luận văn thạc sĩ đẳng thức bất đẳng thức chứa đạo hàm trong lớp đa thức và một số dạng toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ NGỌC DAO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ NGỌC DAO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số dạng đẳng thức bất đẳng thức lớp hàm liên tục hàm khả vi 1.1 Tính chất hàm số liên tục 1.2 Một số đẳng thức chứa đạo hàm 1.3 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm 11 1.4 Một số tính chất hàm lồi khả vi 14 Chương Các đẳng thức bất đẳng thức chứa đạo hàm đa thức 2.1 2.2 2.3 20 Đẳng thức chứa đạo hàm đa thức 20 2.1.1 Định lý Rolle đa thức 20 2.1.2 Nội suy Taylor đa thức 21 2.1.3 Nội suy Newton đa thức 23 2.1.4 Nội suy theo nút điểm dừng đồ thị 26 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm đa thức 30 2.2.1 Bất đẳng thức Newton đa thức 30 2.2.2 Bất đẳng thức bậc hai đoạn 32 Ước lượng đa thức đạo hàm đa thức 40 Chương Một số dạng toán liên quan 46 3.1 Một số dạng toán cực trị đa thức 46 3.2 Khảo sát phương trình hệ phương trình đa thức 48 download by : skknchat@gmail.com KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO download by : skknchat@gmail.com 57 58 luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan Mở đầu Chuyên đề đa thức chuyên đề quan trọng bậc trung học phổ thông Đa thức không đối tượng nghiên cứu trọng tâm đại số mà cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực khác toán học Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp, Olympic Tốn sinh viên, toán liên quan tới đa thức nói chung đặc biệt tốn đẳng thức, bất đẳng thức cực trị đa thức chứa không chứa đạo hàm thường xuyên đề cập Những dạng toán thường thuộc loại khó, phần kiến thức đa thức dạng toán đẳng thức, bất đẳng thức cực trị lại khơng nằm chương trình thức chương trình Số học, Đại số Giải tích bậc trung học phổ thơng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề đa thức, làm luận văn "Đẳng thức, bất đẳng thức chứa đạo hàm lớp đa thức số toán liên quan" Luận văn nhằm cung cấp số dạng toán đẳng thức, bất đẳng thức đa thức chứa đạo hàm trình bày phương pháp giải chúng, xét tốn cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình đa thức số dạng liên quan Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận chương Chương Một số dạng đẳng thức bất đẳng thức lớp hàm liên tục hàm khả vi Chương Các đẳng thức bất đẳng thức chứa đạo hàm đa thức Chương Một số dạng toán liên quan Tiếp theo, chương trình bày hệ thống tập áp dụng giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan Chương Một số dạng đẳng thức bất đẳng thức lớp hàm liên tục hàm khả vi Trong chương trình bày số tính chất hàm liên tục khả vi 1.1 Tính chất hàm số liên tục Định lý 1.1 (Tính trù mật hàm liên tục, [4], [6]) Giả sử hàm f (x) liên tục đoạn [a, b] f (a)f (b) < Khi tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Định lý 1.2 (Định lý giá trị trung gian hàm liên tục, [4],[6]) Nếu f (x) liên tục [a, b], f (x) nhận giá trị trung gian f (a) f (b) Tức là, với γ nằm f (a) f (b) tồn giá trị c ∈ [a, b] cho f (c) = γ Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử f (a) < f (b) Ta thấy định lý dễ dàng chứng minh γ = f (a) γ = f (b) Xét γ với f (a) < γ < f (b) Ta chứng minh tồn giá trị c ∈ [a, b] cho f (c) = γ Thật vậy, xét hàm g(x) = f (x) − γ hàm liên tục [a, b] Ta lại có g(a) < 0, g(b) > theo Định lý 1.1 tồn giá trị c ∈ (a, b) để g(c) = Điều cho thấy tồn giá trị c ∈ [a, b] cho f (c) = γ Định lý chứng minh luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan Định lý 1.3 (Định lý Weierstrass, [4],[6]) Giả sử f hàm xác định liên tục [a, b] Khi tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm f đoạn [a, b], tức tồn xm , xM ∈ [a, b] cho với x ∈ [a, b] ta có f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh f (x) bị chặn [a, b] Giả sử f (x) không bị chặn [a, b], tức với n ∈ N tồn xn ∈ [a, b] cho |f (xn )| ≥ n Ta thấy dãy (xn ) bị chặn nên theo Định lý Balzano-Weierstrass tồn dãy xnk → x0 ∈ [a, b] cho |f (xnk )| ≥ nk Chuyển qua giới hạn, ta thu |f (x0 )| = +∞, mâu thuẫn f (x) liên tục x0 Vậy f (x) bị chặn Gọi m = inf f (x), M = sup f (x) Lấy ε = [a,b] [a,b] , n ∈ N∗ , ∃xn ∈ [a, b], cho n > f (xn ) − m ≥ n Theo Định lý Balzano-Weierstrass tồn dãy xnk (xn ) thỏa mãn xnk → xm > f (xnk ) − m ≥ Lấy giới hạn ta nk lim f (xnk ) = f (xm ) = m x→∞ Tương tự, tồn xM để f (xM ) = sup f (x) = M [a,b] Hệ 1.1 Nếu f : [a, b] → R liên tục f ([a, b]) = [m, M ] ⊂ R m = f (x), M = max f (x) [a,b] [a,b] Ví dụ 1.1 (Hàm Dirichlet) Khảo sát tính liên tục hàm số  1, x số hữu tỷ, D(x) = 0, x số vơ tỷ Vì lân cận điểm hữu tỷ tìm điểm vô tỷ ngược lại, nên với điểm x0 tùy ý khoảng (−∞, +∞) không tồn giới hạn lim D(x) x→x0 Như vậy, điểm trục thực điểm gián đoạn từ hai phía hàm Dirichlet luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan Ví dụ 1.2 (Hàm Riemann) Trên đoạn [0, 1] xét hàm số 1  , x = p phân số tối giản, f (x) = q q 0, x số vô tỷ Chứng minh - Các điểm hữu tỷ điểm gián đoạn hàm số, - Các điểm vô tỷ điểm liên tục hàm số Chứng minh Giả sử x0 điểm tùy ý thuộc [0, 1] Với số ε > tồn số hữu hạn số tự nhiên thỏa mãn điều kiện q , nghĩa εp  p đoạn [0, 1] có số hữu hạn số hữu tỷ dạng , mà f = ≥ ε Xét q q q lân cận đủ nhỏ điểm x0 dạng (x0 − δ, x0 + δ) (δ > 0), cho lân cận khơng có điểm số điểm hữu tỷ nói trừ điểm x0 ) Khi đó, với |x − x0 | < δ, (x 6= x0 ) |f (x)| < ε Nghĩa là, với x0 tồn f (x0 + 0), f (x0 − 0) f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = Nếu x0 số vô tỷ, f (x) = 0, nghĩa điểm hàm số liên tục, x0 số hữu tỷ, f (x0 ) 6= 0, có gián đoạn từ hai phía Bài tốn 1.1 Chứng minh rằng, f (x) hàm liên tục, F (x) = |f (x)| hàm liên tục Lời giải Giả sử ε > tùy ý Khi đó, tồn δ = δ(ε, x0 ), cho |f (x) − f (x0 )| < ε, |x − x0 | < δ Sử dụng bất đẳng thức ||A| − |B|| ≤ |A − B|, ta có |F (x) − F (x0 )| = ||f (x)| − |f (x0 )|| ≤ |f (x) − f (x0 )| < ε |x − x0 | < δ, nghĩa F (x) hàm liên tục Nhận xét 1.1 Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung khơng luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan 1.2 Một số đẳng thức chứa đạo hàm Trong phần này, ta xét định lý giá trị trung bình Định nghĩa 1.1 ([4],[6]) Hàm số f gọi khả vi điểm a tồn lân cận Ω a cho tồn f (x) với x ∈ Ω Định nghĩa 1.2 ([4],[6]) (i) Hàm số f gọi đạt cực tiểu địa phương điểm a tồn lân cận Ω a cho f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ Ω (ii) Hàm số f gọi đạt cực đại địa phương điểm a tồn lân cận Ω a cho f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ Ω Nhận xét 1.2 Về sau, ta gọi hàm số f đạt cực trị địa phương điểm a f đạt cực đại cực tiểu địa phương điểm a Tiếp theo, ta trình bày kết liên quan đến đẳng thức giá trị trung bình hàm số sau Định lý 1.4 (Định lý Fermat, [4]) Nếu hàm f (x) khả vi điểm a đạt cực trị địa phương a f (a) = Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử f (x) đạt cực đại địa phương a Điều cho thấy tồn lân cận Ω a cho f (x) − f (a) ≤ 0, ∀x ∈ Ω Với h 6= cho a + h ∈ Ω, ta có - Nếu h > f (a + h) − f (a) ≤ Suy h lim h→0 - Nếu h < h f (a + h) − f (a) i h = f (a) ≤ (1) = f (a) ≥ (2) f (a + h) − f (a) ≥ Suy h lim h→0 h f (a + h) − f (a) i h luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan Từ (1) (2), suy f (a) = Tương tự, ta có chứng minh cho trường hợp f đạt cực tiểu địa phương a Định lý 1.5 (Định lý Rolle) Giả sử f hàm liên tục [a, b] có đạo hàm (a, b) Nếu f (a) = f (b) tồn điểm c ∈ [a, b] cho f (c) = Chứng minh Vì f liên tục [a, b], theo Định lý Weierstrass hàm f phải đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [a, b] Tức là, tồn điểm x1 , x2 ∈ (a, b) cho f (x1 ) = f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M x∈[a,b] x∈[a,b] Có hai khả xảy ra: - Nếu m = M , f (x) = const đoạn [a, b], f (x) = với x ∈ (a, b) c điểm khoảng - Nếu m < M , từ điều kiện f (a) = f (b) nên có hai điểm x1 , x2 không trùng với đầu mút [a, b] Giả sử x1 ∈ (a, b), theo Định lý Fermat đạo hàm điểm Nhận xét 1.3 - Định lý Rolle nói chung khơng cịn khoảng (a, b) có điểm c mà khơng tồn f (c) - Điều kiện liên tục hàm f (x) đoạn [a, b] thay điều kiện f (x) liên tục khoảng (a, b) - Ý nghĩa hình học: Khi điều kiện Định lý Rolle thỏa mãn đồ thị hàm số y = f (x), ∀x ∈ [a, b] tồn điểm M (c, f (c)), c ∈ (a, b) mà tiếp tuyến song song với trục hoành Hệ 1.2 Nếu đa thức f (x) có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) đa thức f (x) có n − nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) Đa thức f (k) (x) (0 ≤ k ≤ n) có n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan 32 0 A ={(n − r)2 − 1}Pr−1 Pr+1 − (n − r)2 Pr0 0 0 B =(n − r + 1)(r + 1).Pr−1 Pr+1 + (n − r − 1)(r − 1)Pr−2 Pr+1 − 0 − 2(r − 1)Pr−2 Pr+1 C =(r2 − 1)Pr−2 Pr0 − r2 Pr−1 Vì phân biệt nên theo giả thiết ta có 0 0 − Pr0 < Pr−1 < Pr0 Pr−2 Pr+1 Pr−1 0 0 Pr−2 Pr+1 < Pr−1 Pr0 ⇒ A < −Pr0 , B < 2Pr−1 Pr0 , C < Pr−1 n2 (Pr−1 Pr+1 − Pn0 ) < −(Pr0 − an Pr−1 ) ≤ Điều a1 = a2 = = an−1 Khi an 6= a1 2.2.2 Bất đẳng thức bậc hai đoạn Ta nhắc lại số kiến thức liên quan đến tam thức bậc hai với hệ số thực Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a 6= Khi   b ∆ af (x) = ax + − , với ∆ = b2 − 4ac Ta phát biểu kết quen thuộc dấu tam thức bậc hai Định lý 2.3 Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a 6= i) Nếu ∆ < af (x) > 0, ∀x ∈ R ii) Nếu ∆ = af (x) > ∀x ∈ R Dấu đẳng thức xảy x=− b 2a iii) Nếu ∆ > af (x) = a2 (x − x1 )(x − x2 ) với x1,2 √ b ∆ =− ∓ 2a 2|a| (2.12) Trong trường hợp này, af (x) < x ∈ (x1 , x2 ) af (x) > x < x1 x > x2 luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan 33 Định lý 2.4 (Định lí đảo) Điều kiện cần đủ để tồn số α cho af (α) < ∆ > x1 < α < x2 , x1,2 nghiệm f (x) xác định theo (2.12) Để mô tả ý tưởng nội suy bất đẳng thức, ta xuất phát từ bất đẳng thức bậc hai quen biết sau x2 + y > 2xy, ∀x, y > (2.13) Dấu đẳng thức xảy x = y Cũng xuất phát từ bất đẳng thức dạng với (2.13) (ứng với α 1, x, y > 0)  x 1−α y +  y 1−α x > 2, (2.14) hay  x α y y +  y α x x2 > 2xy, ta thu bất đẳng thức dạng tương đương xα y 2−α + x2−α y α > 2xy (2.15) Dấu đẳng thức xảy x = y Mặt khác, sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, ta thu f (t) = t2 − t2−α − tα + > 0, ∀t ∈ [0, 1] x y Với t = , ta thu x2 + y > xα y 2−α + x2−α y α (2.16) Hệ thức (2.16) dạng bất đẳng thức nội suy bất đẳng thức bậc hai (2.13) Tiếp theo, ta xét vài dạng toán đánh giá ước lượng biểu thức có sử dụng tính chất tam thức bậc hai khoảng đoạn thẳng cho trước Xét đa thức bậc hai hai biến (như tam thức bậc hai x tham biến y ) F (x, y) = ax2 + bxy + cy , a 6= 0, luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan 34 ∆ : = (b2 − 4ac)y Khi đó, ∆ aF (x, y) > 0, ∀x, y ∈ R Vậy b2 4ac a > hiển nhiên ax2 + cy > |bxy|, ∀x, y ∈ R Trường hợp riêng, a = c = 1, b = ±2 ta nhận lại kết x2 + y > 2|xy| hay √ u+v > uv, u, v > Về sau, ta sử dụng tính chất dạng phân thức bậc hai a1 x + b x + c a2 x + b x + c y= với điều kiện a2 > 0, f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 > 0, ∀x ∈ R, để tìm cực trị số dạng toán bậc hai Bài toán 2.11 Xét tam thức bậc hai P (x) = x2 − Tìm số nghiệm thực phân biệt phương trình sau: P (P ( (P (x)) )) = | {z } 2016 chữ P Lời giải Đặt Pn (x) = P (P ( (P (x)) )) | {z n chữ P } Nhận xét P1 (x) > −1 với x nên Pn+1 (x) = P1 (Pn (x)) > −1 với x ∈ R n ∈ N∗ Vì phương trình Pn (x) = a với a < −1 khơng có nghiệm thực Ta chứng minh, phương pháp quy nạp toán học, phương trình Pn (x) = a với a > ln có hai nghiệm thực phân biệt Thật vậy, với n = phương trình x2 − = a có hai nghiệm phân biệt Giả sử phương trình Pn (x) = a với a > có hai nghiệm thực phân biệt Xét phương trình Pn+1 (x) = a với a > Ta có Pn+1 (x) = a ⇔ P1 (Pn (x)) = a ⇔ (Pn (x) − √ a + 1)(Pn (x) + √ luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com a + 1) = luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan 35 Do phương trình Pn (x) + √ a + = vơ nghiệm nên suy phương trình Pn+1 (x) = a có hai nghiệm thực phân biệt Tiếp theo, ta chứng minh, phương pháp quy nạp tốn học, phương trình Pn (x) = có n + nghiệm thực phân biệt Thật vậy, với n = n = ta có kết hiển nhiên Giả sử, phương trình Pn (x) = có n + nghiệm thực phân biệt Xét phương trình Pn+2 (x) = 0, ta thu phương trình Pn2 (x)(Pn2 (x) − 2) = ⇔ Pn2 (x)(Pn (x) − √ √ 2)(Pn (x) + 2) = 0, theo giả thiết quy nạp, có n + nghiệm thực phân biệt Kết luận Phương trình Pn (x) = có n + nghiệm phân biệt vậy, phương trình cho có 2017 nghiệm thực phân biệt Tiếp theo ta trình bày số kết Lucas ước lượng tam thức bậc hai khoảng Bài toán 2.12 Giả sử G(x) = P x2 + Qx + R Khi bất đẳng thức G(x) > thỏa mãn với x ∈ [a, b],  a + b  G(a) + G(b) p G(a)G(b) G(a) > 0, G(b) > 2G − > 2 Lời giải Giả sử (2.17) thỏa mãn Ký hiệu p p p m= G(b) − G(a) b , n= b−a  K ≡ K[G] := 2G (b − a)2  a+b  G(a) − a b−a (2.17) p G(b) ,  G(a) + G(b) p − − G(a)G(b) (2.18) Khi K > Mặt khác G(x) = (mx + n)2 + K(x − a)(b − x) suy G(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] (2.19) Ngược lại, giả sử (2.19) thỏa mãn Khi G(a) > , G(b) > G(x) viết dạng (Định lý Lucas) luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan 36 G(x) = (m1 x + n1 )2 + K1 (x − a)(b − x) với K1 >  Nếu (2.20) ta chọn x ∈ a, ( a+b , (2.20) b có (m1 a + n1 )2 = G(a) (m1 b + n1 )2 = G(b) (2.21) K1 = K, K chọn (2.18) Nhận xét hệ (2.21) cho ta m1 , n1 ta có K ≡ K[G] > 0, tức bất đẳng thức (2.17) chứng minh Bài toán 2.13 Chứng minh với tam thức bậc hai f (x) = Ax2 + Bx + C ta có |f (x)| 1, ∀x ∈ [a, b] xảy |f (a)| 1, |f (b)| −1+ p (1 − f (a)) (1 − f (b)) 61− p f (a)+f (b) a+b − 2f
(1 + f (a)) (1 + f (b)) Lời giải Sử dụng kết Bài toán 2.12 G(x) > 0, ∀x ∈ [a, b], ⇔ G(a) > 0, G(b) > 0, K[G] > 0, (2.22) với G1 (x) := 1(− f (x) G2 (x) = f (x) + G1 (x) > Thật , ∀x ∈ [a, b], |f (a)| 1, |f (b)| 1, G2 (x) > K[G1 ] > 0, K[G2 ] > Hai bất đẳng thức cuối với 
f (a)+f (b) p a+b − 2f  − (1 − f (a)) (1 − f (b)) > +  2   + 2f
a+b − f (a)+f (b) − p (1 + f (a)) (1 + f (b)) > Bài toán 2.14 Cho p(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện   n o |p(0)|, p , |p(1)| ⊂ [0, 1] Chứng minh |a| 8, |b| 8, |c| |2ax + b| 8, ∀x ∈ [0, 1] Lời giải Để ý  a = 2p(0) − 4p c
+ 2p(1), b = −3p(0) + 4p = p(0), 2a + b = p(0) − 4p
2
− p(1) + 3p(1) luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan download by : skknchat@gmail.com (2.23) luan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quanluan.van.thac.si.dang.thuc.bat.dang.thuc.chua.dao.ham.trong.lop.da.thuc.va.mot.so.dang.toan.lien.quan 37 Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có |a| 8, |b| 8, |c| 1, |2a + b| Khi h(x) := 2ax + b, |h(0)| 8, |h(1)| kéo theo |h(x)| 8, ∀x ∈ [0, 1] Nhận xét 2.11 Chú ý đánh giá tối ưu Thật vậy, giả sử p(x) = 8x2 − 8x + Khi |p(x)| |p0 (x)| = |16x − 8| [0, 1] Bài toán 2.15 Giả sử M2 tập hợp tất đa thức bậc không  M∗2 : = p ∈ M2 ; |p(t)| 1, ∀t ∈ [0, 1] Tìm tất đa thức Q, Q ∈ M∗2 , cho với p ∈ M∗2 ta có |p(x)| Q(x) , ∀x ∈ x ∈ (−∞, 0] ∪ [1, ∞) Chứng minh nghiệm Q Lời giải Ta chứng minh Q(x) = 8x2 − 8x + = T2 (2x − 1) T2 (z) = 2z − đa thức Chebychev loại Giả sử p(x) = ax2 + bx + c ∈ M∗2 Vì p(x) = (2x − 1)(x − 1)p(0) − 4x(x − 1)p 1 + x(2x − 1)p(1), ứng với x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, ∞) nên |p(x)| (2x − 1)(x − 1) + 4x(x − 1) + x(2x − 1) = 8x2 − 8x + =: Q(x) Để ý |Q(t)| = |1 − 8t(1 − t)| 1, ∀t ∈ [0, 1], nên Q ∈ M∗2 Tính nghiệm hiển nhiên Nhận xét 2.12 Kết toán tập M∗2 mở rộng sau M∗2 : =     k