Giao trinh giai tich 2

Giáo trình toán cao cấp 2 Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc của một biến số vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một giá trị xác định của biến phụ thuộc. Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không chỉ vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm đó.

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN

BÀI 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM NHIỀU BIẾN

1.1.1 Tập hợp trong n

1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến

1.1.3 Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế

1.1.4 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến

BÀI 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN TOÀN PHẦN 1.2.1 Đạo hàm riêng

1.2.2 Vi phân toàn phần

1.2.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp

1.2.4 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

1.2.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

1.2.6 Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế học

1.2.7 Công thức Taylor

BÀI TẬP

BÀI 1.3 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 1.3.1 Cực trị hàm nhiều biến

1.3.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1.3.3 Cực trị có điều kiện

1.3.4 Ứng dụng của cực trị có điều kiện trong kinh tế học

BÀI TẬP

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI

§2.1 TÍCH PHÂN KÉP

2.1.1 Bài toán thể tích của vật thể hình trụ

2.1.2 Định nghĩa tích phân kép

2.1.3 Tính chất của tích phân kép

2.1.4 Điều kiện khả tích

2.1.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đề các

2.1.6 Đổi biến số trong tích phân kép

2.1.7 Ứng dụng của tích phân kép

BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

§2.2 TÍCH PHÂN BỘI BA 2.2.1 Bài toán dẫn đến tích phân bội ba

2.2.2 Định nghĩa tích phân bội ba

2.2.3 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề các

2.2.4 Phép đổi biến trong tích phân bội ba

2.2.5 Ứng dụng của tích phân bội ba

BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 3.1 Tích phân đường loại 1

3.2 Tích phân đường loại 2

Tóm tắt Chương 3

BÀI TẬP

CHƯƠNG 4 TÍCH PHÂN MẶT

4.1 Tích phân mặt loại một

4.2 Tích phân mặt loại hai

Tóm tắt Chương 4

BÀI TẬP

CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 5.1 Đại cương về phương trình vi phân phương trình vi phân cấp một

5.2 Phương trình vi phân với biến số phân li

5.3 Phương trình thuần nhất

5.4 Phương trình vi phân cấp một khuyết biến

5.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

5.6 Phương trình Bernoulli

5.7 Phương trình vi phân toàn phần, nhân tử tích phân

5.8 Phương trình Lagrange và Clairaut

II PHƯƠNG TRINH VI PHAN CẤP HAI

5.9 Đại cương về phương trình vi phân cấp hai

5.10 Phương trình vi phân bậc hai khuyết biến

5.11 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

5.12 Phương trình vi phân tuyến tính câp hai không thuần nhất

5.13 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi

5.14 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng số

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

ĐÁP SỐ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

CHƯƠNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN

Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc của một biến số vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một giá trị xác định của biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều khi một biến

số phụ thuộc không chỉ vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến

số khác Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm đó

BÀI 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM NHIỀU BIẾN

Khi đó không gian n

cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành không gian véc tơ trên trường số thực

Định nghĩa 1.1.1.1 Cho x=(x x1, 2, ,x n) n, y=(y y1, 2, , yn) n.Khi đó số thực x y1 1+x y2 2+ + x y n n được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ ,

Định nghĩa 1.1.1.2 Cho x  n, khi đó chuẩn của x được kí hiệu là

x và được xác định như sau x = x x,

Định lí 1.1.1.3 Cho x y , n, khi đó ta có các khẳng định sau:

i) x 0; x =  =0 x 0;

ii) x = x ,  ;

iii) x+y  x + y (Bất đẳng thức tam giác)

Định nghĩa 1.1.1.4 Cho  n, 0 là số thực nào đó, khi đó − lân cận cầu của điểm a được kí hiệu là U a( ), và được xác định như sau:

Định nghĩa 1.1.1.5 Cho M  n,M   Điểm nđược gọi là điểm trong của tập M khi và chỉ khi   0 :U a( ), M Tập hợp M được gọi là mở nếu và chỉ nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

Định lí 1.1.1.5 Đối với các tập mở ta có các khẳng định sau:

ii) Giao của một số bất kì các tập hợp đóng là tập hợp đóng;

iii) Hợp cảu một số hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng

n

được gọi là miền Tập liên thông được gọi là đơn liên khi nó bị giới hạn bởi một mặt kín (hình 1.1a), gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một (hình 1.1b)

Định nghĩa 1.1.1.9 Cho M  n, điểm x được gọi là điểm biên của 0

tập M nếu và chỉ nếu mọi lân cận của điểm x đều chứa những điểm thuộc 0

M và chứa những điểm không thuộc M Tập hợp tất cả các điểm biên của M được gọi là biên của nó

Như vậy điểm biên của tập hợp M có thể thuộc tập hợp Mhoặc không thuộc tập hợp M

Hình 1.1a Miền đơn liên Hình 1.1b Miền đa liên

cầu tâm x0 bán kính r Tập hợp những điểm x  n sao cho d x x( 0, ) r

là một tập hợp đóng, được gọi là quả cầu đóng tâm x0 bán kính r

1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến

Xét không gian Euclid n chiều n(n 2 ,) cho D n,D  Ta gọi ánh xạ f :D → xác định bởi

( 1, 2, , n) ( ) ( 1, 2, , n)

x= x x x D z= f x = f x x x 

là hàm n biến xác định trên D Tập D được gọi là miền xác định của hàm ,

f còn x x1, 2, ,x được gọi là biến độc lập Trong giáo trình này ta chủ n

yếu xét những hệ tọa độ Descartes vuông góc Ta quy ước, nếu hàm được cho bởi công thức a= f x( ), x n(n mà không nói gì thêm về miền 2)

xác định của hàm z, thì miền xác định của hàm này được hiểu là tập hợp những điểm x  n sao cho biểu thức f x có nghĩa ( )

Ví dụ 1 Tương ứng z= 1−x2−y2 là hàm có miền xác định là hình

tròn đóng tâm O bán kính 1, tức là miền x2+y2 1 (hình1.2)

Khi n = đồ thị của hàm 1 f được biểu diễn tường minh trên mặt phẳng

và đã dược nghiên cứu kĩ trong giải tích một biến

Khi n = thì việc nghiên cứu đồ thị của hàm 2 f sẽ gặp khó khan hơn

vì không dễ biểu diễn vật thể ba chiều trên mặt phẳng Khi đó có thể dựa vào sự trợ giúp của máy tính để nhận được đồ thị của hàm hai biến trong

không gian ba chiều một cách nhanh chóng Ngoài ra còn một phương pháp khác đề hình dung đồ thị của hàm hai biến, mặc dù không đầy đủ nhưng cũng khá trực quan như sau: Với mối số thực c , phương trình f x y( ), = c

xác định một đường cong trong mặt phẳng Đường cong này gọi là đường mức c và dễ biểu diễn hơn hẳn so với biểu diễn mặt cong z= f x( ), y Khi

vẽ được nhiều đường mức khác nhau, ta sẽ dễ dàng có được bức tranh tổng thể về đồ thị của hàm hai biến này Đối với n ( )3 biến không có phương pháp nào biểu diễn đồ thị một cách trực tiếp, mà chỉ có thể hình dung về đồ thị của chúng qua các thông tin về mặt mức ( trong không gian ba chiều)

Ví dụ 5 Hàm 2 2

z= x +y có đồ thị là một mặt paraboloit tròn xoay (H.1.4)

Ví dụ 10 Hàm y2 =2px với p 0 có đồ thị là mặt trụ parabol (H.1.9)

gọi là sản lượng tiềm năng) Hàm sản xuất có dạng:

( , )

Q= f K L

Hàm số cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả năng sản xuất được ở mỗi mức sử dụng kết hợp vốn và lao động Khi phân tích sản xuất người ta giả thiết rằng doanh nghiệp khai thác hết khả năng công nghệ, tức là Q luôn luôn là sản lượng tiềm năng, do đó hàm sản xuất f là do công nghệ xác định

Dạng hàm sản xuất mà nhà kinh tế học hay sử dụng là hàm CobbDouglas:

,

Q=aK L 

trong đó a, ,  là các hằng số dương

Đường mức của hàm sản xuất có phương trình :

( , ) 0( 0 , 0 0 )

f K L =Q Q −const Q 

Trong kinh tế học thuật ngữ “ đường mức” của hàm sản xuất có tên gọi là

đường đồng lượng, hay đường đẳng lượng Đường đồng lượng là tập hợp các

tổ hợp yếu tố sản xuất (K L cho cùng một mức sản lượng , ) Q0 cố định

1.1.3.2 Hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Tổng chi phí sản xuất TC (Total cost) tính theo sản lượng gọi là hàm

Nếu doạn nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q= f K L( , ) và giá trị trường của sản phẩm là p thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số của 2 biến số K và L : TR= pQ= pf K L( , )

Tổng lợi nhuận của một doanh nghiệp cạnh tranh là hàm số:

( , ) (wK wL 0)

1.1.3.3 Hàm chi phí kết hợp

Trên thực tế có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản

phẩm Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản phẩm Với trình độ công nghệ

nhất định, để sản xuất một bộ sản phẩm gồm Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn

vị sản phẩm 2,…, Q n đơn vị sản phẩm n, doanh nghiệp phải bỏ ra một

khoản chi phíTC Như vậy TC là hàm số của n biến số:

( 1, 2, , n)

TC Q Q Q

Hàm trên dược gọi là hàm chi phí kết hợp

1.1.3.4 Hàm đầu tư

Lượng đầu tư I ( Investment) của nền kinh tế phụ thuộc vào tổng thu

nhập Y và lãi suất r Hàm đầu tư là hàm số biểu diễn quan hệ này:

tế Các nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ

ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng Ta gọi mỗi tổ hợp hàng hóa là một túi hàng Giả sử cơ cấu tiêu dùng

gồm n mặt hàng Mỗi túi hàng là một bộ n số thực X =(x x1, 2, ,x n), trong

đó x  là lượng hàng i i 0 (i=1, 2, ,n). Hàm lợi ích là hàm số đặt tương

ứng mỗi túi hàng X =(x x1, 2, ,x n)với mối giá trị lợi ích U nhất định theo

quy tắc: túi hàng nào được ưa chuộng hơn thì được gán giá trị lợi ích lơn hơn Hàm lợi ích có dạng như sau:

Trong kinh tế học tập mức của hàm lợi ích được gọi là tập bàng quan

(Indifferent set) Tập bàng quan là tập hợp tất cả các túi hàng đem lại cùng một mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp các túi hàng được ưa chuộng như nhau) Trong trường hợp n = tập bàng quan được gọi là đường bàng 2

quan (Indifferent curve) Phương trình đường bàng quan là phương trình hai

1.1.3.6 Hàm cung và hàm cầu trên thị trường nhiều hàng hóa

Hàm cung ( hàm cầu) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán bằng

lòng bán ( người mua bằng lòng mua) ở mỗi mức giá Lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa trên thị trường không những phụ thuộc vào giá của hàng hóa đó mà còn bị chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan

và thu nhập của người tiêu dùng Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm cung hàng hóa i và hàm cầu đối với hàng hóa i có dạng ( với giả thiết thu

nhập không thay đổi):

Trong đó Q là lượng cung hàng hóa , si i Q là lượng cầu đối với hàng di

hóa ,i p i là giá hàng hóa i i( =1, 2, ,n) Mô hình cân bằng của thị trường

n hàng hóa liên quan có dạng:

Ví dụ 12 Một công ti cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm

sản xuất Q=53K L, với Q K L, , được tính hàng ngày

a Hãy viết phương trình đường đồng lượng ứng với mức sản lượng 200.

b Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng ngày của công ti theo K và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là $4,giá tư bản là $15, và giá lao động là $8 và mỗi ngày công ti phải trả $50 chi phí khác

Tổng lợi nhuận hàng ngày của công ti  = pf K L( , )−(wK K+wL L C+ 0)

3

20 K L 15K 8L 50

Ví dụ 13 Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất

a Lượng chi phí mà công ti phải bỏ ra để sản xuất 4 đon vị sản phẩm

thứ nhất và 2 đơn vị sản phẩm thứ hai là bao nhiêu?

b Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm thứ nhất là D1( )p1 =320 5− p1,hàm cầu đối với sản phẩm thứ hai là D2( )p2 =150 2− p2 Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ti theo Q Q1, 2.

Q

Q =D p  p = −

Ví dụ 15 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích như sau: U =xy+ 4 ,y

Trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B

a Viết phương trình đường bàng quan, cho biết một trong các túi hàng thuộc đường bàng quan đó là (x=4,y=3 )

b Hãy cho biết trong 2 túi hàng (x=4,y= và 3) (x=5,y=2 ,) túi hàng nào được ưa chuộng hơn?

c Giả sử người tiêu dùng đang có 8 hàng hóa A, 3 hàng hóa B và có người đề nghị đổi cho chị ta một số hàng hóa A để lấy 1 hàng hóa B Hỏi người đó phải đổi ít nhất bao nhiêu hàng hóa A thì chị ta mới bằng lòng đổi

Giải:

a Tại (x=4,y= ta tìm được 3) U =0 4.3 4.3+ =24

Vậy phương trình đường bang quan xy+ 4y= 24.

b Tại (x=5,y=2)ta tìm được U =0 5.2 4.2 18+ =

Vậy túi hàng (x=4,y= được ưa chuộng hơn túi hàng 3) (x=5,y=2)(

do giá trị lợi ích lớn hơn)

c Khi người tiêu dùng có 8 hàng hóa A , 3 hàng hóa B thì lợi ích của người tiêu dùng khi đó là:

0 8.3 4.3 36

U = + =

Gọi k là số lượng hàng hóa A dùng để đổi lấy 1 sản phẩm B Khi đó

người tiêu dùng sẽ có (8 k+ sản phẩm loại A , 2 sản phẩm loại B Lợi ích )

khi đó của người tiêu dùng là:

Do đó người tiêu dùng sẽ bằng lòng đổi khi người đó đổi ít nhất 6 hàng hóa loại A

1.1.4 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.1.4.1 Ta nói dãy M n(x n,y n)  dần tới điểm M0(x y0, 0)

trong 2 khi và chỉ khi lim ( 0, n) 0

Định nghĩa 1.1.4.2 Cho hàm z= f x y( ), xác định trong lân cận V

nào đó của điểm M0(x y0, 0), có thể trừ ra điểm M0(x y0, 0) Ta nói hàm

( ),

f x y có giới hạn là l  khi M x y dần tới điểm ( ), M0(x y0, 0)khi và chỉ khi với mọi dãy điểm M n(x n,y n) thuộc lân cận V, khác M0(x y0, 0)ta đều có:lim ( n, n)

Ví dụ 16 Cho hàm số f x y( ), =x y xác định trên tập hợp (0;+ ) Nếu a 0,b thì

Thật vậy, hai dãy điểm  ( )  1 1

Hàm f x y được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi ( ),

điểm thuộc D

Đặt  =f f x y( ), − f x y( 0, 0) khi đó định nghĩa hàm liên tục tại một điểm có thể được phát biểu như sau: hàm f x y( ), được gọi là liên tục tại điểm (x y0, 0) thuộc tập xác định của hàm f nếu

0 0

Ta xét trường hợp ( ) ( )x y →, 0, 0 theo đường thẳng y=kx ta có:

Như vậy f x kx tiến đến những giá trị khác nhau ( tùy theo k ) khi ( , )

0

x →

Do đó không tồn tại ( )

0 0

x y

f x y

→

→

Vậy hàm f x y không liên tục tại điểm ( ), ( )0, 0

Ví dụ 24 Xét tính liên tục của hàm ( ) 2 2 2 2

3

0,

x y

f x y

→

→

Do đó hàm f x y liên tục tại điểm ( ), ( )0, 0

Định nghĩa 1.1.4.4 Hàm f x y được gọi là liên tục đều trên miền ( ),

f x y

x y

+

=+

3 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm ( )0, 0

5 Cho hàm sản xuất Q=20K0,6.L0,4 trong đóK là vốn, L là lao động

a Hãy viết phương trình đường đồng lượng ứng với mức sản lượng 200.

b Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận của công

ti theo K và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là $5, giá tư bản là $17,

và giá lao động là $9 và mỗi ngày công ti phải trả $55 chi phí khác

6 Một công ti độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết

a Lượng chi phí mà công ti phải bỏ ra để sản xuất 5 đon vị sản phẩm

thứ nhất và 3 đơn vị sản phẩm thứ hai là bao nhiêu?

b Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm thứ nhất là D p1( )1 =410 5− p1,hàm cầu đối với sản phẩm thứ hai là D2( )p2 =200 3− p2 Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ti theo Q Q1, 2

BÀI 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN TOÀN PHẦN

là một hàm số xác định trên tập hợp D Xét điểm (x y0, 0) Cho D x

biến thiên và giữ y= y0, ta được hàm f x y( , 0) là hàm một biến x Nếu

hàm f x y( , 0) có đạo hàm theo x tại x=x0 thì ta gọi đạo hàm đó là dạo hàm riêng của hàm f x y( ), đối với biến x tại (x y0, 0) và kí hiệu là

f x y có đạo hàm theo y tại y= thì đạo hàm ấy dược gọi là đạo hàm y0

riêng của hàm f x y theo ( ), y tại điểm (x y0, 0), kí hiệu là '( )

Ví dụ 1 Cho hàm y

z=x Tính z x',z'y. Giải:

Ta có z'x= yx y−1, '

ln

y y

Giải:

2 2

2, 3 2y 2 ln 2y 8ln 2

y

y y

d z

y

=+ Tính ' ( ) ( )'

Ví dụ 6 Cho hàm z arctan y

x

= Tính z'x, z 'y Giải

z

x y y

y

x x

z

x y y

Kho đó vi phân toàn phần của hàm f x y được kí hiệu là ( ), df x y( 0, 0)

x y

Như vậy f x kx tiến đến các giá trị khác nhau tùy theo k khi ( , ) x → , 0

do đó không tồn tại giới hạn ( )

0 0

x y

Đối với hàm một biến f x nếu nó có đọa hàm tại ( ), x=x0 thì nó khả

Định lí 1.2.2.1 Cho hàm f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận ( ),

điểm M0(x y0, 0) và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm M0(x y0, 0)

, thì hàm này khả vi tại điểm M0(x y0, 0)và ta có:

Mặt khác do f x', f y' liên tục tạiM0(x y0, 0) nên ta có:

Vì vậy hàm f x y khả vi tại điểm ( ), M0(x y0, 0)

Từ định lí trên và định nghĩa ta có nhận xét: vi phân toàn phần df chỉ khac số gia toàn phần f một vô cùng bé bậc cao hơn  =  + x2 y2 Do

đó khi  x, y có trị số tuyệt đối khá bé, ta có  f df, tức là:

 

Định lí 1.2.3.1 (Quy tắc dây chuyền) Cho hàm f u v có các đạo ( ),

f u f v f

Nếu z= f x y( ), ,x=x t( ),y= y t( ) thì ta có z là hàm hợp của t qua

biến trung gian x y, và có '( ) '( )

Chú thích 2 Vi phân toàn phần của hàm nhiều biến có dạng bất biến

như vi phân của hàm một biến Thật vậy giả thiết u, u, v, v

x y x y

   

    liên tục, khi đó ta có f , f

1.2.4 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

sao cho F x( 0, y0)= ta nói phương trình 0, (1.2.1 xác định một hay nhiều )

hàm ẩn y theo x trong khoảng I