Trang 2 Hội Đồng biên tập Hà Huy Khoái Chủ tịchNgô Việt Trung Trang 4 Lời nói đầu uốn sách này có thể xem là tập tiếp theo của giáo trình giải tích các hàm số một biến, đã được Nhà xuấ
Không gian R n
Điểm trong không gian n-chiều
Ta đã quen thuộc với cách dùng một số để biểu diễn một điểm trên đường thẳng (khi trên đường thẳng đó cho sẵn đơn vị dài) Ta cũng đã biết việc dùng một cặp 2 số (x,y) để biểu diễn một điểm trong mặt phẳng có hệ tọa độ Descartes
Tương tự như vậy, người ta sử dụng một bộ 3 số (x,y,z) để biểu diễn một điểm trong không gian Đường thẳng còn được gọi là không gian 1-chiều, mặt phẳng còn được gọi là không gian 2-chiều, và không gian vật lý xung quanh ta còn được gọi là không gian 3-chiều Như vậy, một số biểu diễn một điểm trong không gian 1-chiều, một cặp 2 số biểu diễn điểm trong không gian 2-chiều, và một bộ 3 số biểu diễn một điểm trong không gian 3-chiều Tuy rằng, ta không thể cho được minh họa hình học của cách biểu diễn điểm trong không gian có số chiều lớn hơn 3, nhưng bằng cách khái quát hóa, người ta có thể dùng một bộ n số để biểu diễn một điểm trong không gian n-chiều Không gian n-chiều với n≥4 không phải chỉ là sự tưởng tượng và khái quát hóa của các nhà toán học, mà chúng thật sự tồn tại trong vật lý, kinh tế, xã hội Thí dụ để biểu diễn nhiệt độ tại một điểm trong không gian xung quanh ta thì ngoài 3-chiều thông thường ta phải thêm một chiều thời gian Hoặc để biểu diễn tình trạng sức khỏe của một người nào đó ta phải dùng bộ nhiều số: chiều cao, trọng lượng, vòng ngực, huyết áp, độ thính, tầm nhìn Chính xác hơn, với số tự nhiên n cho trước, ta có: Định nghĩa Một điểm trong không gian n-chiều là một bộ n số có thứ tự
Người ta thường ký hiệu một điểm trong không gian n-chiều bằng một chữ đậm, thí dụ như x , và viết x =( , , , )x x 1 2 x n Số x i trong bộ số này được gọi là tọa độ thứ i của điểm x
Giả sử có 2 điểm trong cùng một không gian n-chiều là a =( , , , )a a 1 2 a n và b =( , , , )b b 1 2 b n , ta định nghĩa tổng của chúng ( a+b ) là một điểm trong không gian n-chiều với các tọa độ là
(a +b a, +b , ,a n +b n ), và ta định nghĩa tích của điểm a với một số λ là một điểm với các tọa độ là
(λ λa, a , ,λa n ) Thí dụ Trong không gian 3-chiều, với a = (1,3,5), b = (2,0,1), λ = 7, ta có a+b = (3,3,6) và λ a = (7,21,35)
Người ta ký hiệu 0 là điểm (trong không gian n-chiều) có tất cả các tọa độ bằng 0 (tức là 0 = (0,0, ,0)) và gọi nó là điểm gốc, còn - a là điểm (-1) a (tức là điểm có các tọa độ ngược dấu với các tọa độ điểm a ) Khi ấy dễ dàng kiểm tra rằng các phép tính trên thỏa mãn các luật sau:
Chương 1 Không gian R n và không gian metric 3
Từ đây người ta cũng quy ước viết a - b thay cho a +(- b )
Chứng minh các đẳng thức trên là dễ dàng, người đọc có thể tự làm như các bài tập Để làm thí dụ, chúng ta chứng minh đẳng thức (3)
Vectơ trong không gian n-chiều
Người ta gọi mỗi cặp điểm a , b trong không gian n-chiều là một vectơ buộc
(hay vectơ định vị) trong không gian n-chiều
Vectơ xác định bởi cặp điểm a, b được ký hiệu là ab Người ta gọi a là điểm đầu, b là điểm cuối, và còn gọi ab là vectơ định vị tại a
Hai vectơ ab và cd được gọi là tương đẳng nếu chúng thỏa mãn điều kiện
Theo định nghĩa đó, vectơ ab là tương đẳng với vectơ định vị tại gốc 0 và có điểm cuối là b-a Rõ ràng, chỉ có duy nhất một vectơ định vị tại gốc tương đẳng với một vectơ cho trước (vì dễ thấy rằng nếu
2 vectơ tương đẳng mà cùng định vị tại gốc thì điểm cuối của chúng cũng trùng nhau) Điều này được minh họa trong trường hợp 2-chiều như hình vẽ bên
Vectơ định vị tại gốc được xác định hoàn toàn bởi điểm cuối của nó, cho nên trong không gian n-chiều ta có mối tương quan 1-1 giữa điểm và vectơ định vị tại gốc Như vậy một bộ n số có thể được xem là tọa độ của một điểm a hay của một vectơ định vị tại gốc 0a , và để cho thuận tiện người ta viết vectơ này một cách đơn giản là a hay thậm chí là a , trong trường hợp không sợ xảy ra nhầm lẫn
Hai vectơ ab và cd được gọi là song song nếu tồn tại số λ ≠ 0 sao cho b a − =λ( d − c ) Khi số λ là dương thì ta nói rằng chúng cùng hướng (hay cùng chiều), và trong trường hợp ngược lại ta nói rằng chúng ngược hướng (hay ngược chiều) nhau a b b - a 0
4 Giải tích các hàm nhiều biến
Như vậy, hai vectơ là song song với nhau khi và chỉ khi các vectơ định vị tại gốc tương đẳng với chúng sai khác nhau một hệ số (khác 0) Nghĩa là, khái niệm song song ở đây hoàn toàn phù hợp với những gì biết trong trường hợp không gian
2-chiều hoặc 3-chiều (trong giáo trình Hình học giải tích).
Tích vô hướng
Định nghĩa Tích vô hướng của 2 vectơ a =( , , , )a a 1 2 a n và b = ( , , , )b b 1 2 b n là một số (ký hiệu là a b ) xác định như sau: a b := a b 1 1 +a b 2 2 + + a b n n
(Trong một số giáo trình, để phân biệt tích vô hướng của 2 vectơ với tích thông thường của 2 số, người ta còn ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ a và b là ( a , b ) hay a b, Tuy nhiên, trong giáo trình này, khi cần phân định rõ sự khác biệt giữa các vectơ với các số thông thường, chúng ta sẽ dùng phông chữ đậm để biểu diễn vectơ, cho nên sẽ không xảy ra sự lẫn lộn giữa 2 khái niệm đã nói Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng cách ký hiệu đơn giản như đã trình bày trên, như rất nhiều tài liệu nước ngoài hiện nay, và sẽ chỉ sử dụng ký hiệu khi nào thấy cần thiết)
Tính chất Từ định nghĩa trên ta thấy tích vô hướng của 2 vectơ có những tính chất sau:
4) a a ≥0, và a a =0 khi và chỉ khi a = 0
Chứng minh Việc kiểm tra các Tính chất 1 và 3 là dễ dàng và dành lại cho người đọc Ta kiểm tra các tính chất còn lại Đẳng thức đầu trong Tính chất 2 suy ra từ nhận xét sau
+ = + + + + + + = + + + + + + + = + a b c a b a c và đẳng thức sau suy ra từ Tính chất 1
Phần xuôi của Tính chất 4 có ngay từ định nghĩa, còn phần ngược lại thì rút ra từ nhận xét rằng nếu trong bộ số ( , , , )a a 1 2 a n có một phần tử nào đó khác 0, thí dụ làa i , thì
Các tính chất đã được kiểm tra xong
Chương 1 Không gian R n và không gian metric 5 Để cho thuận tiện người ta hay viết a 2 thay cho a a Lưu ý rằng đây chỉ là quy ước mang tính hình thức và không có liên quan gì đến phép lũy thừa (hoàn toàn vô nghĩa khi viết a 3 ) Tuy nhiên người đọc có thể dễ dàng kiểm tra các “hằng đẳng thức” tương tự sau đây:
Hai vectơ a và b được gọi là vuông góc với nhau nếua b =0
Trong trường hợp không gian 2-chiều và 3-chiều khái niệm vuông góc ở đây hoàn toàn trùng hợp với khái niệm vuông góc thông thường.
Chuẩn của vectơ
Bổ đề sau đây có tên là bất đẳng thức Schwarz và sẽ đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vectơ
Bổ đề (Schwarz) Với 2 vectơ a, b ta luôn có
Chứng minh Với a = 0 thì bất đẳng thức trên là hiển nhiên Khi a ≠ 0 từ Tính chất 4 ta có (ta + b a ,t + b ) 0≥ , với mọi số t Suy ra
2 2 t +2 t+ 2≥0 a ab b , với mọi t Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 (biến t) ta có:
( ) ab − a b ≤0 Đây chính là điều cần chứng minh Định nghĩa Chuẩn (hay độ dài) của vectơ a, ký hiệu là || a ||, là một số xác định như sau:
|| a || = a a Dưới dạng tọa độ thì công thức trên có nghĩa là
|| a || = a 1 2 +a 2 2 + + a n 2 , và trong trường hợp không gian 2-chiều hoặc 3-chiều thì nó hoàn toàn trùng hợp với công thức tính độ dài theo định lý Pythagoras
Rõ ràng vectơ có chuẩn bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các tọa độ của nó bằng 0
Từ bổ đề Schwarz, sau khi lấy căn 2 vế, ta thu được công thức rất hay được sử dụng sau này là
6 Giải tích các hàm nhiều biến
Ngoài ra độ dài còn có những tính chất quan trọng sau: Định lý Với số α và các vectơ a, b ta có
|| a + b || ≤ || a || + || b || Chứng minh Theo định nghĩa ta có
||α a || =(α a ).(α a )=α ( ) a a =α || || a Lấy căn 2 vế ta được đẳng thức cần chứng minh
Tiếp theo, từ bổ đề Schwarz ta có
2 a b ≤ 2.|| a ||.|| b || Theo định nghĩa của chuẩn dễ dàng suy ra bất đẳng thức trên tương đương với
+2 + ≤ || || +2 || || || || || ||+ a a a b b b a a b b Điều này có nghĩa là
( a + b a ).( + b ) (|| || || ||)≤ a + b 2 Sau khi khai căn 2 vế ta thu được điều cần chứng minh
Bất đẳng thức trong định lý trên thường được gọi là bất đẳng thức tam giác, vì về mặt hình học nó khẳng định một điều rất quen thuộc là: độ dài của một cạnh trong tam giác không thể vượt quá tổng độ dài của 2 cạnh còn lại
Hệ quả (Định lý Pythagoras) Nếu 2 vectơ a và b vuông góc với nhau thì
Ta định nghĩa khoảng cách giữa 2 vectơ a và b là chuẩn của hiệu 2 vectơ đó, nghĩa là bằng
Các vectơ nói đến ở đây đều là vectơ định vị tại gốc nên hoàn toàn được xác định bởi điểm cuối Khoảng cách giữa 2 vectơ cũng có thể được xem như khoảng cách giữa 2 điểm cuối của chúng, và do đó ta cũng có khái niệm khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian n-chiều
Chương 1 Không gian R n và không gian metric 7
Với a =( , , , )a a 1 2 a n , b = ( , , , )b b 1 2 b n ta có thể viết lại công thức định nghĩa khoảng cách dưới dạng:
Rõ ràng, khoảng cách giữa a và b là bằng khoảng cách giữa b và a , và hoàn toàn trùng hợp với khái niệm khoảng cách mà ta đã biết khi không gian là 2-chiều hoặc
3-chiều Từ các tính chất của chuẩn, ta dễ dàng suy ra khoảng cách giữa 2 vectơ (2 điểm) có những tính chất đặc trưng sau đây:
Chứng minh Các Tính chất (1),(2),(3) là hiển nhiên Tính chất cuối cùng có ngay từ bất đẳng thức tam giác, bởi vì a - b = ( a - c ) + ( c - b )
Nhận xét Như vậy ta đã xây dựng được không gian các vectơ (các điểm) trên cơ sở các bộ n số và trang bị trên đó các phép tính cộng, nhân với số, tích vô hướng và khái niệm khoảng cách Không gian này có tên gọi là không gian Euclid n-chiều và được ký hiệu là R n Đây là một không gian có nhiều tính chất thú vị và sẽ đóng vai trò nền tảng trong suốt giáo trình Giải tích các hàm nhiều biến Sau này, khi đã làm việc quen với không gian R n và không còn sự nhầm lẫn giữa số và bộ n số, chúng ta có thể dùng chữ thường để biểu thị bộ số hay điểm trong không gian nhiều chiều
(mà không nhất thiết phải dùng ch ữ đậ m như trong mục này).
Ánh xạ tuyến tính
Phép ứng A từ không gian R n vào không gian R m được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó có các tính chất sau đây:
Ta gọi các vectơ e 1 =(1,0, ,0), e 2 =(0,1, ,0), , e n =(0,0, ,1) trong R n là các vectơ trục đơn vị Dễ dàng thấy rằng một vectơ bất kỳ x =( , , , )x x 1 2 x n được biểu diễn qua các vectơ trục đơn vị bằng công thức sau
8 Giải tích các hàm nhiều biến và do các tính chất (i)-(ii) ta suy ra ảnh của x qua phép ánh xạ tuyến tính A sẽ được biểu diễn qua ảnh của các vectơ trục đơn vị theo công thức sau
Mỗi ( )A e i là một phần tử trong R m , cho nên nó sẽ là một bộ m số, ký hiệu là( ,a a i 1 i 2 , ,a im ) Ta thiết lập một ma trận chữ nhật A gồm m hàng và n cột, với các cột là các bộ sốA( ) e i , tức là A :=[ A( ) ( ) ( ) e 1 A e 2 A e n ], hay
Ma trận này được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính A
Nếu ta coi mỗi vectơ như là một ma trận cột thì ta có thể viết
Theo phép nhân các ma trận thì công thức (*) có thể được viết lại dưới dạng đơn giản là
Ngược lại, nếu có một ma trận A (cỡ m×n) thì ta thiết lập được một phép ứng từ không gian R n vào không gian R m theo công thức (**) Với các tính chất của phép nhân và cộng các ma trận (đã biết trong giáo trình Đại số tuyến tính), ta dễ thấy rằng phép ứng này thỏa mãn các điều kiện (i)-(ii), cho nên nó là một ánh xạ tuyến tính Như vậy, ta có một phép tương ứng giữa tập các ánh xạ tuyến tính (từ không gian R n vào không gian R m ) và tập các ma trận chữ nhật (cỡ m×n)
Trong trường hợp riêng, khi n = m thì A là một ma trận vuông (cấp n) và ánh xạ tương ứng với nó là một ánh xạ từ không gian R n vào chính nó (hay còn gọi là một phép biến đổi trong R n ) Ta nói ánh xạ tuyến tính là không suy biến nếu như ma trận tương ứng với nó là không suy biến, tức là có định thức khác 0 Từ giáo trình Đại số tuyến tính ta biết rằng một ma trận vuông không suy biến có ma trận nghịch đảo, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ tuyến tính tương ứng với ma trận nghịch đảo này là ánh xạ ngược của ánh xạ ban đầu Cho nên, mỗi phép biến đổi không suy biến là một song ánh
Chương 1 Không gian R n và không gian metric 9
Người ta định nghĩa chuẩn của ánh xạ tuyến tính A, kí hiệu ||A||, là số xác định như sau:
||A||: sup || ( ) ||:= A x x ∈B(0,1) , trong đó ta kí hiệu B(0,1) là quả cầu đơn vị trong R n , tức là tập hợp các vectơ có độ dài (chuẩn) không vượt quá 1 Để ý rằng với x =( , , )x 1 x n ∈B(0,1) thì |x i | || || 1≤ x ≤ với mọi i = 1, ,n, cho nên từ công thức (*) ta suy ra được ||A|| là một số hữu hạn (không vượt quá tổng của chuẩn các ảnh của n vectơ trục đơn vị)
Với mọi vectơ x ≠ 0, ta có ( / || || x x ) là vectơ nằm trong quả cầu đơn vị, và do tính tuyến tính của A ta có:
Rõ ràng với x = 0 bất đẳng thức này vẫn đúng, cho nên nó đúng với mọi x Đây là một công thức quan trọng, vì nó phản ánh tính liên tục của ánh xạ tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều (như sẽ thấy sau này)
Các ánh xạ tuyến tính là đối tượng được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại số tuyến tính, cho nên trong giáo trình này ta sẽ không đi sâu Tuy nhiên, do vai trò quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực, chúng sẽ được đề cập đến nhiều hơn về khía cạnh thực hành tính toán
Nhận xét Không gian R n là sự mở rộng của các không gian 2-chiều, 3-chiều và được thừa hưởng nhiều thuộc tính mà ta đã quen biết từ những năm phổ thông Tuy nhiên, đối tượng nghiên cứu của Toán học là vô cùng rộng rãi và rất nhiều không gian mà nó đề cập (với các phần tử không nhất thiết là các bộ số) thường không có được tất cả các tính chất giống như của R n Những không gian chỉ được trang bị các phép tính cộng, nhân với số (với các tính chất giống như trong R n ) được gọi là các không gian có cấu trúc tuyến tính và được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại số tuyến tính Những không gian không có được cấu trúc tuyến tính, nhưng lại được trang bị khái niệm khoảng cách (với các tính chất giống như trong R n ) được gọi là không gian metric Không gian này và các dạng tổng quát của nó được nghiên cứu kỹ trong lý thuyết Tôpô và là một phần rất quan trọng của giáo trình
Giải tích hàm Tuy nhiên, không gian metric cũng là một công cụ tiện lợi trong
10 Giải tích các hàm nhiều biến nghiên cứu hàm nhiều biến, cho nên chúng ta cần biết một số khái niệm cơ bản về nó.
Không gian metric
Định nghĩa và các ví dụ
Định nghĩa Không gian metric là một tập hợp E≠∅ được trang bị một phép ứng mỗi cặp điểm p,q∈E với một số thực d(p,q) sao cho
(4) d p q( , )≤d p r( , )+d r q( , ) , ∀p q r E, , ∈ (bất đẳng thức tam giác)
Như vậy không gian metric là một cặp (E,d), trong đó E là một tập hợp và d là một hàm số d : E×E→R thỏa mãn các Tính chất (1)-(4) Thông thường, khi nói về một không gian metric nào đó với hàm d mà mọi người đều hiểu là gì rồi thì người ta chỉ dùng tập E để biểu thị thay cho cả cặp (E,d) Điều này tuy không đúng về mặt logic, nhưng lại thuận tiện cho nên được mọi người chấp nhận
Số d(p,q) được gọi là khoảng cách giữa 2 điểm p, q, và hàm d được gọi là hàm khoảng cách hay là metric
Thí dụ 1 Với E = R n và hàm d được định nghĩa như sau
( ) || || ( ) ( n n ) d a,b = a b − = b −a + + b −a thì từ các tính chất của khoảng cách trong R n ta suy ra cặp (R n ,d) là một không gian metric Nó sẽ là một không gian metric điển hình trong giáo trình này, và metric xác định như trên sẽ được coi là metric thông thường trên R n
Trong trường hợp đặc biệt, khi n = 1, ta có trục số thực R cũng là một không gian metric với định nghĩa khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu của chúng
Thí dụ 2 Với E = R n và hàm d được định nghĩa như sau
Chương 1 Không gian R n và không gian metric 11 thì cặp (R n ,d) cũng là một không gian metric (người đọc tự kiểm tra như một bài tập)
Thí dụ 3 Với E = R n ta định nghĩa hàm d như sau
( , ) max | i i | , 1,2, , d a b = b −a i= n thì cũng dễ dàng thấy rằng cặp (R n ,d) là một không gian metric (người đọc tự kiểm tra như một bài tập)
Thí dụ 4 Khi (E,d) là một không gian metric thì mỗi tập con E 1 ⊂E cùng với thu hẹp của d trên E 1 ×E 1 cũng tạo thành một không gian metric, được gọi là không gian metric con của E và thường được ký hiệu là (E 1 ,d)
Thí dụ 5 Với E là một tập bất kỳ, ta định nghĩa
Rõ ràng d thỏa mãn mọi điều kiện của một hàm khoảng cách và cặp (E,d) là một không gian metric Tuy nhiên không gian này có cấu trúc đơn giản tới mức chẳng cung cấp cho ta một thông tin đáng kể nào Cho nên phương pháp xác định hàm khoảng cách sẽ là yếu tố thực sự đem lại cấu trúc cho một không gian metric
Mệnh đề Với các điểm p p 1 , 2 , ,p trong không gian metric E ta luôn có n
( , n ) ( , ) ( , ) ( n , n ) d p p ≤d p p +d p p + +d p − p Chứng minh Suy từ việc áp dụng bất đẳng thức tam giác lặp lại n-1 lần
( , n ) ( , ) ( , n ) ( , ) ( , ) ( , n ) d p p ≤d p p +d p p ≤d p p +d p p +d p p ≤ Mệnh đề Với các điểm p p p trong không gian metric E ta luôn có 1 , 2 , 3
| ( ,d p p )−d p p( , ) |≤d p p( , ) (Nghĩa là: Hiệu của 2 cạnh trong tam giác luôn nhỏ hơn cạnh còn lại)
Chứng minh Từ bất đẳng thức tam giác ta có
( , ) ( , ) ( , ) d p p ≤d p p +d p p và d p p( , 2 3 )≤d p p( , ) 2 1 +d p p( , 1 3 ) Các bất đẳng thức này có thể viết lại thành
( , ) ( , ) ( , ) d p p −d p p ≤d p p và d p p( , 2 3 )−d p p( , 1 3 )≤d p p( , 1 2 ), chính là điều cần chứng minh
12 Giải tích các hàm nhiều biến
Tập đóng và tập mở trong không gian metric
Ta đã biết khái niệm về tập đóng và tập mở trong R Một cách tương tự, ta có thể định nghĩa khái niệm này trong không gian metric (nói chung) và trong R n (nói riêng) Trước hết ta đưa ra định nghĩa quả cầu trong không gian metric
Qu ả c ầ u m ở trong không gian metric (E,d) với tâm tại p E∈ và bán kính
Qu ả c ầ u đ óng trong không gian metric (E,d) với tâm tại p E∈ và bán kính
Khi ta không chỉ rõ tâm và bán kính thì ta chỉ cần nói quả cầu thay cho việc nói quả cầu với tâm là một điểm nào đó và với bán kính là một số dương nào đó
Thí dụ Với E = R 3 và với metric thông thường thì khái niệm quả cầu như trên hoàn toàn trùng hợp với quả cầu theo ngôn ngữ đời thường, còn với metric như trong Thí dụ 3 thì quả cầu sẽ là một hình lập phương (theo ngôn ngữ đời thường)
Quả cầu thông thường không kể phần mặt cầu thì là quả cầu mở, và nếu kể cả mặt cầu thì là quả cầu đóng
Với E = R 2 và với metric thông thường thì quả cầu là một hình tròn, còn với metric như trong Thí dụ 3 thì quả cầu là một hình vuông (theo ngôn ngữ thông thường) Hình tròn không kể vòng tròn bao quanh thì là hình tròn mở, và nếu kể cả vòng tròn bao quanh thì là hình tròn đóng
Với E = R thì quả cầu mở chính là một khoảng và quả cầu đóng chính là một đoạn Ngược lại, một khoảng (a,b) bất kỳ luôn có thể được xem là một quả cầu mở với tâm tại điểm
2 2 2 2 2 a b a b b a a b b a a< N: max{ ,= N N 1 2 } ta sẽ có ( ,d p p n )N ta có ( ,d p p n )N thì
( n , m ) / 2 d p p N sao cho d p p( , n k ( ) ) 0 và A là một tập con trong E, ta nói A là ε-lưới của E nếu với mọi x trong E tồn tại a∈A để d(a,x) < ε
Tương tự như vậy ta định nghĩa được ε-lưới của một tập bất kỳ B⊆E
Tập B ⊆ E được gọi là hoàn toàn giới nội nếu B có ε-lưới hữu hạn với mỗi số dương ε
Thí dụ Trong R 2 quả cầu tâm 0, bán kính 1 là tập hoàn toàn giới nội Thật vậy, với ε > 0 bất kỳ, chọn số nguyênN 2
>ε Dễ thấy tập hữu hạn
22 Giải tích các hàm nhiều biến tạo thành ε-lưới của quả cầu nói trên
Chú ý Nếu như tập B ⊆ E là hoàn toàn giới nội thì nó cũng là giới nội Thật vậy, giả sử { x 1 , ,x n }⊆B là một ε-lưới (với ε > 0) của B Lấy x 0 ∈B và đặt
Vì B là hoàn toàn giới nội, với mọi x ∈ B tìm được chỉ số i để ( , )d x x i 0 cho trước, tồn tại số δ>0 sao cho nếu p E p∈ \ 0 và d p p( , ) 0 0 chứa mọi điểm p n với n đủ lớn Nếu p=p n , với n nào đó, thì p là điểm thuộc A; nếu p≠p n với mọi n thì p là điểm tụ của A
Phần hai của bổ đề suy trực tiếp từ phần đầu
Bây giờ cho A và B là hai tập compact khác rỗng trong E Độ lệch của A đối với B là đại lượng
Tương tự, độ lệch của B đối với A là đại lượng
Lưu ý rằng độ lệch của A đối với B khác độ lệch của B đối với A Thí dụ A⊆B và
A≠B thì e(A,B) = 0 trong khi đó e(B,A) ≠ 0 (vì tồn tại y∈B để y∉A Do A đóng nên theo bổ đề d(y,A) > 0, suy ra e(B,A) ≠ 0)
Bổ đề 2 Độ lệch e(A,B) là hữu hạn và tồn tại điểm a∈A sao cho e(A,B) = d(a,B)
Chứng minh Vì A là compact nên giới nội Do đó với y 0∈B cố định, tìm được α>0 để d x y( , ) 0 ≤α với mọi x ∈ A Khi ấy ( , )d x B ≤α với mọi x ∈ A, cho nên e(A,B) là hữu hạn Theo định nghĩa của e(A,B) tồn tại x n ∈ A để
= →∞ Do A compact nên {x n } có dãy con hội tụ tới a∈A (và không làm mất tổng quát ta có thể xem dãy con này chính là {x n }) Khi ấy
( , ) ( , ) lim ( , ) n ( , ) ( , ) d a B ≤e A B ≤ d x a +d a B =d a B cho nên e(A,B) = d(a,B), điều cần chứng minh
Khoảng cách Hausdorff (hay còn gọi siêu metric) giữa A và B là đại lượng
Ký hiệu E là tập hợp mà các phần tử của nó là các tập con compact, khác rỗng trong E Hiển nhiên E chứa mọi điểm của E vì điểm trong E cũng là tập compact
Dưới đây ta sẽ chỉ ra rằng h là một metric trên E và do đó không gian (E,h) được gọi là không gian siêu metric
Chương 1 Không gian R n và không gian metric 29 Định lý Siêu metric h có những tính chất sau đây
(v) h(A,B) là số không âm với mọi A,B∈E;
(vi) h(A,B) = 0 khi và chỉ khi A=B;
(viii) h(A,B) ≤ h(A,C) + h(C,B) với mọi A,B,C∈E ; (ix) h({x},{y}) = d(x,y) nếu x,y∈E
Chứng minh Các tính chất (i), (ii), (iii) và (v) suy ngay từ định nghĩa Ta chỉ còn chứng minh (iv) Từ Bổ đề 2 suy ra với mọi x∈A, tồn tại c∈C để
Tiếp theo, do (iii), ta có
≤ + + ≤ + h A B e A B e B A e A C e C B e B C e C A h A C h C B h B C h C A h A C h C B Định lý được chứng minh xong
Từ định lý trên chúng ta có thể khảo sát (E,h) như một không gian metric bình thường Không gian siêu metric được dùng để nghiên cứu tính hội tụ của các tập, của các ánh xạ và tính ổn định trong nhiều lĩnh vực quan trọng của Toán học ứng dụng
30 Giải tích các hàm nhiều biến
Kh“ng gian metric 1 1.1 Không gian R n 1
1.1.1 Điểm trong không gian n-chiều 21.1.2 Vectơ trong không gian n-chiều 31.1.3 Tích vô hướng 41.1.4 Chuẩn của vectơ 51.1.5 Ánh xạ tuyến tính 71.2 Không gian metric 10 1.2.1 Định nghĩa và các ví dụ 101.2.2 Tập đóng và tập mở trong không gian metric 121.2.3 Hội tụ trong không gian metric 151.2.4 Tính đầy đủ trong không gian metric 171.2.5 Tính compact trong không gian metric 191.2.6 Ánh xạ trong không gian metric 241.2.7 Không gian siêu metric 27Trang cuối cùng là 29
Bài tập và tính toán thực hành Chương 1
1.1 Điểm và vectơ trong không gian n-chiều 30 1.2 Ánh xạ tuyến tính 31
2 Không gian metric 32 2.1 Các thí dụ về không gian metric 32 2.2 Tập đóng và tập mở trong không gian metric 33 2.3 Hội tụ trong không gian metric 34 2.4 Tính đầy đủ trong không gian metric 34 2.5 Tính compact trong không gian metric 35 2.6 Ánh xạ liên tục trong không gian metric 35
3 Thực hành tính toán 36 3.1 Khai báo vectơ và ma trận 37 3.2 Tính chuẩn của vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm 38 3.3 Các phép toán trên vectơ 39 3.4 Các phép toán trên ma trận 40
1.1 Điểm và vectơ trong không gian n -chiều
Bài 1 Cho ba điểm a =(2,4,2,4,2); b =(6,4,4,4,6), c =(5,7,5,7,2) trong R 5
Hãy tìm các vectơ b a , c b , a c − − − , và kiểm tra các tính chất tổng của hai điểm và tích của một điểm với một số theo định nghĩa
Bài 2 Góc giữa hai vectơ khác không x và y là góc α (trong đoạn từ 0 đến π mà cosα xác định bởi: cosα= x.y x y
Hãy tìm độ dài các cạnh và góc trong của tam giác có đỉnh là các điểm được xác định bởi các tọa độ:
Bài tập và tính toán thực hành Chương1 31
Bài 3 Cho bốn điểm a, b, c, d trong không gian R n Ta nói abcd là một hình bình hành nếu các cặp vectơ ab, cd và bc, da song song (xem định nghĩa trong 1.1.2.) từng đôi một Dùng định nghĩa góc giữa hai vectơ, hãy chứng minh định lý: Tổng bình phương đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương các cạnh của nó
Bài 4 Chứng minh định lý hàm số cos trong không gian R n : Bình phương độ dài một cạnh của tam giác bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh ấy nhân với côsin của góc xen giữa
Bài 5 Hai vectơ gọi là vuông góc với nhau khi tích vô hướng của chúng bằng 0
Tập hợp các vectơ vuông góc với tất cả các vectơ trong tập A gọi là phần bù trực giao của nó và thường được ký hiệu là A ⊥ Hãy chứng minh rằng
A ⊥ lập thành một không gian con, tức là có những tính chất sau:
Bài 1 Cho ánh xạ A từ không gian R 3 vào chính nó sao cho
A x y z = a+ x+ +y z x+ a+ y+z x+ +y a+ z , trong đó a là một số thực nào đó
1 Chứng tỏ A là một ánh xạ tuyến tính
2 Với giá trị nào của a thì A là không suy biến và với giá trị nào của a thì
Bài 2 Cho ánh xạ A từ không gian R 4 vào R 3 :
A x = x −x +x x +x x +x −x , với mọi x =( , , , )x x x x 1 2 3 4 Chứng tỏ A là một ánh xạ tuyến tính Tìm A
Bài 3 Chứng tỏ rằng phép chiếu vuông góc A từ không gian R 3 xuống R 2 :
A x = x x , với mọi x =( , , )x x x 1 2 3 là một ánh xạ tuyến tính Tìm A
Bài 4 Ta đưa vào khái niệm tích vô hướng tổng quát hơn trong lý thuyết như sau:
32 Giải tích các hàm nhiều biến Ánh xạ ϕ từ R n ×R n vào R được gọi là dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương trên R n nếu nó thỏa mãn các tính chất:
4 ϕ( x, x ) 0≥ với mọi x ∈R n ; (ϕ x, x )=0 khi và chỉ khi x =0
Số thực (ϕ x, y ) được gọi là tích vô hướng của x và y và được ký hiệu là x.y Hãy chứng minh rằng: nếu x =( , , )x 1 x n , y =( , ,y 1 y n ) là hai vectơ trong R n thì
=∑ x.y là dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương, tức là tích vô hướng theo định nghĩa trên
2.1 Các thí dụ về không gian metric
Bài 1 Tập hợp các điểm trên mặt phẳng với khoảng cách giữa hai điểm
M x y và M x y 2 ( , 2 2 ) được tính theo công thức
( ) r M M 1 , 2 = x −x + y −y có phải là không gian metric không?
Bài 2 Tập hợp các số thực, với khoảng cách giữa hai số x và y được tính theo công thức ( , )r x y = x−y có phải là không gian metric không?
Bài 3 Tập hợp các số thực, với khoảng cách giữa hai số x và y được tính theo công thức ( , )r x y =arctan(x−y ) có phải là không gian metric không?
Bài 4 Tập hợp các số thực, với khoảng cách giữa hai số x và y được tính theo công thức r x y( , )=sin ( 2 x−y) có phải là không gian metric không?
Bài 5 Chứng minh rằng tập tất cả các dãy số thực vô hạn bị chặn lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai dãy x =( , , , , )x x 1 2 x n và
( , , ,y y y n , ) y được tính theo công thức:
Bài 6 Chứng minh rằng tập tất cả các dãy số thực vô hạn x =( , , , , )x x 1 2 x n có chuỗi
∑ = hội tụ lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa
Bài tập và tính toán thực hành Chương1 33 hai dãy x =( , , , , )x x 1 2 x n và y =( ,y y 1 2 , ,y n , ) được tính theo công thức
Bài 7 Tập tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [ , ]a b với khoảng cách giữa hai hàm số bất kì ( )x t và ( )y t được tính theo công thức
( ) ( ( ) ( ))2 b a r x, y = ∫ x t −y t dt có phải là không gian metric không?
Bài 8 Chứng minh rằng tập tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [ , ]a b lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai hàm số bất kì ( )x t và ( ) y t được tính theo công thức ( ) ( ) ( ) b a r x, y =∫ x t −y t dt
Bài 9 Chứng minh rằng tập [ , ]C a b tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [ , ]a b lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai hàm số bất kì ( ) x t và ( )y t được tính theo công thức
Bài 10 Chứng minh rằng tập tất cả các hàm số bị chặn trên đoạn [ , ]a b lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai hàm số bất kì x =x t( )và ( )
=y t y được tính theo công thức
2.2 Tập đóng và tập mở trong không gian metric
Bài 1 Chứng minh trực tiếp (không dùng luật đối ngẫu \ \
E ∪ A ∩ E A ) rằng, hợp của một số hữu hạn các tập đóng trong không gian metric là tập đóng
Bài 2 Chứng minh trực tiếp (không dùng luật đối ngẫu \ \
E ∩ A ∪ E A ) rằng, giao của một tập tuỳ ý các tập đóng trong không gian metric là tập đóng
Bài 3 Cho một dãy các đường tròn đồng tâm trong mặt phẳng có các bán kính
1 2 n r < < < > > >r r Hợp của chúng có phải là một tập đóng không?
34 Giải tích các hàm nhiều biến
Bài 5 Cho một dãy các hình tròn đồng tâm trên mặt phẳmg có các bán kính
1 2 n r < < < dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=series);
332 Giải tích các hàm nhiều biến
3) Tìm nghiệm dưới dạng một lưới điểm số ta dùng các lệnh:
[> F:=dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=numeric);
F := proc(rkf45_x) end và, tiếp theo, để biết giá trị của nghiệm tại một điểm nào đó ta dùng lệnh
Thí dụ 2 Tìm nghiệm phương trình vi phân cấp hai y" 2= x y 3 (với điều kiện ban đầu (0) 1y = , '(0) 1y = ) dưới dạng lưới điểm số, bằng chương trình mang tên dverk78, và cho giá trị của nghiệm và đạo hàm của nó tại các điểm x = 1, x =
1.5, x = 1.7 dưới dạng bảng số liệu:
[> s:=dsolve(deq3,{y(x)},type=numeric,method=dverk78, value=array([1.0,1.5,1.7]));
Thí dụ 3 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
2 "xy + +y' 3y=x và cho biết hệ cơ sở (basis) của tập nghiệm cùng với một nghiệm riêng:
Giải phương trình vi phân đạo hàm riêng
Muốn giải phương trình vi phân đạo hàm riêng ta dùng lệnh pdesolve với cú pháp:
Bài tập và tính toán thực hành Chương 9 333
[> pdesolve(pt,s); trong đó pt là phương trình đạo hàm riêng cần giải, s là nghiệm (hàm nhiều biến) cần tìm Đối với rất nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng, lệnh pdesolve cho ta nghiệm dưới dạng hiển Hàm tùy ý thường được kí hiệu là
_F1,_F2,v.v Dưới đây là một số ví dụ giải phương trình đạo hàm riêng trên
1 Ph ươ ng trình đạ o hàm riêng c ấ p m ộ t
Thí dụ 1 Giải phương trình z z 0 y x x y
Thí dụ 2 Giải phương trình x z (y x 2 ) z 0 x y
2 Ph ươ ng trình tuy ế n tính c ấ p m ộ t không thu ầ n nh ấ t
Thí dụ 3 Giải phương trình z y z x
Thí dụ 4 Giải phương trình z x z
Chú ý rằng đây là một phương trình đạo hàm riêng (trong lệnh pdesolve hàm z phụ thuộc vào hai biến ,x y) chứ không phải phương trình vi phân thường dz z dx (z là hàm của một biến x) Vì vậy nghiệm tổng quát phụ thuộc vào một hàm
F y , chứ không phải là một hằng số như trong trường hợp phương trình vi phân thường
Thí dụ 5 Giải phương trình u 3 u sin( ) x y xy
334 Giải tích các hàm nhiều biến
Nghiệm được viết thông qua các hàm đặc biệt
3 Ph ươ ng trình đạ o hàm riêng c ấ p hai
Thí dụ 6 Giải phương trình
Thí dụ 7 Giải phương trình 2 u 2 2 u 2 0 x y
4 Ph ươ ng trình đạ o hàm riêng c ấ p cao
Thí dụ 8 Giải phương trình
Vẽ đồ thị nghiệm phương trình vi phân
1 V ẽ đồ th ị nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình vi phân th ườ ng Để vẽ đồ thị nghiệm của hệ phương trình vi phân, ta cần gọi gói công cụ :
Và tiến hành vẽ đồ thị nghiệm của hệ phương trình vi phân bằng lệnh:
[>DEplot(deqns,vars,trange,inits,eqns); hoặc lệnh
[>DEplot(deqns,vars,trange,inits,xrange,yrange,eqns);
Trong đó: deqns - bảng các phương trình vi phân bậc nhất hoặc một phương trình vi phân cấp cao vars - biến phụ thuộc hoặc bảng các biến phụ thuộc
Bài tập và tính toán thực hành Chương 9 335 trange - miền thay đổi của biến độc lập inits - điều kiện ban đầu xác định đường cong nghiệm cần vẽ yrange - miền thay đổi của biến phụ thuộc thứ nhất xrange - miền thay đổi của biến phụ thuộc thứ hai eqns - các tuỳ chọn (màu, tiêu đề, độ đậm nhạt của đồ thị, )
Thí dụ Vẽ đồ thị của nghiệm của hệ phương trình vi phân ' (1 )
với biến độc lập t thay đổi trong đoạn [-2,2], biến phụ thuộc x thay đổi trong đoạn [-
1,2], biến phụ thuộc y thay đổi trong đoạn [-1,2], và thêm tiêu đề (tuỳ chọn) là:
‘Lotka-Volterra model’ (Mô hình Lotka-Volterra)
[> DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)), diff(y(t),t)=.3*y(t)* (x(t)-1)},[x(t),y(t)],t=- 2 2,x=-1 2,y=-1 2, title=`Lotka-Volterra model`);
2 V ẽ đồ th ị nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình vi phân th ườ ng trong không gian ba chi ề u Để vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân trong không gian ba chiều ta phải dùng lệnh DEplot3d thay cho DEplot ở trên:
[> DEplot3d(deqns,vars,trange,inits,xrange,yrange,eqns);
Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm của hệ phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu là [x(0)=0, y(0)=1]; t thay đổi trong đoạn [-10,10]
[> DEplot3d({diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-sin(x(t))- y(t)/10},{x(t),y(t)},t=-10 10,stepsize=.1, [[x(0)=1,y(0)=1]],linecolor=t);