luận văn thạc sĩ tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN DUY TIN TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN DUY TIN TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 2019 c Mục lục Trang Danh sách hình vẽ Lời nói đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Toán tử sai phân 1.2 Tính tổng 12 1.3 Biến đổi z 17 Chương Giải phương trình đạo hàm riêng phương trình sai phân 19 2.1 Rời rạc hóa phương trình đạo hàm riêng 19 2.2 Nghiệm phương trình đạo hàm riêng 27 2.3 Ví dụ số 35 2.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính chiều 35 2.3.2 Phương trình parabolic tuyến tính chiều 39 Phụ lục 60 c Danh sách hình vẽ 2.1 Mơ hình phương trình truyền nhiệt 21 2.2 Lưới điểm đạt từ trục ban đầu 22 2.3 Lưới điểm đạt không với giá trị biên 22 2.4 Mơ hình phương pháp ẩn 25 2.5 Mơ hình phương trình Laplace 27 2.6 Nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.5 37 2.7 Nghiệm xác Ví dụ 2.5 38 2.8 Sai số Ví dụ 2.5 38 2.9 Nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.6 39 2.10 Nghiệm xác Ví dụ 2.6 40 2.11 Sai số Ví dụ 2.6 40 2.12 Nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.7 43 2.13 Nghiệm xác Ví dụ 2.7 43 2.14 Sai số Ví dụ 2.7 44 c luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan Lời nói đầu Sử dụng phương trình sai phân để giải số phương pháp phổ biến hữu hiệu nghiên cứu mô hình tốn học liên quan tới vấn đề khoa học, kỹ thuật, kinh tế nhiễu lĩnh vực khác thực tiễn, ta tìm thấy nhiều ví dụ cụ thể Chương tài liệu [2] Phương pháp đề xuất từ nửa cuối năm 40 kỷ trước ngày khẳng định vai trị quan trọng giải tích ứng dụng đặc biệt quan trọng việc nghiên cứu nghiệm số phương trình đạo hàm riêng [1, 3] Luận văn trình bày số kiến thức liên quan tới phương trình sai phân áp dụng phương trình sai phân tìm nghiệm số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Luận văn chia làm hai chương Chương chương mở đầu, trình bày kiến thức liên quan tới phương trình sai phân như: Định nghĩa tính chất tốn tử sai phân; định nghĩa tính chất tổng bất định; biến đổi z giải phương trình sai phân Nội dung Chương tham khảo chủ yếu hai tài liệu [1, 2] Chương nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân vào việc tìm nghiệm số phương trình đạo hàm riêng Chương trình bày bước rời rạc tốn, nghiệm rời rạc đồng thời có ví dụ số minh họa thơng qua ngơn ngữ lập trình MATLAB Nội dung chương tham khảo chủ yếu hai tài liệu [1, 3] Sau thời gian học tập rèn luyện Trường Đại học Khoa học – c luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan Đại học Thái Nguyên, biết ơn kính trọng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên thầy nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện đề tài luận văn Thạc sĩ Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trình thực đề tài Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ, động viên nghiên cứu hoàn thiện đề tài Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Duy Tin c luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan Chương Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan tới định nghĩa tính chất tốn tử sai phân, tổng bất định biến đổi z 1.1 Toán tử sai phân Định nghĩa 1.1 Cho y(t) hàm biến thực t, toán tử sai phân ∆ xác định ∆y(t) = y(t + 1) − y(t) Ví dụ 1.1 Phương pháp Euler xấp xỉ nghiệm toán ban đầu x (t) = f (t, x(t)), (1.1) x(t0 ) = x0 , (1.2) đạt cách thay x (t) x(t + h) − x(t) Ta có h x(t + h) − x(t) = f (t, x(t)) h hay x(t + h) = x(t) + hf (t, x(t)) Ta sử dụng dạng thuận tiện cho phương trình sai phân này, đặt xn = x(t0 + nh), n = 0, 1, 2, , phương trình c luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan viết lại dạng sau xn+1 = xn + hf (t, xn (t)), n = 0, 1, 2, x0 biết Xét toán tử sai phân với bước lưới h > z(s + h) − z(s) Đặt y(t) = z(th), z(s + h) − z(s) = z(th + h) − z(th) = y(t + 1) − y(t) = ∆y(t) Sai phân cấp cao định nghĩa hợp thành toán tử sai phân Sai phân cấp hai định nghĩa sau ∆2 y(t) = ∆(∆y(t)) = ∆(y(t + 1) − y(t)) = (y(t + 2) − y(t + 1)) − (y(t + 1) − y(t)) = y(t + 2) − 2y(t + 1) + y(t) Sai phân cấp n xây dựng theo công thức quy nạp sau n(n − 1) ∆n y(t) = y(t + n) − ny(t + n − 1) + y(t + n − 2) + · · · + (−1)n y(t) 2! ! n X n = (−1)k y(t + n − k) (1.3) k k=0 Định nghĩa 1.2 Toán tử "dịch chuyển" định nghĩa sau Ey(t) = y(t + 1) (1.4) Nếu I toán tử đồng nhất, tức Iy(t) = y(t) ta có ∆ = E − I Các tính chất tốn tử ∆ cho định lý sau c luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan Định lý 1.1 Toán tử sai phân ∆ thỏa mãn tính chất sau a ∆m (∆n y(t)) = ∆m+n y(t) với số nguyên dương m n b ∆(y(t) + z(t)) = ∆y(t) + ∆z(t) c ∆(Cy(t)) = C∆y(t) d ∆(y(t)z(t)) = y(t)∆z(t) + Ez(t)∆y(t)  y(t)  z(t)∆y(t) − y(t)∆z(t) = e ∆ z(t) z(t)Ez(t) Chứng minh a Ta chứng minh quy nạp theo m, đẳng thức hiển nhiên với m = Giả sử đẳng thức với m = k, ta chứng minh tới m = k + Thật ∆k+1 (∆n y(t)) = ∆k (∆(∆n y(t))) = ∆k (∆n+1 y(t))) = ∆k+n+1 y(t) b Ta có ∆(y(t) + z(t)) = y(t + 1) + z(t + 1) − y(t) − z(t) = y(t + 1) − y(t) + z(t + 1) − z(t) = ∆y(t) + ∆z(t) c Ta có ∆(Cy(t)) = Cy(t + 1) − Cy(t)
= C y(t + 1) − y(t) = C∆y(t) d Ta có ∆(y(t)z(t)) = y(t + 1)z(t + 1) − y(t)z(t) = y(t + 1)z(t + 1) − y(t)z(t + 1) + y(t)z(t + 1) − y(t)z(t) = z(t + 1)∆y(t) + y(t)∆z(t) = y(t)∆z(t) + Ez(t)∆y(t) c luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan e Ta có  y(t)  y(t + 1) y(t) ∆ = − z(t) z(t + 1) z(t) y(t + 1)z(t) − z(t + 1)y(t) = z(t)z(t + 1)
y(t + 1)z(t) − y(t)z(t) − z(t + 1)y(t) − y(t)z(t) = z(t)Ez(t) z(t)∆y(t) − y(t)∆z(t) = z(t)Ez(t) Định lý 1.2 Cho a số Khi a ∆at = (a − 1)at b ∆ sin at = sin a2 cos a(t + 12 ) c ∆ cos at = −2 sin a2 sin a(t + 12 ) d ∆ log at = log(1 + 1t ) e ∆ log Γ(t) = log t, Γ(t) xác định sau Z ∞ e−z z t−1 dz Γ(t) = Chú ý 1.1 Hàm Γ(t) thỏa mãn tính chất Γ(t + 1) = t Γ(t) Thật vậy, ta có Z ∞ e−z z t dz Γ(t + 1) = = [−e−z z t ]∞ Z =t Z − ∞ (−e−z )tz t−1 dz ∞ e−z z t−1 dz = tΓ(t) Chứng minh a Ta có ∆at = at+1 − at = (a − 1)at c luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan luan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phanluan.van.thac.si.tim.nghiem.phuong.trinh.dao.ham.rieng.bang.phuong.trinh.sai.phan