luận văn thạc sĩ diện tích của đa giác định hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hằng DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC ĐỊNH HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hằng DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC ĐỊNH HƯỚNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Đa giác lồi đa giác lõm Đa giác đơn đa giác phức Tam giác định hướng ABC Hình bình hành định hướng Từ hình thang Từ tam giác Năm điểm A,B,C,D,E tùy ý Quỹ tích điểm O Điểm I cố định Định lý Carnot 13 15 19 23 24 26 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Tọa độ diên tích Dấu tọa độ barycentric Trực tâm H Tam giác pedal USAMO-2001 #2 USAMO-2008 MOP-2006 IMO-2007 IMO-2014 31 32 35 43 53 55 56 57 58 download by : skknchat@gmail.com ii Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu ii 1 Đa giác định hướng tính chất 1.1 Đa giác định hướng diện tích 1.1.1 Diện tích đa giác định hướng 1.1.2 Diện tích hình bình hành định hướng 1.2 Công thức số phương pháp chứng minh 1.2.1 Chứng minh công thức từ hình thang 1.2.2 Chứng minh cơng thức từ tam giác 1.2.3 Chứng minh công thức theo sơ đồ bước 1.3 Diện tích đa giác định hướng phương trình bậc hai 1.4 Ứng dụng diện tích đa giác định hướng vào giải toán 3 10 13 15 17 19 21 Diện tích tam giác định hướng tọa độ Barycentric 2.1 Diện tích tam giác định hướng 2.2 Tọa độ barycentric hình học tam giác 2.2.1 Tọa độ điểm 2.2.2 Ký hiệu Conway 2.2.3 Diện tích tam giác 2.2.4 Phương trình đường thẳng 2.2.5 Khoảng cách hai điểm 2.2.6 Đường thẳng vuông góc 2.2.7 Điểm vô tận đường thẳng song song 29 30 33 33 36 37 38 40 41 42 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong i 2.3 2.2.8 Tam giác pedal 2.2.9 Phương trình đường tròn Ứng dụng tọa độ barycentric 2.3.1 Chứng minh số hệ thức hình học 2.3.2 Một số toán thi học sinh giỏi thi Olympic Tài liệu tham khảo luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong download by : skknchat@gmail.com 43 45 46 46 51 62 luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong ii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Hằng luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong Mở đầu Mục đích đề tài luận văn - Nghiên cứu khái niệm hình học phẳng: Đa giác định hướng diện tích chúng, áp dụng để giải tốn Hình học phổ thông - Giống định hướng đoạn thẳng dẫn đến công cụ "độ dài đại số", ta tiến hành định hướng đa giác để tính toán giải toán liên quan Đề tài cho ta thêm phương pháp giải tốn hình học hiệu quả, đặt tên "Phương pháp diện tích định hướng" Cách làm áp dụng cho tam giác dẫn tới "tọa độ barycentric" cơng cụ giải tốn lý thú - Nghiên cứu sâu thêm loại đa giác, có đa giác lồi mà cịn có đa giác lõm Các kiến thức đa giác định hướng kỹ thuật giải toán "Phương pháp diện tích định hướng" hệ thống nâng cao qua tốn chứng minh, tính tốn, bất đẳng thức, tìm quỹ tích, hay khó - Người nghiên cứu có thêm kiến thức lực bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề khó Hình học Nội dung Trình bày chi tiết hệ thống khái niệm diện tích đa giác hướng xuất phát điểm định hướng mặt phẳng Phát biểu chứng minh tính chất diện tích đa giác định hướng gắn với mặt phẳng định luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong hướng Nội dung luận văn nêu tính chất ứng dụng diện tích đa giác định hướng, đặc biệt tam giác định hướng vào chủ đề Hình học phẳng: chứng minh tính song song, tính đồng quy đường thẳng, chứng minh hệ thức hình học, chứng minh bất đẳng thức, tìm quỹ tích điểm, vấn đề liên quan đến tam giác, tứ giác, đường tròn, Các ví dụ lựa chọn điển hình để chứng tỏ khái niệm đưa thực hiệu Nội dung chia làm chương: Chương Đa giác định hướng tính chất Trình bày khái niệm diện tích đa giác định hướng tính chất Nội dung bao gồm mục sau 1.1 Đa giác định hướng diện tích 1.2 Cơng thức số phương pháp chứng minh 1.3 Diện tích đa giác định hướng phương trình bậc hai 1.4 Ứng dụng diện tích đa giác định hướng vào giải tốn Chương Diện tích tam giác định hướng tọa độ Barycentric 2.1 Diện tích tam giác định hướng 2.2 Tọa độ Barycentric hình học tam giác 2.3 Ứng dụng tọa độ barycentric Tác giả luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong Chương Đa giác định hướng tính chất Đã có nhiều viết chun khảo đa giác phẳng, nhiên tất nói đa giác lồi ứng dụng đa giác lồi Có hai vấn đề đặt cách tự nhiên: Thứ nhất, giống hướng đoạn thẳng, hướng góc ta xem hướng đa giác gì? Thứ hai, ngồi đa giác lồi ta cịn có đa giác lõm (khơng lồi) hay đa giác đơn đa giác phức, loại đa giác đề cập đến? Chương I đề cập đến vấn đề đưa ứng dụng đa giác định hướng, diện tích đa giác định hướng Chương I kham khảo tài liệu [1], [4], [5] 1.1 Đa giác định hướng diện tích Giả sử E2 mặt phẳng định hướng với chiều dương mặc định chiều ngược chiều quay kim đồng hồ Khái niệm "đa giác" nói đến tất đa giác tạo thành từ đường gấp khúc khép kín (Đa giác lồi, đa giác lõm, đa giác tự cắt) Ta nhắc lại số khái niệm sau: Trong hình học phẳng, đa giác đường gấp khúc phẳng khép kín, nghĩa gồm đoạn thẳng nối tiếp (mỗi điểm nối đầu luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong Hình 1.1: Đa giác lồi đa giác lõm mút vừa hai đoạn thẳng) nằm mặt phẳng khép kín (điểm nối đầu trùng với điểm nối cuối) Phần mặt phẳng giới hạn đường đa giác gọi hình đa giác Những đoạn thẳng đường gấp khúc gọi cạnh đa giác, điểm nối tiếp hai cạnh gọi đỉnh đa giác Hai cạnh có chung đỉnh gọi hai cạnh kề Có thể phân loại đa giác thành đa giác lồi đa giác không lồi (đa giác lõm), hình vẽ 1.1: • Đa giác lồi (Convex polygon) đa giác mà tồn nằm phía đường thẳng chứa cạnh đa giác Khi đó, đoạn thẳng nối hai điểm đa giác nằm hoàn toàn đa giác Mọi đường thẳng không chứa cạnh đa giác cắt đường đa giác nhiều hai điểm Mọi góc đa giác lồi khơng vượt 180◦ Tổng góc đa giác lồi n cạnh (n − 2)180◦ Tam giác đa giác lồi • Đa giác khơng lồi (đa giác lõm) (Concave polygon) đa giác nằm hai phía đường thẳng chứa cạnh đa giác Khi đó,có thể có đoạn thẳng nối hai điểm đa giác khơng hồn tồn nằm đa giác, đường thẳng chứa đoạn thẳng cắt đường đa giác nhiều hai điểm Đa giác lõm phải có số cạnh lớn bốn Cũng phân loại đa giác thành đa giác đơn đa giác không đơn (đa giác phức) sau: luan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huongluan.van.thac.si.dien.tich.cua.da.giac.dinh.huong download by : skknchat@gmail.com −−→ −−→ OAB = (OE1 ∧ OE2 ) x y2 Mệnh đề 1.5 Trong hệ tọa độ Đề vng góc, ! x y