luận văn thạc sĩ hình học tổ hợp với các phương pháp chứng minh luận văn ths toán học 84601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC ĐẮC HÌNH HỌC TỔ HỢP VỚI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC ĐẮC HÌNH HỌC TỔ HỢP VỚI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460101.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Hữu Điển Hà Nội - Năm 2018 z Mục lục Lời nói đầu Chương Tổng quan phương pháp chứng minh 1.1 Phương pháp quy nạp 1.2 Phương pháp phản chứng 1.3 Nguyên lý Dirichlet 1.4 Nguyên lý cực hạn Chương Các phương pháp chứng minh cho học tổ hợp 2.1 Tổng quan hình học tổ hợp 2.2 Vận dụng phương pháp quy nạp 2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng 2.4 Vận dụng nguyên lý Dirichlet 2.5 Vận dụng nguyên lý cực hạn tốn hình Chương Ứng dụng phương pháp theo chủ đề hình học Các tốn thi Olympic ngồi nước 3.1 Hệ điểm đường cong 3.1.1 Nhận xét vật thể lồi 3.1.2 Đếm giao điểm 3.1.3 Đếm số tam giác 3.1.4 Đếm số đa giác 3.1.5 Các toán với hệ điểm đường thẳng 3.1.6 Các toán với hệ đoạn thẳng 3.1.7 Các tốn với đa giác khơng lồi 3.2 Hệ đường cong miền i z 3 10 13 13 15 18 20 24 28 28 28 32 35 37 39 41 43 48 3.3 3.4 3.5 3.2.1 Chia mặt phẳng hệ đường 3.2.2 Chia mặt phẳng đường cong kín 3.2.3 Chia đa giác lồi 3.2.4 Chia không gian Phép phủ đóng gói 3.3.1 Các đối tượng phủ 3.3.2 Phép phủ với hệ hình trịn 3.3.3 Bài tốn đóng gói Phép tô màu 3.4.1 Màu điểm 3.4.2 Tô màu miền 3.4.3 Tô màu bàn cờ Các toán thi Olympic nước 49 53 55 58 59 59 62 65 67 67 70 72 74 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 ii z Lời nói đầu Hình học tổ hợp phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những toán Hình học tổ hợp thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn Vì toán mang đặc trưng rõ nét tốn học rời rạc Các tốn hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều tốn phát biểu đơn giản, thấy để giải cần trang bị kiến thức riêng hình học tổ hợp hình học Khi tốn trở nên dễ dàng Tuy nhiên có địi hỏi kiến thức chun sâu, chí có nhiều tốn hình học tổ hợp tổng qt cho khơng gian chưa có lời giải Hình học tổ hợp nước ta coi nội dung dành cho học sinh khá, giỏi bậc Trung học sở thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic truyền thống 30/4, đề thi Olympic Tốn quốc tế Vì luận văn em xin trình bày đề tài: “Hình học tổ hợp với phương pháp chứng minh” Trong luận văn em đưa số phương pháp chứng minh thường sử dụng cho tốn hình học tổ hợp ứng dụng phương pháp vào chứng minh tốn theo chủ đề, có đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên, thi học sinh giỏi nước thời gian qua Bố cục luận văn gồm ba chương: Chương Tổng quan phương pháp chứng minh Chương trình bày phương pháp vận dụng để giải tốn nói chung như: phương pháp quy nạp, nguyên lý Dirichlet, nguyên z lý cực hạn Ngoài phương pháp phản chứng sử dụng nhiều đan xen phương pháp khác Chương Các phương pháp chứng minh cho tốn Hình học tổ hợp Chương đưa tổng quan Hình học tổ hợp ví dụ minh họa cách áp dụng phương pháp chứng minh cho tốn Hình học tổ hợp Chương Ứng dụng phương pháp theo chủ đề hình học; toán thi học sinh giỏi, thi Olympic nước Chương đưa số tốn Hình học tổ hợp theo chủ đề như: Bài toán hệ điểm đường cong; toán đường cong miền; tốn phủ hình bao hình; tốn tơ màu; tốn có đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic Tốn Để hồn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển dành thời gian hướng dẫn, bảo, tận tình giúp đỡ em trình xây dựng đề tài hoàn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Rất mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng năm 2018 Học viên Nguyễn Đức Đắc z luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 Chương Tổng quan phương pháp chứng minh Chương liệt kê phương pháp điển hình vận dụng để giải toán trung học phổ thông như: phương pháp quy nạp, phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cực hạn Mỗi phương pháp trình bày độc lập sử dụng chúng đan xen phương pháp khác ta giải nhiều tập hay thú vị 1.1 Phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có vai trị vơ quan trọng tốn học, khoa học sống Đối với nhiều tốn chương trình tốn phổ thơng tốn logic, tức tốn khơng mẫu mực, phương pháp quy nạp cho ta nhiều cách giải hữu hiệu Suy diễn trình từ “tính chất” tập thể suy tính chất cá thể, nên ln ln đúng, cịn q trình ngược lại, tức trình quy nạp: từ “tính chất” số thể suy “tính chất” tập thể khơng phải lúc đúng, mà q trình thỏa mãn số điều kiện đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp: Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ mà S(n) xác định) (b) Từ tính đắn S(n) n = t (hoặc giá trị n (k0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ k0 ), ta cần chứng minh tính đắn luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 z luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 S(n) n = t + Khi S(n) với n ≥ k0 Giả sử khẳng định S(n) xác định với n ≥ t0 Để chứng minh S(n) ∀n ≥ t0 quy nạp ta cần thực theo hai bước sau: Cơ sở quy nạp: chứng minh S(n) với số tự nhiên n = t0 Quy nạp: giả sử khẳng định S(n) đến n = t (hoặc n (t0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ t0 ) Trên sở giả thiết ta chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, tức S(t + 1) Nếu hai bước thỏa mãn, theo nguyên lý quy nạp S(n) với ∀n ≥ t0 Giả thiết bước quy nạp mệnh đề với n = t gọi giả thiết quy nạp Ví dụ 1.1.1 Chứng minh mệnh đề S(n) sau với tất số tự nhiên n n ( n + 1) 0+1+2+···+n = Giải Cơ sở quy nạp: Ta có S(0) 0= · (0 + 1) Hai vế nên mệnh đề với n = Vì S(0) Quy nạp: Giả sử S(k) đúng, ta phải chứng minh S(k + 1) đúng, tức (k + 1)((k + 1) + 1) 0+1+2+···+k+k+1 = Sử dụng giả thiết quy nạp S(k) đúng, vế trái viết thành k ( k + 1) k ( k + 1) + 2( k + 1) + ( k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) = (k + 1)((k + 1) + 1) = Vậy S(k + 1) Vì bước sở quy nạp bước quy nạp thực hiện, mệnh đề S(n) với số tự nhiên n  luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 z luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 Ví dụ 1.1.2 Cho x + , x 6= số nguyên Chứng minh với x số nguyên dương n, số T (n, x ) = x n + n x số nguyên Giải Bài toán giải quy nạp Cơ sở quy nạp: Với n = 1, theo giả thiết ta có T (1, x ) = x + số x nguyên, nên khẳng định Quy nạp: Giả sử với n = k khẳng định đúng, nghĩa T (k, x ) = x k + xk số nguyên Với n = k + số T (k + 1, x ) = x k+1 + k+1 x     k −1 1  k x + k − x = x+ + k −1 x x x 1 Theo giả thiết quy nạp, số x + , x k−1 + k−1 , x k + k nguyên x x x nên T (k + 1, x ) số nguyên khẳng định với số nguyên dương n  Ví dụ 1.1.3 Chứng minh A(n) = 7n + 3n − chia hết cho với số tự nhiên n Giải Bài toán giải quy nạp Cơ sở quy nạp: Với n = 0, ta có A(0) = chia hết cho 9, nên khẳng định Quy nạp: Giả sử A(k) chia hết cho với k ∈ N Ta chứng minh A(k + 1) chia hết cho Thật vậy, ta có A ( k + ) = 7k +1 + ( k + ) − = 7A(k) − 9(2k − 1) Theo giả thiết quy nạp A(k) chia hết cho 9, dó A(k + 1) chia hết cho Vậy A(n) chia hết cho với số tự nhiên n  luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 z luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 1.2 Phương pháp phản chứng Để chứng minh toán phương pháp phản chứng gồm bước: Bước (Phủ định kết luận): Ta giả sử kết luận tốn khơng Bước (Đưa đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử từ giả thiết toán, ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết mâu thuẫn với kiến thức học Bước (Khẳng định kết luận): Như kết luận toán Ưu điểm phương pháp ta tạo thêm giả thiết (giả thiết phản chứng) vào giả thiết tốn Ví dụ 1.2.1 ([4]) Người ta đồn đền thiêng ba vị thần ngự trị: thần Thật Thà (ln ln nói thật), thần Dối Trá (ln ln nói rối) thần Khơn Ngoan (khi nói thật, nói dối) Các vị thần ngự bệ thờ sẵn sàng trả lời câu hỏi có người thỉnh cầu Nhưng hình dạng ba vị thần giống hệt nên người ta vị thần trả lời tin hay không tin Một hôm, học giả từ phương xa đến gặp vị thần để xin thỉnh cầu Bước vào miếu, học giả hỏi thần ngồi bên phải: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần Dối Trá Tiếp hỏi thần ngồi giữa: - Ngài thần gì? - Tơi thần Khơn Ngoan Cuối ông ta quay sang hỏi thần ngồi bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần thật Nghe xong học giả khẳng định vị thần Bạn cho biết học giả suy luận nào? luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601luan.van.thac.si.hinh.hoc.to.hop.voi.cac.phuong.phap.chung.minh.luan.van.ths.toan.hoc.84601 z