luận văn thạc sĩ về phương pháp lồi lôgarit và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LƠGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Ứng Dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Bùi Việt Hƣơng THÁI NGUYÊN - 2019 download by : skknchat@gmail.com Mưc lưc Mð ¦u 1 KIN THÙC CHUN BÀ 1.1 Têp lỗi Hm lỗi 1.1.1 Tªp lỗi 1.1.2 Hm lỗi 1.2 Mởt số kián thực cỡ s vÃ phữỡng trẳnh Ôo h m ri¶ng 1.2.1 PhƠn loÔi phữỡng trẳnh tuyán tẵnh cĐp hai 1.2.2 M°t °c tr÷ng B i to¡n Cauchy vợi dỳ kiằn cho trản mt c trững 11 1.2.3 Sü phư thc li¶n tưc 13 1.3 Phữỡng phĂp lỗi lổgarit 14 MËT VI ÙNG DệNG CếA PHìèNG PHP LầI LặGARIT 2.1 ng dửng bi toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thới gian 2.1.1 Phữỡng trẳnh parabolic ng÷đc thíi gian 2.1.2 ¡nh gi¡ ên ành 2.2 ng dửng bi toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh Laplace 2.2.1 Phữỡng trẳnh Laplace 2.2.2 ¡nh gi¡ ên ành T i li»u tham kh£o download by : skknchat@gmail.com 20 20 20 24 28 28 29 40 luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung MÐ U B i to¡n °t khæng ch¿nh xuĐt hiằn nhiÃu lắnh vỹc ựng dửng Bi toĂn ny cõ liản quan án a vêt lỵ, vêt lỵ plasma, c¡c b i to¡n v· l¾nh vüc i»n sinh håc Trong mët b i b¡o nêi ti¸ng cõa Hadamard, b i toĂn ny lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu nhữ l mët v½ dư kinh iºn v· b i to¡n °t khỉng ch¿nh °c iºm nêi bªt cõa b i to¡n n y l mët thay êi nhä dú ki»n công câ thº dăn án mởt sai lằch lợn vÃ nghiằm cừa bi to¡n Hadamard cho r¬ng c¡c b i to¡n °t khỉng ch¿nh khổng cõ ỵ nghắa vêt lẵ Chẵnh vẳ vêy, viằc nghiản cựu cĂc bi toĂn t khổng chnh tẳm c¡c ¡nh gi¡ ên ành v c¡c ph÷ìng ph¡p chnh hõa l mởt viằc quan trồng Phữỡng phĂp lỗi lỉgarit l mët nhúng ph÷ìng ph¡p dịng º ên ành hâa c¡c b i to¡n °t khỉng ch¿nh ph÷ìng trẳnh Ôo hm riảng Phữỡng phĂp ny ữủc nghiản cựu bði Pucci (1955), John (1955, 1960), Lavrentiev (1956) and Payne (1960), inh Nho Ho v Nguyạn Vôn ực (2009, 2010, 2011) Ơy l kắ thuêt Ănh giĂ dỹa trản cĂc bĐt ng thực bêc hai vÃ Ôo hm ữa giợi hÔn trản v giợi hÔn dữợi cho mởt hm lỗi lổgarit, Ơy l mởt hm cừa nghiằm CĂc Ănh giĂ õ ữủc dũng thiát lêp tẵnh nh§t nghi»m cõa b i to¡n v ta câ thº chùng minh ữủc sỹ phử thuởc liản tửc cừa nghiằm vo dỳ kiằn Â cho theo mởt nghắa no õ Luên vôn trẳnh by vÃ phữỡng phĂp lỗi lổgarit v mởt sè ùng dưng cõa ph÷ìng ph¡p º ên ành hâa bi toĂn t khổng chnh phữỡng trẳnh Ôo hm riảng Cử th, luên vôn gỗm hai chữỡng: Chữỡng 1, tĂc giÊ trẳnh by vÃ hm lỗi, mởt vi kián thực cỡ bÊn cừa phữỡng trẳnh Ôo hm riảng v phữỡng phĂp lỗi lổgarit; Chữỡng 2, tĂc giÊ trẳnh by hai b i to¡n minh håa cho ph÷ìng download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung ph¡p n y, â l b i to¡n Cauchy cho phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thới gian v bi toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh Laplace Ơy l cĂc bi to¡n °t khỉng ch¿nh v t¡c gi£ ¢ sû dưng phữỡng phĂp lỗi lổgarit ữa Ănh giĂ ờn ành cho nghi»m cõa c¡c b i to¡n n y vỵi i·u kiằn ữủc bờ sung PhƯn cuối Chữỡng 2, tĂc giÊ cõ trẳnh by thảm mởt bi toĂn cõ th xem nhữ m rởng cừa bi toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh Laplace Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Bũi Viằt Hữỡng Cổ Â tên tẳnh hữợng dăn, ch bÊo em suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu Em xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi Cổ Em cụng xin by tọ lỏng biát ỡn trƠn thnh tợi ThƯy Cổ giĂo khoa ToĂn Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản Â tên tẳnh giÊng dÔy v tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi quĂ trẳnh em hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng Em xin trƠn thnh cÊm ỡn TS Mai Viát Thuên v TS Trữỡng Minh Tuyản Â dnh sỹ quan tƠm v cõ nhỳng lới ởng viản kp thới em cố gưng hon thnh luên vôn ny Cuối em xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b v chỗng em Â luổn ởng viản, tÔo iÃu kiằn cho em suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Chữỡng KIN THC CHUN B 1.1 Têp lỗi Hm lỗi Mửc ny trẳnh by mởt số khĂi niằm, nh nghắa v kát quÊ cƯn thiát liản quan án hm lỗi v têp lỗi Nởi dung cừa mửc ữủc tham khÊo tứ [2] 1.1.1 Têp lỗi nh nghắa 1.1 Cho hai iºm a, b ∈ Rn i) ÷íng th¯ng i qua hai iºm a v b l tªp hủp cõ dÔng {x Rn |x = a + (1 )b, R} ii) oÔn thng i qua hai iºm a v b l tªp hđp câ dÔng {x Rn |x = a + (1 )b, [0, 1]} nh nghắa 1.2 Têp C Rn ữủc gồi l têp lỗi náu C chựa mồi oÔn thng nối hai im bĐt ký cừa nõ, tùc l ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], ta câ λx + (1 − λ)y ∈ C ành nghắa 1.3 i) Ta nõi x l tờ hủp lỗi cõa c¡c iºm (vectì) x1, x2, · · · , xk náu x= k X j=1 j x vợi j > 0, ∀j = 1, 2, · · · , k v j k X λj = j=1 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung ii) Ta nâi x l tê hđp affine cõa c¡c iºm (vectì) x1 , x2 , · · · , xk n¸u x= k X λj x vỵi j=1 j k X λj = j=1 Mằnh Ã 1.1 Têp hủp C l lỗi v ch nõ chựa mồi tờ hủp lỗi cõa c¡c iºm cõa nâ, tùc l vỵi måi k ∈ N, vỵi måi λ1 , λ2 , · · · , λk > cho k P λj = j=1 v vỵi måi x1 , x2 , · · · , xk ∈ C ta câ k X λj xj ∈ C j=1 ành ngh¾a 1.4 Mët têp C ữủc gồi l nõn náu vợi mồi > 0, vỵi måi x ∈ C ta câ λx ∈ C i) Mët nân ÷đc gåi l nân lỗi náu nõ l têp lỗi ii) Mởt nõn lỗi ữủc gồi l nõn nhồn náu nõ khổng chựa ữớng th¯ng, â ta nâi l ¿nh cõa nân Náu nõn ny l mởt têp lỗi a diằn thẳ ta nõi nõ l nõn lỗi a diằn nh nghắa 1.5 Cho C Rn l mởt têp lỗi v x ∈ C i) Tªp NC (x) = {w : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}, ữủc gồi l nõn phĂp tuyán (ngoi) cừa C tÔi x ii) Tªp −NC (x) = {w : hw, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ C}, ÷đc gåi l nõn phĂp tuyán (trong) cừa C tÔi x nh lỵ 1.1 (nh lỵ xĐp x tuyán tẵnh têp lỗi) Mồi têp lỗi, õng, khĂc rộng v khổng trũng vợi ton bë khỉng gian ·u l giao cõa t§t c£ c¡c nûa khæng gian tüa cõa nâ download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung nh nghắa 1.6 Cho hai têp C v D kh¡c réng, ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch C v D n¸u aT x ≤ α ≤ aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D Ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch ch°t C v D n¸u aT x < α < aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D Ta nâi si¶u phng aT x = tĂch mÔnh C v D n¸u sup aT x < α < inf aT y, a C, y D xC yD nh lỵ 1.2 (nh lỵ tĂch 1) Cho C v D l hai têp lỗi, khĂc rộng Rn cho C ∩ D = ∅ Khi â câ mët si¶u ph¯ng tĂch C v D nh lỵ 1.3 (nh lỵ tĂch 2) Cho C v D l hai têp lỗi, õng, kh¡c réng Rn cho C ∩ D = GiÊ sỷ ẵt nhĐt mởt hai têp l tªp compact Khi â, hai tªp n y câ thº t¡ch mÔnh ữủc bi mởt siảu phng 1.1.2 Hm lỗi Cho C Rn l têp lỗi v f : C → R Ta k½ hi»u domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}, epif = {(x, α) ∈ C ì R : f (x) } nh nghắa 1.7 Têp domf ữủc gồi l miÃn hỳu hiằu cừa f Têp epif ữủc gồi l trản ỗ th cõa f B¬ng c¡ch °t f (x) = +∞ n¸u x ∈ / C , ta câ thº coi f x¡c ành tr¶n to n khỉng gian Khi â, ta câ domf = {x ∈ Rn : f (x) ≤ +∞}, epif = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α} download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung ành ngh¾a 1.8 Cho C ⊂ Rn, C 6= l têp lỗi v f : C [, +] Ta nõi f l hm lỗi trản C náu epif l têp lỗi Rn+1 nh nghắa trản tữỡng ữỡng vợi: x, y C, (0, 1) ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) Nhªn x²t 1.1 VÃ mt hẳnh hồc, ữớng cong biu diạn mởt hm lỗi phÊi thọa mÂn hai tẵnh chĐt sau i) khổng nơm trản oÔn thng nối bĐt ký hai im no thuởc ữớng cong ii) khổng nơm dữợi tiáp tuyán tÔi bĐt ký im no thuởc ữớng cong VÃ mt giÊi tẵch, nhên xt trản cõ th biu diạn dữợi dÔng b§t ¯ng thùc sau f (a) + f (a)(x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + f (b) − f (a) (x − a) b−a (1.1) ành ngh¾a 1.9 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ l têp lỗi i) Hm f : Rn [, +] ữủc gồi l lỗi cht trản C náu f [x + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ii) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷đc gåi l lỗi mÔnh trản C vợi hằ số > náu vợi mồi x, y C, vợi mồi λ ∈ (0, 1) f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung iii) H m f : Rn → [, +] ữủc gồi l hm lóm trản C náu f l hm lỗi trản C Mằnh Ã 1.2 Mởt hm f : C R l hm lỗi trản C v ch vợi mồi x, y C , vợi mồi , thọa mÂn f (x) < α, f (y) < β , vỵi måi sè λ ∈ [0, 1] ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β V½ dử 1.1 Mởt số vẵ dử vÃ hm lỗi i) Chuân Euclide ||x|| l mởt hm lỗi trản Rn , â x ∈ Rn ii) Cho C ⊂ Rn l têp lỗi khĂc rộng, hm ch cừa C , ữủc nh nghắa náu x C δC (x) :=  +∞ n¸u x ∈ /C l mởt hm lỗi iii) Cho C Rn l têp lỗi khĂc rộng, hm tỹa cừa C , ữủc ành ngh¾a SC (x) := suphy, xi y∈C l mët hm lỗi iv) Cho C Rn l têp lỗi khĂc rộng, hm khoÊng cĂch án têp C , ữủc ành ngh¾a dC (x) := kx − yk y∈C l mởt hm lỗi nh nghắa 1.10 Hm f ữủc gồi l hm chẵnh thữớng náu domf 6= v f (x) > vợi mồi x nh nghắa 1.11 Hm f ữủc gồi l hm õng náu epif l tªp âng khỉng gian Rn+1 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Nghi»m u1 (·, t) ÷đc gåi l ờn nh Hoălder khoÊng t [0, T ) náu v ch náu vợi > cho trữợc, vợi mồi u(Ã, 0) F thọa mÂn ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k0 < ε th¼ sup ku1 (·, t) − u2 (·, t)kt < Cεα , 0tT1 vỵi måi x ∈ [x1 , x2 ] v thäa m¢n (1.10) f (x) = ln F (x) l hm lỗi 00 Vẳ f (x) l hm lỗi nản ta câ f (x) ≥ 0, vỵi måi x ∈ [x1 , x2 ] Do â, ta câ d2 [ln F (x)] dx2 ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ] M ta lÔi cõ 00 F (x)F (x) [F (x)[2 d2 [ln F (x)] dx2 = F (x) ≥ 14 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Suy 00 F (x)F (x) − [F (x)]2 ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ] (1.11) M°t kh¡c, v¼ f (x) = ln F (x) l hm lỗi nản theo bĐt ng thực (1.1) ta cõ ln F (x) ≥ ln F (x1 ) + [ln F (x)] (x1 )(x − x1 ) F (x1 ) = ln F (x1 ) + (x − x1 ) F (x1 ) F (x ) = ln F (x1 ) · exp (x − x1 ) F (x1 ) Hay ta câ F (x) ≥ F (x1 ) · exp F (x ) F (x1 ) (x − x1 ) , ∀x ∈ [x1 , x2 ] (1.12) V ta công câ ln F (x) ≤ ln F (x1 ) + = x2 − x1 ln F (x2 ) − ln F (x1 ) (x − x1 ) x2 − x2 [ln F (x1 )(x2 − x1 ) + ln F (x2 )(x − x1 ) − ln F (x1 )(x − x1 )] [(x2 − x) ln F (x1 ) + (x − x1 ) ln F (x2 )] x2 − x1 h x−x1 i x2 −x = ln F (x1 ) x2 −x1 · F (x2 ) x2 −x1 = Do â x2 −x x−x1 F (x) ≤ F (x1 ) x2 −x1 · F (x2 ) x2 −x1 , ∀x ∈ [x1 , x2 ] (1.13) Tø (1.12) v (1.13), vỵi måi x ∈ [x1 , x2 ] ta ÷đc F (x ) x2 −x x−x1 (x − x1 ) ≤ F (x) ≤ F (x1 ) x2 −x1 · F (x2 ) x2 −x1 F (x1 ) exp F (x1 ) (1.14) Cæng thùc (1.14) cho ta giợi hÔn trản v giợi hÔn dữợi cừa mởt hm lỗi lổgarit Ơy l cổng thực quan trồng ữủc sỷ dửng rĐt nhiÃu cĂc Ănh giĂ Ch÷ìng 15 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Trong phƯn tiáp theo, chúng tổi trẳnh by mởt m rởng cõa b§t ¯ng thùc (1.11) Gi£ sû h m F (x) > vỵi måi x ∈ [x1 , x2 ] v thọa mÂn bĐt ng thực 00 F (x)F (x) − [F (x)]2 ≥ −a1 F (x)F (x) − a2 F (x) (1.15) vỵi a1 , a2 l cĂc hơng số Khi õ, vợi mồi x [x1 , x2 ] ta câ 00 F (x)F (x) − [F (x)]2 + a1 F (x) · F (x) + a2 F (x) F (x) ≥ Hay 00 F (x)F (x) − [F (x)]2 F (x) + a1 F (x) F (x) + a2 ≥ Suy 00 [ln F (x)] + a1 [ln F (x)]0 + a2 ≥ (1.16) Gi£ sû a1 6= 0, ta °t σ = e−a1 x , ∀x ∈ [x1 , x2 ] X²t h m a2 2 ln F (σ)σ −a2 /a1 = ln F (σ) − ln σ a1 Ta câ d ln F (σ)σ −a2 /a1 dσ 0 = ln F (σ) · − 1 a1 σ − a2 a21 σ Suy 2 d2 F (σ)σ −a2 /a1 dσ 00 = ln F (σ) · = h a21 σ a2 0 + ln F (σ) · + a21 σ a1 σ a21 σ ln F (σ) 00 0 i + a1 ln F (σ) + a2 Theo b§t ¯ng thùc (1.16) ta câ 00 0 ln F (σ) + a1 ln F (σ) + a2 ≥ 0, ∀σ ∈ [σ1 , σ2 ], 16 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung â, σ1 = e−a1 x1 , σ2 = e−a1 x2 Do õ, ta nhên ữủc h i a2 /a21 d ln F (σ) · σ ≥ 0, ∀σ ∈ [σ1 , σ2 ] dσ (1.17) Theo Ănh giĂ trản cừa bĐt ng thực (1.14) ta cõ −σ h i σσ2−σ h i σ−σ1 −a /a2 σ2 −σ1 F (σ)σ −a2 /a1 ≤ F (σ1 )σ1 · F (σ2 )σ2 Ta °t δ := σ2 − σ σ2 − σ1 e−a1 x2 − e−a1 x = e−a1 x2 − e−a1 x1 Khi â, ta ÷đc σ − σ1 σ2 − σ1 e−a1 x − e−a1 x1 = e−a1 x2 − e−a1 x1 = − δ Do â, ta câ iδ h h i1−δ −a /a2 F (σ)σ −a2 /a1 ≤ F (σ1 )σ1 · F (σ2 )σ2 Vẳ = ea1 x nản ta cõ F (e −a1 x a2 x/a1 )e h ≤ F (e −a1 x1 )e a2 x1 /a1 iδ h i1−δ −a1 x2 a2 x2 /a1 · F (e )e Suy h iδ h i1−δ F (x)ea2 x/a1 ≤ F (x1 )ea2 x1 /a1 · F (x2 )ea2 x2 /a1 Vêy, ta thu ữủc i1 h i h , F (x) ≤ e−a2 x/a1 · F (x1 )ea2 x1 /a1 · F (x2 )ea2 x2 /a1 ∀x ∈ [x1 , x2 ] (1.18) M°t kh¡c, theo ¡nh gi¡ dữợi cừa bĐt ng thực (1.14), ta cõ h i0   −a2 /a21   F (σ)σ (σ1 ) −a2 /a21 −a2 /a21 (σ − σ1 ) F (σ)σ ≥ F (σ1 )σ1 · exp     F (σ1 )σ1−a2 /a1 17 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung V¼ h i F (σ)σ −a2 /a1 (σ1 ) (σ − σ1 ) = −a2 /a21 F (σ1 )σ1 F (σ1 ) − 1 a1 σ1 = −a2 /a21 · σ1 − a2 −a2 /a21 −1 · F (σ1 )σ1 a21 (σ − σ1 ) −a2 /a! 12 F (σ1 )σ1 F (σ1 ) · = = + a2 a1 σ1 a21 σ1 F (σ1 ) · F (σ1 ) (σ1 − σ) F (σ1 ) + a2 /a1 · F (σ1 ) a1 F (σ1 ) 1− σ σ1 N¶n F (σ)σ −a2 /a21 ≥ −a /a2 F (σ1 )σ1 F (σ ) + a /a · F (σ ) σ 1 · exp 1− a1 F (σ1 ) σ1 Suy ra, ta câ F (σ) ≥ F (σ1 ) · exp F (σ ) + a /a · F (σ ) 1 a1 F (σ1 ) 1− σ σ1 −a2 /a21 · σ1 · σ a2 /a1 Thay bián = ea1 x ta thu ữủc a2 −a2 F (e−a1 x ) ≥ F (e−a1 x1 )e a1 x1 e a1 x ×   F (e−a1 x1 ) + (a2 /a1 )F (e−a1 x1 ) e−a1 x × exp  − −a1 x1  a1 F (e−a1 x1 ) e   a2 F (e−a1 x1 ) + (a2 /a1 )F (e−a1 x1 ) = F (e−a1 x1 ) · exp  − ea1 (x−x1 ) − (x − x1 ) a1 F (e−a1 x1 ) a1 Vêy, vợi mồi x [x1 , x2 ] ta câ  F (x) ≥ F (x1 ) · exp  F (x1 ) + (a2 /a1 )F (x1 ) a1 F (x1 ) − ea1 (x−x1 ) − a2 a1  (x − x1 ) (1.19) 18 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Gièng cæng thùc (1.14), cæng thùc (1.19) v (1.18) l cỉng cư quan trång º ÷a c¡c ¡nh gi¡ Chữỡng Trong mởt trữớng hủp khĂc, náu a1 = thẳ bĐt ng thực (1.15) tr thnh 00 F (x)F (x) − [F (x)]2 ≥ −a2 F (x), ∀x ∈ [x1 , x2 ], (1.20) vỵi a2 l h¬ng sè Khi â, ta câ 00 F (x)F (x) − [F (x)]2 + a2 F (x) F (x) Suy h ≥ i00 ln F (x) + a2 ≥ Do â, ta câ h i d2 ln F (x) · ea2 x /2+αx+β dx2 ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ], (1.21) â, α, β l c¡c h¬ng sè tũy ỵ Khi õ, ta cụng cõ Ănh giĂ ối vợi cên trản v cên dữợi cừa hm F (x) 19 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Ch÷ìng MËT VI NG DệNG CếA PHìèNG PHP LầI LặGARIT 2.1 ng dửng bi toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thới gian 2.1.1 Phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thới gian Cho Ω = [0, 1], T > X²t b i to¡n parabolic tr÷íng hđp mët chi·u ut = uxx , ≤ x ≤ 1, < t ≤ T, (2.1) u(0, t) = u(1, t) = 0, < t ≤ T, (2.2) u(x, 0) = u0 (x), ≤ x ≤ (2.3) Gi£ sû u0 (x) l hm liản tửc tứng khúc v triằt tiảu tÔi x = 0, x = 1, tùc l u0 (0) = u0 (1) = Sỷ dửng phữỡng phĂp tĂch bián, ta tẳm nghiằm khổng tƯm thữớng cừa bi toĂn dữợi dÔng u(x, t) = X(x) Ã T (t) Thay vo (2.1) ta câ 00 X(x) · T (t) = X (x) · T (t), hay 00 T (t) X (x) = = −λ, T (t) X(x) 20 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung â, λ l h¬ng số Suy ra, phữỡng trẳnh (2.1) tữỡng ữỡng vợi hai phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng T (t) + T (t) = 0, (2.4) 00 (2.5) X (x) + λX(x) = Sỷ dửng iÃu kiằn biản (2.2) ta nhên ữủc (2.6) X(0) = X(1) = Trữợc tiản, ta xt phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hai (2.5) vợi iÃu kiằn ban Ưu (2.6) X 00 (x) + λX(x) = 0,  X(0) = X(1) = Ta x²t c¡c tr÷íng hđp sau cõa tham sè + Trữớng hủp 1: Náu < thẳ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.5) cõ dÔng X(x) = C1 e √ −λx √ −λx + C2 e− , vợi C1 , C2 l hơng số Tứ iÃu kiằn ban Ưu (2.6) ta thu ữủc X(0) = C1 + c2 = 0, √ −λ X(1) = C1 e + C2 e− √ −λ = Do â, ta nhên ữủc C1 = C2 = hay X(x) Vêy, vợi < 0, thẳ u(x, t) + Trữớng hủp 2: Náu = thẳ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.5) cõ dÔng X(x) = ax + b, vợi a, b l hơng số Tứ iÃu kiằn ban Ưu ta cụng suy ữủc a = b = hay X(x) ≡ Vªy, vợi = thẳ ta cụng cõ u(x, t) + Trữớng hủp 3: Náu > thẳ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.5) cõ dÔng √ √ X(x) = C1 cos( λx) + C2 sin( x), vợi C1 , C2 l hơng số 21 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Thay i·u ki»n ban ¦u ta câ √ X(0) = C1 cos( λx) = √ Suy ra, C1 = Thay i·u ki»n X(1) = v C1 = 0, ta câ C2 sin( λ) = º √ nghi»m u(x, t) 6= th¼ ta ph£i câ C2 6= Do â, λ = kπ hay λ = k2π2, (2.7) k ∈ Z Khi â, ta câ X(x) = C2 sin(kπx) V¼ h m X(x) phử thuởc vo k nản ta kỵ hiằu (2.8) Xk (x) = Ak sin(kπx) Thay λ = k vo (2.4) thẳ phữỡng trẳnh T (t) + k T (t) = 0, câ nghi»m Tk (t) = Bk e−tk 2 π (2.9) Tø (2.8) v (2.9), ta câ nghi»m ri¶ng cõa b i to¡n Â cho cõ dÔng uk (x, t) = Ck etk 2 π sin(kπx), (2.10) vỵi Ck = Ak · Bk l hơng số tũy ỵ Ta thĐy, cổng thực nghiằm (2.10) thọa mÂn iÃu kiằn biản (2.2) Ta xƠy düng mët c¡ch h¼nh thùc chuéi u(x, t) = ∞ X uk (x, t) = k=1 ∞ X Ck e−tk 2 π sin(kπx), (2.11) k=1 vỵi h» sè Ck xĂc nh cho chuội (2.11) thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.1) v i·u ki»n ban ¦u (2.3), tùc l u(x, 0) = ∞ X Ck sin(kπx) = u0 (x) k=1 22 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Do â, h» sè Ck ph£i l h» sè Fourier cõa h m u0 (x) khai triºn theo h» h m {sin(kπx)} kho£ng (0, 1), tùc l Z1 Ck = u0 (ξ) sin(kπξ)dξ (2.12) Ta lêp chuội hẳnh thực (2.11) vợi cĂc h» sè Ck ÷đc x¡c ành nh÷ (2.12) l nghiằm cừa bi toĂn vợi giÊ thiát hm u0 (x) l hm liản tửc, cõ Ôo hm liản tửc tứng khóc v thäa m¢n u0 (0) = u0 (1) = X²t b i to¡n parabolic ng÷đc thíi gian tr÷íng hñp mët chi·u ut = uxx , ≤ x ≤ 1, < t ≤ T, (2.13) u(0, t) = u(1, t) = 0, < t ≤ T, (2.14) u(x, 0) = u0 (x), ≤ x ≤ 1, (2.15) u(x, T ) = uT (x) (2.16) Gi£ sû i·u ki»n ban ¦u u0 (x) câ thº khai trin dữợi dÔng chuội u0 (x) = X u0n sin(nx) n=1 Kát hủp vợi cổng thực nghiằm (2.11), ta cõ nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.13) vợi iÃu kiằn biản (2.14) v iÃu kiằn ban Ưu (2.15) cõ dÔng u(x, t) = ∞ X u0n e−tπ 2 n sin(nπx) (2.17) n=1 Thay iÃu kiằn tÔi thới im cuối t = T ta ÷đc u(x, T ) = ∞ X u0n e−T π 2 n sin(nπx) (2.18) n=1 Gi£ sû h m uT (x) = u(x, T ) câ thº khai trin dữợi dÔng u(x, T ) = uT (x) = ∞ X uT n sin(nπx) n=1 23 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung (2.19) luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Tø (2.18) v (2.19), ta thu ÷đc 2 UT n = u0n e−T n π , hay 2 u0n = UT n eT n π Thay v o cæng thùc nghi»m (2.17) ta nhên ữủc u(x, t) = X uT n e(T −t)π 2 n sin(nπx) n=1 Do â, n¸u t < T th¼ ta câ e(T −t)π 2 n → ∞ n → ∞ Do â, b i to¡n parabolic ng÷đc thíi gian l b i to¡n °t khỉng ch¿nh 2.1.2 ¡nh gi¡ ên ành º ên ành hâa b i toĂn (2.13)(2.16), chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp lỗi lổgarit (xem [3]) Trữợc tiản, chúng tổi xt phiám hm nông l÷đng Z1 F (t) = ku(t)k = u2 (x, t)dx, (2.20) Ơy k Ã k l chuân khæng gian L2 (0, 1) v ta s³ ch¿ rơng hm F (t) thọa mÂn bĐt ng thực 00 F (t)F (t) − [F (t)]2 ≥ 0, t [0, T ) Thêt vêy, ta Ôo hm hai v¸ cõa (2.20) F (t) = Z1 u(x, t)ut (x, t)dx Vẳ ut = uxx nản sỷ dửng cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn v iÃu kiằn biản (2.14) ta nhên ữủc 24 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung Z1 F (t) = u(x, t)ut (x, t)dx Z1 =2 u(x, t)uxx (x, t)dx = 2u(x, t)ux (x, t) − Z1 [ux (x, t)]2 dx Z1 = −2 (2.21) [ux (x, t)]2 dx Ôo hm hai vá cừa (2.21) v sỷ dửng cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn ta ÷đc Z1 00 F (t) = −4 ux (x, t)uxt (x, t)dx Z uxx (x, t)ut (x, t)dx =4 Thay uxx = ut ta câ 00 Z1 F =4 (2.22) [ut (x, t)]2 dx Khi â, ta câ Z1 Z1 Z1 2 2 F (t)F (t)−[F (t)] = [ut (x, t)] dx · u (x, t)dx − u(x, t)ut (x, t)dx 00 0 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ Z1 Z1 Z1 2 u(x, t)ut (x, t)dx ≥ [ut (x, t)]2 dx · u2 (x, t)dx 0 Do õ, ta nhên ữủc 00 F (t)F (t) − [F (t)]2 ≥ 0, ∀t ∈ [0, T ) 25 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung (2.23) luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung hay F (t) l hm lỗi lổgarit Theo cỉng thùc (1.13) Mưc 1.3 ta câ ¡nh gi¡ F (t) ≤ F (0) T −t T t · F (T ) T , ∀t ∈ [0, T ) Thay F (t) = ku(t)k2 (2.20) v sû dưng i·u ki»n ban ¦u (2.15) v i·u ki»n ci (2.16) ta nhên ữủc Ănh giĂ sau ku(t)k2 ku0 (x)k2(1−t/T ) · ku(T )k2t/T , ∀t ∈ [0, T ) (2.24) Tẵnh chĐt nghiằm cừa bi toĂn giĂ tr biản ban Ưu (2.13)(2.16) cõ th ữủc suy tứ Ănh giĂ (2.23) v (2.24) Trữợc tiản, cõ th nhên thĐy rơng náu hm F (t) thọa mÂn bĐt ng thực (2.23) v F b triằt tiảu tÔi mët iºm n o â t1 ∈ [0, T ] th¼ tứ tẵnh liản tửc cừa F ta cõ th suy F (t) ỗng nhĐt bơng vợi mồi t ∈ [0, T ] Tø â, ta suy t½nh nhĐt nghiằm cừa bi toĂn Cauchy tuyán tẵnh (2.13)(2.16) trÊ lới cho cƠu họi vÃ tẵnh ờn nh cõa nghi»m ta gi£ sû u1 (x, t) v u2 (x, t) l c¡c nghi»m cõa b i to¡n sau uit = uixx , ≤ x ≤ 1, < t ≤ T, ui (0, t) = ui (1, t) = 0, < t ≤ T, ui (x, 0) = ui0 (x), ≤ x ≤ 1, ui (x, T ) = uiT (x), i = 1, °t u = u1 − u2 th¼ u s³ l nghi»m cừa bi toĂn (2.13)(2.16) vợi iÃu kiằn Cauchy tữỡng ựng l u0 (x) = u10 (x) − u20 (x) Khi â b§t ¯ng thùc (2.24) s³ cho ta khỉng gian nghi»m cõa b i to¡n º cho ku0 k nhä s³ k²o theo ku(t)k cơng nhä vỵi t ∈ [0, T ) hỳu hÔn Tuy nhiản, iÃu kiằn ku0 (x)k nhä l khỉng õ º t½ch ku0 (x)k2(1−t/T ) · ku(T )k2t/T s³ nhä vỵi t ∈ [0, T ) Do õ, cõ tẵnh phử thuởc liản tửc cừa nghi»m v o dú ki»n ban ¦u chóng ta c¦n mët hÔn chá cho lợp nghiằm cừa bi toĂn Cử th, 26 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.phap.loi.logarit.va.mot.vai.ung.dung