Dao-Dong-Ky-Thuat_Dang-Van-Hieu_Giao-Trinh-Dao-Dong - [Cuuduongthancong.com].Pdf

C Chương 1 KHÁI NIỆM VỀ DAO ĐỘNG 1 Định nghĩa Dao động là quá trình mà đại lượng động học thay đổi theo thời gian và lặp lại ít nhất một lần Dao động kỹ thuật là quá trình mà đại lượng kỹ thuật (máy m[.]

Chương KHÁI NIỆM VỀ DAO ĐỘNG Định nghĩa Dao động trình mà đại lượng động học thay đổi theo thời gian lặp lại lần Dao động kỹ thuật trình mà đại lượng kỹ thuật (máy móc, phương tiện giới, cơng trình,…) thay đổi theo thời gian lặp lại Phân loại  Dựa vào số bậc tự do: dao động bậc tự do, dao động hai bậc tự do, dao động nhiều bậc tự  Dựa vào dạng dao động: dao động ngang, dao động xoắn, dao động uốn  Dựa vào nguyên nhân gây dao động: dao động tự do, dao động cưỡng bức, dao động tham số  Dựa vào kết đo đạt dao động: dao động tuần hồn, khơng tuần hồn, dao động điều hịa,…  Dựa vào phương trình dao động: dao động tuyến tính, dao động phi tuyến Dao động điều hòa 3.1 Các tham số động học  Phương trình chuyển động: x  Asin(t   )  Biên độ dao động A: giá trị tuyệt đối độ lệch lớn đại lượng dao động  Góc pha (t   ) : hàm theo thời gian t  Pha ban đầu  : giá trị góc pha ứng với t = 0; đơn vị rad  Tần số vòng (góc)  đơn vị rad/s hay s-1 Thường gọi tắt tần số  Chu kỳ T: khoảng thời gian nhỏ cần thiết để đại lượng dao động trở vị trí ban đầu T 2 n  Tần số dao động f số lần dao động thực giây, đơn vị s-1  Quan hệ: T  2f  Phương trình chuyển động viết theo cách khác: x(t )  C1 cos t  C2 sin t Với A2  C12  C22 tg  C1 C2 A, φ hay C1 , C2 xác định từ điều kiện đầu: t  0; x(0)  x0 ; x(0)  x0 3.2 Biểu diễn phức hàm điều hịa Từ cơng thức Euler: e i  cos   i sin  ta suy ra: Hàm điều hòa x(t )  Asin(t   ) phần ảo số phức y(t )  Ae (it  ) quay mặt phẳng phức với vận tốc góc ω ~ ~ Ta có y(t )  Ae(it  )  Aei eit  Aeit , với A  Ae i gọi biên độ phức, vị trí số phức thời điểm t = Giải toán dao động 4.1 Bậc tự hệ Bậc tự tập hợp tọa độ độc lập cần thiết để xác định vị trí hệ thời điểm Dưới tác dụng lực, hệ chuyển động hay nói cách khác tọa độ ln thay đổi theo thời gian, tọa độ x hàm theo t Vậy x(t) xác định xác định vị trí hệ Để xác định x(t), ta tiến hành bước: 4.2 Lập mơ hình vật lý Để giải toán dao động cấu thực tế, bước phải lập mơ hình phản ánh đặc trưng hệ, thể liên kết phần tử khối lượng, giảm chấn, đàn hồi có tác dụng lực Đây gọi mơ hình vật lý Tùy thuộc vào phạm vi nghiên cứu yêu cầu độ xác đáp ứng x(t), ta có mơ hình từ đơn giản đến phức tạp, có nhiều bậc tự do, tuyến tính phi tuyến Lập mơ hình để giải tốn dao động hệ kỹ thuật đặc trưng môn học, điều nầy cho thấy nhiều hệ thực tế có mơ hình Ví dụ mơ hình đơn giản khảo sát dao động tơ Hình (Hình 1) 4.3 Lập mơ hình tốn: Thực chất mơ hình tốn viết phương trình vi phân dao động hệ Cơ hệ có n bậc tự có hệ n phương trình vi phân Cơ sở để lập mơ hình tốn chủ yếu sử dụng kiến thức môn học Cơ học kỹ thuật để giải mơ hình vật lý Có hai phương pháp thường dùng phương pháp lực phương pháp lượng 4.3.1 Phương pháp lực a Vật chuyển động tịnh tiến: dùng định luật Newton: n mx   Fk k 1 b Vật chuyển động quay: dùng phương trình vi phân vật quay: n  J o   mo ( Fk ) k 1 c.Vật chuyển động song phẳng: dùng phương trình vi phân vật chuyển động song phẳng:  mxC   Fkx   myC   Fky   J   m ( F )  z  Z k C: khối tâm hệ z trục qua khối tâm d Sử dụng nguyên lý d’Alembert 4.3.2 Phương pháp lượng Sử dụng phương trình Lagrange loại II Hệ bậc tự do: Hệ n bậc tự do: d  T  T D V d  T  T D V     Q  Q hay     dt  x  x x x dt       d  T  T D V      Qi , i = 1,2,…,n dt  xi  xi xi xi T: Động hệ Động hệ n chất điểm T  n mk vk2  1 Động vật rắn chuyển động tịnh tiến T  mvC2 Động vật rắn chuyển động quay T  J z 2 2 Động vật rắn chuyển động song phẳng T  mvC2  J C D: Hàm hao tán lượng tiêu hao giảm chấn V: Thế hệ, gồm lò xo trọng lực Q: Lực suy rộng suy từ việc tính tốn cơng ảo lực khơng bảo tồn 4.4 Tìm đáp ứng Tìm đáp ứng hệ giải hệ phương trình vi phân mơ hình tốn để tìm nghiệm hay nói cách khác viết phương trình chuyển động hệ Chương PHẦN TỬ CƠ BẢN – MÔ HÌNH HĨA CƠ HỆ Các phần tử Khi mơ hình hóa hệ thống khí, hệ ba phần tử phần tử lò xo (phần tử đàn hồi), phần tử giảm chấn, phần tử khối lượng Đặc trưng phần tử nầy có ứng xử chuyển vị, vận tốc gia tốc thay đổi Rõ ràng với với ba phần tử bản, việc tính tốn hệ trở nên dễ dàng 5.1 Phần tử đàn hồi Vật thể đàn hồi bị biến dạng tác dụng ngoại lực tạo nội lực đối kháng lại biến dạng Ví dụ lị xo kéo khỏi vị trí cân phát sinh nội lực kéo về, phục hồi Khi tính tốn dao động, phần tử đàn hồi giả sử khơng khối lượng Có nhiều loại phần tử đàn hồi sau:  Lò xo chịu kéo, nén: phần tử đàn hồi tiêu biểu, ký hiệu hình Khi chuyển vị hai đầu lò xo x1 x2 lực đàn hồi Fk x1 x2 k Fk Fk Hình Fk = k(x2 - x1) k: gọi hệ số đàn hồi hay độ cứng lò xo, đơn vị N/m F gọi lực lò xo hay lực đàn hồi, đơn vị N Thế lò xo: V k ( x2  x1 )2 Đơn vị jun  Lò xo xoắn Khi chuyển vị hai đầu lị xo xoắn θ1 θ2 (Hình 3) mômen xoắn đàn hồi Mk M k  k (2  1 ) k hệ số xoắn đàn hồi, đơn vị (N.m/rad) k Mk Mk θ1 θ2 Hình  Thanh phần tử đàn hồi nên tính tốn dao động, ta xem lò xo với hệ số đàn hồi tương đương k Thanh chịu xoắn, k  GJ p l Thanh chịu kéo, nén, k  ; G: môđun xoắn đàn hồi, Jp mơmen qn tính độc cực EA ; E: mơđun đàn hồi, A diện tích mặt cắt ngang l Thanh chịu uốn, phụ thuộc điều kiện biên mà có hệ số đàn hồi tương đương khác nhau.Ví dụ dầm đầu ngàm chịu lực đầu (Hình 4) k  (Hình 5): k  3EI ; Dầm tĩnh định hai đầu gối tựa, chịu lực l3 48EI ; … l3 F k 3EI l3 k 48EI l3 k EI l3 F F F k 192 EI l3 5.2 Phần tử giảm chấn Giảm chấn đặc trưng cylinder bên có piston chứa dầu nhớt Piston có khoan nhiều lỗ nhỏ gọi lỗ tiết lưu nối với cần (Hình 6) Khi tác dụng lực vào cần, piston di chuyển nhờ lưu thông nhớt qua lỗ tiết lưu piston Phần tử giảm chấn giả sử khơng có khối lượng Phần tử giảm chấn có ký hiệu Hình Khi vận tốc hai đầu giảm chấn x1 x2 lực giảm chấn là: Hình FC  c( x2  x1 ) Năng lượng tiêu hao giảm chấn (Hàm hao tán): D  c( x2  x1 )2 x1 c x2 Fc Fc Hình 5.3 Phần tử đàn hồi, giảm chấn tương đương 5.3.1 Mắc song song n Khi có nhiều lị xo mắc song song (Hình 8), lị xo tương đương có độ cứng k   ki i 1 k2 k m m k1 k2 k m m k1 Hình Hình n Khi có nhiều giảm chấn mắc song song nhau, giảm chấn tương đương là: c   ci i 1 5.3.2 Mắc nối tiếp  n 1 Khi có nhiều lị xo mắc nối tiếp (Hình 9), lị xo tương đương có độ cứng k      i 1 ki  Khi có nhiều lị xo giảm chấn mắc nối tiếp nhau, giảm chấn tương đương là: 1  n 1 c      i 1 ci  1 5.3.3 Các trường hợp khác Khi lị xo giảm chấn khơng mắc song song hay nối tiếp, ta dùng phương pháp tương đương để đơn giản hệ Mô hình hóa hệ dao động 4.1 Bậc tự hệ Bậc tự tập hợp tọa độ độc lập cần thiết để xác định vị trí hệ thời điểm Dưới tác dụng lực, hệ chuyển động hay nói cách khác tọa độ thay đổi theo thời gian, tọa độ x hàm theo t Vậy x(t) xác định xác định vị trí hệ Để xác định x(t), ta tiến hành bước: 4.2 Lập mơ hình vật lý Để giải toán dao động cấu thực tế, bước phải lập mơ hình phản ánh đặc trưng hệ, thể liên kết phần tử khối lượng, giảm chấn, đàn hồi có tác dụng lực Đây gọi mơ hình vật lý Tùy thuộc vào phạm vi nghiên cứu yêu cầu độ xác đáp ứng x(t), ta có mơ hình từ đơn giản đến phức tạp, có nhiều bậc tự do, tuyến tính phi tuyến Lập mơ hình để giải toán dao động hệ kỹ thuật đặc trưng môn học, điều nầy cho thấy nhiều hệ thực tế có mơ hình Ví dụ mơ hình đơn giản khảo sát dao động ô tô Hình (Hình 1) 4.3 Lập mô hình tốn: Thực chất mơ hình tốn viết phương trình vi phân dao động hệ Cơ hệ có n bậc tự có hệ n phương trình vi phân Cơ sở để lập mơ hình tốn chủ yếu sử dụng kiến thức môn học Cơ học kỹ thuật để giải mơ hình vật lý Có hai phương pháp thường dùng phương pháp lực phương pháp lượng Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG Thiết lập phương trình vi phân dao động 1.1 Bài toán Thanh khối lượng m chiều dài a, quay quanh trục qua O liên kết với lị xo hình 10 Viết phương trình vi phân dao động hệ O a a Phương pháp lượng θ k Chon tọa độ suy rộng θ (Hình 11) Động năng: T  ma2 O k Hình 10 Hình 11 Năng lượng tiêu hao giảm chấn: D = 2 Thế năng: V  ka2  mga cos  Lực suy rộng: Q = Phương trình Lagrange loại II ứng với hệ bậc tự do: d  T  T D V   Q   dt       Phương trình vi phân:  ma   (ka2  mga)  b Phương pháp lực Các lực tác dụng vào hình 12 R O Phương trình vi phân vật quay : J O  R.0  Fk a cos   mga sin  Lực đàn hồi: Fk  ka Chú ý: dao động bé, chuyển vị nhỏ nên cos  1, sin    θ mg Hình 12 1.2 Bài tốn Đĩa trịn lăn không trượt mặt phẳng nằm ngang khối lượng m, bán kính R liên kết với Fk lị xo hình 13 x Viết phương trình vi phân dao động hệ k θ Chọn tọa độ suy rộng x, θ (Hình 13), ta có x = Rθ C a Phương pháp lượng Động năng: T  mx Hình 13 Thế năng: V  kx2 Lực suy rộng: Q = Phương trình vi phân: mx  kx  b Phương pháp lực x Các lực tác dụng vào hình 14, ta có: mx  kx  Fms (1) J O  RFms Từ (2): θ Fk C Fms (2) x mR2  RFms (3) R Hình 14 Cộng (1) (3) vế theo vế ta có kết 1.3 Bài tốn Con lắc lị xo gồm lò xo độ cứng k treo vật khối lượng m (Hình 15) Viết phương trình vi phân dao động lắc Ở vị trí cân tĩnh, lị xo dãn đoạn Δ, ta có k  mg a Chọn tọa độ suy rộng y, gốc vị trí lị xo chưa biến dạng (Hình 16) k Động năng: T  my 2 Thế năng: V  ky2  mgy Lực suy rộng: Q = Phương trình vi phân: my  ky  mg (1) k k VTCBT m Δ m m Hình 15 x y Hình 16 b Bây chọn tọa độ suy rộng x, gốc vị trí cân tĩnh, ta có y  x    )  k ( x  )  mg Từ (1): m( x   Phương trình vi phân: mx  kx  Vậy vị trí cân tĩnh lò xo biến dạng, chọn gốc tọa độ ta bỏ mg hay mgh hai phương pháp giải 1.4 Bài tốn Rịng rọc tâm O khối lượng M bán kính R xem đĩa tròn, liên kết với lò xo vật nặng khối lượng m (Hình 17) Viết phương trình vi phân dao động hệ Chọn tọa độ suy rộng: Vật nặng chuyển động tịnh tiến chọn tọa độ suy rộng x, ròng rọc chuyển động quay chọn tọa độ suy rộng θ, ta có x = Rθ a Phương pháp lượng k M Động năng: T  (  m) x 2 O Fk θ θ R O M,R Hàm hao tán: D = T Thế năng: V  kx2 m Lực suy rộng: Q = Phương trình vi phân: ( m x Hình 17 Hình 18 M  m) x  kx  b Phương pháp lực Các lực tác dụng vào hệ hình 18  n Rịng rọc chuyển động quay: J o   mo ( Fk )  J O  RT  RFk (1) k 1 n Vật nặng chuyển động tịnh tiến: mx   Fk  mx  T (2) k 1 x Từ (2): MR  RT  RFk (3) R Cộng (1) (3) ta có: ( M  m) x  kx  2 Phương trình vi phân tổng qt Từ phân tích ta thấy: Phương trình vi phân mơ tả dao động hệ có dạng tổng quát: mx  cx  kx  F (t ) m, c, k: khối lượng tương đương, giảm chấn tương đương độ cứng tương đương hệ Nếu F(t) = phương trình vi phân mô tả dao động tự Nếu c = phương trình vi phân mơ tả dao động không cản x Dao động kỹ thuật Nguyễn H oàng Châu x x m m c k Fk Fc u(t) Hình 3.4 Hình 3.3 Phương trình vi phân: mx  cx  kx  kU0 sin t  cU 0 cos t 1.4 Kích động bỡi khối lượng lệch tâm (rotating unbalance) Vật có khối lượng M liên kết với lị xo giảm chấn hình 3.5 Trên vật có phận chuyển động quay với vận tốc góc ω có khối lượng cân m, độ lệch tâm e Viết phương trình vi phân dao động hệ ω m e qt x Fn m e ωt M M c k Fc qt F Fk Hình 3.6 Hình 3.5 Chọn tọa độ suy rộng x Giải toán nguyên lý d’Alembert Các lực tác dụng vào vật lực qn tính hình 3.6 Fnqt  man  me F qt  Mx     ( Fk , Fc , Fqt , Frqt ) ~  Fk  Fc  Fqt  Frqt sin t  Phương trình vi phân: Mx  cx  kx  me sin t x Dao động kỹ thuật Nguyễn H ồng Châu Chú ý: Khi khối lượng vật khơng bao gồm khối lượng cân m phương trình vi phân: (M  m) x  cx  kx  me sin t Tính tốn dao động cưỡng khơng cản Phương trình vi phân dao động: mx  kx  F0 sin t 2.1 Trường hợp xa cộng hưởng:    Nghiệm riêng (steady state response): x(t )  M cos t  N sin t F0  M  0; N  m(n   ) Nghiệm tổng quát (complete solution): x(t )  C1 cos nt  C2 sin nt  F0 sin t m(   ) n Điều kiện đầu: t  0, x(0)  x0 ; x (0)  x x(t )  x0 cos nt  x0 sin nt  F0 F0  sin t 2 mn (n   ) m(n   ) Phương trình chuyển động bình ổn: x(t )  F0 sin t m(   ) n Độ khuếch đại (magnification factor): tỉ số biên độ đáp ứng điều hòa đáp ứng tĩnh: M F0 F : m(   ) k n Tỉ tần số: r  M  1 r2  n Hình 3.7 Đồ thị M(r) hình 3.7 * Chú ý: Khi phương trình vi phân mx  kx  F0 cos t phương trình chuyển động bình ổn: x(t )  X cos t 2.2 Trường hợp gần cộng hưởng n   đặt 2    n Phương trình chuyển động: x(t )   F0 sin t cos t 2m Dao động kỹ thuật Nguyễn H oàng Châu Đồ thị x(t) tiềp xúc với đồ thị hàm x1 (t )  F0 cos t (hình 3.8) Trên đồ thị ta thấy số lần dao 2m động chu kỳ tăng biên độ dao động bị giới hạn, gọi tượng phách (beating) 2.3 Trường hợp cộng hưởng n   x(t )   F0 t cos t 2m Đồ thị x(t) hình 3.9: Biên độ lớn t lớn gọi tượng cộng hưởng (resonance) Hình 3.9 Hình 3.8 2.4 Ví dụ Thanh AB có khối lượng m quay quanh A, liên kết với lò xo chịu lực hình 3.10 a Viết phương trình vi phân dao động b Cho: k = 340 N/m; a = 0.49 m; m = 30kg; F(t) = 100sin40t (N) Viết phương trình chuyển động tính độ khuếch đại Chọn tọa độ suy rộng θ (Hình 3.11) Động năng: T  m 2 a 23 A A 2 Thế năng: V  k (a )2  mga cos  θ a Lực suy rộng: Q = aF(t) P.trình vi phân:  ma   [ka2  mga]  aF (t )  Tần số riêng:   rad s k F(t) B  Hình 3.10 F(t) B Hình 3.11 k Dao động kỹ thuật Nguyễn H oàng Châu Trường hợp xa cộng hưởng nên phương trình chuyển động bình ổn:  (t )  Phương trình chuyển động:  (t )  0,0133sin 40t Tỉ tần số: r = Độ khuếch đại: M = 0,0417 Tính tốn dao động cưỡng có cản 3.1 Phương trình chuyển động bình ổn Phương trình vi phân dao động: mx  cx  kx  H1 sin t  H cos t x  2x   x  h1 sin t  h2 cos t Nghiệm riêng (Phương trình chuyển động bình ổn): x(t )  M cos t  N sin t (n2   ) N  2nM  h1  2 2nN  (n   ) M  h2 M (n2   )h2  2nh1 (n2   )  (2n ) N (n2   )h1  2nh2 (n2   )2  (2n ) Phương trình chuyển động bình ổn viết dạng khác: x(t )  X sin(t   ) X 02  M  N ; tg  X0  M N h12  h22 n2 2 r 2  1  r 2 Độ khuếch đại (magnification factor): M  X0 yˆ yˆ : tùy thuộc trường hợp kích động 3.2 Kích động động lực hay kích động qua lị xo yˆ  kU F0 hay yˆ  0 k k Tỉ tần số: r   n 10 Ftd sin 40t mtd (n2   ) Dao động kỹ thuật Độ khuếch đại: M  Nguyễn H oàng Châu 2 r 2  1  r 2 Đồ thị M(r) hình 3.12 Pha ban đầu: tg   2r 1 r2 Đồ thị φ(r) hình 3.13 M π φ ζ =0 ζ = 0,1 ζ = 0,3 ζ= ζ = 0,5 π r r Hình 3.13 Hình 3.12 3.3 Kích động động học yˆ  kU cU 0 kU0  2rn2 yˆ  n2 yˆ ; h2   U ; h1  m m k Độ khuếch đại: M   (2r ) 2 r 2  1  r 2  2 r Pha ban đầu: tg  (2r )  (1  r ) Hình 3.15 Hình 3.14 11 Dao động kỹ thuật Nguyễn H ồng Châu Đồ thị M(r) hình 3.14 Đồ thị φ(r) hình 3.15 3.4 Kích động bỡi khối lượng lệch tâm yˆ  m1e m0  m1 M me me hay yˆ  ; h1    yˆ M M Độ khuếch đại: M  r2 ζ = 0,1 ζ = 0,15 ζ = 0,25 2 r 2  1  r 2 Đồ thị M(r) hình 3.16 Pha ban đầu: tg  ζ = 0,05 ζ = 0,5 ζ=  2 r 1 r2 * Chú ý: Khi vế phải H1 = 0: r mx  cx  kx  H cos t Phương trình chuyển động: Hình 3.16 x(t )  X cos(t   ) tg  N 2 r  M 1 r2 3.5 Ví dụ a Thanh nhẹ AB, chiều dài a, đầu có vật nhỏ xem chất điểm khối lượng m Thanh liên kết với lò xo, giảm chấn chịu lực hình3.17 Viết phương trình vi phân dao động b Cho: k = 8kN/m, c = 200Ns/m, m = 5kg, a = 4m, b = 1m, F(t) = 80 sin20t (N) Viết phương trình chuyển động Chọn tọa độ suy rộng θ (Hình 3.18) k c F(t) b A a _ A B c k θ m 12 F(t) B Dao động kỹ thuật Nguyễn H oàng Châu Hình 3.17 Hình 3.18 Động năng: T  ma2 Năng lượng tiêu hao giảm chấn: D  ca 2 2 Thế năng: V  kb2 Lực suy rộng: Q = aF(t) Phương trình vi phân: ma2  ca 2  ka2  aF (t ) Phương trình chuyển động:  (t )   sin(20t   )  Tần số riêng: n  10 rad s  Độ cản Lehr:   0,5 Tỉ tần số: r   2 n Hệ chịu kích động động lực nên: Độ khuếch đại: M  2 r    1 r  2  0,2774 Biên độ: 0  M yˆ  0,0111(rad ) tg  0,6667    0,588 (rad ) Vậy:  (t )  0,0111sin(20t  0,588) 13 CHƯƠNG DAO ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO Phương trình vi phân dao động Hai vật có khối lượng m1 m2 liên kết chịu lực hình 4.1 Viết phương trình vi phân dao động hệ Chọn tọa độ suy rộng x1 x2 2 Động năng: T  m1 x12  m2 x22 ; 2 Thế năng: V  k1 x12  k2 ( x2  x1 )2 k1 x1 m1 c1 2 Lực suy rộng: Tính cơng lực, suy lực suy rộng: Qi  A ;i  j k qi A k q j    A( F (t ))  A( F )  Fxx  Fyy  Fzz A k Q1  Q2   F (t )x2 A 0 k x1 x  A  F (t ) k x2 x1  Q1 = 0; Q2 = F(t) Sử dụng phương trình Lagrange:  d  T  T D V     Q1    dt  x1  x1 x1 x1   d  T   T  D  V  Q  dt  x  x x x  d  T  d   1     ( m1 x12  m2 x22 )   m1x1 dt  x1  dt  x1 2  T  1  ( m1 x12  m2 x22 )  x1 x1 2 D  1 2   c1 x1  c2 ( x2  x1 )   c1 x1  c2 ( x2  x1 ) x1 x1  2  F(t) m2 c2 Hình 4.1 Hàm hao tán: D  c1x12  c2 ( x2  x1 )2 x2 k2 V  1 2   k1 x1  k2 ( x2  x1 )   k1 x1  k2 ( x2  x1 ) x1 x1  2  Phương trình vi phân: m1 0    x1  c1  c2  m2   x2    c2  c2   x1  k1  k  c2   x    k  k   x1     k   x2   F (t ) Phương trình vi phân có dạng tổng qt: Mx  Cx  Kx  F Trong đó: M, C, K: ma trận khối lượng, ma x2 x1 trận giảm chấn, ma trận độ cứng, ma Fk trận vng cấp n đối xứng chéo Fc1 Phương trình vi phân có vế phải m1 Fk Fc2 m2 F(t) Hình 4.2 dao động tự do, cịn C = mơ tả dao động khơng cản Để giải phương pháp lực ta sử dụng sơ đồ hình 4.2 Vật chuyển động tịnh tiến, dùng định luật Newton: m1x1   Fk1  Fc1  Fk  Fc (1) m2 x2   Fk  Fc  F (t ) (2) Fk1  k1 x1 Fk  k2 ( x2  x1 ) Fc1  c1 x1 Fc  c2 ( x2  x1 ) m1x1  k1 x1  k2 ( x2  x1 )  c1 x1  c2 ( x2  x1 )  m2 x2  k2(x2  x1 )  c2(x2  x1 )  F(t) m1x1  (c1  c2 ) x1  c2 x2  (k1  k2 ) x1  k2 x2    F(t) m2 x2  c2 x1  c2 x2  k2 x1  k2 x2 m1 0    x1  c1  c2  m2   x2    c2  c2   x1  k1  k  c2   x    k Hệ chịu xoắn 2 Động năng: T  J112  J 222 ; 1 2 Hàm hao tán: D  Thế năng: V  k112  k2 (  1 )2  k3 22 Công lực: A k    A(M1 (t ))  A(M (t ))  M1 (t )1  M (t ) Q1  A  M (t ) k     k   x1     k   x2   F (t ) Q2  A  M (t ) k    Tính tốn dao động tự không cản 2.1 Tần số riêng Phương trình vi phân dao động: Mx  Kx  Khai triển:  m11 m12   x1   k11 k12   x1  0 m           21 m22   x2  k21 k22   x2  0  x1 (t )   X sin(t   )     x2 (t )  X sin(t   ) Biểu thức nghiệm: x(t )   Đạo hàm, vào:  m11 m12    X 1 sin(t   )   k11 k12   X sin(t   )  0  m      21 m22   X 2 sin(t   ) k21 k22   X sin(t   ) 0  k11  m11  k 21  m21 k12  m12   X  0      k 22  m22   X  0 Để có nghiệm khơng tầm thường (nontrivial solution): det(K   M )  k11  m11 k12  m12 k21  m21 k22  m22 0 (k11  m11 )(k22  m22 )  (k12  m12 )(k21  m21 )  (m11m22  m12m21)  (k12m21  k21m12  k11m22  k22m11)  k11k22  k12k21  Đây phương trình trùng phương bậc bốn gọi phương trình đặc trưng tần số Giải phương trình nầy ta tần số dao động riêng ω1 ω2 2.2 Kiểu dạng dao động riêng 2.2.1 Kiểu dạng dao động riêng thứ Khi hệ dao động với tần số riêng thứ 1 , ta có biên độ tương ứng X 1(1) X 2(1) Tỉ biên độ: X 2(1) k11  m1112 r1  (1)   X1 k12  m1212 1 Khi X 1(1)   X 2(1)  r1  V1    r1  V1 gọi vectơ mode hay vectơ dạng riêng thứ Từ xác định kiểu dạng dao động riêng thứ hay mode thứ 2.2.2 Kiểu dạng dao động riêng thứ hai Khi hệ dao động với tần số riêng thứ hai 2 , ta có ta có biên độ tương ứng X 1( 2) & X 2( 2) Tỉ biên độ: r1  X 2( 2) k11  m11 22   X 1( 2) k12  m12 22 1 Khi X 1( 2)   X 2( 2)  r2  V2    r  2 V2 gọi vectơ mode hay vectơ dạng riêng thứ hai Từ xác định kiểu dạng dao động riêng thứ hai Ma trận dạng riêng M: mô tả kiểu dạng dao động hệ 1  M   r1 r2  Chú ý: Khi tìm kiểu dạng dao động riêng phương trình vi phân dao động có cản cưỡng bỏ C, F 2.2.3 Tính trực giao dạng riêng Các dạng riêng vng góc với qua ma trận khối lượng ma trận độ cứng Trực giao qua ma trận khối lượng: V1T MV2  V2T MV1  Trực giao qua ma trận độ cứng: V1T KV2  V2T KV1  2.3 Phương trình chuyển động Phương trình chuyển động hệ:  x (t )    1 x(t )       A sin(1t  1 )    B sin( t   )  x2 (t ) r1  r2  A, B, 1, 2 xác định từ điều kiện đầu: x1 (0)  x10 ; x1 (0)  x10 x2 (0)  x20 ; x (0)  x 20 2.4 Ví dụ Hai vật có khối lượng m1 m2 đặt mặt nghiêng, liên kết chịu lực hình 4.3 a Viết phương trình vi phân dao động hệ b Tìm mode dao động riêng Cho k1 = k1 x1 m k2 m 2k2 = 2k, m1 = 2m2 = 2m Câu a Phương trình vi phân dao động: m1   x1  k1  k2  m   x     k      k2   x1     k2   x2   F (t ) Câu b Tìm kiểu dạng dao động riêng, ta giải hệ: x2 30 Hình 4.3 F(t )  k   x1  0  k   x2  0 2m   x1   3k  m  x    k      x1 (t )   X sin(t   )     x2 (t )  X sin(t   ) Biểu thức nghiệm:  Phương trình đặc trưng tần số: det(K   M )   2m2  5km  2k  1  k (rad / s) 2m 2  2k (rad / s) m - Khi hệ dao động với tần số riêng thứ 1 , ta có biên độ tương ứng X 1(1) X 2(1) 3k  2m12  k    X 1(1)   0 k  m12   X 2(1)  k (1) X2 = (1) X1 = (3k  2m ) X 1(1)  kX 2(1)  Tỉ biên độ: r1  Hình 4.4 X 2(1) 2 X 1(1) 1 Khi X 1(1)   X 2(1)   V1      Mode dao động riêng thứ (Hình 4.4) - Khi hệ dao động với tần số riêng thứ hai 2 , ta có biên độ tương ứng X 1( 2) X 2( 2) Tỉ biên độ: r2  (2) X 2( 2)  1 X 1( 2) X1 = 1 Khi X 1( 2)   X 2( 2)  1  V2     1 Mode dao động riêng thứ hai (Hình 4.5) Trên hình cho thấy điểm thuộc lị xo thứ hai khơng dao động gọi điểm nút Tính tốn dao động cưỡng khơng cản 3.1 Phương trình chuyển động Phương trình vi phân dao động: Mx  Kx  F sin t m12   F1 (t )   F1 sin t  m  k11 k12  F ( t )  K  Trong đó: M   11 ; ;     k  F2 (t ) F2 sin t  m21 m22   21 k 22   x1 (t )   X sin t     x2 (t )  X sin t  Biểu thức nghiệm: x(t )   (2) X = -1 Hình 4.5  k11  m11 Từ đó:  k21  m21 Nghiệm: X  k12  m12   X   F1       k22  m22   X   F2  D1 D ; X  Trong D định thức hệ số, D  det(K   M ) Di bỏ cột thứ i thay D D F Biện luận:  Khi D = Di ≠ : Tần số cưỡng ω trùng với tần số riêng 1 ,  Biên độ dao động tăng lên vô Đây trường hợp cộng hưởng Di   : Tần số kích động trùng với tần số riêng D  D  Khi D     i Di = đồng thời lim Di   D  D biên độ bị giới hạn Đây trường hợp giả cộng hưởng Nếu dạng vô định lim trường hợp cộng hưởng  Khi D ≠ Di = ta có Xi = 0: Dao động với tọa độ thứ i bị dập tắt Chú ý: Khi vế phải có dạng F (t )  F cos t biểu thức nghiệm x(t )  X cos t 3.2 Bộ tắt chấn động lực Khi D ≠ Di = ta có Xi = 0: Dao động với tọa độ thứ i bị dập tắt, sở để thiết kế tắt chấn D1  F1 k12  m12 F2 k22  m22 ; D1= (k22  m22 ) F1  (k12  m12 ) F2 Nếu thêm điều kiện F2 = 0, ta có X1=0 k22  m22  (1) Vậy trước tiên chọn k22 cho X2 nhỏ sau chọn m2 thỏa (1) 3.3 Ví dụ Hai vật có khối lượng m1 m2 liên kết chịu lực hình 4.6 a Viết phương trình vi phân dao động hệ b Cho m1 = m2 = 5kg ; F1(t) = 5sin2t; F2(t) = 10sin2t, k1 = k2 = k3 = 100N/m Viết phương trình chuyển động Câu a: Phương trình vi phân dao động là: m1 0    x1  k1  k  m2   x2    k  k   x1   F1 (t )   k  k   x2   F2 (t ) Câu b: Phương trình chuyển động có dạng:  x (t )   X sin 2t  x(t )        x2 (t )  X sin 2t  Ta có: D = 22400; D1 = 1900; Từ đó: X1 = 0.0848(m) X2 = k1 k3 m1 k2 F(t) m2 F(t) Hình 4.6 D2 = 2300 0.1027(m)  x1 (t )  0,0848 sin 2t     x2 (t ) 0,1027 sin 2t  Vậy  Tính tốn dao động tự có cản Phương trình vi phân dao động: Mx  Cx  Kx  m12   c11 c12  m ; C M   11  c  ;   21 c 22  m21 m22  k12  k K   11  k 21 k 22   x1 (t )   X 1e st   st   x2 (t )  X e  Biểu thức nghiệm: x(t )  Xe st   Đạo hàm vào phương trình vi phân: (s M  sC  K ) X   s m11  sc11  k11 Khai triển:   s m21  sc21  k 21 s m12  sc12  k12   X  0      s m22  sc22  k 22   X  0 Để có nghiệm khơng tầm thường: det(s M  sC  K )  Đây phương trình đặc trưng, giải nghiệm s Các trường hợp:  Cả nghiệm số thực âm: giảm chấn  Cả nghiệm phức, có hai cặp phức liên hợp: giảm chấn  Có nghiệm thực âm hai nghiệm phức liên hợp * Khi s  si , ta có biên độ tương ứng X 1(i ) X 2(i ) Tỉ biên độ: ri  X 2(i ) s m11  sc11  k11   ; X 1(i ) si2 m12  si c12  k12 i  1,2,3,4 Phương trình chuyển động hệ chồng chất nghiệm: 1  x (t )    1 1 x(t )       X 1(1) e st    X 1( 2) e st    X 1(3) e st    X 1( 4) e st  x2 (t ) r1  r2  r4  r3  X 1(i ) xác định từ điều kiện đầu: x1 (0)  x10 ; x1 (0)  x10 x2 (0)  x20 ; x (0)  x 20 Tính tốn dao động cưỡng có cản Phương trình vi phân dao động: Mx  Cx  Kx  Feit m12  m M   11 ; m21 m22  c  c C   11 12  ; c 21 c 22  Biểu thức nghiệm x(t )  Xe it k12  k K   11  ; k 21 k 22   F (t )   F eit  F (t )      it  F2 (t ) F2e   x1 (t )   X 1eit    it   x2 (t )  X 2e  Đạo hàm vào phương trình vi phân: ( M  iC  K ) Xeit  Feit  k11  m11  ic11 k12  m12  ic12   X   F1        2 k21  m21  ic21 k22  m22  ic22   X   F2  X1  D1 D ;X2  D D D định thức hệ số: D  det(K   M  iC ) Di bỏ cột thứ i thay F  X1 X2 số phức dạng (a + ib) Biểu diễn biên độ sang dạng lũy thừa X  Ae i Trong A  Re( X )  Im( X ) Pha tg  Im( X ) Re( X ) Vậy phương trình chuyển động: x(t )  Ae (it  )  F1 (t )   F1 cos t   F1 (t )   F1 sin t      hay F (t )   F F ( ( t t ) ) F sin  t 2    F2 cos t      Khi vế phải có dạng F (t )   Biểu thức nghiệm x(t )  Xeit Kết cuối lấy Im(x) hay Re(x)