Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập Cơ học Lý Thuyết Đại học Thủy Lợi Chương 1: Những khái niệm cơ bản Hệ tiên đề tĩnh học Chương 2: Các bài toán cơ bản của tĩnh học Chương 3: Một số bài toán đặc biệt của tĩnh học (Bài toán đòn phẳng, bài toán vật lật, bài toán hệ vật, bài toán ma ...) Động học:...
3 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn “ Bài tập lý thuyết ” in lần kết nhiều lần rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy Bộ môn học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua So với hai tập giáo trình xuất năm 1976, chúng tơi chọn lọc sửa chữa rút bớt lại số lượng bài, kết cấu lại chương mục cho phù hợp với đề cương môn học sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục đáp ứng yêu cầu đào tạo ngành nghề Trường Đại học Thủy lợi Giáo trình dùng cho sinh viên quy hệ năm trường Đại học Thủy lợi, ngành cơng trình ngành máy(chương trình A) Tuy nhiên sinh viên học theo chương trình B sinh viên hệ chức, sử dụng giiaos trình có hướng dẫn giáo viên thuận lợi Ngồi giáo trình cịn làm tài liệu ôn tập cho học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành học Chúng tơi mong có góp ý thầy giáo cô giáo người sử dụng nội dung hình thức để giúp chúng tơi hồn thiện giáo trình Hà Nội, tháng 10-2003 Tập thể môn Cơ học lý thuyết GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Dỗn Điền PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ PGS.TS.Nguyễn Bá Cự PGS.TS.Lê Đình Don TS.Nguyễn Đình Thơng TS.Nguyễn Thị Thanh Bình PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học phần Cơ học lý thuyết, nghiên cứu điều kiện cân vật rắn tác dụng lực Vật rắn trạng thái cân hiểu theo nghĩa tĩnh học vật rắn đứng yên Với qui ước từ đầu vật rắn đứng yên, ta đồng khái niệm cân vật rắn với khái niệm cân hệ lực tác dụng lên Do để nghiên cứu điều kiện cân vật rắn tác dụng hệ lực, ta cần nghiên cứu điều kiện cân hệ lực tác dụng lên đủ Nội dung chủ yếu tốn tĩnh học tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân Cơ sở lý luận phần tĩnh học hệ tiên đề tĩnh học HỆ TIÊN ĐỀ: Tiên đề 1: ( Tiên đề cân bằng) F F Điều kiện cần đủ để hệ hai lực tác dụng lên vật rắn cân chúng có giá, cường độ ngược chiều r r r r r F1 , F2 ⇔ F1 = − F2 giá ( ) Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân ) Tác dụng hệ lực lên vật rắn không thay đổi ta thêm vào hay bớt hệ lực cân r r r r r r r r r (F1 , F2 , , Fn ; P1 , P2 , , Pm ) F1 , F2 , , Fn ( Trong đó: ) (P , P , , P ) r r r m r Tiên đề 3: ( Tiên đề hợp lực ) F2 Hệ hai lực đặt điểm có hợp lực đặt điểm chung ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực véc tơ đường chéo hình bình hành mà hai cạnh hai vectơ biểu diễn hai lực cho r ur ur ur r r F1 , F2 R ; R = F1 + F ( ) Tiên đề 4: (Tiên đề lực tác dụng phản tác dụng) Lực tác dụng phản tác dụng hai vật hai lực có giá, cường độ ngược chiều F F1 Chú ý: Khác với tiên đề 1, tiên đề 4, lực tác dụng phản tác dụng hai lực cân Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn ) Khi vật biến dạng cân bằng, hố rắn lại, cân HỆ QUẢ: Những hệ phát biểu trực tiếp rút từ hệ tiên đề tĩnh học nêu trên: Hệ 1: ( Định lý trượt lực) Tác dụng lực lên vật rắn không thay đổi, ta trượt lực dọc theo giá Do lực tác dụng lên vật rắn biểu diễn véc tơ trượt Hệ 2: Nếu hệ lực cân lực thuộc hệ lấy theo chiều ngược lại, hợp lực hệ lực cịn lại Hệ 3: Có thể phân tích lực thành lực theo qui tắc hình bình hành lực Hệ 4: Vật rắn chịu tác dụng lực khác không, không trạng thái cân Hệ 5: (Định lý lực cân ) Nếu ba lực không song song, nằm mặt phẳng mà cân giá chúng đồng quy điểm Liên kết phản lực liên kết Nắm vững loại liên kết phản lực liên kết yếu tố quan trọng để giải toán tĩnh học • Liên kết tựa: NC NB NA A N C B N • Liên kết khơng trọng lượng: SC SA SB A • Liên kết ngàm: C B RA XA YA MA A MA • Liên kết dây mềm, thẳng, khơngdãn: A T B TA TB • Liên kết lề: Bản lề trụ: + Z X Y y x y Y X x + X Bản lề cầu Z Z Y Y X + Bản lề cối X Z Z Z Z R Z Y Y y y X X x x x y Nguyên lý giải phóng liên kết Vật khơng tự coi tự thay liên kết phản lực liên kết tương ứng B B K D C P O ND K C D T A Vật không tự NA A P Vật tự Để lập hệ phương trình cân cho loại hệ lực, phải nắm vững cách chiếu véc tơ lực lên trục toạ độ cách lấy mômen lực đối F với tâm trục α X Chiếu lực: Lực trục nằm mặt phẳng: X= F.cosα Lực trục không nằm mặt phẳng: z F X= Fxy.cosϕ= F.cosθcosϕ Y= Fxy.sinϕ= F.cosθ.sinϕ O Z= F.sinθ r r r r F = X i + Y j + Z k x y θ ϕ F xy Mômen lực: + Mômen lực tâm: r r r r m0 ( F ) = r ∧ F r r r i j k r r m0 F = x y z X Y Z z ( ) F h r m0 ( F ) = F h r r r r m0 ( F ) = giá lực F qua tâm lấy mômen + B Mô men lực lấy trục: O x r A y B' d F xy A' r mz ( F ) = ± d Fxy r Ta có mz ( F ) = lực trục lấy mômen nằm mặt phẳng nghĩa r r giá lực F cắt trục z, giá lực F song song với trục z CHƯƠNG II HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC I Bài toán thu gọn hệ lực r r r ( F , F , , F ) n r r ∼ ( R0 , M ) r ⎛ n ⎞r ⎛ n ⎞r ⎛ n ⎞r R0 = ⎜ ∑ X K ⎟ i + ⎜ ∑ YK ⎟ j + ⎜ ∑ Z K ⎟ k ⎝ K =1 ⎠ ⎝ K =1 ⎠ ⎝ K =1 ⎠ r r ⎤r ⎡ n r ⎤r ⎡ n r ⎤r ⎡n M = ⎢ ∑ m0 x ( FK ) ⎥ i + ⎢ ∑ m0 y ( FK ) ⎥ j + ⎢ ∑ m0 z ( FK ) ⎥ k ⎣ K =1 ⎦ ⎣ K =1 ⎦ ⎣ K =1 ⎦ Các trường hợp gặp thu gọn hệ lực khơng gian tâm tóm tắt bảng r r R0 M r r R0 M ≠ ≠ r R r r R0 M > r r R0 M < r M 0= = = r R r M0≠0 r M 0≠ r M0=0 Hệ lực thu Hệ lực thu xoắn xoắn thuận nghịch Hệ lực Hệ lực thu Hệ lực thu Hệ thu về hợp lực ngẫu có lực r hợp lực có fgiá mơmen M cân có giá khơng khơng phụ qua tâm qua tâm thuộc tâm Thí dụ r r r r r r Theo cạnh lăng trụ tác dụng lực F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 có chiều hình vẽ Biết Z F1 C F2 K RK F1 = F6 = 10N, F2 = F4 = 5N , F3 = F5 = N, R0 F5 OA =2.OB = 10m , α= 45 x Thu gọn hệ lực dạng tối giản Bài giải 10 F4 A MO α Hình F3 F6 y B ∑X K =1 K ∑Y K K =1 ∑Z K =1 K = F1 + F6 = 20N = ( F5 − F3 ) = = F4 − F2 + ( F3 − F5 ) r r r r R0 = 20.i + j + 0.k =0 ⇒ R0 = 20N r ( F =0 0x K ) = ( F3 − F5 ) B ∑m K =1 r ( A − F4 A = ( F1 + F5 − F4 )0 B = 50 Nm m F ∑ K ) = F1 0C + F5 0y K =1 r ( A − F6 B = ( F5 − F6 ).0 B = m F ∑ 0z K ) = F5 K =1 r r r r M = 0.i + 50 j + 0.k ⇒ M0 = 50Nm r r r r r r Vậy, thu gọn hệ lực ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) gốc toạ độ 0, ta véc tơ uur r R0 có chiều trùng với chiềucủa trục 0x có trị số 20N, mơmen M có chiều trùng với chiều trục 0y có trị số 50Nm r r r r R0 ≠ , M ≠ , R0 M = suy hệ lực cho thu hợp lực Hợp lực có trị số phương chiều trùng với trị số phương chiều véc tơ r M 50 = 2,5m R0 Ta cần tìm điểm đặt hợp lực: K = = R0 20 r r r r r r r Điểm K điểm đặt hợp lực: ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) ∼ R K Điểm K phải nằm phía chiều dương trục 0z, cách gốc toạ độ đoạn r 2,5m phù hợp với trị số phương chiều véc tơ R0 mơmen r M0 Thí dụ r r r Hệ ba lực ( F1 , F2 , F3 ) đặt điểm A, B, C F2 có chiều hình vẽ Biết 0A=0B=0C = a a Tìm điều kiện để hệ lực thu ngẫu lực b Tìm điều kiện để hệ lực thu lực 11 z B O xC F1 y A F3 Bài giải Hình r r Trước hết ta cần tìm véc tơ R0 mơmen M thu gọn hệ lực gốc toạ độ ⎧3 ⎪∑ X K = ( F2 − F3 ) ⎪ K =1 ⎪⎪ ⎨ ∑ YK = ( F3 − F1 ) ⎪ K =1 ⎪ ⎪ ∑ Z K = ( F1 − F2 ) ⎪⎩ K =1 2 2 r r r r ⎡( F2 − F3 )i + ( F3 − F1 ) j + ( F1 − F2 )k ⎤ suy R0 = ⎦ ⎣ 2 Mômen lực lấy trục không giá lực cắt trục nên ta r r r dễ dàng tìm thấy tổng mômen lực F1 , F2 , F3 trục tọa độ 0xyz r ⎧ ⎪ ∑ m0 x ( FK ) = F1.a ⎪ K =1 r ⎪⎪ r r r r a suy M0 = F1.i + F2 j + F3 k ≠ ⎨∑ m0 y ( FK ) = F2 a 2 ⎪ K =1 ⎪ r ⎪ ∑ m0 z ( FK ) = F3 a ⎪⎩ K =1 r r r R0 M = ; M ≠ r r r Kết luôn hệ lực cho ( F1 , F2 , F3 ) ( a Điều kiện để hệ lực thu ngẫu lực: Để hệ lực thu ngẫu lực cần thêm điều kiện : r R0 = suy F1 = F2 = F3 r Ngẫu lực có véc tơ mơmen M b Điều kiện để hệ lực thu lực: Để hệ lực cho thu lực cần thêm điều kiện: ⎧− F1 ≠ F2 ≠ F3 ; r ⎪ R0 ≠ ⇒ ⎨− F2 ≠ F3 ≠ F1 ; ⎪−F ≠ F ≠ F ⎩ 12 ) Tâm gia tốc tức thời CW nằm đường thẳng qua O qua A, cách A đoạn 4r 96 Thanh OA = r = 0,5m quay quanh O với vận tốc góc ω0 = 4s -1 truyền chuyển động cho then truyền AB = 2r làm cho tay quay BC = r chuyển động Xác định gia tốc điểm B vận tốc góc, gia tốc góc ω A tay quay BC thời điểm ∠ (OAB) = 900; O ∠ (ABC ) = 45 C 45 Trả lời: W = 12,65cm/s ; B o B ωBC = 4s-1; εBC=- 8s-2 r r WBAq VBA ngược chiều Hình 96 97 Tâm bánh xe lăn không trượt mặt phẳng nghiêng chuyển động theo phương trình: S = at2 + b ( a, b số ) Xác định gia tốc điểm tiếp xúc bánh xe với mặt phẳng nghiêng bán kính bánh xe R Trả lời: WC = a 2t R B O D O O M C C Hình 97 Hình 98 W V C M Hình 99 98 Một bánh xe bán kính R = 0,5m lăn không trượt theo đường ray thẳng Ở thời điểm khảo sát tâm O có vận tốc V0 = 0,5 m/s gia tốc giảm dần W0 = 0,5 m/s2 Xác định: a) Tâm gia tốc tức thời CW b) Gia tốc tâm vận tốc tức thời C c) Gia tốc điểm M với OM = MC ( M nằm OC) d) Bán kính cong quĩ đạo M Trả lời: a) OCW = 0,3536m ; α = 450; r b) WC = 0,5m/s2 ; W C có chiều từ C đến O c) WM = 0,3536m/s2 d)ρ = 0,25m 109 99 Một lăn bán kính R lăn khơng trượt mặt phẳng ngang nhờ sợi dây buộc vào tải trọng M Tại thời điểm khảo sát, sợi dây có vận tốc V gia tốc W Tìm gia tốc hai điểm mút đường kính thẳng đứng thời điểm gia tốc điểm D lăn trùng với dây Trả lời: WC = WB = RV (R − r) ; R 4W ( R − r ) + V (R − r) WD = W + r 2V ( R − r )4 100 Xác định vận tốc, gia tốc ( pháp tuyến tiếp tuyến điểm B cấu dẫn hình vẽ thời điểm tay quay OA O1B có phương thẳng đứng Tay quay OA quay với gia tốc góc khơng đổi ε0 = 5s-2 vận tốc góc ω0 = 10s-1 Biết OA = 20cm; O1B = 100cm; AB = 120cm Trả lời: A O ε0 ω0 VB = 200cm/s ; C B O1 Hình100 WBn = 400cm; WBτ = 370,45 cm/s2 101 Xác định gia tốc điểm B gia tốc góc then truyền AB thời điểm ∠ (BOA) = π Con chạy B vẽ nên vịng trịn bán kính R = 30cm thời điểm xét nằm đường nằm ngang OB Tay quay OA = 20cm quay với vận tốc góc ω0 = π s-1 gia tốc góc ε0 = 0,2π s-2 Biết AB = 40cm Trả lời: A O ε0 ω0 B R Hình101 WB = 132,1 cm/s2; εAB = 0,192π2 s 102 Bánh xe II bán kính r2 = 0,2m lăn không trượt bánh xe cố định r1 = 0,3m truyền chuyển động nhờ tay quay OA thời điểm khảo sát tay quay có vận tốc góc ω = 1s-1 gia tốc góc ε = - 4s-2 Xác định gia tốc điểm D vành bánh động với bán kính AD vng góc với OA Trả lời: WD = 3,58 m/s2 110 D A ω O II B B O O 90 O I 30 R A Hình 102 O A 60 O ω0 WO=g O1 Hình 103 Hình 104 103 Trong cấu then truyền tay quay với đường dẫn cong Tay quay OA quay với vận tốc góc ω0 gia tốc góc ε0 Xác định gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến chạy B thời điểm OAB = 900, O1BA = 300 O1 tâm cong đường dẫn Biết OA = a ; AB = 2a ; O1B = 2a Trả lời: WBτ = a (ω02 − 2ε ) ; WBn = 2aω02 104 Một đồng chất AB dài 39,24cm ném ngang phía ngồi chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Trọng tâm O vạch nên parabol có gia tốc khơng đổi W0 = g = 9,81m/s2 hướng xuống theo phương thẳng đứng Thanh quay mặt phẳng thẳng đứng với vận tốc góc khơng đổi ω0 = 10 s-1 Xác định gia tốc hai đầu mút A B lập với phương thẳng đứng góc 600 xác định tâm gia tốc tức thời thời điểm Trả lời: WA = 17m/s2 ; WB = 25,96m/s2; OCW = 0,0981m 111 CHƯƠNG IV: CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM I Thành lập phương trình chuyển động tuyệt đối tương đối chất điểm 105 Thí dụ Một máy trục quay quanh trục thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ qua tâm O với vận tốc góc ω=const Cánh tay máy trục trùng với chiều trục Ox1 Một xe nhỏ tải vật chuyển động theo cánh tay máy trục thoả mãn phương trình: y1 y x1 = acosωt; y1 = Xác định phương trình chuyển động tuyệt x1 đối xe nhỏ quĩ đạo y Bài giải O ϕ x x * Phân tích chuyển động: chọn Oxy làm hệ trục cố định, ta có: Chuyển động xe nhỏ M dọc theo trục Ox1 so với hệ trục Ox1y1 chuyển động tương đối Hình 105 ⎯ Chuyển động máy trục ( bao gồm cánh tay máy trục) hệ Oxy chuyển động theo ⎯ Chuyển động xe nhỏ M hệ trục Oxy chuyển động tuyệt đối Thành lập phương trình chuyển động tuyệt đối Trên sở phân tích chuyển động ta có: ⎯ x= x1cosϕ - y1sinϕ y= x1sinϕ + y1cosϕ Thay x1 = acosωt; y1 = ϕ = ωt vào ta nhận phương trình chuyển động tuyệt đối xe nhỏ sau: x = acos2ωt (1) y= acosωt sinωt = a sin2ωt (2) * Tìm quĩ đạo xe nhỏ M: Từ (1) suy ra: cos2ωt = x Thay vào (2) ta có: a y = a.cosωt.sinωt= acosωt − cos ωt = a x⎛ x⎞ ax − x − = a = x( a − x) ⎜ ⎟ a2 a⎝ a⎠ Vậy phương trình quĩ đạo tuyệt đối M là: 112 y= x(a − x) hay x2 + y2 = ax 106 Thí dụ Bộ phận tăng tốc độ máy bào xây dựng từ trục song song O O1 với tay quay OA culít O1B Tìm phương trình chuyển động tương đối chạy rãnh culít, biết OA = r quay với vận tốc góc ω = const OO1 = a Bài giải Phân tích chuyển động: chọn trục O1x1 gắn vào culít O1B, trục OO1 coi cố định Chuyển động chạy A dọc theo rãnh O1B ( dọc theo O1x1) chuyển động tương đối ⎯ Chuyển động culít O1B quay quanh trục cố định qua O1 thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ chuyển động theo ⎯ Chuyển động chạy A trục cố định O O1 chuyển động tuyệt ⎯ đối Tìm phương trình chuyển động tương đối chạy A: Để tìm phương trình chuyển động tương đối chạy A so với culít OB ta phải xác định O1A= x1 góc ϕ1 lập O1B OO1 hàm thời gian t Muốn ta xét tam giác OAO1 với cạnh: r, a, x1 B Theo hệ thức lượng tam giác thường ta có: O1A2 = O1O2 + OA2 – 2OO1.OA.cosO1OA hay H ω0 ϕ r O ϕ1 x12 = a2 + r2 +2arcosϕ Xét tam giác vuông 01AH ta lại có: tgϕ = AH r sin ϕ = 01 H a + r cos ϕ Thay ϕ = ωt vào hai đẳng thức trên, ta có phương trình chuyển động tương đối chạy A so cới culít O1B: A X1 O1 Hình 106 x12 = a + r + 2ar cos ωt tgϕ1 = r sin ωt a + r cos ωt 107 Thanh OA = l quay quanh trục O mặt phẳng hình vẽ theo luật ϕ = bt Một chất điểm M chuyển động dọc theo với luật OM = at Tìm phương trình quĩ đạo chuyển động tuyệt đối M ⎛ y⎞ a2 2 2⎜ ⎟ Trả lời: x + y = arctg ⎝ x ⎠ b 113 y1 y1 M O x A ϕ x1 O ϕ y r r M O x Hình 107 y1 A x Hình 108 M B ϕ O1 x1 a Hình 109 108 Lưỡi dao chuyển động tịnh tiến thẳng qua lại, đầu mút M chuyển động trục cố định Ox theo luật x = OM = asinωt Lập phương trình chuyển động phương trình quĩ đạo tương đối M đĩa quay quanh trục O với vận tốc góc ω ? Trả lời: a x1 = sin2ωt ; y1 = -asin2ωt ; a a2 x + (y1+ ) = 109 Tay quay OA = r quay mặt phẳng hình vẽ quanh điểm cố định O thoả mãn phương trình: ϕ = ωt Thanh truyền AB = r Con chạy B chuyển động dọc theo Ox Người ta gắn ống với chạy chuyển động tịnh tiến với chạy B, xem vật rắn tuyệt đối Một điểm chuyển động ống cho O1M = r sinωt, với O1B = a Cho chuyển động điểm M ống tương đối Xác định phương trình chuyển động tương đối tuyệt đối điểm M quĩ đạo tuyệt đối ? Trả lời: - Phương trình chuển động tương đối điểm M là: x1 = ; y1 = rsinωt - Phương trình chuyển động tuyệt đối điểm M là: x = a+2rcosωt ; y = rsinωt - Phương trình quĩ đạo tuyệt đối điểm M là: ( x − a) ( ar ) + y2 =1 r2 110 Đầu mút lắc kép vạch nên đường Litxagvơ nhờ tổng hợp hai dao động điều hồ liên hợp vng góc có dạng: x = asin2ωt y = asinωt Tìm phương trình quĩ đạo ? Trả lời: a2x2 = 4y2(a2-y2) 114 II Tính vận tốc chất điểm 111 Thí dụ Va A x M r Chất điểm M chuyển động dọc theo OA với vận tốc u , đồng thời OA lại chuyển động quay mặt phẳng xOy xung quanh tâm O với vận tốc góc ω Xác định vận tốc tuyệt đối chất điểm M y Ve 1 M ω O M u x Hình 111 Bài giải Phân tích chuyển động: chọn hệ trục Oxy cố định hệ trục Ox1y1 gắn chặt vào OA Chuyển động M dọc theo OA ( giả thiết từ O đến A ) chuyển động tương r đối, vận tốc u có hướng hình vẽ ⎯ Chuyển động quay OA quanh trục qua O thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ chuyển động theo Vận tốc theo điểm M vận tốc điểm M gắn chặt vào OA r thời điểm khảo sát trùng với điểm M, Ve hướng thẳng góc với OA theo chiều quay vận ⎯ tốc góc ⎯ r Chuyển động M so với hệ trục Oxy chuyển động tuyệt đối Vận tốc Va tổng hình học hai vận tốc nói rM Tính Va : r r r r r Theo định lý hợp vận tốc : VaM = VeM + VrM = VeM + u Ta có: VeM = ω.OM = ω.r VrM = u r r Vì VeM ⊥ VrM nên : VaM = (V ) + (V ) M e M r = ω r + u VrC VaC C 112 Thí dụ B Ve B VeC Chèn A chuyển động tịnh tiến với vận tốc V = 3m/s, tải Vr Va V=Ve trọng B chuyển động dọc theo biên chèn A Cho OB = s 60 thay đổi theo luật: s = t2 Tìm vận tốc tuyệt đối tải trọng B C nối với nhờ dây không dãn thời điểm t=2s ? Hình 112 Bài giải B B O Phân tích chuyển động: Hệ trục cố định gắn chặt vào mặt đất, hệ trục động gắn chặt với chèn Chuyển động B C biên chèn chuyển động tương đối, vận tốc tương đối Vr = 2t ⎯ 115 Chuyển động chèn tịnh tiến mặt đất chuyển động theo Vận tốc theo Ve = 3m/s ⎯ Chuyển động B C mặt đất chuyển động tuyệt đối, vận tốc tuyệt r r đối VaB , VaC r B rC Tính vận tốc Va , Va : r r r r r r Theo định lý hợp vận tốc ta có: VaB = VeB + VrB ; VaC = VeC + VrC ⎯ rB (V ) Theo hình vẽ, t= 2s ta có: a 2 = VeB + VrB − 2VeB VrB cos 600 = 13 VaB ≈ 3,62 m/s Vậy : r r Tương tự, VeC ⊥ VrC nên : VaC = (V ) C e + (VrC ) = 32 + 42 = 5m/s 113 Để xác định vận tốc máy bay gió, người ta vạch đoạn thẳng độ dài l xi theo chiều gió Ban đầu máy bay bay theo đoạn thẳng xi theo chiều gió t1 giây sau bay ngược lại t2 giây Hãy xác định vận tốc riêng V1 máy bay vận tốc V2 gió ? Trả lời: V1 = l ⎛1 1⎞ ⎜ + ⎟ m/s ⎝ t1 t2 ⎠ V2 = l ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ m/s ⎝ t1 t2 ⎠ 114 Mưa rơi theo phương thẳng đứng, hành khách ngồi ô tô thấy hạt mưa rơi theo phương hợp với phương thẳng đứng góc 400 Biết tơ chuyển động theo đường nằm ngang với vận tốc 72 km/h Tìm vận tốc hạt mưa rơi tự ? Trả lời: y V = 23,8m/s r A A O ϕ K α M r V α ω B ω R x l Hình 115 Hình 116 Hình 117 115 Trong cấu culít tay quay OC đu đưa quanh trục O thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ Con chạy A di chuyển dọc theo tay quay OC truyền chuyển động cho 116 AB làm cho chuyển động dọc theo rãnh thẳng đứng K Cho OK = l, tìm vận tốc chạy A tay quay OC hàm số vận tốc góc ω góc quay ϕ tay quay ? Trả lời: Vr4 = ωltgϕ cos ϕ 116 Những cầu máy tiết chế ly tâm quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω = 10s-1 Nhờ thay đổi tải trọng máy, cầu khỏi trục quay, cầu vị trí cho có vận tốc góc ω = 1,2s-1 Tìm vận tốc tuyệt đối cầu thời điểm xét Biết l = 50cm, khoảng cách trục theo 2r=10cm α =300 Trả lời: VaA = 306 cm/s 117 Trong tuốc bin thủy lực, nước từ phận dẫn chảy vào bánh xe quay có cánh bố trí uur cho vận tốc tương đối Vr tiếp tuyến với chúng để tránh va chạm Hãy tìm vận tốc tương đối hạt nước vành bánh xe ( thời điểm vào) vận tốc tuyệt đối vào V = 15m/s, góc vận tốc tuyệt đối bán kính α = 600, bán kính bánh xe R = m, tương ứng với vận tốc góc bánh xe n = 30v/p r Trả lời: Vr = 10,06m/s ; ( Vr , R) = 41050’ K V1 A C r V2 O E B Hình 118 ωt b O ω M h C y α C a B B Hình 119 Hình 120 118 Một bán trụ rỗng bán kính r = 10cm, chuyển động tịnh tiến mặt phẳng ngang cố định với vận tốc V1 = 30cm/s Thanh CD tựa mặt bán trụ chuyển động theo rãnh K thẳng đứng Tìm vận tốc điểm C bán trụ tìm khoảng cách CE từ C đến đường kính AB vận tốc V2 = 40cm/s Trả lời: Vr = 50cm/s ; CE = 6cm 119 Điểm M chuyển động mặt phẳng nghiêng AB với vận tốc tương đối Vr= 2gy (g số) Tại thời điểm ban đầu, M vị trí A Mặt phẳng nghiêng di chuyển theo ngang phía bên phải với vận tốc Ve số Xác định quĩ đạo tuyệt đối M vận tốc tuyệt đối thời điểm M chuyển động tới Cho AC = h mặt nghiêng có góc nghiêng α Trả lời: Va2 = Ve2 + gh + 2Ve gh cos α 117 2Ve2 y (xsinα- ycosα) = g 120 Cho cấu chuyển động mặt phẳng hình vẽ, tay quay OC dài b quay quanh trục cố định qua O theo luật ϕ = ωt (ω = const), truyền chuyển động cho BD quay quanh trục cố định qua B nhờ chạy C dọc theo BD Xác định vận tốc tuyệt đối, kéo theo tương đối chạy C thời điểm t = Trả lời: π , biết OB = a 2ω Va = ω.b; Ve = ω Vr = ω b2 a + b2 ab a + b2 ; III Tính gia tốc chất điểm 121 Thí dụ Một đĩa trịn bán kính R quay quanh trục z vng góc với mặt phẳng đĩa qua tâm O với qui luật ϕ = π.t Dọc theo vành đĩa chạy xuất phát từ điểm A chuyển động theo luật S = π.t Giả sử chuyển động ngược chiều kim đồng hồ Xác định gia tốc tuyệt đối chạy thời điểm t ? Z Vr ωe Wc n We O M r We A Bài giải Phân tích chuyển động: Hình 121 Chuyển động chạy theo vành đĩa chuyển động tương phương trình S = π.t Vr = S& = π ⎯ Chuyển động quay đĩa tròn quanh trục z chuyển động kéo theo với luật ϕ= π.t ωe = ϕ& = π ; ε e = ⎯ ⎯ Chuyển động chạy so với hệ trục cố định Oxyz chuyển động tuyệt đối r Xác định gia tốc tuyệt đối Wa chạy thời điểm t Giả sử chạy vị trí M (hình vẽ), theo định lý hợp gia tốc ta có: r r r r Wa = We + Wr + Wc (1) r Để tính Wa ta tính thành phần vế phải hệ thức (1) 118 ⎯ r Tính gia tốc kéo theo We : Vì chuyển động theo đĩa quay quanh trục cố định z nên gia tốc có hai thành phần: r r r We = Weτ + Wen (2) Weτ = ε e 0M = r r Wen = ωe2 0M = π2R ; Wen có hướng từ M đến O ⎯ r Tính gia tốc tương đối Wr Vì chạy chuyển động theo vành đĩa trịn, nên gia tốc tương đối có hai thành r r r Wr = Wrτ + Wrn (3) phần: Wrτ = ⎯ dVr = (Vì Vr = π = const ) dt r n Vr2 π r ; Wrn có hướng từ M đến Wr = R R r r r r Tính gia tốc Cơriolít Wc : Ta có Wc = 2ωe ∧ Vr (4) Vì đĩa trịn quay ngược chiều kim đồng hồ chạy chuyển động ngược chiều kim r đồng hồ ( hình vẽ) nên Wc có hướng từ M đến O r Wc = 2ωe Vr sin 900 = 2π r Thay kết (2), (3), (4) vào (1) ta suy gia tốc tuyệt đối chạy Wa hướng từ M đến O có độ lớn là: Wa = π R + π2 R + 2π = π2 R ( R + 1) 122 Một chèn tam giác chuyển động theo phương ngang, cạnh huyền hợp với phương ngang góc α Xác định gia tốc tuyệt đối tựa chèn trượt tự theo rãnh thẳng đứng Nếu chèn chuyển động với gia tốc W0 = const Trả lời: W = W0 tgα O O α B C A Wo α Hình 122 30o B A K Hình 123 119 Hình 124 123 Một cấu truyền chuyển động, tay quay culít máy búa có culít BC chuyển động theo rãnh K, chạy A gắn vào đầu tay quay OA = 40cm, quay n = 120v/p Khi t = 0, culít vị trí thấp Xác định gia tốc culít Trả lời: W = 6320 cos4πt 124 Trên xe chuyển động phía phải theo đường nằm ngang với gia tốc W = 49,2 cm/s2 đặt môtơ điện mà rơto phát động, quay theo phương trình ϕ = t2 (ϕ tính radian) bán kính rơto 20cm Xác định vận tốc tuyệt đối điểm A dẫn hìnhvẽ thời điểm t = 1s ? r Trả lời: Wa = 74,6cm/s2 ; W a hướng thẳng đứng lên 125 Trên trục quay động điện gắn chặt OA dài l quay theo phương trình ϕ = ωt (ω = const) Động điện không gắn chặt với thực dao động điều hồ theo phương trình x = a sinωt Hãy xác định gia tốc tuyệt đối điểm A thời điểm t= π s 2ω 2 WA = ω2 a + l Trả lời: A l ϕ a C B M O A O D Hình 125 ω a Hình 126 A O1 ϕ S M B ω O2 Hình 127 126 Một hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh CD thẳng đứng với vận tốc góc ω= π s-1 số Điểm M chuyển động từ O dọc theo AB theo luật S =asin Biết OA = CB = a Xác định gia tốc tuyệt đối điểm M thời điểm t= 1s ? Trả lời: Wa = π2 π t a cm/s2 127 Tay quay O1A = 0,5m hình bình hành nối lề O1ABO2 quay quanh trục cố định O1 với vận tốc góc ω1 = 2t s-1 Dọc theo cạnh AB hình bình hành có chạy M chuyển động theo luật AM = s = 5t2 (s tính mét, t tính giây) Xác định gia tốc tuyệt đối chạy M thời điểm t = 2s, ϕ= 300? Trả lời: Wa = 6,05m/s2 128 Một hình vng ABCD có cạnh 2a quay quanh cạnh AB với vận tốc góc khơng đổi ω = π s-1 Một chất điểm thực dao động điều hoà dọc theo đường 120 chéo AC theo luật OM = s = acos π t (cm) Xác định gia tốc tuyệt đối M thời điểm t = 1s t = 2s? Wa1 = aπ2 cm/s2; Wa2 = 0,44 π2a cm/s2 Trả lời: B ω C M O S η O ξ Mo M α M A D x O A Vr Hình 128 Hình 129 Hình 130 129 Điểm M chuyển động hình nón trịn xoay có trục OA từ đỉnh dọc theo đường sinh đến đáy với vận tốc tương đối Vr , góc ∠ (A0M) = α Tại thời điểm t = khoảng cách OM0 = a Nón quay quanh trục với vận tốc góc khơng đổi ω Tìm gia tốc tuyệt đối điểm M Trả lời: Gia tốc nằm mặt phẳng thẳng góc với trục quay, lập từ tam giác với cạnh Wcn = ω2(a+Vrt)sinα Wk = 2Vrωsinα 130 Một đĩa quay biến đổi với gia tốc góc ε = 1s-2 theo chiều kim đồng hồ quanh trục vng góc với mặt phẳng Khi t = 0, vận tốc góc ω0 = Một điểm M dao động theo đường kính đĩa cho ξ = sinπt (cm) , t tính giây Xác định chiếu gia tốc tuyệt đối M trục ξ, η gắn với đĩa t = giây ? W0ξ = 10,95 cm/s2 ; Waη = - 4,37 cm/s2 Trả lời: O R ϕ M Hình 131 M A O1 60O O Y O M O2 Hình 132 O1 M1 Hình 133 131 Một ống hình khuyên bán kính r = 1m quay quanh trục O nằm ngang theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc khơng đổi ω = 1s-1 Trong ống gần điểm A, có cầu dao động theo luật ϕ = sinπt Xác định gia tốc tuyệt đối cầu theo hai thành phần tiếp tuyến pháp tuyến thời điểm t = s Trả lời: Waτ = −4,93 m/s2 ; Wan = 13,84 m/s2 121 132 Một đĩa quay quanh trục O1OO2 đường kính đĩa với vận tốc góc ω = 2t s-1 Một điểm M chuyển động từ tâm đĩa theo bán kính đĩa tới vành đĩa theo luật S=OM = 4t2 (cm) Bán kính OM làm với OO2 góc 600 Xác định giá trị gia tốc tuyệt đối điểm M thời điểm t = 1s ? Trả lời: Wa = 35,56 cm/s2 133 Một vịng trịn bán kính R =12 π (cm) quay theo qui luật ϕ = π + 0,5t quanh trục nằm ngang O Một xe M trượt theo vòng tròn thoả mãn MO = S = 6t2 Xác định gia tốc tuyệt đối xe M thời điểm vị trí M1 mà O1M1 vng góc với OO1 Trả lời: Wax = 12cm/s2 ; Way = 66cm/s2 M 1KM M g R O W0 M 3V0 M Hình 134 135 Hình 134 Dịng sơng rộng 1km chẩy từ Nam lên Bắc với vận tốc km/h Xác định gia tốc r Criơlít ( WC ) nước đoạn sông 600 vĩ độ Bắc Mực nước bờ bên cao cao biết mặt nước vng góc với vectơ tổng hợp hai r vectơ: Gia tốc trọng trường ( g ) vectơ ngược chiều với gia tốc Criơlít Trả lời: WC = 0,0175 cm/s2 ; r WC hướng Tây Mực nước bờ Đông cao bờ Tây 1,782cm 135 Hãy tìm vận tốc gia tốc điểm M1, M2, M3, M4 thuộc dây xích máy kéo, chuyển động khơng trượt theo đường thẳng với vận tốc V0 gia tốc W0, bán kính bánh xe máy kéo B Vr R, bỏ qua trượt xích hai bánh xe C A Trả lời: V1 = V2 = V0 ; V2 = 2V0 ; V4 = ξ O 2 ⎛ ⎞ V W1= W02 ⎜ W0 + ⎟ ; W2 = W0 ; R ⎠ ⎝ W3 = ⎛ V02 ⎞ W ⎜ W0 − ⎟ ; W4 = R ⎠ ⎝ Hình 136 136 Máy nén khí với rãnh thẳng quay với vận tốc góc ω xung quanh trục O vng r góc với mặt phẳng hình vẽ Khơng khí chạy theo rãnh với vận tốc tương đối Vr = const 122 Hãy tìm chiếu vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối lên trục toạ độ hạt khí nằm điểm C rãnh AB Cho trước: rãnh AB nghiêng với bán kính 0C góc 450 ; OC = 0,5m ; ω= 4πs-1; Vr = 2m/s Trả lời: Vξ = 7,7 m/s ; Vη = 1,404 m/s ; Wξ= 25754 m/s2 ; Wη= - 414 m/s2 137 Hãy giải toán với trường hợp rãnh cong, bán kính cong rãnh C P, cịn góc pháp tuyến đường cong AB điểm C bán kính OC ϕ Cho bán kính OC = r Trả lời: I P C A ϕ B O Vξ = Vrcosϕ + r ω ; Vη= Vrsinϕ ; Hình 137 ⎛ V2 ⎞ Wξ= ⎜ 2Vrω − r ⎟ sinϕ ; ρ ⎠ ⎝ ⎡ ⎤ ⎛ V2 ⎞ Wη=- ⎢ rω + ⎜ 2Vrω − r ⎟ cos φ ⎥ ρ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ 123 Vr ξ