Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình toán cao cấp 2 Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc của một biến số vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một giá trị xác định của biến phụ thuộc. Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không chỉ vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm đó.
Chương Hàm nhiều biến GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2 MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN BÀI 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM NHIỀU BIẾN 1.1.1 Tập hợp n 1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến 1.1.3 Các hàm số thường gặp phân tích kinh tế 1.1.4 Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến BÀI 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN TOÀN PHẦN 1.2.1 Đạo hàm riêng 1.2.2 Vi phân toàn phần 1.2.3 Đạo hàm riêng hàm hợp 1.2.4 Đạo hàm riêng hàm ẩn 1.2.5 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao 1.2.6 Ứng dụng đạo hàm riêng kinh tế học 1.2.7 Công thức Taylor BÀI TẬP BÀI 1.3 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 1.3.1 Cực trị hàm nhiều biến 1.3.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1.3.3 Cực trị có điều kiện 1.3.4 Ứng dụng cực trị có điều kiện kinh tế học BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI Chương Hàm nhiều biến §2.1 TÍCH PHÂN KÉP 2.1.1 Bài tốn thể tích vật thể hình trụ 2.1.2 Định nghĩa tích phân kép 2.1.3 Tính chất tích phân kép 2.1.4 Điều kiện khả tích 2.1.5 Cách tính tích phân kép hệ tọa độ Đề 2.1.6 Đổi biến số tích phân kép 2.1.7 Ứng dụng tích phân kép BÀI TẬP HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ §2.2 TÍCH PHÂN BỘI BA 2.2.1 Bài tốn dẫn đến tích phân bội ba 2.2.2 Định nghĩa tích phân bội ba 2.2.3 Cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ Đề 2.2.4 Phép đổi biến tích phân bội ba 2.2.5 Ứng dụng tích phân bội ba BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 3.1 Tích phân đường loại 3.2 Tích phân đường loại Tóm tắt Chương BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN MẶT GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 4.1 Tích phân mặt loại 4.2 Tích phân mặt loại hai Tóm tắt Chương BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 5.1 Đại cương phương trình vi phân phương trình vi phân cấp 5.2 Phương trình vi phân với biến số phân li 5.3 Phương trình 5.4 Phương trình vi phân cấp khuyết biến 5.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 5.6 Phương trình Bernoulli 5.7 Phương trình vi phân tồn phần, nhân tử tích phân 5.8 Phương trình Lagrange Clairaut II PHƯƠNG TRINH VI PHAN CẤP HAI 5.9 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 5.10 Phương trình vi phân bậc hai khuyết biến 5.11 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 5.12 Phương trình vi phân tuyến tính câp hai khơng 5.13 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi 5.14 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng với hệ số số BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ĐÁP SỐ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Chương Hàm nhiều biến CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN Khái niệm hàm số biến số phản ánh phụ thuộc biến số vào biến số khác: giá trị biến độc lập đặt tương ứng với giá trị xác định biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều biến số phụ thuộc không vào mà phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Trong chương nghiên cứu hàm BÀI 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM NHIỀU BIẾN n 1.1.1 Tập hợp Cho n số tự nhiên Không gian số thực n chiều sau: n = ( x1, x2 , , xn ) xi n xác định , i = 1, 2, , n Phần tử không gian n gọi điểm kí hiệu : x = ( x1 , x2 , , xn ) Phép toán cộng f: n ( x, y ) → n n xác định sau: n x+ y Cụ thể x = ( x1, x2 , , xn ) n ; y = ( y1, y2 , , y n ) x + y = ( x1 + y1 , x2 + y , , xn + yn ) Phép toán nhân phần tử g: n ( , x ) → n x n n n với số thực xác đinh sau: x = ( x1 , x2 , , xn ) n Khi khơng gian n với hai phép tốn cộng nhân lập thành khơng gian véc tơ trường số thực GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH Định nghĩa 1.1.1.1 Cho x = ( x1 , x2 , , xn ) n , y = ( y1 , y2 , , y n ) n Khi số thực x1 y1 + x2 y2 + + xn yn gọi tích vô hướng hai véc tơ x, y kí hiệu x, y Định lí 1.1.1.1 Cho x = ( x1 , x2 , , xn ) n , y = ( y1 , y2 , , y n ) n , z = ( z1, z2 , , zn ) n Khi ln có khẳng định sau: i) x, y = y, x ; ii) x + y, z = x, z + y, z ; iii) x, y = x, y , ; iv) x, x 0; x, x = x = Chứng minh i) Ta có x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = y1x1 + y2 x2 + + yn xn = y , x ii) Ta có x + y, z = ( x1 + y1 ) z1 + ( x2 + y2 ) z2 + + ( xn + yn ) zn = x1z1 + y1z1 + x2 z2 + y2 z2 + + xn zn + yn zn = ( x1 z1 + x2 z2 + + xn zn ) + ( y1z1 + y2 z2 + + yn zn ) = x, z + y , z iii) x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = ( x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ) = x, y iv) x, x = x12 + x22 + + xn Dấu “=” xảy x j = 0, j = 1, n Định lí 1.1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho x Khi ta có bất đẳng thức sau: x, y Chứng minh n , y = ( y1 , y2 , , y n ) Khi y = nghĩa y = ( 0, 0, , ) Do đó, ta có x, = ( x1.0 + x2 + + xn ) = 02 = , y n x, x y, y Dấu “=” đạt y = x = y, Giả sử x = x = ( x1 , x2 , , xn ) n n Chương Hàm nhiều biến ( )( ) x, x 0, = x12 + x2 + + xn 02 + 02 + + 02 = Vậy x, = x, x 0, = Giả sử y 0, , từ định lí 1.1.1 , ta có: x − y, x − y = ( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 ) + + ( xn − yn ) ( = (x ) ( ) ( = x12 − 2 x1 y1 + y12 + x22 − 2 x2 y2 + y22 + + xn − 2 xn yn + yn 2 ) ( + x2 + + xn − 2 ( x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ) + y12 + y22 + + yn = x, x − 2 x, y + ) y, y x, y x, y Chọn = , ta được: x − y, x − y = x, x − y, y y, y x, y x, x y, y Do y, y 0, y 0, nên x, y x, x y, y (1) Tại x = y, theo định lí 1.1.1 có x, y = y, y = y, y x, x = y , y = y , y = y , y Do ta có y, y = y, y = y, y y, y = y, y y, y Vậy dấu “=” (1) xảy x = y Vì x, y x, x y, y , x Định nghĩa 1.1.1.2 Cho x x xác định sau x = Định lí 1.1.1.3 Cho x, y n n n , y n , chuẩn x kí hiệu x, x , ta có khẳng định sau: i) x 0; x = x = 0; ii) x = x , ; iii) x + y x + y (Bất đẳng thức tam giác) ) GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH Chứng minh Giả sử x = ( x1 , x2 , , xn ) i) Ta có x = x, x = n (x , y = ( y1, y2 , , y n ) n ) + x2 + + xn ( ) x = x12 + x22 + + xn = x = ( 0, 0, , ) ii) Ta có x = ( x, x = = iii) Ta có: x + y 2 x12 + x2 + + xn ) x12 + x22 + + xn = x, x , ; = x + y , x + y = x, x + y + y , x + y = x + y , x + x + y , y = x, x + y , x + x, y + y , y = x, x + x, y + y , y Do định lí 1.1.2 có x, y x, x y, y , x, y x, y Vậy x + y x, x + x, x x, x 2 ( x + y ) Nên ta có: y, y y, y + y, y x+ y x +2 x y + y x+ y n x+ y x + y Định nghĩa 1.1.1.3 Cho x, y hai điểm x, y n n Khi khoảng cách ( Euclid) kí hiệu d ( x, y ) xác định sau: d ( x, y ) = x − y Định lí 1.1.1.4 Cho x, y, z n , khoảng cách có tính chất sau: i) d ( x, y ) 0, d ( x, y ) = x y; ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) (tính chất đối xứng); iii) d ( x, z ) d ( x, y ) + d ( y, z ) (bất đẳng thức tam giác) Chương Hàm nhiều biến Định nghĩa 1.1.1.4 Cho n , số thực đó, − lân cận cầu điểm a kí hiệu U ( a, ) xác định sau: U ( a, ) = x n d ( x, a ) Như − lân cận cầu điểm a trong khoảng ( a − , a + ) , hình trịn mở tâm a = ( a1 , a2 ) với bán kính , cịn hình cầu mở tâm a = ( a1 , a2 , a3 ) với bán kính Định nghĩa 1.1.1.5 Cho M n , M Điểm n gọi điểm tập M : U ( a, ) M Tập hợp M gọi mở điểm điểm Định lí 1.1.1.5 Đối với tập mở ta có khẳng định sau: i) n tập mở; ii) Hợp tập mở tập mở; iii) Giao số hữu hạn tập mở tập mở Chứng minh i) Hiển nhiên ii) Cho U , T − tập tập mở Giả sử x0 U Khi x0 thuộc T tập hợp U Do U mở nên tồn cho U ( x0 , ) U o U T iii) Cho tập mở U k , k = 1, 2, , m Giả sử x0 m U k , ta có k =1 U k mở nên tồn số k cho U ( x0 , ) U k Ta chọn = k x0 U k , k = 1, 2, , m Do tập k =1,2, ,m Khi ta có U ( x0 , ) U ( x0 , k ) U k , k = 1, 2, , m Vậy U ( x0 , ) m Uk k =1 Chú ý: Giao số tập mở khơng tập mở GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 10 Định nghĩa 1.1.1.6 Tập hợp M phần bù C n M tập hợp mở n gọi tập hợp đóng Định lí 1.1.1.6 Đối với tập hợp đóng ta có khẳng định sau: i) n tập hợp đóng; ii) Giao số tập hợp đóng tập hợp đóng; iii) Hợp cảu số hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng Định nghĩa 1.1.1.7 Tập hợp M n gọi bị chặn tồn số thực R cho M nằm trọn hình cầu n − chiều S ( O, R ) tâm điểm O = ( 0, 0, , ) bán kinh R Định nghĩa 1.1.1.8 Tập hợp M n gọi liên thông qua hai điểm tập hợp nối với đường cong liên tục nằm hoàn toàn M Tập mở liên thông n gọi miền Tập liên thơng gọi đơn liên bị giới hạn mặt kín (hình 1.1a), gọi đa liên bị giới hạn nhiều mặt kín rời đơi (hình 1.1b) M .N M Hình 1.1a Miền đơn liên Định nghĩa 1.1.1.9 Cho M N Hình 1.1b Miền đa liên n , điểm x0 gọi điểm biên tập M lân cận điểm x0 chứa điểm thuộc M chứa điểm không thuộc M Tập hợp tất điểm biên M gọi biên Như điểm biên tập hợp M thuộc tập hợp M không thuộc tập hợp M