sát s¿ giúp cho tránh đ°ÿc să Ánh h°çng căa nhißu và tăng chÃt l°ÿng há tháng điÃu khiÅn tă đáng

Trong th ăc tÁ các há tháng s¿ bá Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh Nguyên nhân gây ra các thành phÅn bÃt đánh là do sai sá trong quá trình tuyÁn tính hoá há tháng con lÃc ng°ÿc hoặc do sai sá căa các thiÁt bá trong mô hình con lÃc ng°ÿc Các thành phÅn bÃt đánh s¿ gây khó khăn cho viác thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn và bá quan sát cũng nh° gây Ánh h°çng tãi chÃt l°ÿng điÃu khiÅn Trong đà tài này nhóm tác giÁ đã đà xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn và bá quan sát dăa trên cách tiÁp cÁn LMIs giúp cho viác lo¿i bß Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh, °ãc l°ÿng các biÁn tr¿ng thái căa há tháng và điÃu khiÅn cân bằng há con lÃc ng°ÿc

4 K¿t quÁ nghiên cąu:

2

Nhóm tác giÁ đã thành công thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn và bá quan sát cho há tháng con lÃc ng°ÿc cho cÁ 2 tr°ång hÿp không bá Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh cũng nh° há tháng bá Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh Các ch°¢ng trình Matlab đ°ÿc lÁp trình đÅ tính toán thành công các tham sá bá điÃu khiÅn và bá quan sát nhằm māc đích ån đánh há tháng con lÃc ng°ÿc KÁt quÁ mô phßng thu đ°ÿc bằng viác sÿ dāng phÅn mÃm Simulink đÅ mô phßng đã chứng minh să thành công căa ph°¢ng pháp đ°ÿc đà xuÃt trong đà tài này

5 SÁn phẩm:

5.1 SÁn phẩm khoa hãc:

Bài báo: Van-Phong Vu, Minh-Tam Nguyen, Anh-Vu Nguyen, Vi-Do Tran,

Tran-Minh-Nguyet Nguyen <Disturbance Observer-Based Controller for Inverted Pendulum with Uncertainties: LMI Approach,= International Journal

of Electrical and Computer Engineering (Accepted 2021) (ISSN 2088-8708, T¿p chí thuác danh māc Scopus và đ°ÿc xÁp h¿ng Q2 trong Scimango)

5.2 SÁn phẩm đào t¿o: không có

KÁt quÁ căa nghiên cứu có thÅ là tài liáu tham khÁo cho sinh viên đ¿i hãc, cao hãc

và nghiên cứu sinh ngành điÃu khiÅn tă đáng KÁt quÁ còn có thÅ là tham khÁo cho các nhà nghiên cứu đÅ phát triÅn h°ãng nghiên cứu mãi

Coordinator: Dr VU VAN PHONG

Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technology and Education (HCMUTE)

Duration: 12 months

2 Objective(s):

The objectives of this project are that:

- Propose a method to design a robust observer to estimate exactly

the unknown state variables of the Inverted Pendulum with the

existence of the uncertainties

- An observer-based controller design for Inverted Pendulum to

eliminate the influences of the uncertainties and make the system

stable

3 Creativeness and innovativeness:

In this project, authors propose a method to design an observer to estimate the unknown state variables of the Inverted Pendulum insteading of using sensor Employing the observer will reduce the cost and avoid the effects of the noise that will improve the quality of the control system

In practice, the Inverted Pendulum system is impacted by the uncertainties that may come from the modeling error and the error of the devices of the system The uncertainties make the controller and observer design become much more complicated as well as influence to the performance of the Inverted Pendulum In addition, in this project, authors propose a method to design observer-based controller based on LMIs technique to eliminate completely the impacts of the uncertainties and keep the Inverted Pendulum stable

4 Research results:

In this project, authors have successfully synthesized the observer and controller for the Inverted Pendulum system with and without the influences of the uncertainties The Matlab program can compute the observer and controller gains The simulation results obtained by using Matlab/Simulink software prove that the

Journal of Electrical and Computer Engineering (Accepted 2021) (ISSN 2088-8708, this journal is indexed in Scopus and ranked Q2 by Scimango) 5.2 Training Products: Not available

5.3 Application products: Matlab program to calculate the observer and controller gains, simulation programs

5.4 Others: Not available

6 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability:

The results of this research can be used as references for undergraduate student, graduate students of Automatic Control major In addition, researchers can use these results to develop a new research topic that relates to the automatic control The results of this project can be deployed in the automatic control lab of faculty

of Electrical and Electronics Engineering

5

Ch°¢ng 1: Mä ĐÄU

Trong ch ương này nhóm tác giả sẽ phân tích những nghiên cứu hiện tại từ

đó trình bày lý do để chọn đề tài nghiên cứu này đồng thßi chỉ ra những điểm mới

c ủa đề tài so với những nghiên cứu trước

1.1 Đ¿t vÃn đÁ

Nghiên cứu và áp dāng các thuÁt toán điÃu khiÅn cân bằng lên các đái t°ÿng phi tuyÁn ç các phòng thí nghiám hay các ph°¢ng tián di chuyÅn nh° máy bay không ng°åi lái là chă đà rÃt đ°ÿc quan tâm trong l*nh văc <Kā thuÁt điÃu khiÅn

và tă đáng hóa= Các thuÁt toán điÃu khiÅn bám māc tiêu cũng là mát trong nhāng h°ãng nghiên cứu quan trãng Ngày nay, các há tháng không chß đáp ứng yêu cÅu đ°ÿc vÁn hành mát cách tă đáng (không có să can thiáp căa con ng°åi) mà còn đòi hßi há tháng phÁi đ°ÿc vÁn hành chÃt l°ÿng, hiáu quÁ cao, giÁm thiÅu khuyÁt điÅm

và tăng cao °u điÅm

Các thuÁt toán điÃu khiÅn (đặc biát là thuÁt toán điÃu khiÅn cân bằng) ngày

càng đ°ÿc các nhà khoa hãc quan tâm bçi să quan trãng và ứng dāng căa nó ĐÅ

có thÅ thăc hián viác điÃu khiÅn cân bằng cho các há tháng mÃt cân bằng, chúng ta

c Ån phÁi có cách tiÁp cÁn vÃn đà mát cách thích hÿp

Há xe con lÃc ng°ÿc xe (IPC) là mát há <Underactuated= phi tuyÁn điÅn hình khi mà tín hiáu điÃu khiÅn chß có mát nh°ng tín hiáu cÅn điÃu khiÅn lên đÁn bán, IPC nên nó đặt ra mát vÃn đà điÃu khiÅn đÅy thách thức Trong thăc tÁ có nhiÃu vÃn

đà mà con lÃc ng°ÿc đ°ÿc sÿ dāng làm mô hình đ¿i dián cho chúng nh° să cân bằng căa c¢ thÅ con ng°åi, chuyÅn đáng căa cánh tay ng°åi, hoặc chuyÅn đáng căa nhiÃu d¿ng Robot, há tháng ån đánh góc tr°ãc khi đáp cánh căa các tên lÿa đẩy đÅ tiÁt kiám chi phí phóng phi thuyÃn ra ngoài vũ trā,&

Há IPC d°ång nh° là mát trong nhāng công cā hÃp d¿n đÅ kiÅm tra các luÁt điÃu khiÅn tuyÁn tính và phi tuyÁn Nó đã đ°ÿc dùng làm ví dā trong nhiÃu bài báo khoa h ãc, ứng dāng nhiÃu giÁi thuÁt đÅ giÁi quyÁt bài toán ån đánh này trong các bài báo [1]-[16] và các tác giÁ trên gÅn nh° chß tÁp trung vào 2 vÃn đà chính là điÃu khiÅn cân bằng con lÃc và <Swing up= con lÃc từ tr¿ng thái tă do đÁn lân cÁn căa vá trí dừng

Trong thăc tÁ có rÃt nhiÃu biÁn tr¿ng thái căa há tháng không thÅ đo hoặc khó

đÅ đo khi sÿ dāng cÁm biÁn Hoặc khi sÿ dāng cÁm biÁn s¿ làm tăng chí phí xây dăng há tháng, ngoài ra cÁm biÁn cũng nh¿y cÁm vãi các lo¿i nhißu d¿n tãi kÁt quÁ

đo bá sai ĐiÃu này s¿ làm Ánh h°çng tãi chÃt l°ÿng điÃu khiÅn há tháng Đái vãi

há tháng con lÃc ng°ÿc cũng gặp vÃn đà t°¢ng tă Vì lý do này nhóm tác giÁ s¿ đÃ

xu Ãt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá quan sát đÅ thay thÁ cÁm biÁn nhằm māc đích °ãc

l °ÿng các biÁn tr¿ng thái Liên quan đÁn viác thiÁt kÁ bá quan sát cho há tháng con lÃc ng°ÿc, có vài nghiên cứu đã đ°ÿc thăc hián trong nhāng năm vừa qua [17]-

6

[19] Ví dā, ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá quan sát tr°ÿt bÁc cao đ°ÿc trình bày trong bài báo [17] đÅ °ãc l°ÿng các biÁn tr¿ng thái không đo đ°ÿc Tuy nhiên nh°ÿc điÅm căa ph°¢ng pháp trong bài báo [17] này là tãn t¿i hián t°ÿng <chattering= gây Ánh h°çng tãi chÃt l°ÿng há tháng Trong paper [18], bá quan sát đ°ÿc thiÁt kÁ đÅ

°ãc l°ÿng cÁ các biÁn tr¿ng thái và lßi dăa trên công thức Ackerman Trong nhāng năm gÅn đây viác sÿ dāng kā thuÁt LMI (bÃt ph°¢ng trình ma trÁn) [20] trong viác thiÁt kÁ các bá điÃu khiÅn và bá quan sát càng ngày càng phå biÁn Tuy nhiên đÁn

th åi điÅm hián t¿i có rÃt nghiên cứu sÿ dāng kā thuÁt LMI đÅ giÁi quyÁt các vÃn đà điÃu khiÅn cho há tháng con lÃc ng°ÿc Vì lý do này nhóm tác giÁ s¿ đà xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁt bá quan sát cho há tháng con lÃc ng°ÿc dăa trên kā thuÁt LMI Viác

sÿ dāng kā thuÁt LMI s¿ giúp tránh đ°ÿc hián t°ÿng < Chatterring= nh° trong bài báo [17], đãng thåi tăng khÁ năng tìm đ°ÿc các thông sá căa bá quan sát so vãi ph°¢ng pháp trong bài báo [18]

Trong thăc tÁ, các há tháng không tránh khßi bá Ánh h°çng bçi các thành phÅn bÃt đánh, nhāng thành phÅn này bÃt nguãn từ sai sá mô hình hoặc sai sá tham sá căa há tháng Các thành phÅn bÃt đánh làm cho viác thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn và quan sát cho há tháng trç nên phức t¿p h¢n, đông thåi làm giÁm chÃt l°ÿng điÃu khiÅn

c ăa há tháng Há tháng con lÃc ng°ÿc không phÁi là mát ngo¿i lá, do đó viác thiÁt kÁt bá quan sát và bá điÃu khiÅn cho há con lÃc ng°ÿc vãi Ánh h°çng căa các thành phÅn bÃt đánh là mát vÃn đà cÃp thiÁt cho các nhà nghiên cứu Trong nhāng năm gÅn đây có mát sá nghiên cứu đã tÁp trung vào giÁi quyÁt vÃn đà ån đánh hóa há tháng con lÃc ng°ÿc vãi thanh phÅn bÃt đánh [21]-[27] Ví dā trong nghiên cứu [21], bá điÃu khiÅn PID må lo¿i 2 đ°ÿc thiÁt kÁ cho há con lÃc ng°ÿc đÅ lo¿i bß Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh và ån đánh há con lÃc ng°ÿc Tuy nhiên thành phÅn bÃt đánh trong bài báo [21] phÁi thßa mãn điÃu kián ràng buác là bá giãi h¿n trên và giãi ho¿n d°ãi Hoặc trong bài báo [22], các nhà nghiên cứu đã thiÁt kÁ bá quan sát b Ác cao cho há con lÃc ng°ÿc Tuy nhiên nh°ÿc điÅm căa ph°¢ng pháp trong bài báo [22] là bá quan sát rÃt nh¿y vãi nh¿y vãi nhißu đo l°ång Tóm l¿i các ph°¢ng pháp thiÁt kÁ trong các nghiên cứu [21]-[27] yêu cÅn các thành phÅn bÃt đánh phÁi bá giãi h¿n, và các giá trá giãi h¿n trên và giãi h¿n d°ãi phÁi đ°ÿc biÁt tr°ãc Trong tr°ång hÿp các thành phÅn bÃt đánh không thßa mãn điÃu kiên trên

ho ặc các giá trá giãi h¿n căa thành phÅn bÃt đánh không đ°ÿc biÁt thì các ph°¢ng pháp trong các nghiên cứu [21]-[27] s¿ không thÅ áp dāng đ°ÿc Chính vì lý do trên, trong dă án này, nhóm tác giÁ đã đà xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn

và bá quan sát dăa trên ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá quan sát nhißu (Disturbance Observer) [29]-[32] nhằm lo¿i bß hoàn toàn căa Ánh h°çng thành phÅn bÃt đánh và

ån đánh há tháng

Dăa trên nhāng phân tích trên, nhóm tác giÁ đã đà xuÃt cách tiáp cÁn mãi đÅ thiÁt kÁ bá quan sát và bá điÃu khiÅn cho há tháng con lÃc ng°ÿc cho cÁ 2 tr°ång hÿp có và không có să Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh đ°ÿc nhÃn m¿nh ç nhāng điÅm sau:

7

1) Bá điÃu khiÅn kÁt hÿp vãi bá quan sát đ°ÿc thiÁt kÁ dăa trên kā thuÁt LMI đ°ÿc thiÁt kÁ giúp cho viác °ãc l°ÿng các biÁn tr¿ng thái thay cho viác sÿ dāng cÁm biÁn và đãng thåi ån đánh há tháng con lÃc ng°ÿc Viác sÿ dāng

kā thuÁt LMI giúp tăng khÁ năng tìm đ°ÿc các tham sá bá điÃu khiÅn và bá giám sát

2) Bá điÃu khiÅn kÁt hÿp vãi bá quan sát nhißu đ°ÿc thiÁt kÁ cho há tháng con lÃc ng°ÿc vãi să Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh Viác sÿ dāng ph°¢ng pháp này giúp cho b á quan sát và bá điÃu khiÅn có thÅ °ãc l°ÿng các biÁn tr¿ng thái, lo¿i bß hoàn toàn Ánh h°çng căa các thành phÅn bÃt đánh và giā cho con lÃc ng°ÿc cân bằng đ°ÿc t¿i gác Ngoài ra, trong đà tài này các giá giá trá giãi h¿n trên và giãi hanh d°ãi căa thành phÅn bÃt đánh không cÅn biÁt tr°ãc, do đó ph°¢ng pháp trong đà tài s¿ giúp khÃc phāc nhāng h¿n chÁ căa các ph°¢ng pháp trong nghiên cứu tr°ãc [21]-[27]

M ột số kí hiệu sử dụng trong báo cáo: trong báo cáo này, Θ > 0 (< 0) đánh

ngh *a rằng ma tr¿n Θ là ma trÁn xác đánh d°¢ng (xác đánh âm) �㗩�㕇kí hiáu là ma

tr Án chuyÅn vá căa �㗩; �㗩21 là ma tr Án nghách đÁo căa �㗩; ý là ma trÁn đ¢n vá �㗩+ là

kí hi áu Moore-Penrose pseudo-inverse căa �㗩 vãi �㗩+ = (�㗩�㕇ý)21�㗩�㕇

1.2 M āc đích nghiên cąu

- Đà xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá quan sát bÃn vāng đÅ °ãc l°ÿng chính xác các biÁn tr¿ng thái căa há tháng con lÃc ng°ÿc khi há tháng có să tãn t¿i thành phÅn bÃt đánh

- ĐÃ xuÃt ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn bÃn vāng tích hÿp vãi bá quan sát nhằm māc đích điÃu khiÅn há tháng con lÃc ng°ÿc cân bằng và lo¿i bß nhāng Ánh h°çng do các thành phÅn bÃt đánh gây ra

1.3 Đåi t°ÿng nghiên cąu

ThiÁt kÁ bá giám sát và bá điÃu khiÅn tich hÿp vãi bá quan sát cho há tháng lÃc ng°ÿc

1.4 Gi ái h¿n nghiên cąu

Nghiên cứu giÁi thuÁt đÅ thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn và bá quan sát cho há con lÃc ng°ÿc

đÅ °ãc l°ÿng biÁn tr¿ng thái và điÃu khiÅn con lÃc ng°ÿc ån đánh t¿i gác KÁt quÁ nghiên cứu chß thăc hián mô phßng đÅ chứng minh să thành công căa ph°¢ng pháp

1.5 Tình hình nghiên c ąu trong và ngoài n°ác

Trong nước: æ Viát Nam đã có nhiÃu bài báo sÿ dāng đái t°ÿng há Inverted

Pendulum làm đái t°ÿng điÃu khiÅn nh° [14] , [15] và [16] nhóm các tác giÁ đã thành công xây d ăng mô hình toán hãc cho há tháng cũng nh° áp dāng giÁi thuÁt LQR đÅ cân bằng há con lÃc ng°ÿc tuy nhiên [14] sÿ dāng thêm bá lãc kalman đÅ lãc tín hiáu hãi tiÁp, [15] còn ứng dāng giÁi thuÁt GA đÅ tìm ra các trãng sá tái °u

8

cho bá điÃu khiÅn LQR tuy nhiên thåi gian duy trì tr¿ng thái cân bằng còn ngÃn, [16] ứng dāng viác tuyÁn tính hóa vào ra đÅ mç ráng vùng cân bằng tuy nhiên viác chãn các tham sá cho ma trÁn Q và R s¿ khó khăn h¢n khá nhiÃu do các trãng sá mang tính kÁt hÿp giāa x và  bên c¿nh đó còn phÁi chãn các 2 tham sá <biÁn sá= phù h ÿp đÅ đ¿t đ°ÿc đáp ứng ån đánh Hay [17] đã ứng dāng thành công giÁi thuÁt Fuzzy điÃu khiÅn trăc tiÁp từ Matlab Simulink vãi cứng sÿ dāng CAD PCI 1710

hß trÿ quá trình thu thÁp dā liáu và xuÃt tín hiáu điÃu khiÅn

Ngoài nước: Há inverted pendulum mô phßng l¿i chuyÅn đáng thăng bằng

trong viác đi căa con ng°åi nÁu chß xét theo 1 ph°¢ng ngang quy chiÁu tr°ãc hay mát phÅn căa robot và nó cũng là mát há bÃt ån đánh, có đá phi tuyÁn cao Viác điÃu khiÅn há Inverted Pendulum swing-up lên vá trí thẳng đứng đ°ÿc rÃt nhiÃu nhà nghiên cứu quan tâm, các ph°¢ng pháp swing-up tiêu biÅu đ°ÿc mô tÁ ç tài liáu [13] Trong bài báo [1] tác giÁ đã mô hình hóa thành công há con lÃc ng°ÿc và thiÁt

k Á thành công bá điÃu khiÅn må trong [2] dăa vào nguyên lý mô hình hóa D'Alembert Ngoài viác mô hình hóa viác thÿ nghiám các bá điÃu khiÅn trên mô hình này đã đ°ÿc các tác giÁ [3] 3 [12] nghiên cứu ví dā bá điÃu khiÅn hãi tiÁp biÁn tr¿ng thái PI [5] trong đó 2 đá lÿi tÿ lá và đá lÿi tích phân đ°ÿc thiÁt kÁ trên ph°¢ng pháp đặt căc Ngoài ra còn bá điÃu khiÅn event-trigger trong [6] khi mà tín hiáu điÃu khiÅn đ°ÿc lÃy m¿u và không có tr¿ng thái thåi gian liên tāc GÅn đây, lý thuyÁt điÃu khiÅn thông minh đ°ÿc phát triÅn m¿nh m¿ nh° lý thuyÁt må đ°ÿc áp dāng đÅ điÃu khiÅn há Inverted Pendulum trong [7], ngoài ra các bá điÃu khiÅn phi tuyÁn cũng đ°ÿc áp dāng vào há nh° điÃu khiÅn tr°ÿt trong [11] và [12] tuy nhiên các tác giÁ chß giÁm thiÅu chứ ch°a lo¿i bß đ°ÿc hián tr°ÿng <chattering= làm Ánh h°çng đÁn chÃt l°ÿng điÃu khiÅn và tuåi thã thiÁt bá VÃn đà swing up há Inverted Pendulum swing up có giãi h¿n hành trình cũng đã phÅn nào đ°ÿc giÁi quyÁt trong [13]

Liên quan đÁn viác thiÁt kÁ bá quan sát cho há tháng con lÃc ng°ÿc, có vài nghiên cứu đã đ°ÿc thăc hián trong nhāng năm vừa qua [17]-[19] Ví dā, ph°¢ng pháp thiÁt kÁ bá quan sát tr°ÿt bÁc cao đ°ÿc trình bày trong bài báo [17] đÅ °ãc l°ÿng các biÁn tr¿ng thái không đo đ°ÿc Tuy nhiên nh°ÿc điÅm căa ph°¢ng pháp trong bài báo [17] này là tãn t¿i hián t°ÿng <chattering= gây Ánh h°çng tãi chÃt l°ÿng há tháng Trong paper [18], bá quan sát đ°ÿc thiÁt kÁ đÅ °ãc l°ÿng cÁ các biÁn tr¿ng thái và lßi dăa trên công thức Ackerman

Trong nhāng năm gÅn đây có mát sá nghiên cứu đã tÁp trung vào giÁi quyÁt vÃn đà ån đánh hóa há tháng con lÃc ng°ÿc vãi thanh phÅn bÃt đánh [21]-[27] Ví

dā trong nghiên cứu [21], bá điÃu khiÅn PID må lo¿i 2 đ°ÿc thiÁt kÁ cho há con lÃc ng°ÿc đÅ lo¿i bß Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh và ån đánh há con lÃc ng°ÿc Tuy nhiên thành phÅn bÃt đánh trong bài báo [21] phÁi thßa mãn điÃu kián ràng buác là bá giãi h¿n trên và giãi ho¿n d°ãi Hoặc trong bài báo [22], các nhà nghiên cứu đã thiÁt kÁ bá quan sát bÁc cao cho há con lÃc ng°ÿc Tuy nhiên nh°ÿc điÅm căa ph°¢ng pháp trong bài báo [22] là bá quan sát rÃt nh¿y vãi nh¿y vãi nhißu đo

9

l°ång Tóm l¿i các ph°¢ng pháp thiÁt kÁ trong các nghiên cứu [21]-[27] yêu cÅn các thành phÅn bÃt đánh phÁi bá giãi h¿n, và các giá trá giãi h¿n trên và giãi h¿n d°ãi phÁi đ°ÿc biÁt tr°ãc

và BOT

2.1 Đ¿t há trāc táa đß cho há con lÁc ng°ÿc xe

Ta đặt há trāc cho con lÃc nh° hình 2.1

Hình 2.1: H ệ trục tọa độ cho hệ xe con lắc ngược

B ảng 2.1: Kí hiệu và ý nghĩa của các tham số trong con lắc ngược

2.2 Mô hình hoá h á thång

Có nhiÃu ph°¢ng pháp đÅ tiÁn hành toán hãc hóa há con lÃc ng°ÿc trong đó ph°¢ng pháp Euler 3 Lagrangian đ°ÿc xem xét áp dāng vì tính phå biÁn, tính quy tÃc và tính đ¢n giÁn căa nó Há IPC đ°ÿc mô tÁ trong Hình 1.æ đà tài này, đÅ dß

11

dàng khi thiÁt kÁ mô hình thăc ta xem xét lo¿i bß khái l°ÿng quÁ nặng ç cuái thanh con lÃc, xem nh° thanh là mát khái đãng chÃt từ đó ta cÅn rút ra ph°¢ng trình vi phân mô tÁ chuyÅn đáng căa nó, mát trong nhāng cách đ¢n giÁn có thÅ sÿ dāng là ph°¢ng trình Lagrange nh° sau:

(1)

k k k

vãi

12

sin( )

(6) cos( )

ý = þ Đ¿o hàm căa vá trí con lÃc chính là vÁn tác căa con lÃc trên há trāc tãa đá:

cos( )

(7) sin( )

xk yk

ý =−

ÿþ Bình ph°¢ng vÁn tác trung bình căa thanh con lÃc là:

L = − = T V mx + mlx   + m l  + M x − mgl 

Ta có:

Tuy ¿n tính hóa quanh các điÃm làm viác t*nh:

Giá trá cā thÅ căa con lÃc trên mô hình nh° bÁng sau:

14

Góc nghiên c ăa con lÁc φ - rad

V ß trí căa xe trên trāc X �㗍 - m

Gia t åc tráng tr°ãng g 9.81 m/s2

L āc tác dāng lên xe F - N

Kh åi l°ÿng căa xe M 0.238 kg

Kh åi l°ÿng căa thanh con lÁc m 0.1 kg

Kh åi l°ÿng căa quÁ n¿ng mball 0 kg

Chi Áu dài căa con lÁc ℓ 0.4 m

Mômen quán tính c ăa con lÁc I - kg/m2

B ảng 2.2: Giá trị cụ thể của các đại lương liên quan đến hệ xe con lắc ngược

ĐÅ tiÁn hành thiÁt kÁ các bá điÃu khiÅn tuyÁn tính hoặc các bá quan sát tuyÁn tính ta cÅn phÁi có ph°¢ng trình tr¿ng thái cā thÅ căa há tháng Từ nhāng giá trá căa bÁng 2.2 ta tiÁn hành tuyÁn tính hóa quanh hai điÅm làm viác t*nh căa há tháng bằng cách đặt các biÁn tr¿ng thái nh° sau:

TuyÁn tính há tháng t¿i 2 điÅm làm viác t*nh Bot (trái) và TOP (phÁi) nh° sau:

Hình 2.2: Các v ị trí làm việc tĩnh của hệ xe con lắc ngược

T Top

T Bot

ö

16

( , )

0 0.6357

(20) 0

(21) 0

l ắc á trạng thái cân bằng Hai trưßng hợp được thiết kế trong chương này đó là:

H ệ thống con lắc ngược bị ảnh hưáng và không bị ảnh hưáng của các thành phần

b ất định

3.1 Thi ¿t k¿ bß quan sát cho há con lÁc ng°ÿc

Trong phÅn này bá quan sát đ°ÿc thiÁt kÁ đÅ °ãc l°ÿng các biÁn tr¿ng thái căa há tháng con lÃc ng°¢c CÃu trúc căa há tháng đ°ÿc trình bày trong Hình 3.1

Hình 3.1:C ấu trúc hệ thống con lắc ngược với bộ quan sát

Bá quan sát cho há con lÃc ng°ÿc (18) có d¿ng nh° sau:

Trong đó: ˆx là tín hiáu °ãc l°ÿng tr¿ng thái, có cùng kích th°ãc vãi x

ˆy là tín hiáu °ãc l°ÿng tr¿ng thái, có cùng kích th°ãc vãi y

L là đá lÿi căa bá quan sát

e t = + Bu − Ax − Bu − L y − y = A LC e t −

ĐÅ tìm đ°ÿc các thông sá căa bá quan sát (22), ta sÿ dāng đánh lý sau:

Đßnh lý 1: Sai sá °ãc l°ÿng (23) cho há con lÃc ng°ÿc vãi bá quan sát (22) hái tā

và 0 nÁu tãn t¿i các ma trÁn L và ma trÁn đái xứng xác đinh d°¢ng P thßa mãn

điÃu kián sau:

=>Hoàn tất chứng minh định lý 1

Tuy nhiên điÃu kián (26) là mát BMI (Bilinear Matrix Inequality) không giÁi nhanh đ°ÿc bằng các công cā hß trÿ trên Matlab nên ta phÁi biÁn đåi (41) thành LMI (Linear Matrix Inequality) bằng cách đặt thêm biÁn W nh° sau:

Đặt

W = P L

Từ (41) ta suy ra

A PT − CT.WT + P A − W.C <0 (48)

GiÁi bÃt ph°¢ng trình LMI (38) bằng công cā LMI Toolbox căa Matlab ta

thu đ°ÿc giá trá căa P và biÁn phā W từ đó suy ra đ°ÿc L đÅ hoàn thành thiÁt kÁ bá

quan sát

3.2 Thi ¿t k¿ bß điÁu khiÃn k¿t hÿp vái bß quan sát cho há thång con lÁc ng°ÿc khi không có Ánh h°ång căa thành phÅn bÃt đßnh

Trong đà tài này bá điÃu khiÅn và bá quan sát đ°ÿc thiÁt kÁ đãng thåi CÃu trúc

há tháng con lÃc ng°ÿc vãi bá điÃu khiÅn kÁt hÿp vãi bã quan sát đ°ÿc mô tÁ nh° hình 2 nh° sau:

(30)

(31)

20

Hình 3 2: C ấu trúc hệ thống con lắc ngược với bộ điều khiển kết hợp với bộ quan sát

Xét bá quan sát cho há tháng con lÃc ng°ÿc (18) có cÃu trúc nh° sau:

{ý ̇ = ýý + þþ + ă(þ 2 þ)

þ = ÿý (32) trong đó ý và þ lÅn l°ÿt là giá trá °ãc l°ÿng căa các biÁn tr¿ng thái ý và đÅu ra þ

ă là tham sá căa bá quan sát s¿ đ°ÿc xác đánh ç phÅn sau

Bá điÃu khiÅn cho há tháng con lÃc ng°ÿc đ°ÿc mô tÁ bçi công thức toán nh° sau:

þ = 2ÿý (33) Đánh ngh*a sai sá °ãc l°ÿng nh° sau

�㕒 = ý 2 ý (34)

Mô tÁ °ãc đặc tính đáng hãc căa sai sá °ãc l°ÿng nh° sau

�㕒̇ = ý̇ 2 ý̇ (35) KÁt hÿp (32) và (35) ta thu đ°ÿc nh° sau

21

�㕒̇ = (ý 2 ăÿ)�㕒 (36) Thay biÅu thức (33) vào biÅu thức (18), há tháng kín vãi bá điÃu khiÅn thu đ°ÿc ý̇ = (ý 2 þÿ)ý + þÿ�㕒 (37)

T ừ biÅu thức (36) và biÅu thức (37), ta suy ra đ°ÿc

[ý̇�㕒̇] = [ ý 2 þÿ 0 ý 2 ăÿ] [ þÿ ý �㕒] (38)

Đánh ngh*a ý̃ = [ý�㕒] và ý̃ = [ ý 2 þÿ 0 ý 2 ăÿ] þÿ , do đó biÅu thức (10) trç thành ý̃̇ = ý̃ý̃ (39)

Đßnh lý 1: Sai sá °ãc l°ÿng �㕒 và các biÁn tr¿ng thái ý căa há tháng con lÃc ng°ÿc

(18) vãi bá quan sát (32) và bá điÃu khiÅn (33) hôi tā và không nÁu tãn t¿i các ma

tr Án ă, ÿ, và các ma trÁn xác đánh d°¢ng đái xứng ÿ1 và ÿ2 đÅ điÃu kián sau đ°ÿc thoÁ mãn

ý̇(ý) = ý̃̇�㕇(ý)ÿý̃(ý) + ý̃�㕇(ý)ÿý̃̇(ý) (42) KÁt hÿp biÅu thức (39) và biÅu thức (42) ta thu đ°ÿc kÁt quÁ nh° sau

ý̇(ý) = ý̃�㕇(ý)[ý̃�㕇ÿ ÿý̃]ý̃(ý) =

Từ biÅu thức (43) ta dß dàng thÃy rằng, nÁu điÃu kián (40) trong đánh lý 1 đ°ÿc

tho Á mãn thì đ¿o hàm bÁc nhÃt căa hàm Lyapunov ý̇(ý) < 0, điÃu này hàm ý rằng

ý và �㕒 hái tā và gác khi ý → ∞ Chứng minh đ°ÿc hoàn thành



Tuy nhiên, ta thÃy rằng biÅu thức (40) căa Đánh lý 1 là mát BMI (bÃt ph°¢ng

trình ma trÁn phi tuyÁn) ĐÁn thåi điÅm hián t¿i thì viác giÁi các bÃt ph°¢ng trình

ma trÁn phi tuyÁn (BMI) v¿n là vÃn đà rÃt khó Do đó nÁu giÁi trăc tiÁp điÃu kián

(40 ) đÅ xác đánh các biÁn ma trÁn ă, ÿ, ÿ1, và ÿ2 s ¿ rÃt khó khăn Vì lý do này,

Đánh lý 2 là cÅn thiÁt đÅ biÁn đåi biÅu thức (12) trç thành bÃt ph°¢ng trình ma trÁn

tuy Án tính (LMI) sau đó nhóm tác giÁ sÿ dāng công cā LMI căa Matlab đÅ giÁi bÃt

ph°¢ng trình tuyÁn tính và thu đ°ÿc các tham sá căa bá điÃu khiÅn cũng nh° căa

bá quan sát

Đßnh lý 2: Sai sá °ãc l°ÿng �㕒 và các biÁn tr¿ng thái ý căa há tháng con lÃc ng°ÿc

(18) vãi bá quan sát (32) và bá điÃu khiÅn (33) hôi tā và không nÁu tãn t¿i các ma

tr Án ă, ÿ, và các ma trÁn xác đánh d°¢ng đái xứng ÿ1 và ÿ2 đÅ điÃu kián sau đ°ÿc

23

ÿ1ý�㕇 2 ā�㕇þ�㕇 + ýÿ12 þā < 0 (49) Đặt þ = ÿ2ă, khi đó biÅu thức (48b) đ°ÿc viÁt l¿i nh° sau

ý�㕇ÿ22 ÿ�㕇þ�㕇 + ÿ2ý 2 þÿ < 0 (50)

Từ biÅu thức (49) và (50) cho ta thÃy rằng, hai biÅu thức này đã đ°ÿc chyÅn thành các bÃt ph°¢ng trình ma trÁn phi tuyÁn (LMIs) và giáng vãi biÅu thức (44) và (45) căa Đánh lý 2 Nh° vÁy bÃt ph°¢ng trình ma trÁn phi tuyÁn (40) đã đ°ÿc chuyÅn thành các bÃt ph°¢ng trình ma trÁn tuyÁn tính (44) và (45) Chứng minh đ°ÿc hoàn thành

4.2 Thi ¿t k¿ bß điÁu khiÃn k¿t hÿp vái bß quan sát vái Ánh h°ång căa thành

trong đó ∆ý(ý) và ∆þ(ý) là thành phÅn bÃt đánh biÁn đåi theo thåi gian

Vãi să tãn t¿i căa thành phân bÃt đánh, chÃt l°ÿng điÃu khiÅn căa há tháng con lÃc ng°ÿc s¿ bá Ánh h°çng Vì vÁy, māc đích căa phÅn này là thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn kÁt hÿp vãi bá quan sát đÅ lo¿i bß nhāng Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh và ån đánh hoá há tháng Do có să Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh, các ph°¢ng pháp căa nhāng nghiên cứu tr°ãc không thÅ áp dāng đÅ thiÁt kÁ bá quan sát và bá điÃu khiÅn cho há tháng con lÃc ng°ÿc Chính vì vÁy trong phÅn này này cách tiÁp cÁn mãi dăa trên bá quan sát nhißu đ°¢c đà xuÃt đÅ ån đánh hoá há tháng con lÃc ng°ÿc

24

Hình 3.3: C ấu trúc hệ thống điều khiển con lắc ngược với sự tồn tại của thành phần bất

định

Gi Á đßnh 1: GiÁ đinh rằng các thành phÅn bÃt đánh ∆ý(ý) và ∆þ(ý)) phÁi thoÁ mãn

điÃu kián sau:

∆ý(ý) = þÿ(ý) ÿà ∆þ(ý) = þĀ(ý)

Chú ý 2: chú ý r ằng thành phÅn bÃt đánh ∆ý(ý) và ∆þ(ý)) trong ph°¢ng trình

(51) không cÅn phÁi thoÁ mãn điÃu kián giãi h¿n và giãi h¿n trên và giãi h¿n d°ãi căa thành phÅn bÃt đánh không đ°ÿc biÁt Vì vÁy không thÅ áp dāng các ph°¢ng pháp trong nhāng bài báo [23]-[27] Vì lí do này, nhóm tác giÁ đà xuÃt ph°¢ng pháp dăa thiÁt kÁ bá điÃu khiÅn kÁt hÿp vãi bá quan sát nhißu đÅ lo¿i bß nhāng Ánh h°çng căa thành phÅn bÃt đánh và giā cho con lÃc ng°ÿc cÅn bằng

Chú ý 3: ĐiÃu kián trong Gßa đánh 1 là cÅn thiÁt giúp cho viác chuyÅn các thành phÅn bÃt đánh thành nhißu đÅu vào Sau đó bá điÃu khiÅn °ãc l°ÿng nhißu s¿ đ°ÿc thiÁt kÁ đÅ °ãc l°ÿng đãng thåi cÁ các biÁn tr¿ng thái và nhißu GiÁ đình này có thÅ đ°ÿc tìm thÃy trong mát vài nghiên cứu tr°ãc ví dā nh° [15], [16], và [34] Tuy nhiên giÁ đánh này v¿n còn bá giãi h¿n khi mà chß sÿ dāng ma trÁn B đÅ tách các thành ph Ån bÃt đánh ∆ý(ý) và ∆þ(ý) Đây v¿n là h°ãng mç cho nhāng nghiên cứu trong t°¢ng lai

B ß đÁ 1 [33]: Xét ph°¢ng trình ma trÁn ÿý = þ trong đó ma trÁn ý ∈ ℝÿ×Ā,

ÿ g Ā, và þ ∈ ℝ�㕘×Ā Nghiám tång quát căa ph°¢ng trình ma trân đ°ÿc mô tÁ d°ãi

d ¿ng nh° ÿ = þý++ Ā(ý 2 ýý+) trong đó Ā ∈ ℝ�㕘×ÿ là ma trÁn bÃt đánh vãi kích th°ãc phù hÿp và ý+ = (ý�㕇ý)21ý�㕇 là Moore-Penrose pseudoinverse căa ma trÁn

A

Vãi GiÁ đánh 1, há tháng con lÃc ng°ÿc (51) trç thành

25

{ý̇ (ý) = ýý(ý) + þþ(ý) + þ( ÿ(ý)ý(ý) + Ā(ý)þ(ý))

þ(ý) = ÿý(ý) (52) Đánh ngh*a

Do đó, bá điÃu khiÅn và bá quan sát s¿ đ°ÿc thiÁt kÁ cho há tháng (53) thay vì thiÁt

kÁ cho há tháng (51) H¢n thÁ nāa, trong đà tài này, bá quan sát °ãc l°ÿng nhißu đ°ÿc thiÁt kÁ cho há tháng (53) đÅ °ãc l°ÿng đãng thåi các biÁn tr¿ng thái không

bi Át và thành phÅn nhißu �㔔(ý) Sau đó nhāng giá trá này s¿ đ°ÿc phÁn hãi và bá điÃu khiÅn đÅ giũ cho há tháng con lÃc ng°ÿc cân bằng t¿i gác (0,0,0,0)

Xét bá quan sát nhißu có d¿ng nh° sau:

Mô hình toán c ăa bá điÃu khiÅn đ°ÿc trình bày nh° sau:

þ(ý) = 2ÿý(ý) 2 �㔔Ý(ý) (55) Đánh ngh*a sai sá °ãc l°ÿng

�㕒(ý) = ý(ý) 2 ý(ý) (56) Thay thÁ biÅu thức (54b) vào (56) ta thu đ°ÿc

�㕒(ý) = �㔂(ý) 2 �㔸ÿý(ý) 2 ý(ý) = �㔂(ý) 2 āý(ý) ( 57)

tr ong đó ā = [ý + �㔸ÿ]

Đßnh lý 3: Các biÁn tr¿ng thái căa há tháng con lÃc ng°ÿc (53), sai sá °ãc l°ÿng

c ăa vector biÁn tr¿ng thái (56), và sai sá °ãc l°ÿng căa nhißu (60) hái tā và không

n Áu tãn t¿i ma trÁn đái xứng xác đánh d°¢ng Ā̅, và các ma trÁn ÿ, ÿ, ă, þ, �㔸, và Ă

đÅ các điÃu kián sau thoÁ mãn:

s á °ãc l°ÿng căa nhiß �㕒�㔔(ý) s¿ tă đáng hái tā và không

Từ các biÅu thức (53), (55), và (68), ta có thÅ suy ra rằng

ý̇(ý) = ýý(ý) 2 þÿý(ý) 2 �㔔Ý(ý) + �㔔(ý) = (ý 2 þÿ)ý(ý) + þÿ�㕒(ý) + �㕒�㔔(ý) = (ý 2 þÿ)ý(ý) + (þÿ 2 Ă)�㕒(ý) (69) KÁt hÿp (67) và (68) ta có

Chãn hàm Lyapunov nh° sau

ý(ý̃(ý)) = ý̃�㕇(ý)Ā̅ý̃(ý) (72) trong đó Ā̅ = [āĀ 021 ā 0 ]

28

T ừ biÅu thức (72), chúng ta có

ý̇(ý̃(ý)) = ý̃̇�㕇(ý)Ā̅ý̃(ý) + ý̃�㕇(ý)Ā̅ý̃̇(ý) (73) KÁt hÿp (72) và (73) ta thu đ°ÿc

ý̇(ý̃(ý)) = [Ξý̃(ý)]�㕇Ā̅ý̃(ý) + ý̃�㕇(ý)Ā̅[Ξý̃(ý)]

= ý̃�㕇(ý)[Ξ�㕇Ā̅ý̃(ý) + Ā̅Ξ]ý̃(ý) (74)

T ừ biÅu thức (74), chúng ta thÃy rằng nÁu điÃu kián ç biÅu thức (66) căa Đánh lý 3 tho Á mãn thì ta có thÅ kÁt luÁn rằng ý̇(ý̃(ý)) < 0, điÃu này có ngh*a là ý̃(ý) = [ý(ý) �㕒(ý)] → 0 khi ý → ∞ Chứng minh Đánh lý 3 đ°ÿc hoàn thành

Tuy nhiên cũng giáng nh° Đánh lý 1, điÃu kián (66) căa Đánh lý 3 là mát bÃt ph°¢ng trình ma trÁn phi tuyÁn (BMI) ĐÅ giÁi bÃt ph°¢ng trình ma trÁn này rÃt khó đÅ giÁi bằng Matlab đÅ tìm các tham sá căa bá điÃu khiÅn và bá quan sát Đánh lý sau đây

là cÅn thiÁt đÅ chuyÅn BMI thành các LMI

Đßnh lý 4: Các biÁn tr¿ng thái căa há tháng con lÃc ng°ÿc (53), sai sá °ãc l°ÿng

căa vector biÁn tr¿ng thái (56), và sai sá °ãc l°ÿng căa nhißu (60) hái tā và không

n Áu tãn t¿i ma trÁn đái xứng xác đánh d°¢ng Ā, R và các ma trÁn ÿ, ÿ, ă, þ, �㔸, và

Ă đÅ các điÃu kián sau thoÁ mãn:

ý�㕇ā + āý + ý�㕇ÿ�㕇�㗤�㕇ā + ā�㗤ÿý + ý�㕇ÿ�㕇�㗺�㕇ā̅�㕇 + ā̅�㗺ÿý 2 ÿ�㕇Ā�㕇 2 Āÿ < 0 (75)

Āý�㕇 + ýĀ 2 þ�㕇þ�㕇2 þþ < 0 (76) trong đó

�㔸 = “ + āΩ (77)

�㗤 = 2þ(ÿþ)+ (78)

�㗺 = ý 2 (ÿþ)(ÿþ)+ (79)

Ā = āĀ (80) ā̅ = āā (81)

þ = ÿĀ (82) Các tham sá căa bá quan sát và bá điÃu khiÅn đ°ÿc xác đánh nh° sau:

{ āΛ 2 ā”(Φ) Φ < 021(ā”)�㕇 < 0 (90)

B ởi vì Φ < 0, ā”(Φ)21(ā”)�㕇 f 0 Vì vậy, Λ < ā”(Φ)21(”)�㕇 f 0 Biểu thức (90) tương đương với biểu thức sau

{Φ < 0 Λ < 0 (91) trong đó

�㗷 = ÿ�㕇ā + āÿ

Λ = ý�㕇Ā21+ Ā21ý 2 ÿ�㕇þ�㕇Ā212 Ā21þÿ

T ừ biÅu thức (64), chúng ta có

[ý + �㔸ÿ]þ = 0 (93)

�㔸(ÿþ) = 2þ (94) Theo B å đà 1, nghiám tång quát căa ph°¢ng trình (94) là

�㔸 = “ + āΩ (95)

trong đó �㗤 = 2þ(ÿþ)+, �㗺 = ý 2 (ÿþ)(ÿþ)+, ā là các ma trÁn bÃt kì vãi kích th°ãc phù hÿp

Bằng cách thêm biÁn phā L vãi đánh ngh*a nh° sau

Ā = þ + ÿ�㔸 (96)

Từ biÅu thức (62) và (95), ta thu đ°ÿc

ÿ = āý 2 Āÿ (97) KÁt hÿp (96) và (97) ta có

þ = Ā(ý + ÿ�㔸) 2 āý�㔸 (98) ThÁ biÅu thức (98) vào biÅu thức (97) ta có kÁt quÁ nh° sau

ÿ = (ý + �㔸ÿ)ý 2 Āÿ = (ý + (“ + āΩ)ÿ)ý 2 Āÿ (99) Thay biÅu thức (99) vào biÅu thức (92) cho ta kÁt quÁ

biÅu thức (103), rõ ràng ta thÃy rằng đây là bÃt ph°¢ng trình ma trÁn tuyÁn tính, bÃt

ph°¢ng trình này có thÅ dß dàng giÁi đ°ÿc bằng cách sÿ dāng công cā LMI đÅ thu

đ°ÿc các tham sá bá điÃu khiÅn và bá quan sát cho há tháng con lÃc ng°ÿc T°¢ng

tă nh° vÁy, bÃt ph°¢ng trình ma trÁn phi tuyÁn (91b) đ°ÿc chuyÅn thành các

ph°¢ng trình ma trÁn tuyÁn tính trong các b°ãc sau:

Vì vÁy, BMI (66) căa Đánh lý 3 đã thành công chuyÅn thành các LMI (75) and (76)

c ăa Đánh lý 4 Chứng minh Đánh lý 4 đ°ÿc hoàn thành

Vãi māc đích làm cho ng°åi đãc dß dàng hiÅu h¢n, các b°¢c đÅ xác đánh các tham sá bá điÃu khiÅn đ°ÿc tóm tÃt nh° sau:

Bước 1: Các ma trÁn �㗤 và �㗺 thu đ°ÿc lÅn l°ÿt từ biÅu thức (78) và (79) căa Đánh

lý 4

Bước 2: GiÁi LMI (75) và (76), chúng ta thu đ°ÿc ma trÁn Ā, R, Ā, ā̅, và þ Sau

đá, E, L, và Z đ°ÿc xác đánh lÅn l°ÿt từ các biÅu thức (77), (80), và (81),

respectively

Bước 3: Tham sá bá quan sát ÿ, ă, þ, �㔸, và Ă đ°ÿc lÅn l°ÿt từ các biÅu thức

(83)-(86) và tham sá bá điÃu khiÅn đ°ÿc xác đánh trong biÅu thức (87)