Bài tập mẫu 3: Cho hình chữ nhật DEKH có O là giao điểm của hai đường chéo.. Gọi A và B lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng EK và KH.. Bài tập mẫu 4: Cho hình chữ nhật ABCD
Trang 1Dạng 3: CHỨNG MINH SONG SONG- VUÔNG GÓC- THẲNG HÀNG- QUỸ TÍCH
A PHƯƠNG PHÁP
B BÀI TẬP MẪU
Bài tập mẫu 1: Cho D ABC vuông tại A, có AH là đường cao (HÎ BC) Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của H lên AB, AC
a Chứng minh rằng: AEHF là hình chữ nhật
b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HB;HC Chứng minh rằng: IE / /FK
Bài tập mẫu 2: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, A =µ 600 Gọi E, F lần lượt
là trung điểm BC và AD
a Chứng minh AE ^ BF.
b Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân
c Lấy M đối xứng của A qua B Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật Suy
ra M, E, D thẳng hàng
Bài tập mẫu 3: Cho hình chữ nhật DEKH có O là giao điểm của hai đường chéo.
Lấy một điểm I nằm giữa hai điểm O và E Gọi N là điểm đối xứng với điểm D qua
I và M là trung điểm của KN
a CMR: OINK là hình thang và OIMK là hình bình hành
b Gọi A và B lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng EK và KH Chứng minh tứ giác AKBN là hình chữ nhật
c Chứng minh bốn điểm I, A, M, B thẳng hàng
Trang 2Bài tập mẫu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo.
Lấy điểm E nằm giữa hai điểm O và B Gọi F là điểm đối xứng với A qua E và I là trung điểm của CF
a Chứng minh rằng: OEFC là hình thang và tứ giác OEIC là hình bình hành
b Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của F lên các đường thẳng BC và CD Chứng minh rằng: Tứ giác CHFK là hình chữ nhật
c Chứng minh rằng: E H K I; ; ; thẳng hàng
Bài tập mẫu 5: Cho DABC có µB và Cµ nhọn, đường cao AH Dựng bên ngoài
ABC
D các tam giác vuông cân ABD và ACE (BAD· =CAE· =900) Gọi M là trung
điểm của DE Chứng minh rằng: H A M; ; thẳng hàng
Bài tập mẫu 6: Cho đường thẳng xy Một điểm A cố định nằm ngoài xy và một
điểm B di động trên xy Gọi O là trung điểm của AB Hỏi điểm O di động trên đường nào?
Bài tập mẫu 7: Cho DABC vuông tại A, M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC Gọi MD
là đường vuông góc vẽ từ M đến AB, ME là đường vuông góc vẽ từ M đến AC, O
là trung điểm của DE
a Chứng minh ba điểm A O M; ; thẳng hàng
b Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?
c Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài ngắn nhất
Bài tập mẫu 8: Cho DABC vuông cân , C =µ 900, trên các cạnh AC, BC lấy các điểm
P, Q sao choAP =CQ Từ điểm P vẽ PM / /BC (M Î AB).
a Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật
Trang 3b Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh rằng khi P di chuyển trên cạnh AC, Q
di chuyển trên cạnh BC thì điểm I di chuyển trên một đoạn thẳng cố định
Bài tập mẫu 9: Cho đoạn thẳng AB, vẽ tia Ax bất kỳ Trên tia Ax lấy các điểm C, D,
E sao choAC =CD =DE Vẽ đoạn thẳng BE Qua C, D vẽ các đường thẳng song
song với BE CMR: đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau
Bài tập mẫu 10: Cho xOy =· 900, điểm A thuộc Oy sao choOA= 2cm Lấy B là điểm
bất kỳ thuộc Ox Gọi C là trung điểm AB Khi điểm B di chuyển trên Ox thì điểm C
di chuyển trên đường nào?
Bài tập mẫu 11: Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy một điểm M
Trên tia AM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của N trên đường thẳng BC và CD Chứng minh rằng ba điểm M, E, F thẳng hàng
Bài tập mẫu 12: Cho ABC vuông tại A, lấy điểm D thuộc cạnh huyền BC (D
không trùng B và C Gọi M, N lần lượt đối xứng với D qua AB, AC Gọi I là giao điểm của MD với AB, K là giao điểm của ND với AC.
a Chứng minh tứ giác AIDK là hình chữ nhật.
b Chứng minh M đối xứng với N qua A.
c Tìm vị trí của D trên cạnh BC sao cho CM đi qua trung điểm của IK.
Bài tập mẫu 13: Cho DABC vuông cân tại A Trên cạnh huyền BC lấy điểm D Vẽ
,
DH ^AB DK ^AC BiếtAB =a, tính giá trị lớn nhất của tíchDH DK.
Bài tập mẫu 14: Cho hình thang ABCD, Aµ =Dµ =90 o Trên cạnh AD có một điểm H
mà AH <DH và BHC =· 90 o Chứng minh rằng trên cạnh AD còn một điểm K sao cho BKC =· 90 o
Bài tập mẫu 15: Cho DABC đều cạnh a Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm
AD =CE
Trang 4C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho DABC vuông tại A Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M Vẽ
,
MD ^AB ME ^AC vàAH ^BC Tính số đo của góc·DHE
Bài tập 2: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD Vẽ
,
HE ^AB HF ^AC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC.
a Chứng minh rằng: EM / /FN / /AD;
b Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì ba đường thẳng EM, FN, AD là ba đường thẳng song song cách đều
Bài tập 3: Cho DABCvuông tại A(AB <AC), đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm D sao choAD =AB Gọi M là trung điểm của BD Chứng minh rằng tia HM là
tia phân giác của góc·AHC
Bài tập 4: Cho hình chữ nhậtABCD AB, =15,BC =8 Trên các cạnh AB BC; ;
;
CD DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH .
Bài tập 5: Cho góc xOy =· 300 Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 2cm Lấy
điểm B bất kì trên tia Oy Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao choBC = 2BA Hỏi
khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm C di động trên đường nào?
Bài tập 6: Cho gócxOy· =45o Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA =3 2cm Lấy điểm B bất kì trên tia Oy Gọi G là trọng tâm của tam giácDOAB Hỏi khi điểm B di
động trên tia Oy thì điểm G di động trên đường nào?
Bài tập 7: Cho DABC cân tại A Trên AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao
choAM =CN Gọi O là trung điểm của MN Hỏi điểm O di động trên đường nào?
Trang 5Bài tập 8: Cho tứ giác ABCD Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo ( không vuông
góc., I và K lần lượt là trung điểm của BC và CD Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K
a Chứng minh rằng tứ giác BMND là hình bình hành
b Với điều kiện nào của hai đường chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật
c Chứng minh 3 điểm M,C,N thẳng hàng
Bài tập 9: Cho DABC vuông tại A Về phía ngoài tam giác DABC , vẽ hai tam giác
vuông cân ADB (DA = DB và ACE (EA = EC Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC Chứng minh:
a Ba điểm D, A, E thẳng hàng
b Tứ giác IAKM là hình chữ nhật
c Tam giác DME là tam giác vuông cân
Bài tập 10: Cho hình thang cânABCD AB( / /CD AB, <CD) Gọi M, N, P, Q lần lượt
là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC
a Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng
b Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân
c Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật
Bài tập 11: Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường
chéo BD Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD Chứng minh rằng:
a Tứ giác AHFK là hình chữ nhật
Trang 6b AF song song với BD và KH song song với AC.
c Ba điểm E, H, K thẳng hàng
Bài tập 12: Cho DABC cân tại A Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a Tứ giác BMNC là hình gì?
b Gọi D là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng của D qua N Chứng minh rằng: ADCE là hình chữ nhật
c Gọi I là giao điểm của AD và BE, K là trung điểm của EC Chứng minh rằng: ABDE là hình bình hành và các điểm M, I, N, K thẳng hàng
D HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ